ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HK MÔN TOÁN LỚP 11 (CB) NĂM HỌC 2013-2014 TRƯƠNG THPT NGUYỄN HUỆ PHẦN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Chương I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Vấn đề 1: Hàm số lượng giác A Kiến thức cần nắm  Tập xác định hàm số lượng giác B Bài tập mẫu Bài 1: Tìm tập xác định hàm số ( ) a y = cos ( x + 1) b y = sin c y = tan x d y = cot x + 15 ( x +1 ) Hướng dẫn b Hàm số xác định x + ≥ ⇔ x ≥ −1 Vậy TXĐ: D = −  1; +∞ ) ( ) d Hàm số y = cot x + 15 = ( ( ) sin ( x + 15 ) cos x + 150 ) xác định sin x + 150 ≠ ⇔ x + 150 ≠ k.180 ⇔ x ≠ −150 + k.180 , k ∈ Z { 0 Vậy TXĐ: D = R \ −15 + k 180 , k ∈ Z Bài 2: Tìm tập xác định hàm số } y= cos ( x + 1)  π − sin  x + ÷ 3  + sin x y= π  − cos  − x ÷ 4  a b Hướng dẫn  a Hàm số xác định − sin  x +  ⇔ 2x +  π π ÷ ≠ ⇔ sin  x + ÷ ≠ 3 3  π π π ≠ + k.2π ⇔ x ≠ + k π , k ∈ Z 12 π  + kπ , k ∈ Z  12  Vậy TXĐ: D = R \  π  π  π − x ÷ ≠ ⇔ cos  − x ÷ ≠ = cos 4  4  b Hàm số xác định − cos  π π  x ≠ k 2π  − x ≠ + k 2π  ⇔ ⇔ ,k ∈ Z π π π x ≠ − k π  − x ≠ − + k 2π   4 π  Vậy TXĐ: D = R \  − k 2π , k 2π , k ∈ Z  2  C Bài tập luyện tập Tập xác định hàm số hàm số: a y = c sin x cos x + + sin x y= − cos x b d y= y= sin x − sin(2 x + 10 ) − 2013 x  π 2sin  x − ÷− 3  Vấn đề 2: Phương trình lượng giác A Kiến thức cần nắm 1) Phương trình lượng giác bản: Với m ≤  x = arcsin m + k2π sin x = m ⇔  ( k∈¢  x = π − arcsin m + k2π  x = α + k2π sin x = sin α ⇔  ( k∈¢ )  x = π − α + k2π )  x = arccos m + k2 π cos x = m ⇔  ( k ∈¢  x = − arccos m + k2 π  x = α + k2π cos x = cos α ⇔  ( k∈¢ )  x = −α + k2π ) Với ∀m tan x = m ⇔ x = arctan m + kπ ( k ∈ ¢ tan x = tan α ⇔ x = α + kπ ( k ∈ ¢ ) sin x = ⇔ x = kπ cos x = ⇔ x = Đặc biệt : π + kπ tan x = ⇔ x = kπ cotx = ⇔ x = π + kπ ) cot x = m ⇔ x = arc cot m + kπ ( k ∈ ¢ cot x = cot α ⇔ x = α + kπ ( k ∈ ¢ sin x = ⇔ x = π + k2π ) ) sin x = −1 ⇔ x = − π + k2π cos x = ⇔ x = k2 π cos x = −1 ⇔ x = π + k2 π π + kπ π cotx = ⇔ x = + kπ π + kπ π cotx = −1 ⇔ x = − + kπ tan x = ⇔ x = tan x = −1 ⇔ x = − *) Chú ý: Trong công thức nghiệm phương trình ta dùng đơn vị đo độ radian Ví dụ: Giải phương trình lượng giác sau π a sin( x + ) = sin x b sin3 x = −1  π c cos  x − ÷ = 3  d cot x + 15 = e cos 100 − x = f tan x = cot x ( ) ( ) Hướng dẫn   π π x + = x + k π x = − k 2π   π 3 ⇔ ;k ∈ Z a sin( x + ) = sin x ⇔   x + π = π − x + k 2π  x = 2π + k 2π    −π  −π 2π 3x = + k 2π x= +k    −π  −1 18 ;k ∈ Z ⇔ b sin3 x = = sin  ÷⇔   −π      x = 7π + k 2π x = π −  ÷+ k 2π   18     π c cos  x − ÷ = Vì > nên phương trình vô nghiệm 3  ( ) 0 0 0 d cot x + 15 = ⇔ x + 15 = 45 + k.180 ⇔ x = 30 + k.180 , k ∈ Z = cos30 ⇔ e cos 10 − x = ( ) 100 − x = 30 + k.360 ⇔  0 10 − x = − 30 + k 360   x = −20 − k.360 ,k ∈ Z  0 x = 40 − k 360  cos2 x ≠ f Điều kiện:  sin3 x ≠ π  π π π tan x = cot x = tan  − x ÷ ⇔ x = − x + kπ ⇔ x = + k , k ∈ Z 10 2  2) Một số phương trình