ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HK MÔN TOÁN LỚP 11 TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG CHƯƠNG IV GIỚI HẠN BÀI GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A/ TÓM TẮT GIÁO KHOA Định nghĩa giới hạn hữu hạn *Dãy số (un) gọi có giới hạn n dần tới dương vô cực,nếu số dương bé tuỳ ý,kể từ số hạng trở Kí hiệu:limun= hay un → nhỏ n → +∞ n → +∞ *Dãy số (un) gọi có giới hạn a Kí hiệu:limun=a hay un → a un lim(un-a)=0 n → +∞ Định nghĩa giới hạn vô cực *Dãy số (un) gọi có giới hạn + ∞ bất kì,kể từ số hạng trở n → +∞ ,nếu un lớn số dương Kí hiệu:lim un =+ ∞ hay un → +∞ n → +∞ Dãy số (un) gọi có giới hạn - ∞ n → +∞ ,nếu lim(-un)=+ Kí hiệu:limun=- ∞ hay un → −∞ n → +∞ 3.Các giới hạn đặc biệt a/lim n =0 ;lim b/limqn=0 n q k =0;limnk=+ ∞ với k số nguyên dương 1 ∞ a/nếu limun = a limvn = b,thì: *lim(un+vn) = a + b lim(un - vn) = a - b un *lim unvn = ab lim v = n a b b/Nếu un ≥ với n limun=a a ≥ lim un = a Định lí liên hệ giới hạn hữu hạn giới hạn vô cực Định lí a/Nếu limun = a limvn = b/Nếu limun = + ∞ ±∞ lim un =0 limvn = a > limunvn = + ∞ un c/Nếu limun = a > 0, limvn = > với n lim v = +∞ n 6.Cấp số nhân lùi vô hạn *Cấp số nhân lùi vô hạn cấp số nhân thoả mãn q 0,lim(( ) n + Ví dụ Tính lim Ta có: lim Ví dụ Tính )=0 5n ( )n + n > ) 5 4n + − n + 2n + −1 n 4+ −n 4n + − n = =lim =lim n n + 2n +2 + 2n n n + 3n − ) n +1 lim( n- Ta có: (n + n) − (n + 3n − 7) − 2n + n + 3n − n = −2 = lim = lim lim(n)=lim n +1 n +1 n +1 1+ n 2 −2+ Ví dụ Tính lim(2n3+3n-1) Ta có lim(2n3+3n-1)=limn3(2+ Ví dụ Tính lim(-2n2+n Ta có: lim(-2n2+n Ví dụ Tính lim( − n n )=+ ∞ n -n+4) n -n+4)=limn2(-2+ n2 +1 + n2 − n) n − + ) = −∞ n n2 Ta có: lim( n2 +1 + n2 − n) = Ví dụ Tính lim( 1+ 1 + − ) = +∞ n n n2 +1 − n2 − n) Ta có: lim( n + − n − n ) =lim 2 (n + 1) − (n − n) =lim limn( n2 +1 + n2 − n =lim ( n + − n − n )( n + + n − n ) n2 +1 + n2 − n 1+ n +1 =lim n2 +1 + n2 − n 1+ n 1 + 1− n n = Chú ý: gặp dạng sau(ta gọi dạng vô định)thì ta phải biến đổi để đưa dạng thích hợp để vận dụng định lí để giải ± ∞ ∞ ; ∞ ; + ∞ − (+∞) ; − ∞ + (+∞) ; II Vấn đề Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn Phương pháp: Chứng minh dãy số tương ứng cấp số nhân lùi vô hạn(nếu toán chưa cho giả thiết này).Sau tính tổng công thức: u S= −1q Ví dụ Tính tổng S cấp số nhân lùi vô hạn sau: 1 1,- , ,− 1 , , ( − ) n −1 , 27 Giải Cấp số nhân lùi vô hạn cho có số hạng đầu u1=1,công bội q= − 1 1 + − + + (− ) n −1 + = Do đó, S=1- 27 1+ = 3 3.(−1) n +1 − + − + + + Ví dụ Tính tổng S= 2 2 ( 2)n Dãy số: q= − 3 3.(−1) n+1 , , , , , , cấp số nhân lùi vô hạng với công bội 2 2 ( 2)n 3 u1= Vì q = − = < nên(un) cấp số nhân lùi vô hạng.Do ta có: 3 3 3.(−1) n +1 − + − + + + = S= n 2 ( 2) = 1+ 1+ C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Bài1.Tính giới hạn sau: lim 2n − 3n + 1− n + n2 (1 − 2n) (3n + 4) lim + n5 n + 4n − lim 3n + n + lim n4 − n3 + 2n − 3.lim n +1 − n + lim + 4n n + n − 3n − lim 4n + 6n + 2n n − n n2 + n +1 lim ( n − n ) lim 2n 2n + 3n − 2n − n + Bài Tính giới hạn sau: lim(-n3+2n-1) lim(3n2-5n n -9) 3.lim(3n+2n+5) lim(3n3-7n+11) lim 2n − n + n + 6.lim + 2n − n 7.lim 4n − n + n 3n + 9.lim( 3n + 2n − − n + 1) Bài 3.Tìm giới hạn sau 8.lim( 