ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CHƯƠNG MÔN: TOÁN PHẦN ĐẠI SỐ&GIẢI TÍCH LỚP 11 I TÓM TẮT LÝ THUYẾT CẤP SỐ CỘNG đ/n a) Định nghĩa: ( u n ) cấp số cộng ⇔ u = u n + d; ∀n ∈ N* với d số không đổi n +1 b) Công thức số hạng tổng quát: u n = u1 + ( n − 1) d; ∀n ≥ c) Tính chất số hạng CSC: u k −1 + u k +1 ;k ≥ 2 uk = (trừ số hạng đầu số hạng cuối) d) Tổng n số hạng đầu CSC: Cho (u n ) CSC Khi Sn = u + u + + u = n CẤP SỐ NHÂN ( ) [ ] n u + un n 2u + ( n − 1) d 1 = 2 đ/n a) Định nghĩa: ( u n ) cấp số nhân ⇔ u = u n q; ∀n ∈ N* với q số không đổi n +1 b) Công thức số hạng tổng quát: u n = u1q n - 1; ∀n ≥ c) Tính chất số hạng CSC: u k = u k −1.u k +1; k ≥ hay u k = u k − 1.u k + (trừ số hạng đầu số hạng cuối) d) Tổng n số hạng đầu CSC: Cho (u n ) CSN Khi Sn Sn 1− qn = u + u + + u n = u ;q ≠ 1 1− q = nu q = 1 II CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP Dạng Chứng minh dãy số cấp số cộng, cấp số nhân * Phương pháp chứng minh dãy số CSC: Để chứng minh dãy số (u n ) CSC ta xét hiệu H = u n +1 − u n - Nếu H số (u n ) CSC có công sai d = H - Nếu H phụ thuộc vào n (u n ) không CSC Ví dụ: Chứng minh dãy số ( u n ) với u n = 20n − CSC Tìm số hạng đầu công sai CSC Giải: Ta có u n + − u n = [ 20( n + 1) − 9] - ( 20n - 9) = 20 ⇒ u n + = u n + 20 Vậy ( u n ) CSC với u1 = 11 d = 20 * Phương pháp chứng minh dãy số CSN: Để chứng minh dãy số (u n ) CSN ta xét thương T= u n +1 , ∀n ≥ un - Nếu T số (u n ) CSN có công bội q = T - Nếu T phụ thuộc vào n (u n ) không CSN Ví dụ: Xét xem dãy số ( u n ) với u n = ( n + 1).5 n + có CSN không? Nếu CSN tìm số hạng đầu công bội Giải: Ta có u n +1+1 n+2 n + = ( n + + 1).5 = phụ thuộc n nên ( u n ) không CSN n +1 u n +1 ( ) n + n Dạng Xác định công sai số hạng đầu CSC CSN * Phương pháp xác định công sai số hạng đầu CSC: - Ta thiết lập hệ phương trình mà u1 d phải thỏa Giải hệ ta Ví dụ: Tìm số hạng đầu công sai CSC ( u n ) biết Giải: Áp dụng công thức u n = u1 + ( n − 1) d , u − u + u = 10  u + u = 26 u1 d (1) ta có ( u + d ) − ( u1 + 2d ) + ( u1 + 4d ) = 10 u + 3d = 10 u = ⇔ ⇔ ⇔ ( u1 + 3d ) + ( u1 + 5d ) = 26 2u1 + 8d = 26 d = Vậy ( u n ) cho có u1 = 1, d = (1) * Phương pháp xác định công bội số hạng đầu CSN: - Ta thiết lập hệ phương trình mà u1 q phải thỏa Giải hệ ta u1 q Ví dụ: Cho CSN ( u n ) có u = 4, u = 16 công bội q < Tìm số hạng đầu số hạng thứ sáu CSN Giải: Ta có 4   u1 q = u =  q = −2 u1 = q u1 = q ⇔ ⇔ ⇔ ⇒  u = 16 u1 q = 16 u q.q = 16 q = u1 = −2   Vậy ( u n ) cho có u1 = −2; u = u1 q = (−2).(−2) = 64 Dạng Dùng công thức u n S n CSC, CSN để chứng minh hay tính tổng * Phương pháp dùng công thức u n S n CSC để chứng minh hay tính tổng Ta thường dùng linh hoạt công thức: - Nếu (u n ) CSC có công sai d d = u n +1 − u n u n = u1 + ( n − 1) d n( u1 + u n ) n[ 2u1 + ( n − 1) d ] Sn = = 2 để biến đổi, rút gọn tính toán - Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành CSC ⇔ a + c = 2b Ví dụ: Cho ba số a, b, c theo thứ tự lập thành CSC Chứng minh: (2) a + 2bc = c + 2ab Giải: Ta có VT(2) = a + ( a + c ).c = a + ac + c = c + ( a + ac ) = c + a( a + c ) = c + 2ab = VP(2) Vậy a + 2bc = c + 2ab * Phương pháp dùng công thức u n S n CSN để chứng minh hay tính tổng Ta thường dùng linh hoạt công thức: - Nếu (u n ) q= CSN có công bội q u n +1 ,n ≥1 un u n = u1 q n −1 ; n ≥ 1− qn ;q ≠ 1− q S n = nu1 q = S n = u1 để biến đổi, rút gọn tính toán - Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành CSN   9 Ví dụ: Tính tổng A = + 99 + 999 + + 99 n Giải: Ta có ⇔ ac = b A = + 99 + 999 + + 99   9 ( ) ( n ) ( ) = (10 - 1) + 10 − + 10 − + + 10 n − ( ) = 10 + 10 + + 10 n - n - 10 n -n - 10 10 n +1 − 10 − 9n = = 10 II BÀI TẬP TỔNG HỢP Tìm u1 , d, tính S50 cấp số cộng biết: u6 =  u1 + 2u =  u1 + u − u = 10 b)  ; c)  ; d)  2 S4 = 14  u1 + u =  u + u = 16 Định x để số sau lập thành cấp số cộng: 10 − 3x; 2x + 3; − 4x 3.Cho số a, b, c lập thành cấp số cộng Chứng minh: a + 2bc = c + 2ab  u + u = 27 a)  ;  u + u = 33 Tìm u1 , q cấp số nhân biết:  u1 + u + u = −21  u + u = 10 a) u4 = 64, u6 = 1024; b)  Cho ba số 2, 14, 50 Phải cộng thêm số số để ba số lập thành cấp số nhân Cho số a, b, c lập thành cấp số nhân Chứng minh: (a + b + c)(a − b + c) = a + b + c Cho ba số 2 , , b−a b b−c lập thành CSC Chứng minh a, b, c lập thành CSN Ba số a, b, c lập thành CSC b, c, a lập thành CSN Tính a, b, c biết: a) a + b + c = 18 b) abc = 125 Tìm số hạng CSN biết tổng ba số hạng đầu 148 , đồng thời theo thứ tự chúng số hạng thứ nhất, thứ tư thứ tám CSC 10 Tính tổng   9   6 a) A = + 99 + 999 + + 99 b) B = + 66 + 666 + + 66 n n c) C =100 − 99 + 98 − 97 + + 2 −12 11 Định m để phương trình x − 2( m + 1) x + 2m + = có nghiệm phân biệt lập thành CSC