lượng giác thường gặp a) Phương trình bậc hàm số lượng giác Phương pháp: Chuyển phương trình lượng giác Ví dụ: Giải phương trình lượng giác sau a 2sin3 x + =  π c tan  x − ÷− = 3  b cos2 x − = Hướng dẫn  −π  3x = + k 2π  x =  −π  −1 ⇔ a 2sin3 x + = ⇔ sin3 x = = sin  ÷ ⇔    − π    x = 3 x = π −  ÷ + k 2π     −π 2π +k 18 ;k ∈ Z 7π 2π +k 18 b cos2 x − = ⇔ cos2 x = = cos π ⇔ x = ± π + kπ , k ∈ Z ( ( ) 12 ) c Điều kiện cos x − 10 ≠ ( ) tan x − 100 − = ⇔ tan x − 10 = = tan 60 ⇔ x − 100 = 60 + k 180 ⇔ x = 350 + k.90 , k ∈ Z b) Phương trình bậc hai hàm số lượng giác Phương pháp: Đặt ẩn phụ t Ví dụ: Giải phương trình lượng giác sau a sin x + 3sin x − = b cos2 x − 3cos2 x + = c tan x − tan x − = d cot x + 2cot x − = Hướng dẫn a Đặt t = sinx, −1 ≤ t ≤  t = −1 Phương trình cho trở thành t − 3t − = ⇔   t = 4(loai) Với t = - sin x = −1 ⇔ x = −π + k 2π , k ∈ Z Vậy phương trình có nghiệm x = b Đặt t = cos2x, −1 ≤ t ≤ −π + k 2π , k ∈ Z t = Phương trình cho trở thành 2t − 3t + = ⇔  t=  2 Với t = cos2 x = ⇔ x = k 2π ⇔ x = kπ , k ∈ Z Với t = 1/2 cos2 x = π π π = cos ⇔ x = ± + k 2π ⇔ x = ± + kπ , k ∈ Z 3 Vậy phương trình có nghiệm x = kπ , x = ± π + kπ , k ∈ Z c Đặt t = tanx t = −1 Phương trình cho trở thành t − 2t − = ⇔  t = −π + kπ , k ∈ Z Với t = tan x = ⇔ x = arctan3 + kπ , k ∈ Z Với t = - tan x = −1 ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x = −π + kπ , x = arctan3 + kπ , k ∈ Z c) Phương trình bậc theo sinx cosx : Cách giải : Chia vế pt cho pt ⇔ ù a2 + b a a2 + b asin x + b cos x = c (a ≠ 0,b ≠ 0) sin x + b a2 + b cos x = c a2 + b2 Ta có : a a +b 2 = cos ϕ, b a +b 2 = sin ϕ, pt ⇔ sin x cos ϕ + cos x sin ϕ = c a +b 2 ⇔ sin ( x + ϕ ) = Ví dụ: Giải phương trình lượng giác sau a sin x + 3cos x = b sin x + cos x = −1 c a + b2 Hướng dẫn a sin x + 3cos x = ⇔ 10 sin x + 10 cos x = 10 ⇔ sin ( x + α ) =   π π  x + α = + k 2π  x = −α + + k 2π ⇔ ⇔ ,k ∈ Z π π  x + α = π − + k 2π  x = −α + + k 2π   6 Với sin α = 10 ,cos α =  π ,α ∈  0; ÷ 10  2 b sin x + cos x = −1 ⇔ sin x + π π cos x = − ⇔ cos sin x + sin cos x = − 2 3   π −π −π x + = + k π x= + k 2π     −π  π ⇔ sin  x + ÷ = sin  ⇔ ,k ∈ Z ÷⇔  π π − π     x + = π − x = + k 2π + k 2π   6 B) BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài : Giải phương trình : a) sin x = d) cos( x + g) π )− =0 3 tan x − = Bài 2: Giải phương trình : π )+ =0 b) π cos( x − ) = − c) sin(2 x − e) sin x + cos x = f) 2cosx- = 1)sin x = sin π π π 2)sin( x + ) = sin 3 π π 4)cos( x − ) = cos π 7)cos( − x + ) = 10)sin x − cos x = 13)sin x x = cos π π 6)sin( −2 x + ) = 3)cos x = cos 5)cos x − cos x = 8)sin x = − sin x 9)cos9 x = − cos x π π 11)sin( x − ) = sin(2 x + ) 14)sin( x + 200 ) = π π 12)sin( x − ) = cos(2 x + ) 15)cos( x − 700 ) = − Bài 3: Giải phương trình : 1)3cos2x-5cosx+2=0 2)2sin2x-sinx-1=0 3)3tan2x-2 tanx+3=0 4)2cos2x-3cosx+1=0 5) cot2x-(1+ )cotx+1=0 6)2 sin2x-(2+ )sinx+1=0 7) cos x x + 3cos + = 2 8) π