GIA S C KHNH Thp sỏng ngn la thnh cụng Chuyờn luyn thi i Hc Khi A - B Nhn dy kốm tt c cỏc lp 22A - Phm Ngc Thch TP.Quy Nhn Liờn h : Thy Khỏnh 0975.120.189 BI T P GI I H N D NG I: TèM GI I H N DY S Phng phỏp gi: Dựng ủnh ngha , tớnh cht v cỏc ủnh lý v gii hn ca dóy s Ví dụ 1: Tìm: lim 8n 3n n2 Giải: lim 8n 3n = lim = = n n2 Ví dụ 2: Tìm: lim 2n 3n n + Giải: n n2 lim 2n 3n = lim = = n + + 2 n Ví dụ 3: Tìm: lim n n +1 lim n 2n n + = lim = lim n + n + Giải: 1 + 1+ n n2 = D NG II: CH NG MINH limu n = Phng phỏp gii: S dng ủnh lý | u | v n n Cho hai dóy s u n , : limu n = (1) lim ( ) = u n w n , n lim u n = L (2) lim = lim w n = L ( L ) GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP.QUY NHN ( 1) Ví dụ: Chứng minh: lim n cosn =0 n Giải: n 1) cos n 1) cos n ( ( 1 lim = nên lim =0 Ta có: n n n n n D NG III: CH NG MINH limu n T N T I Phng phỏp gii: S dng ủnh lý Dóy (un) tng v b chn trờn thỡ cú gii hn ; Dóy (vn) gim v b chn di thỡ cú gii hn Ví dụ: Chứng minh dãy số ( u n ) cho u n = có giới hạn n ( n + 1) Giải: u n n + ( ) = n < 1, n Do dãy ( u ) giảm Ngoài ra, Ta có n +1 = n un n+2 ( n +1)( n + ) n * : u n = > 0, nêu dãy ( u n ) bị chặn dới Vậy dãy ( u n ) có giới hạn n ( n +1) D NG IV: TNH T NG C A C P S NHN LI Vễ H N u Phng phỏp gii: S dng cụng thc S = ,| q |< 1 q Ví dụ: Tính tổng S = + + + + 1n + 22 Giải: u Đây tổng cấp số nhân lùi vô hạn, với q = < u = Vậy: S = = = 2 q 1 D NG V: TèM GI I H N Vễ C C Phng phỏp gii: S dng quy tc tỡm gii hn vụ cc Ví dụ 1: 1: Tìm: lim 2n + 4n 3n + Giải: Cách 1: + 3 n n3 Ta có: lim 2n + 4n = lim 3+ 3n +1 n n3 Lại có lim + = < 0,lim + = + > n * nên suy ra: n n3 n n3 n n2 + 3 n n3 = lim 2n + 4n = lim 3+ 3n + n n3 Cách 2: GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP.QUY NHN + n + 3 n n = lim n n n3 Ta có: lim 2n + 4n = lim 3n + 3+ n + n n + + n n3 = < lim 2n + 4n = lim n n n3 = Lại có lim n = +; lim 3n + 3+ 3+ n2 n2 Ví dụ 2: 4x 2: Tính lim x Giải: lim 4x = lim x = lim | x | x x x x x2 Vì lim | x |= + lim = > lim 4x = + x x x x D NG VI: TèM GI I H N C A HM S Phng phỏp gii: S dng cỏc ủnh lý v quy tc Ví dụ 1: Tính: lim x.sin x x0 Giải: Xét dãy ( x n ) mà x n 0, n lim x n = Ta có: f ( x n ) = x n sin | x n | xn Vì lim | x n |= limf ( x n ) = Do lim x.sin = x x0 Ví dụ 2: Tính: lim x + x + x x+ Giải: Ta có: lim x+ x + x + x = lim x + Ví dụ 3: Tính: 1+ x + x + x = lim x +1 x = lim =1 x+ x+ x + x +1 + x x + x +1 + x 1+ + +1 x x2 lim x + 3x + + x x Giải: Ta có: lim x x + 3x + + x = lim x 3+ 3+ x x = lim = lim =3 x x x + 3x + x x + 3x + 1 + + 1 x x2 x 3x + (Chú ý: x ta xét x < 0, nên x = x ) D NG VII: CH NG MINH lim f x = (Ho c b ng L) xx ( ) Phng phỏp gii: S dng ủnh lý gii hn kp GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP.QUY NHN { } ủú: Gi s J l mt khong cha x0 v f, g, h l ba hm s xỏc ủnh trờn hp J \ x { } x J \ x :g ( x ) f ( x ) h ( x ) lim f ( x ) = L x x lim g ( x ) = lim h ( x ) = L x x x x 0 Ví dụ: Chứng minh: lim x sin x = x+ + x Giải: 2 2 Ta có: | f ( x ) |= x sin x x x f ( x ) x 1+ x4 1+ x4 1+ x4 1+ x 1 2 x = 0; lim x = lim x2 = lim x = lim x + x x x+ + x x+ + +1 x4 x4 2 lim x = lim x = lim x sin x = x+ + x x + x x+ + x D NG VIII: GI I H N M T BấN Phng phỏp gii: S dng ủnh ngha gii hn mt bờn Gi s hm s f xỏc ủnh trờn khong (x0;b) Ta núi hm s f cú gii hn bờn phi l L x dn ủn x0 (hoc ti ủim x0 ),nu vi mi dóy (xn ) khong (x0;b) m limxn = x0 ,ta ủu cú limf(xn ) = L nh ngha tng t cho lim f(x) = L xx Hm s cú gii hn ti x0 v lim f(x) = L tn ti lim f(x) , lim f(x) = L xx xx xx+ 0 v lim f(x) = lim = L xx xx+ 0 Ví dụ 1: Cho hàm số Ta có: với x f (x) = 2x x < với x Tìm lim f ( x ) x1 Giải: 2x = 2.