3n + 2n − + n + 1) lim( n + n + − n) 2.lim 3.lim n + n + − n + 1) 4.lim 5.limn( n + − n +1 3n + − 2n + n +1 − n +1 6.lim 3n + n + − n) Bài 4.Tính giới hạn sau 1.lim( n + + + ) n2 +1 n2 +1 n2 +1 1 3.lim( − )(1 − ) (1 − ) n 2.lim( 1 1 + + + + ) 1.2 2.3 3.4 n( n + 1) + + + + + n 4.lim + + 27 + + n Bài 5.Tính tổng sau: 1 (−1) n −1 1.A= − + − + + n −1 +… 2.B = cosx + cos2x + cos3x + + cosnx + (−1) n + − + + 3.C = − + − n −2 2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN I.Vấn đề 1.Tính giới hạn hàm số nhờ áp dụng trực tiếp định lí 1,2 hay quy tắc giới hạn vô cực Ví dụ 1.Tính giới hạn sau 2x + x a/ lim x →2 x −1 x + x 2.2 + Ta có: lim = = 10 x→2 −1 x −1 (− x + 3x − 1) b/ xlim → 3− lim− (− x + x − 1) = ( −33 + 3.3 − 1) = −19 Ta có: x →3 3x + x → −1 ( x + 1) c/ lim (3 x + 2) = −1 < 0, lim ( x + 1) = (x+1)2>0 với x ≠ −1 Ta có: xlim → −1 x → −1 Do xlim → −1 d/ lim+ x →5 3x + =- ∞ ( x + 1) 2 x − 11 5− x (2 x − 11) = −1 < 0, lim (5 − x) = (5 - x) < với x > Vì xlim →5 x →5 + + Do lim+ x →5 x − 11 =+ 5− x ∞ (4 x − x + x) e/ xlim → +∞ Ta có: lim (4 x − x + x) = lim x (4 − 22 + 13 ) = + ∞ x → +∞ x → +∞ x x (−2 x − x + 1) f/ xlim → −∞ (−2 x − x + 1) = lim x (−2 − 52 + 13 ) = + ∞ Ta có: xlim → −∞ x → −∞ x x II Vấn đề 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH PHƯƠNG PHÁP: Tuỳ dạng vô định mà sử dụng phép khử thích hợp u ( x) u ( x) = lim v( x) = ) (tính lim xlim →x x→ x x→ x v ( x ) *Dạng 0 -Phân tích tử số mẫu số thành nhân tử giản ước.Cụ thể ta biến đổi: ( x − x0 ) A( x) u ( x) A( x) = lim = lim x → x0 ( x − x ) B ( x ) x → x0 B ( x ) x→ x0 v ( x ) lim -Tính lim x→ x0 A( x) B ( x) (Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến số dấu nhân tử số mẫu số với biểu thức liên hợp,trước phân tích chúng thành tích giản ước) *Dạng ∞ ( ∞ tính lim x→ x0 u ( x) v( x) u ( x) = lim v( x) = ±∞ ) xlim →x x→ x 0 -Chia tử số mẫu số cho x n với n số mũ bậc cao biến số x(hay phân tích tử mẫu chứa nhân tử xn giản ước) -Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến dấu thức đưa x k dấu căn(với k số mũ cao x dấu căn),trước chia tử số mẫu số cho luỹ thừa x *Dạng ∞ - ∞ (Tính lim [u ( x) − v( x)] x → x0 lim u ( x ) = lim v ( x ) = +∞ x → x0 x → x0 lim u ( x) = lim v( x) = −∞ x → x0 x → x0 Nhân chia với biểu thức liên hợp(nếu có biểu thức chứa biến số dấu thức)hoặc quy đồng mẫu số để đưa phân thức(nếu chứa nhiều phân thức) Ví dụ 1.Tính giới hạn sau: 5x + x → −1 x + x + a/ lim Ta có: xlim → −1 b/ lim x→2 5x + 5( x + 1) = lim = lim =5 x + 3x + x →−1 ( x + 1)( x + 2) x →−1 x + 2 4x + − x−2 Ta có: lim x→ 4x + − (4 x + 1) − 4( x − 2) = lim = lim x→ x−2 ( x − 2)( x + + 3) x →2 ( x − 2)( x + + 3) = lim x→2 2x3 + x − c/ lim x → −∞ x − x 2x + x − = lim x → −∞ x − 3x 3 Ta có: xlim → −∞ 2+ 4x + + = − x2 x3 = − −3 x − x5 + x4 + d/ lim x → +∞ x4 + − x5 + x + = lim Ta có: lim x → +∞ x → +∞ x4 + e/ lim x → −∞ 1 + x x = −∞ + x x5 −1+ x − x − + 3x 2x + Ta có: x − x − + 3x = lim x → −∞ 2x + lim x → −∞ 1 − + 3x x x2 2x + x 1− 1 − + 3x x x2 2x + − x 1− = lim x →−∞ 1 − +3 x x2 =1 2+ x − 1− = lim x → −∞ f/ lim x → −∞ x2 + x + x x + x + x = lim Ta có: xlim → −∞ x → −∞ ( x + x + x)( x + x − x) x = lim x → −∞ x2 + x − x x lim = x →−∞ x2 + x − x − x 1+ −x x = lim x → −∞ − 1+ −1 x =− 2x g/ lim ( − ) x → −∞ x + x Ta có: lim ( x → −∞ 2x − x − 2x = lim − ) = xlim → −∞ x → −∞ x + x x +1 x 1 − x x = +∞ 1 + x x2 2− C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1.Tính giới hạn sau: lim x − 4 lim+ x →3 x →3 7x −1 x −3 lim ( x − x + 1) x → −∞ 3x + x →1 x + lim lim− x →3 xlim → −2 7x −1 x −3 lim x → +∞ x + 3x − 5x + ( x + 2) lim− x → −3 lim x → −∞ 7x −1 x −3 4x + x − Bài 2.Tính giới hạn sau x2 − x − lim x →2 x−2 x − 5x + lim x →1 x −1 Giải Ta có:y’= x + x +1 = (1 + 2y Suy ra:y’= x x2 +1 ( x + x + 1)' x + x2 +1 ( ) 2y x2 +1 )= y2 2y x2 +1 = y x2 +1 ⇒ x + y ' = y (đpcm) C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1.Tìm đạo hàm cấp hai hàm số sau 2x − x−2 1.y=ax3+bx2+cx+d 2.y= x2 − x +1 3.y= 2x − 4.y=x.sinx 5.y= x 6.y=cos2x 1− x2 x Bài 2.Chứng minh:Nếu y=cotx y+y’sinx+tan =0 Bài 3.Chứng minh:Nếu y= Bài 4.Chứng minh:Nếu y= 2x − x x−3 x+4 y3y’’+1=0 2y’2=(y-1)y’’ LẬP PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG Phương pháp: a/Cần nhớ: yB − y A B − xA *Hệ số góc đường thẳng AB k= x *f’(x0) hệ số góc tiếp tuyến với đương f cong (C) điểm M0(x0;f(x0)) b/Các loại tiếp tuyến: Loại 1:Tiếp tuyến điểmM(x0;y0) ∈ (C) Phương trình tiếp tuyến có dạng:y = f’(x0)(x - x0) + y0 Loại 2:Tiếp tuyến song song với đường thẳng d’ *Tiếp tuyến d//d’ ⇒ kd=kd’ *Gọi x0 hoành độ tiếp điểm,ta có:f’(x0)=kd (1) *Giải (1) ta x0.Từ suy y0 *Phương trình tiếp tuyến cần lập là: y=f’(x0)(x-x0)+y0 Loại Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d’ *Tiếp tuyến d vuông góc với đường thẳng d’ ⇒ kd= − k d' *Gọi x0 hoành độ tiếp điểm,ta có:f’(x0)=kd (2) *Giải (2) ta x0.Từ suy y0 *Phương trình tiếp tuyến cần lập là: y = f’(x0)(x - x0) + y0 Loại 4.Tiếp tuyến qua điểm A cho trước *Gọi (d) tiếp tuyến cần tìm (x0;y0) tiếp điểm Ta có (d): y = f’(x0)(x - x0) + y0 *Cho (d) qua A ta yA = f’(x0)(xA - x0) + y0 (3) Giải (3) ta x0.Suy phương trình tiếp tuyến Ví dụ 4.Cho hàm số y = f(x) = x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết: a/Tiếp điểm có hoành độ -2 b/ Tiếp điểm có tung độ c/Hệ số góc tiếp tuyến -4 d/Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d’):y= − e/Tiếp tuyến qua điểm A(-8;0) Giải a/Ta có:x0=-2 ⇒ y0= − x + 2007 y’(x0)= − 1 ⇒ y ' (−2) = − x 1 Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình:y= − ( x + 2) − ⇔ b/Ta có:y0=3 ⇒ x0= ; y’(x0)= − x2 y = − x −1 ⇒ y ' ( ) = −9 3 Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình: y = −9(x − ) + ⇔ y = −9x + c/ Hệ số góc tiếp tuyến -4 ⇒ kd=-4 Gọi x0 hoành độ tiếp điểm  x =  ⇒ y0 = ta có:f’(x0)=kd=4 ⇒ − =-4 ⇒  x  x = − ⇒ y = −2  Vậy có hai tiếp tuyến thoả ycbt:(d):y = - 4(x − ) + = - 4x + hoặc(d):y = -4(x + ) - = - 4x - d/ Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d’):y= − ⇒ kd = kd ’ = − x + 2007 Gọi x0 hoành độ tiếp điểm,ta có: f’(x0) =  x0 = ⇒ y =  1 − ⇒ − =− ⇒  x0 9  x = −3 ⇒ y = − 0  Vậy có hai tiếp tuyến thoả ycbt:(d):y = − x+ hoặc(d):y = − x− e/Gọi (T) tiếp tuyến (C) M(x0 ;y0) ∈ (C ) Ta có (T): y = f’(x0)(x-x0) + y0 ⇔ (T ) : y = Tiếp tuyến (T) qua A(-8;0) ⇔ −1 ( x − x0 ) + x0 x −1 ( − − x ) + =0 x0 x2 ⇔ + x0 + x0 = ⇔ x0 = −4 ⇒ y = − ⇒ y ' (−4) = − 16 Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình: (T ) : y = −1 x− 16 C.