π   sin  x + ÷− 3sin  x + ÷+ = 4 4   Bài 4: Giải phương trình : 3sinx + 4cosx = 5cos2x – 12sin2x = 13 2sinx – 2cosx = π π   sin  x + ÷− 3cos  x + ÷+ = 3 3   Chương II: TỔ HỢP – XÁC SUẤT Vấn đề 1: TỔ HỢP I Kiến thức cần nhớ: Nắm vững quy tắc đếm; định nghĩa hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 2 Nắm công thức nhị thức Niu-Tơn tính chất biểu thức khai triển II Bài tập mẫu: Bài 1: Trên giá sách có sách Toán khác sách Văn khác Hỏi có cách chọn sách sách đó? Bài giải Có cách chọn sách Toán cách chọn sách Văn Khi chọn sách Toán không chọn sách Văn ngược lại Vậy số cách chọn sách quyến sách là: + = 14 (cách) Bài 2: Có số tự nhiên gồm chữ số tạo thành từ chữ số 1,2,3,4,5 nếu: a) Các chữ số không thiết khác b) Các chữ số khác c) Số tự nhiên số chẵn Bài giải a)Gọi số cần tìm có dạng: a = a1a2 a3 Số a1 có cách chọn Số a2 có cách chọn Số a3 có cách chọn Vậy số số cần tìm : 5.5.5= 125 (số) b)Gọi số cần tìm có dạng: b = b1b2b3 Số b1 có cách chọn Số b2 có cách chọn Số b3 có cách chọn Vậy số số cần tìm : 5.4.3= 60 (số) c) Gọi số cần tìm có dạng: c = c1c2c3 Số c3 có cách chọn Số c1 có cách chọn Số c2 có cách chọn Vậy số số cần tìm : 2.5.5= 50 số Bài 3: Có cách xếp 10 học sinh vào hàng Bài giải: Mỗi cách xếp thỏa đề cho ta hoán vị 10 phần tử (10 học sinh) Do đó, số cách xếp 10 học sinh vào hàng là: 10!= 3628800 Bài 4: Một tổ có 12 người gồm nam nữ Có cách chọn ban đại diện gồm: a) người không phân biệt nam nữ b) người, nhóm trưởng, thủ quỹ thư kí c) người, có nữ Bài giải a) Mỗi cách chọn người không phân biệt nam nữ tổ hợp chập 12 phần tử Vậy số cách chọn ban đại diện là: C123 =220 (cách) b) Mỗi cách chọn người, nhóm trưởng, thủ quỹ thư kí chỉnh hợp chập 12 phần tử Vậy số cách chọn ban đại diện là: c) Số cách chọn nữ nữ là: C52 = Số cách chọn nam nam là: A123 = 1320 (cách) 10 (cách) C71 = (cách) Vậy số cách chọn ban đại diện là: C52 C71 = 10.7 = 70 (cách) Bài 5: Giải phương trình sau : 2Cx2+1 + Ax2 = 30 Bài giải Đk: ≤ x∈ N Ta có: 2Cx+1 + Ax 2 = 30 ⇔ ( x + 1)! x! +3 = 30 ⇔ x( x + 1) + 3x( x − 1) = 30 2!( x − 1)! ( x − 2)!  x=−  ⇔ x − x − 15 = ⇔ (loại)  x = Vậy pt có nghiệm x = III Bài tập áp dụng: Bài 1: Giải phương trình a, n! = (n − 2)! 20n b, P2 x − P3 x = c, n! n! − =3 (n − 2)! ( n − 1)! Bài 2: Giải phương trình sau: a) Ax + 50 = A2 x c) Cx + Cx + Cx = b) An + An = 2(n + 15) 2 3 7x 2 d) Cx +8 = Ax + x +3 Bài 3: Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5.Có thể lập số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi khác : a) Là số chẵn b) Là số chia hết cho c) Là số không chia hết cho 10 d) Là số lớn 3200 Bài 4: Từ chữ số 1,2,3,4,5 lập số tự nhiên thỏa mãn: a) Có ba chữ số cho chữ số đôi khác b) Có ba chữ số cho chữ số đôi khác nhỏ số 235 c) Có ba chữ số khác số chia hết cho Bài Một lớp học có 43 học sinh cần cử ban cán lớp gồm lớp trưởng, lớp phó ủy viên Hỏi có cách thành lập ban cán ? Bài Một học sinh gồm 