( 1) = (1) lim f ( x ) = lim + + x x lim f ( x ) = lim x3 = (2) x x Từ (1) (2) suy lim f ( x ) = x1 x > x +1 Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x ) = x < x +1 a) Tìm lim f ( x ) x2 GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP.QUY NHN Tìm lim f ( x ) x1 b) Giải: 1 a) lim f ( x ) = lim = x2 x2 x + b) lim f ( x ) x1 Ta có: lim f ( x ) = lim = ; lim f ( x ) = lim = lim f ( x ) lim f ( x ) suy x1+ x1 + x x1 x1+ x1+ 1+ x x1 không tồn lim f ( x ) x1 (Chú ý: lim f ( x ) tồn lim f ( x ) = lim f ( x ) = L lim f ( x ) = L ) xx x x x x x x + 0 0 D NG IX: KH D NG Vễ NH Phng phỏp gii: P(x) 1) Khi tìm giới hạn dạng lim , với lim P ( x ) = lim Q ( x ) = : x x Q ( x ) x x x x 0 Với P(x), Q(x) đa thức nguyên theo x ta chia tử P(x) mẫu Q(x) cho x x Nếu P(x), Q(x) chứa dấu thức theo x ta nhân tử P(x) mẫu Q(x) cho lợng liên hiệp Ví dụ 1: Tìm: lim x 9x + 14 x2 x2 Giải: ( x ) ( x ) = lim x = lim x 9x + 14 = lim ( ) x2 x x2 x2 x2 Ví dụ 2: Tìm: lim + x 4x x0 Giải: 4+ x 4+ x + 4+ x lim + x = lim = lim = lim = 4x x0 x0 x0 4x + x + x0 4 + x + 16 4x + x + ( ( )( ) ) Ví dụ 3: Tìm: lim x + x1 x = lim x1 ) ( x + 7) ( ) Giải: 3 x + + x + x + + ( ) x+7 lim = lim x1 x x1 x ( x + ) + 2.3 x + + ( ) ( + 2.3 x + + = lim x1 x + 23 ( x 1) ( x + ) + 2.3 x + + = 12 Ví dụ 4: Tìm: lim 2x + x2 x + lim 2x + = lim x2 x + x2 GIA S ( ( )( x + )( 2x + C KHNH Giải: 2x + + x + + ) = lim ( 2x + ) ( x + + 2) = lim ( x + x + + )( 2x + + 3) x2 ( x + ) ( 2x + + 3) x2 2x + 0975.120.189 )( 22A PHM NGC THCH TP.QUY NHN Ví dụ 5: Tìm: lim x 3x x x1 lim x 3x = lim x x1 x1 = lim x + x +1 x1 x3 Giải: ( ) = lim x3 3x x x1 x 3x = x 3x 3 = = = lim x + x + 2 3x +1 ( x 1) 3x +1 x1 ( ) Ví dụ 6: Tìm: lim x + x1 x + Giải: Đặt t = 12 x + x + = t12 x = t12 2, x t Do đó: ( t 1) t + t +1 x + t lim = lim = lim = lim t + t + = x1 x + t1 t t1 ( t 1)( t +1) t + t ( t + 1) t +1 Ví dụ 7: Tìm: lim x + x + x x1 lim x + x + = lim x x1 x1 = lim x1 x + ( Giải: x +3 x ) = lim x + x1 x + 23 x + ( x 1) x + + 2 + + + + x x x ( ) ( = lim x1 ( x + 7) + 23 x + + ) x x + x 1 = = 12 x +3 +2 P(x) lim , ta lu ý: x Q ( x ) Đặt x m (m bậc cao nhất) làm nhân tử chung tử P(x) mẫu Q(x) Sử dụng kết quả: lim = ( với > ) x x Ví dụ 1: Tìm: lim 3x 4x +1 x+ 2x + x +1 Giải: + x x2 lim 3x 4x + = lim =3 x+ 2x + x + x+ 2 + + x x2 2) Khi tìm giới hạn dạng GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP.QUY NHN Ví dụ 2: Tìm: x + x + 3x lim x 3x Giải: 1+ + x x2 x + x + 3x = lim lim = = x x 3x 3 x 3 8x + 3x +1 x Ví dụ 3: Tìm: lim x 4x x + + 3x Giải: + + 1 3 x x3 8x + 3x + x = lim lim = = x x 4x x + + 3x + +3 +3 x x2 3) Dng v dng 0. Nhõn v chia vi biu thc liờn hp Nu cú biu thc cha bin x di du cn hoc quy ủng mu ủ v cựng mt phõn thc Ví dụ : lim ( x2 + x + x) x+ Giải: 2 lim ( x2 + x + x) = lim ( x + x + x)( x + x + + x) x+ x+ ( x2 + x + + x) 2+ x + x = lim = lim =1 x+ x + 2 ( x + x + + x) ( 1+ + + 1) x x2 GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP.QUY NHN