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 3.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số sau điểm có hoành độ x 0: x 1.y = x3,x0 = - 2.y = ,x0 = 3.y = x ,x0 = 4.y = x4,x0 = - Bài 4.Cho hàm số y=x2-2x+3 có đồ thị (P) 1.Tìm đạo hàm hàm số điểm x0 2.Lập phương trình tiếp tuyến với (P) điểm có hoành độ 3.Lập phương trình tiếp tuyến với (P) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 2x + 10 Lập phương trình tiếp tuyến với (P) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 4y - 20 = Bài 5.Cho parapol (P):y = x2 Viết phương trình tiếp tuyến với (P) biết: a/ Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 2x +10 b/ Tiếp tuyến qua điểm A(0; -1) ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG A Tóm tắt lí thuyết: I Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - Đường thẳng d gọi vuông góc cới mặt phẳng (α) d vuông góc với đường thẳng nằm mặt phẳng (α) - Khi ta nói (α) vuông góc với d kí hiệu d ⊥ (α) hay (α) ⊥ d II Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nằm trong(α) d vuông góc với (α) III Tính chất: Có mặt phẳng qua mọt điểm cho trước vuông góc với đường thẳng cho trước Có đường thẳng qua điểm cho trước vuông góc với mặt phẳng cho trước IV Sự liên quan quan hệ vuông góc quan hệ song song a) Cho hai đường thẳng song song Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng vuông góc với đường thẳng b) Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với mặt phẳng song song với a) Cho hai mặt phẳng song song Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng b) Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với đường thẳng song song với a) Cho đường thẳng a mặt phẳng (α) song song với Đường thẳng vuông góc với (α) vuông góc với a b) Nếu đường thẳng mặt phẳng ( không chứa đường thẳng đó) vuông góc với đường thẳng khác chúng song song với V Phép chiếu vuông góc 1.Định nghĩa: Cho đường thẳng d vuông góc với (α) Phép chiếu song song theo phương d lên mặt phẳng (α) gọi phép chiếu vuông góc lên (α) Định lí đường vuông góc: Cho đường thẳng a nằm (α) b đường thẳng không thuộc (α) đồng thời không vuông góc với (α) Gọi b’ hình chiếu vuông góc b lên (α) Khi a vuông góc với b a vuông góc với b’ B Bài tập: * Vấn đề 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Bài tập 1: Cho tứ diện ABCD có hai mặt đáy ABC BCD hai tam giác chung đáy BC Gọi I trung điểm cạnh BC a) Chúng minh BC vuông góc với (ADI) b) Gọi AH đường cao cuả tam giác ADI,chứng ming AH vuông góc với (BCD) Giải: A A B I D H C Chúng minh BC ┴ (DIA) Tam giác ABC cân A nên AI ┴ BC Tam giác CBD cân D nên DI ┴ BC Ta có AI ┴ BC DI ┴ BC → BC ┴ (DIA) Chứng minh AH ⊥ (BCD) a) Ta có BC ⊥ (DIA) AH ⊂ ( ADI ) ⇒ AH ⊥ BC mặt khác AH ⊥ BC AH ⊥ DI → AH ⊥ BCD) Bài tập 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi có SA = SC, SB = SD Gọi O giao điểm AC BD Chứng minh rằng: a) Chứng minh SO ⊥ (ABCD) b) Chứng minh: AC ⊥ (SBD); DB ⊥ ( SAC) Giải: S D C O A B Chứng minh: SO ⊥ (ABCD) Ta có SA = SC nên tam giác SAC cân đỉnh S, SO trung tuyến đường cao tam giác SAC SO ⊥ AC (1) Ta có SB = SD nên tam giác SDB cân đỉnh S , SO trung tuyến đường cao tam giác SDB SO ⊥ (SBD) (2) Từ (1) (2) → SO ⊥ (ABCD) b) Chứng minh: AC ⊥ (SBD) Ta có ABCD hình thoi nên AC ⊥ BD (3) Ta có: AC ⊥ SO (4) Từ (3) (4) suy ra: AC ⊥ (SBD) Chứng minh tương tự, ta có: DB ⊥ ( SAC) * Vấn đề 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD Gọi I trung điểm AB Chứng minh: AB ⊥ CD BC ⊥ AD A Giải: I D B C * Chứng minh: AB ⊥ CD Vì I trung điểm AB nên CI đường cao tam giác cân BCA → CI ⊥ AB (1) Tương tự DI đường cao tam giác ADB → DI ⊥ AB (2) Từ (1) (2) suy ra: AB ⊥ (CDI) * Chứng minh BC ⊥ AD: Lập luận tương tự ta có điều phải chứng minh HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC A Tóm tắt lí thuyết: I Góc hai mặt phẳng: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng song song trùng ta nói góc hai mặt phẳng O0 • Xác định góc hai mặt phẳng cắt Cho hai mặt phẳng (α) (β) cắt theo giao tuyến c Từ điểm I c ta dựng đường thẳng a (α)vuông góc với c dựng đường thẳng b (β) vuông góc với c Khi góc giứa (β) (α)là góc hai đường thẳng a b • Diện tích hìn chiếu đa giác S’ = S.cosδ, với S diện tích đa giác nằm (α), S’ diện tich hình chiếu vuông góc đa giác (β) , δ góc (α) (β) II Hai mặt phẳng vuông góc: - Định nghĩa: Hai mặt phẳng (α) (β) gọi vuông góc với góc hai mặt phẳng góc vuông Khi ta kí hiệu (α) ⊥ (β) Tính chất: a) Điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng b) Nếu hai mặt phẳng vuông góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vuông góc với giao tuyến vuông góc với mặt phẳng c) Cho hai mặt phẳng (α) (β) vuông góc với nhau, từ điểm thuộc mặt phẳng (α) ta dụng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (β) đường thẳng nẳm mặt phẳng (α) d) Nếu hai mặt phẳng cắt vuông góc với mặt phẳng giao tuyến chúng vuông góc với mặt phắng III Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật hình lập phương Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy Hình hộp chữ nhật hình lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật Hình lập phương hình lăng trụ đứng có đáy hình vuông mặt bên hình vuông IV Hình chóp hình chóp cụt đều: Hình chóp hình chóp có đáy đa giác có chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy Phần hình chóp nằm giứa đáy thiết diện song song với đáy cắt tất cá cạnh bên hình chóp gọi hình chóp cụt Hai đáy hình chóp cụt hai đa giác đồng dạng với B Bài tập: * Vấn đề 1: Tìm góc hai mặt phẳng Bài tập 1: Trong mặt phẳng (α) cho tam giác ABC vuông B Kẻ đoạn thẳng AD vuông góc với (α) A Chứng minh a) Góc ·ABD góc hai mặt phẳng (ABC) (DBC) b) (ABD) vuông góc với (BCD) Bài tập 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a SA = SB = SC = a Chứng minh a) ( ABDC) vuông góc với (SBD) b) Tam giác SBD tam giác vuông Bài tập 3: Cho hình chóp tam giác S ABC có SH đường cao Chứng minh SA ⊥ AB SB ⊥ AC KHOẢNG CÁCH I Khoảng cách điểm đến đường thẳng Định nghĩa: Trong không gian cho điểm O đường thẳng a Qua O, dựng mặt phẳng vuông góc với a, mặt phẳng cắt a H Độ dài đoạn thẳng OH khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a Kí hiệu d(O,a) II Khoảng cách điểm đến đường thẳng: Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) độ dài đoạn thẳng nối O với hình chiếu H O mặt phẳng (α) III Khoẳng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách từ a đến