10 nam nữ, cần chọn tổ gồm người Có cách chọn để nhiều nữ? Bài Một lớp có 46 học sinh gồm 30 nữ 16 nam GVCN muốn chọn học sinh để tham gia diễn văn nghệ trường Hỏi có cách chọn nếu: a) Số học sinh chọn tùy ý b) Phải có nam nữ c) Phải có nữ d) Mỗi học sinh tham gia vào vai diễn riêng biệt 10 Bài Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển biểu thức Bài Xác định hệ số x3 khai triển biểu thức (2x-3)6  2  3x − ÷ x   Bài 10: Tìm hệ số x6 khai triển biểu thức    − 2x +  x   Bài 11: Tìm số hạng thứ khai triển biểu thức 12  x 4  −  2 x Bài 12: Tìm số hạng không chứa x khai triển biểu thức (x + 12 ) x  Bài 13 Tìm số hạng không phụ thuộc x khai triển nhị thức  x +  n 1  , biết x Cnn + C nn−1 + Cnn− = 79 Vấn đề : XÁC SUẤT I Kiến thức cần nhớ Hiểu phép thử ngẫu nhiên? Mô tả không gian mẫu xác định biến cố liên quan đến phép thử Nắm định nghĩa tính chất xác suất * Xác suất biến cố Muốn tính xác suất biến cố A cần thực ba bước : + Tính số phần tử không gian mẫu Ω + Tính số phần tử biến cố A + Tính xác suất P ( A) = n( A) n (Ω ) II Bài tập mẫu Bài 1:Gieo súc sắc cân đối đồng chất a) Mô tả không gian mẫu b) Tính xác suất biến cố sau A: “Mặt chẳn xuất hiện” B: “ Xuất mặt có số chấm số nguyên tố” C: “Xuất mặt có số chấm không bé 2” Bài giải: a) Ω = { 1, 2,3, 4,5, 6} b) * A = { 2, 4, 6} ⇒ n(Ω) = ⇒ n( A) = Vậy xác suất biến cố A là: * B = { 2,3,5} n( A) = = n (Ω ) P( B) = n( B ) = = n (Ω ) ⇒ n( B ) = Vậy xác suất biến cố B là: * P ( A) = C = { 2,3, 4,5, 6} ⇒ n(C ) = Vậy xác suất biến cố C là: P (C ) = n(C ) = n (Ω ) Bài 2: Một hộp chứa 10 cầu đánh số từ đến 10, đồng thời cầu từ đến sơn màu đỏ, cầu từ đến 10 sơn màu xanh Lấy ngẫu nhiên a) Mô tả không gian mẫu b) Tính xác suất biến cố A: “Quả cầu lấy màu đỏ” B: “Quả cầu lấy màu xanh” C: “Quả cầu lấy ghi số chẵn” c) Hãy xét xem hai biến cố A va C có độc lâp hay không? Bài giải a) Ω = { 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10} b) * A = { 1, 2,3, 4,5, 6} ⇒ n(Ω) = 10 ⇒ n( A) = Vậy xác suất biến cố A là: * B = { 7,8,9,10} n( A) = = n(Ω) 10 P ( B) = n( B ) = = n(Ω) 10 ⇒ n( B ) = Vậy xác suất biến cố B là: (Hoặc, ta có P ( A) = B=A * C = { 2, 4, 6,8,10} ⇒ P ( B ) = − p ( A) = − = ) 5 ⇒ n(C ) = Vậy xác suất biến cố C là: A.C = { 2, 4, 6} c) Ta có n(C ) = = n(Ω) 10 n( A.C ) = ⇒ P ( A.C ) = n( A.C ) = n(Ω) 10 Mặt khác, 3 P ( A).P (C ) = = 10 Suy P (C ) = P(A.C)=P(A).P(C) Vậy A C độc lập III Bài tập áp dụng Bài 1: Gieo hai súc sắc cân đối, đồng chất quan sát số chấm xuất mặt hai súc sắc Tìm xác suất để : a) Tổng số chấm xuất mặt hai súc sắc b) Số chấm xuất mặt hai súc sắc c) Số chấm hai mặt số lẻ d) Ít mặt xuất số chẳn Bài Một hộp đựng thẻ đánh số từ đến a) Rút ngẫu nhiên thẻ thu số có chữ số Tìm xác suất để : • Thu số chẵn • Thu số chia hết cho b) Rút ngẫu nhiêu thẻ Tìm xác suất để: • Tổng số ghi hai thẻ số lẻ • Tích số ghi hai thẻ số chẵn • Hai thẻ ghi số lẻ • Có thẻ ghi số chẳn