danghoa94blogspots1 CHUYÊN ĐỀ 7- PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC KỲ THI ĐẠI HỌC-CAO ĐẲNG Trong kỳ thi Đại học-Cao đẳng trước đến , tập phần lượng giác thường bố trí nằm câu II/1 III/1-chủ yếu Câu II, thông thường phần chiếm điểm,và phổ biến giải phương trình Từ năm 2003 trở sau , cấu trúc gần ổn định suốt nhiều năm Để giúp em nhìn cách tổng thể nội dung : Chủ đề Lượng giác qua kỳ thi Đại học-Cao đẳng Khối A năm qua; từ nhận diện tập, phương pháp giải thích ứng với dạng bài, tập dượt cho em làm bài, tự tin phần này.Ngoài xin trao đổi với Thầy , Cô, em góp ý để có cách giải khác linh động Năm 2002Câu III/1- Tìm nghiệm thuộc khoảng ( 0; 2π ) phương trình: cos x + sin x    sin x + ÷ = cos x + + 2sin x   Giải sin x ≠ -Điều kiện : -Biến đổi vế trái (1) −1 cos 3x + sin 3x    sin x + 2sin x.sin x + cos 3x + sin x   sin x + = ÷  ÷ + 2sin x  + 2sin x    danghoa94blogspots2   sin x + (cos x − cos x ) + cos x + sin x  ÷ = 5 ÷ + 2sin x  ÷    sin x + cos x − cos 3x + cos x + sin x  = 5 ÷ + 2sin x    sin x + cos x + sin 3x  = 5 ÷ + 2sin x    cos x + 2sin x.cos x  = 5 ÷ + 2sin x    (2sin x + 1) cos x  = 5 ÷ = 5cos x + 2sin x   (*) cos x = 5cos x = cos x + ⇔ cos x − 5cos x + = ⇔ cos x = (loai ) Từ (1)và (*) : π cos x = ⇔ x = ± + k 2π -Khi π x ∈ (0; 2π ) ⇒ x1 = + k 2π , -Do x2 = 5π x1 = -Vậy : Nghiệm phương trình : sin x ≠ ( x1 , x2 thỏa mãn điều kiện π + k 2π , x2 = 5π -Năm 2003- cot x − = Câu II/1- Giải phương trình : Giải sin x ≠  cos x ≠  tan x ≠  -Điều kiện: -Biến đổi tương đương (1) (nhan) cos x + sin x − sin x + tan x (1) −1 ) danghoa94blogspots3 cos x + sin x − sin x + tan x 2 cos x cos x − sin x ⇔ −1 = + sin x − 2sin x cos x sin x sin x 1+ cos x cos x − sin x (cos x + sin x)(cos x − sin x).cosx ⇔ = + sin x(sin x − cos x) sin x cos x + sin x cos x − sin x ⇔ = cos x(cos x − sin x) + sin x(sin x − cos x) sin x ⇔ (cos x − sin x )( − cos x + sin x) = sin x − sin x cos x + sin x ⇔ (cos x − sin x)( )=0 sin x ⇔ (cos x − sin x)(sin x − sin x cos x + 1) = (*) cot x − = Giải (*), ta có : ⇔ ⇔ (cos x − sin x)(sin x − sin x cos x + 1) = cos x − sin x = sin x − sin x cos x + = cos x = sin x ⇔ tan x = ⇔ x = +Khi : +Khi : π + kπ , nhận , thỏa mãn đk sin x sin x cos x + = ⇔⇔ sin x − sin x + = x= Vậy phương trình có nghiệm : π + kπ -Năm 2004Câu II/1- Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện: cos A + 2 cosB+ 2 cosC = Tính ba góc tam giác ABC vô nghiệm danghoa94blogspots4 Giải Đặt : M = cos A + 2 cosB+ 2 cosC − = cos A − + 2(cos B + cos C ) − B+C B −C = cos A − + 2.cos cos −3 2 sin -Do A B −C > 0, cos ≤1 2 -Do tam giác ABC không tù nên : M ≤ cos A + sin M ≤ cos A + sin Suy : cos A ≥ 0, cos A ≤ cos A A −4 , suy ra: A −4 A A  =  − 2sin ÷+ sin − 2  A A = − 4sin + sin − 2 A A = −4sin + sin − 2 2 A   = −2  sin − 1÷ ≤   Vậy : M≤0 M = ⇔ sin (*) A    sin − 1÷ ≥ 0)   ( A = 2  cos A = cos A   A = 900 B −C  =1 ⇔  cos  B = C = 45  A  sin =  Theo giả thiết : A = 900 , B = C = 450 Vậy : danghoa94blogspots5 Năm 2005- cos x.cos x − cos x = Câu II/1- Giải phương trình : Giải Biến đổi tương đương : (1) ⇔ (1 + cos x).cos x − (1 + cos x) = (1) ⇔ cos x + cos x.cos x − − cos x = ⇔ cos x.cos x − = [cos x + cos x ] − = ⇔ cos x + (2 cos x − 1) − = ⇔ cos x = ⇔ cos x + cos x − = ⇔ cos x = ⇔ x = k Khi x=k Vậy : π cos x = ( n) −3 (l ) (∀k ∈ Z ) π Năm 2006- ( cos6 x + sin x ) − sin x cos x − 2sin x Câu II/1- Giải phương trình : Giải − sin x ≠ ⇔ sin x ≠ -Điều kiện : Biến đổi tương đương : -Ta biết : 2 =0 (1) (*) sin x + cos x = sin x + cos x − sin x.cos x = − 2sin x cos x − sin cos x 3 = − 2sin x cos x.2sin x cos x = − sin 2 x 4 danghoa94blogspots6   (1) ⇔ 1 − sin 2 x ÷− sin x =   ⇔ − sin 2 x − sin x = 2 sin x = ⇔ −3sin x − sin x + = ⇔ −4 sin x = sin x = ⇔ x = -Khi π + kπ x= -Do điều kiện (*) nên : x= Vậy : 5π + 2mπ ( n) (l ) (∀k ∈ Z ) 5π + 2mπ (m ∈ Z) (m ∈ Z) Năm 2007- ( + sin x ) cos x + ( + cos x ) sin x = + sin x Câu II/1- Giải phương trình : Giải (1) (1) ⇔ sin x + cos x + sin x cos x + cos x sin x = sin x + cos x + 2sin x cos x ⇔ (sin x + cos)(1 + sin x cos x) = (sin x + cos x) ⇔ (sin x + cos x)(1 + sin x cos x − sin x − cos x) = ⇔ (sin x + cos x)(1 − sin x)(1 − cos x) = −π + kπ π ⇔ x = + k 2π x = k 2π x= x= Vậy : (∀k ∈ Z ) −π π + kπ , x = + k 2π , x = k 2π danghoa94blogspots7 -Năm 2008- + sin x Câu II/1- Giải phương trình : Giải -Biếm đổi tương đương:  7π  = 4sin  − x÷ 2π     sin  x − ÷   (1) 1 + = −2 2(sin x + cos x) sin x cos x cos x + sin x ⇔ + 2(sin x + cos x) = sin x cos x ⇔ (sin x + cos x)( + 2) = sin x cos x sin x + cos x = ⇔ +2 =0 sin x cos x (1) ⇔ -Khi -Khi π −π sin x + cos x = ⇔ sin( x + ) = ⇔ x = + kπ ( k ∈ Z ) 4 − − + 2 = ⇔ 2sin x cos x = ⇔ sin x = sin x cos x 2 −π + kπ ( k ∈ Z ) ( n ) ⇔ 5π x= + kπ ( k ∈ Z ) ( n ) x= x= Vậy : −π + kπ , x= −π + kπ , x= 5π + kπ -Năm 2009- (n) (1 − 2sin x) cos x = ( + 2sin x ) ( − sin x ) Câu II/1- Giải phương trình : Giải (1) sin x ≠ 1, sin x ≠ -Điều kiện : Biến đổi tương đương: danghoa94blogspots8 −1 (*) (1) ⇔ (1 − 2sin x) cos x = 3(1 + 2sin x)(1sin x) ⇔ cos x − 2sin x cos x = 3(1 + sin x − 2sin x) ⇔ cos x − sin x = + sin x − sin x − cos x ⇔ cos x − sin x = + sin x − 3.( ) ⇔ cos x − sin x = sin x + − + cos x = sin x + cos x 3 ⇔ cos x − sin x = sin x + cos x 2 2 π π ⇔ cos( x + ) = cos(2 x − ) π x = + k 2π ⇔ −π 2π x= +k 18 x= -So điều kiện (*) , ta loại x= -Vậy : −π 2π +k 18 π + k 2π (∀k ∈ Z ) Năm 2010- ( + sin x + cos x ) sin  x + Câu II/1- Giải phương trình : Giải + tan x  π ÷ 4 = cos x cos x ≠ 0, + tan x ≠ danghoa94blogspots9 (*) -Điều kiện: -Biến đổi tương đương: π (1) ⇔ sin( x + ).