mặt phẳng (α) song song với a khoảng cách từ điểm A thuộc đường thẳng a đến mặt phẳng (α) IV Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách điểm thuộc mặt phẳng đến mặt phẳng V Đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo Định nghĩa: Đường thẳng Δ cắt hai đường thẳng a, b chéo vuông góc với đường thẳng gọi đường vuông góc chung a b Nếu đường vuông góc chung Δ cắt hai đường thẳng chéo M, N độ dài đoạn thẳng MN gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Cách tìm đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo a, b • Qua a, ta dựng mp (P) song song với b • Dựng hình chiếu b’ b mặt phẳng (P) • Qua giao điểm M a b’ ta dựng đường thẳng vuông góc với mp (P), đương thẳng cắt b N • Đường thẳng MN đường thẳng vuông góc chung hai đường thẳng chéo a, b • Đoạn thẳng MN gọi đoạn vuông góc chung a, b VI Khoẳng cách hai đương thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo nhai a, b Qua a ta dựng mp (α) song song với b Khoảng cách a, b khoẳng cách đường thẳng b mặt phẳng (α) B Bài tập: * Vấn đề 1: Tính khoẳng cách từ điểm đến mặt phẳng Bài tâp 1: Tam giác ABC vuông A, có cạnh AB = a nằm mặt phẳng (α), cạnh AC = a tạo với (α) góc 600 a) Tính khoảng cách CH từ C đến (α) b) Chứng minh cạnh BC tạo với (α) góc 450 Giải: C 600 C a A H · a) Gọi H hình chiếu vuông góc C (α) Theo giả thiết ta có CAH = 600 , áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông CAH ta có CH = AC.sin600 = b) a = a · Ta có CBH góc cạnh BC tạo với mặt phẳng (α) Vì BA ⊥ CA nên: BC = BA2 + AC = a + 2a = 3a ⇒ BC = a a CH · sin CBH = = = BC a · ⇒ CBH = 450 * Vấn đề 2: Tính khoảng cách hai đường thẳng Bài tâp 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, có cạnh SA = h vuông góc với (ABCD) Dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung a) SB CD Giải: b) SC BD S D H O B a) C Ta có BC ⊥ SA BC ⊥ AB Nên BC ⊥ ( SAB) ⇒ BC ⊥ SB Mặt khác BC ⊥ CD Vậy BC đoạn vuông góc chung SB đoạn CD Khoảng cách SB CD đoạn BC = a b) Ta có BD ⊥ SA BD ⊥ AC Nên BD ⊥ (SAC) O Trong mặt phẳng (SAC) từ O hạ OH ⊥ SC OH ⊥ BD BD ⊥ (SAC) Vậy OH đoạn vuông góc chung BD SC Ta có OH SA · = = sin ACS OC SC ⇒ OH = OC.SA a h = SC h + 2a Bài tập 3: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ có cạnh a Tính khoảng cách từ đỉnh C đến đường chéo AC’ Giải: D C A B D’ H C’ A’ B’ Ta có ABCD hình vuông cạnh a nên đường chéo AC hình vuông ABCD AC = AB + AD = a + a = 2a ⇒ AC = a Từ C kẻ đoạn CH vuông góc xuống AC’ H Khi khoảng cách từ C đến AC’ đoạn thẳng CH Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ACC’, ta có 1 CC '2 AC ( a.a 2) a = + ⇒ CH = = = CH CC '2 AC CC '2 + AC (a + a 2) [...]... (α) và b là đường thẳng không thuộc (α) đồng thời không vuông góc với (α) Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b lên (α) Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’ B Bài tập: * Vấn đề 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Bài tập 1: Cho tứ diện ABCD có hai mặt đáy ABC và BCD là hai tam giác chung đáy BC Gọi I là trung điểm cạnh BC a) Chúng minh BC vuông góc với (ADI) b) Gọi... hình chóp cụt đều: Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy Phần của hình chóp đều nằm giứa đáy và một thiết diện song song với đáy cắt tất cá các cạnh bên của hình chóp đều được gọi là hình chóp cụt đều Hai đáy của hình chóp cụt đều là hai đa giác đều đồng dạng với nhau B Bài tập: * Vấn đề 1: Tìm góc giữa hai mặt phẳng Bài tập 1: Trong... Đường thẳng nào vuông góc với (α) thì cũng vuông góc với a b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng ( không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau V Phép chiếu vuông góc 1.Định nghĩa: Cho đường thẳng d vuông góc với (α) Phép chiếu song song theo phương d lên mặt phẳng (α) được gọi là phép chiếu vuông góc lên (α) 2 Định lí 3 đường vuông góc: Cho đường... phẳng (α) cho tam giác ABC vuông ở B Kẻ đoạn thẳng AD vuông góc với (α) ở A Chứng minh rằng a) Góc ·ABD là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC) b) (ABD) vuông góc với (BCD) Bài tập 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a và SA = SB = SC = a Chứng minh rằng a) ( ABDC) vuông góc với (SBD) b) Tam giác SBD là tam giác vuông Bài tập 3: Cho hình chóp tam giác đều S ABC có SH là đường cao... quan hệ vuông góc và quan hệ song song 1 a) Cho hai đường thẳng song song Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau 2 a) Cho hai mặt phẳng song song Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với... cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia b) Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia c) Cho hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau, nếu từ một điểm thuộc mặt phẳng (α) ta dụng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (β) thì... Khi đó ta nói (α) vuông góc với d và kí hiệu d ⊥ (α) hay (α) ⊥ d II Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong(α) thì d vuông góc với (α) III Tính chất: 1 Có duy nhất một mặt phẳng đi qua mọt điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước 2 Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt... cùng vuông góc với một mặt phẳng thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phắng đó III Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật và hình lập phương Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với các mặt đáy Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật Hình lập phương là hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông và các mặt bên là các hình vuông IV Hình chóp đều và hình... với (P) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 4y - 20 = 0 Bài 5.Cho parapol (P):y = x2 Viết phương trình tiếp tuyến với (P) biết: a/ Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 2x +10 b/ Tiếp tuyến qua điểm A(0; -1) ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG A Tóm tắt lí thuyết: I Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - Đường thẳng d được gọi là vuông góc cới mặt phẳng (α) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng... (β) vuông góc với c Khi đó góc giứa (β) và (α)là góc giữa hai đường thẳng a và b • Diện tích hìn chiếu của đa giác S’ = S.cosδ, với S là diện tích đa giác nằm trong (α), S’ là diện tich hình chiếu vuông góc của đa giác đó trên (β) , δ là góc giữa (α) và (β) II Hai mặt phẳng vuông góc: 1 - Định nghĩa: Hai mặt phẳng (α) và (β) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là một góc vuông