Bài Một tổ có học sinh gồm nam nữ a/ Có cách xếp học sinh vào dãy bàn có ghế cho học sinh nữ ngồi gần b/ Chọn ngẫu nhiên học sinh Tính xác suất để hai học sinh chọn có nam nữ Bài Trên kệ sách có sách Anh sách Toán Lấy ngẫu nhiên Tính xác suất để lấy có: a/ Ít sách Toán b/ Ít sách Anh Bài 5: Một tổ học sinh có nam nữ Chọn ngẫu nhiên tổ người Tính xác suất: a) Trong người chọn có nữ b) Trong người chọn có không nam Bài 6: Một hộp đựng bi xanh, bi đỏ Lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất lấy bi màu Bài 7: Một hộp đựng 10 bi xanh, bi đỏ Lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất lấy bi màu xanh, bi màu đỏ Bài 8: Một lớp học có 40 học sinh có học sinh giỏi, 14 học sinh 18 học sinh trung bình Người ta chọn ngẫu nhiên học sinh Tính xác suất để: a) Cả học sinh giỏi b) Có học sinh giỏi c) Không có học sinh trung bình Bài 9: Trên giá sách có sách Toán khác nhau, sách lí khác sách hóa khác Lấy ngẫu nhiên sách a) Tính số phần tử không gian mẫu b) Tính xác suất biến cố A: “Ba sách thuộc môn khác nhau” B: “ Cả sách sách Toán” C: “Ít lấy sách Toán” Bài 10: Túi số có bi đỏ, bi xanh Túi số có bi đỏ, bi xanh Lấy bi từ túi cách ngẫu nhiên a) Tính số phần tử không gian mẫu b) Tính xác suất biến cố A: “Hai bi lấy màu’ B: “Hai bi lấy khác màu” Bài 11: Một tổ học sinh gồm 10 bạn, có bạn Lan Điệp, xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc Tính xác suất cho: a Hai bạn Lan Điệp đứng liền nhau; b Hai bạn Lan Điệp không đứng liền Chương III: CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN A Kiến thức cần nhớ: * Phương pháp chứng minh qui nạp B Bài tập mẫu: CMR với ∀n ∈ N * ,tacó đẳng thức: 12 + 2 + 32 + + n Giải: Khi n=1: VT = VP = 1.2.3 = Vậy đẳng thức với n=1 Giả sử đẳng thức với n = k (k ≥ 1), tức 12 + 2 + + + k = k ( k + 1)( 2k + 1) Ta phải chứng minh 12 + 2 + + + k + (k + 1) = ( k + 1) (k + 2)( 2k + 3) Ta có: 12 + 2 + + + k + (k + 1) = ( k + 1) (k + 2)( 2k + 3) + (k + 1) ( k + 1)[ k ( 2k + 1) + 6( k + 1) ] = ( k + 1) 2k + 7k + = ( k + 1)( k + 2)( 2k + 3) = 6 ( C Bài tập luyện tập: ) = n( n + 1)( 2n + 1) Bài 1: 1) CMR với ∀n ∈ N * , ta có đẳng thức: + + + + ( 4n − 3) = n( 2n − 1) a) (3n + 15n)M9 b)(13n − 1)M6 2)Chứng minh rằng: ∀n ∈ N * Bài 2: CMR với ∀n ∈ N * , ta có đẳng thức Bài 3: CMR với ∀n ∈ N * , n ≥ Bài 4: CMR với ∀n ∈ N * , + + + + ( 3n − 1) = 3n > 8n ta có 1.4 + 2.7 + + n ( 3n + 1) = n(n + 1) n ( 3n + 1) PHẦN HÌNH HỌC Chương I: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG I PHÉP TỊNH TIẾN Định nghĩa: Phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ cho tiến theo v Kí hiệu: MM ' = v gọi phép tịnh Tv ( M ) = M ' Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến: Trong mặt phẳng Oxy cho v = ( a; b ) điểm M(x;y) Khi đó: Tv ( M ) = M ' ( x' ; y ')  x' = x + a   y' = y + b Ví dụ mẫu: Ví dụ Trong mp Oxy,cho đường thẳng d: 2x-y+1=0 đường tròn (C): x + y2 - 4x + 2y – = Tìm