(1 + sin x + cos x) = (1 + tan x).cos x  sin x + cos x  ⇔ (sin x + cos x)(1 + sin x + cos x) =  ÷.cos x cos x   ⇔ + sin x + cos x = ⇔ sin x + − 2sin x = sin x = (l ) cos x ≠ ⇔ 2sin x − sin x − = ⇔ −1 sin x = ( n) 2 −π + k 2π −1 sin x = ⇔ 7π x= + k 2π x= -Khi x= -Vậy : −π + k 2π , x= 7π + k 2π Năm 2011- Câu II/1- Giải phương trình : Giải sin x ≠ -Điều kiện : -Biến đổi tương đương: (*) + sin x + cos x = sin x sin x + cot x (1) danghoa94blogspots10 (1) ⇔ (1 + sin x + cos x) = sin x.2sin x cos x + cot x ⇔ (1 + sin x + cos x).sin x = 2 sin x cos x ⇔ + sin x + cos x = 2 cos x (do sin x ≠ 0) ⇔ + 2sin x cos x + − 2cos x − 2 cos x = ⇔ cos x(2sin x + cos x − 2 cos x) = ⇔ cos x(sin x + cos x − 2) = ⇔ cos x = sin x + cos x − = cos x = ⇔ x = -Khi cos x = ⇔ sin x + cos x = π + kπ (n) π π sin x + cos x = ⇔ sin( x + ) = ⇔ x = + k 2π 4 -Khi x= Vậy : π + kπ , x= ( n) π + k 2π Năm 2012Câu II/1- Giải phương trình : Giải -Biến đổi tương đương: sin x + cos x = cos x − (1) ⇔ sin x cos x + cos x − − 2cos x + = ⇔ cos x( sin x + cos x − 1) = ⇔ cos x = sin x + cos x = cos x = ⇔ x = -Khi π + k 2π (∀k ∈ Z ) ( n) danghoa94blogspots11 -Khi x = k 2π π π sin x + cos x = ⇔ cos( x − ) = cos ⇔ 2π 3 x= + k 2π x= Vậy : π + k 2π , x = k 2π , x= 2π + k 2π ( n) ( n) -Năm 2013- π  + tan x = 2 sin  x + ÷ 4  Câu II/1- Giải phương trình : Giải cos x ≠ (1) (*) -Điều kiện : -Biến đổi tương đương: sin x = 2.(sin x + cos x) cos x ⇔ cos x + sin x = 2(sin x + cos x).cos x ( cos x ≠ 0) ⇔ sin x + cos x − 2(sin x + cos x) cos x = (1) ⇔ + ⇔ (sin x + cos x)(1 − cos x) = ⇔ sin x + cos x = − cos x = sin x + cos x = ⇔ x = -Khi −π + k 2π − 2cosx = ⇔ cos x = -Khi x= Vậy : −π + k 2π , (k ∈ Z ) π ⇔ x = ± + k 2π x=± π + k 2π Năm 2014- (n) (k ∈ Z ) ( n) sin x + 4cos x = + sin x Câu II/1- Giải phương trình : Giải -Biến đổi tương đương: danghoa94blogspots12 (1) (1) ⇔ sin x + 4cos x − − 2sin x cos x = ⇔ sin x − 2sin x cos x + cos x − = ⇔ − sin x(2 cosx − 1) + 2(2 cos x − 1) = ⇔ (2 cos x − 1)(2 − sin x) = ⇔ cos x − = − sin x = cos x − = ⇔ cos x = -Khi -Khi − sin x = x=± Vậy : π ⇔ x = ± + k 2π (k ∈ Z ) -Vô nghiệm π + k 2π Năm 2015- Ngày thi ( Đề thi diễn tập THPT QG-2015) Câu II - Giải phương trình sau tập số thực : 4sin x + 3 sin x − cos x = Giải -Biến đổi tương đương: (1) ⇔ 4sin x − + 3.2 sin x cos x − cos x = ⇔ 4(sin x − 1) + sin x cos x − cos x = ⇔ −4 cos x + sin x cos x − cos x = (1) ( n) danghoa94blogspots13 ⇔ sin x cos x − cos x = ⇔ cos x( sin x − cos x) = ⇔ cos x = ⇔ tan x = sin x − cos x = cos x = cos x = ⇔ x = -Khi tan x = -Khi x= Vậy : π + kπ ( cos x ≠ 0) (k ∈ Z ) ( n) π π ⇔ tan x = tan ⇔ x = + kπ 6 π + kπ , x= (k ∈ Z ) ( n) π + kπ -Hết -