phương trình đường thẳng d’, phương trình đường tròn (C’) ảnh đường thẳng d đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo v = ( − 1;2) Bài giải: Tìm phương trình đường thẳng d’ Cách ptđt d’ có dạng: 2x-y+c=0 Ta có M(0;1) ∈ d =>  x' = −   y' = + Tv ( M ) = M ' (x’;y’) đó: =>M’(-1;3) ∈ d ’=>2(-1)-3+c=0=> c=5 Vậy ptđt d’ là: 2x-y+5=0 Cách Từ biểu thức tọa độ phép tịnh tiến v = ( − 1;2 ) ta có:  x' = x −  x = x'+1 ⇒   y ' = y +  y = y '−2 thay vào ptđt d ta 2(x’+1)-(y’-2)+1=0 2x’-y’+5=0 Vậy ptđt d’ là: 2xy+5=0 *Tìm phương trình đường tròn (C’) Cách 1: Từ biểu thức tọa độ phép tịnh tiến v = ( − 1;2 ) ta có:  x' = x −  x = x'+1 ⇒   y ' = y +  y = y '−2 ta thay vào pt đtròn (C) ta được: (x’+1) 2+(y’-2)2-4(x’+1)+2(y’-2)1=0 x’2+y’2-2x’-2y’-4=0 (x’-1)2+(y’-1)2-2=0 Vậy pt đtròn (C’) là: (x-1)2+(y-1)2=6 Cách 2: (C) có tâm I(2;-1) bán kính R= Qua phép tịnh tiến là: I’(1;1), bán kính R’=R= Vậy (C) có pt là: (x-1)2+(y-1)2=6 v = ( − 1;2 ) (C’) có tâm II PHÉP VỊ TỰ Định nghĩa: phép vị tự V(O,k)(M)=M’ OM ' = k OM Bài tập: Bài 1: Trong mp Oxy cho M(2;-3), đường thẳng d có phương trình: 2x+3y-1=0 đường tròn (C) có phương trình: x2+y2-4x+6y-2=0 Tìm ảnh điểm M, đt d đtròn (C) qua: a) Phép tịnh tiến theo vectơ v = ( − 2;1) b) phép vị tự tâm O tỉ số k=3 Chương II: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG I Kiến thức cần nhớ Học Sinh cần nắm vững: + Phương pháp tìm giao tuyến hai mặt phẳng phân biệt + Phương pháp tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng + Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui + Chứng minh hai đường thẳng song song, đường thẳng song với mặt phẳng II Ví dụ mẫu: Ví dụ Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng không nằm mặt phẳng (P) Gọi M, N, P giao điểm đường thẳng AB, BC, CA với (P) CMR: ba điểm M, N, P thẳng hàng HD: Theo đề ta có M, N, P nằm mp (ABC) M, N, P nằm mp (P) Mà hai mp (ABC) mp(P) hai mặt phẳng phân biệt nên ba điểm M, N, P nằm giao tuyến hai mp Do ba điểm M, N, P thẳng hàng A C B P M N P Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi E trung điểm SO a) Xác định giao tuyến cặp mp: (SAC) (SBD); (SAB) (SCD) b) Xác định giao điểm đường thẳng SD mp(ABE) HD: a) (SAC) ∩ (SBD)=SO (SAB) ∩ (SCD) đường thẳng qua S song với AB b)Trong mp(SBD) , gọi P =SD ∩ BE Ta có P∈ SD, P∈ BE ⊂ ( ABE ) ⇒ P ∈ ( ABE ) Vậy P giao điểm đường thẳng SD mp (ABE) S P E A B O D C III Bài tập : Bài Cho hình chóp S.ABCD (AB không song song với CD) Gọi M điểm nằm cạnh SC a) Tìm giao tuyến cặp mp (SAB) (SCD); (SAC) (SBD) b) Tìm giao điểm N đường thẳng SD mp(MAB) c) Gọi O giao điểm AC BD CMR ba đthẳng SO, AM, BN đồng quy Bài Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AB CD Trên Cạnh AD lấy điểm P cho AP=2PD a) Tìm giao điểm đường thẳng BD mp(MNP) b) Tìm giao tuyến hai mp(MNP) (BCD) c) Tìm giao điểm đường thẳng BC mp(MNP) Bài Cho tứ diện SABC có D, E trung điểm AC, BC G trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng (P) qua AC cắt SE, SB M, N Mặt phẳng (Q) qua BC cắt SD SA H K a) Gọi I giao điểm AM DN, J giao điểm BH EK CMR bốn điểm S, I, J, G thẳng hàng b) Giả sử AN DM cắt F, BK cắt EH L.CMR ba điểm S, F, L thẳng hàng Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD, đáy lớn AD AD=2BC Gọi O giao điểm AC BD, G trọng tâm tam giác SCD a) Tìm giao tuyến cặp mp sau: (SAB) (SCD); (SAC) (SBD); (SAD) (SBC) b) CMR: OG//(SBC) c) Gọi M trung điểm SD CMR: CM//(SAB) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi G trọng tâm tam giác SAB I trung điểm AB Gọi M điểm nằm đoạn AD cho AD=3AM a) Tìm giao tuyến cặp mp sau: (SAB) (SCD); (SAC) (SBD); (SAD) (SBC) b) Đường thẳng qua M song song với AB cắt CI N CMR: NG//(SCD) c) CMR: MG//(SCD) Bài Cho hình chóp S.ABCD có AB không song song với CD, Gọi M trung điểm SB a) Tìm giao tuyến cặp mp: (SAB) (SCD); (SAC) (SBD) b) Tìm giao điểm đường thẳng SA mp(MCD) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi P, Q trung điểm SA, SB a) CMR: PQ//(SCD) b) Gọi R điểm SC Tìm giao điểm SD mp(PQR) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang( đáy lớn AB) Gọi H, K trung điểm SA, SB; M điểm tùy ý BC a) CMR: HK//CD b) Tìm giao tuyến cặp mp: (SAB) (SCD); (SAD) (SBC) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, O giao điểm đường chéo AC BD Gọi M, N trung điểm SA, SC a/ Tìm giao điểm SO với mp (MNB) b/ Tìm giao điểm E, F AD, CD với mp(MNB) c/ Chứng minh E, B, F thẳng hàng Hết [...]... biến cố A: “Ba quyển sách thuộc 3 môn khác nhau” B: “ Cả 3 quyển sách đều là sách Toán C: “Ít nhất lấy được một quyển sách Toán Bài 10: Túi số 1 có 3 bi đỏ, 2 bi xanh Túi số 2 có 4 bi đỏ, 5 bi xanh Lấy một bi từ mỗi túi một cách ngẫu nhiên a) Tính số phần tử của không gian mẫu b) Tính xác suất của các biến cố A: “Hai bi lấy ra cùng màu’ B: “Hai bi lấy ra khác màu” Bài 11: Một tổ học sinh gồm 10 bạn,... 2  x   Bài 11: Tìm số hạng thứ 3 trong khai triển của biểu thức 12  x 4  −  2 x 5 Bài 12: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển biểu thức (x 2 + 1 12 ) x  Bài 13 Tìm số hạng không phụ thuộc x trong khai triển nhị thức  x +  n 1  , biết rằng x Cnn + C nn−1 + Cnn− 2 = 79 Vấn đề 2 : XÁC SUẤT I Kiến thức cần nhớ 1 Hiểu được thế nào là phép thử ngẫu nhiên? Mô tả được không gian mẫu... lớp học có 40 học sinh trong đó có 8 học sinh giỏi, 14 học sinh khá và 18 học sinh trung bình Người ta chọn ngẫu nhiên 3 học sinh Tính xác suất để: a) Cả 3 học sinh đều giỏi b) Có ít nhất một học sinh giỏi c) Không có học sinh trung bình Bài 9: Trên giá sách có 4 quyển sách Toán khác nhau, 3 quyển sách lí khác nhau và 2 quyển sách hóa khác nhau Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách a) Tính số phần tử của không... cho 5 c) Là số không chia hết cho 10 d) Là số lớn hơn 3200 Bài 4: Từ các chữ số 1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn: a) Có ba chữ số sao cho các chữ số đôi một khác nhau b) Có ba chữ số sao cho các chữ số đôi một khác nhau và nhỏ hơn số 235 c) Có ba chữ số khác nhau và là số chia hết cho 3 Bài 5 Một lớp học có 43 học sinh cần cử ra một ban cán sự lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 3 ủy... thực hiện ba bước : + Tính số phần tử của không gian mẫu Ω + Tính số phần tử của biến cố A + Tính xác suất P ( A) = n( A) n (Ω ) II Bài tập mẫu Bài 1:Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất a) Mô tả không gian mẫu b) Tính xác suất của các biến cố sau A: “Mặt chẳn xuất hiện” B: “ Xuất hiện mặt có số chấm là số nguyên tố” C: “Xuất hiện mặt có số chấm không bé hơn 2” Bài giải: a) Ω = { 1, 2,3, 4,5,... thẻ là số chẵn • Hai thẻ đều ghi số lẻ • Có ít nhất một thẻ ghi số chẳn Bài 3 Một tổ có 9 học sinh gồm 5 nam và 4 nữ a/ Có bao nhiêu cách xếp 9 học sinh đó vào một dãy bàn có 9 ghế sao cho các học sinh nữ luôn ngồi gần nhau b/ Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh Tính xác suất để trong hai học sinh được chọn có một nam và một nữ Bài 4 Trên một kệ sách có 8 quyển sách Anh và 5 quyển sách Toán Lấy ngẫu nhiên 5 quyển... qui + Chứng minh hai đường thẳng song song, đường thẳng song với mặt phẳng II Ví dụ mẫu: Ví dụ 1 Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng và không nằm trên mặt phẳng (P) Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm giữa các đường thẳng AB, BC, CA với (P) CMR: ba điểm M, N, P thẳng hàng HD: Theo đề ta có M, N, P nằm trên mp (ABC) và M, N, P cũng nằm trên mp (P) Mà hai mp (ABC) và mp(P) là hai mặt phẳng phân biệt... quyển sách Toán Lấy ngẫu nhiên 5 quyển Tính xác suất để trong 5 quyển lấy ra có: a/ Ít nhất 3 quyển sách Toán b/ Ít nhất 1 quyển sách Anh Bài 5: Một tổ học sinh có 6 nam và 5 nữ Chọn ngẫu nhiên trong tổ 4 người Tính xác suất: a) Trong 4 người được chọn chỉ có 1 nữ b) Trong 4 người được chọn có không quá 3 nam Bài 6: Một hộp đựng 8 bi xanh, 5 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên 4 bi Tính xác suất lấy được 4 bi cùng... có bạn Lan và Điệp, được xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc Tính xác suất sao cho: a Hai bạn Lan và Điệp đứng liền nhau; b Hai bạn Lan và Điệp không đứng liền nhau Chương III: CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN A Kiến thức cơ bản cần nhớ: * Phương pháp chứng minh qui nạp B Bài tập mẫu: CMR với ∀n ∈ N * ,tacó đẳng thức: 12 + 2 2 + 32 + + n 2 Giải: Khi n=1: VT = 1 và VP = 1.2.3 = 1 6 Vậy đẳng thức đúng với n=1 Giả... 3) 6 Ta có: 12 + 2 2 + 3 2 + + k 2 + (k + 1) 2 = ( k + 1) (k + 2)( 2k + 3) + (k + 1) 2 6 ( k + 1)[ k ( 2k + 1) + 6( k + 1) ] = ( k + 1) 2k 2 + 7k + 6 = ( k + 1)( k + 2)( 2k + 3) = 6 6 6 ( C Bài tập luyện tập: ) = n( n + 1)( 2n + 1) 6 Bài 1: 1) CMR với ∀n ∈ N * , 3 ta có đẳng thức: 1 + 5 + 9 + + ( 4n − 3) = n( 2n − 1) a) (3n + 15n)M9 b)(13n − 1)M6 2)Chứng minh rằng: ∀n ∈ N * Bài 2: CMR với ∀n ∈