ĐỀ CƯƠNG ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2014-2015 TRƯỜNG THPT NGUYỄN VĂN CỪ MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ 5: ĐẠI SỐ TỔ HỢP, XÁC SUẤT Kiến thức 1.1 Đại số tổ hợp 1.1.1 Quy tắc cộng: Có n1 cách chọn đối tượng A1 n2 cách chọn đối tượng A2 A ∩ A2 = ∅ ⇒ Có n1 + n2 cách chọn đối tượng A1, A2 1.1.2 Quy tắc nhân: Có n1 cách chọn đối tượng A1 Ứng với cách chọn A1, có n2 cách chọn đối tượng A2 ⇒ Có n1.n2 cách chọn dãy đối tượng A1, A2 1.1.3 Hoán vị: − Mỗi cách thứ tự n phần tử gọi hoán vị n phần tử − Số hoán vị: Pn = n! 1.1.4 Chỉnh hợp: − Mỗi cách lấy k phần tử từ n phần tử (0 < k ≤ n) thứ tự chúng gọi chỉnh hợp chập k n phần tử n! k − Số chỉnh hợp: An = (n − k )! 1.1.5 Tổ hợp: − Mỗi cách lấy k phần tử từ n phần tử (0 ≤ k ≤ n) gọi tổ hợp chập k n phần tử n! k − Số tổ hợp: Cn = k !(n − k )! k n−k k −1 k k − Hai tính chất: Cn = Cn , Cn−1 + Cn−1 = Cn 1.1.6 Nhị thức Newton n (a + b) = ∑ Cnk a n−k b k = Cn0 a n + Cn1a n−1b + + Cnnb n n k =0 k n−k k − Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1): Tk +1 = Cn a b n 2 n n − Đặc biệt: (1 + x) = Cn + xCn + x Cn + + x Cn 1.2 Xác suất 1.2.1 Tính xác suất định nghĩa cổ điển: P ( A ) = + ≤ P(A) ≤ ΩA Ω + P ( Ω) = 1, P ( ∅) = 1.2.2 Tính xác suất theo quy tắc: a) Quy tắc cộng xác suất Nếu A B hai biến cố xung khắc, thì: P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) c) Quy tắc nhân xác suất Nếu hai biến cố A B độc lập với thì: P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) Các dạng toán 2.1 Bài toán đếm: Ví dụ Cho tập A = { 0;1; 2;3;4;5} , từ A lập số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, thiết phải có chữ số Lời giải Gọi số cần tìm abcde ( a ≠ ) Tìm số số có chữ số khác mà có mặt không xét đến vị trí a Xếp vào vị trí có: A52 cách vị trí lại có A43 cách Suy có A52 A43 số Tìm số số có chữ số khác mà có mặt với a = Xếp có cách vị trí lại có A43 cách Suy có 4.A43 số Vậy số số cần tìm tmycbt là: A52 A43 − A43 = 384 Ví dụ Có số tự nhiên có chữ số khác mà số luôn có mặt hai chữ số chẵn ba chữ số lẻ Lời giải Từ giả thiết toán ta thấy có C52 = 10 cách chọn chữ số chẵn (kể số có chữ số đứng đầu) C53 =10 cách chọn chữ số lẽ => có C52 C53 = 100 số chọn Mỗi số có 5! số thành lập => có tất C52 C53 5! = 12000 số Mặt khác số số lập mà có chữ số đứng đầu C41 C53 4! = 960 Vậy có tất 12000 – 960 = 11040 số thỏa mãn toán Ví dụ Có 12 học sinh giỏi gồm học sinh khối 12, học sinh khối 11, học sinh khối 10 Hỏi có cách chọn học sinh cho khối có học sinh Lời giải Tổng số cách chọn học sinh 12 học sinh C126 Số học sinh chọn phải thuộc khối Số cách chọn có học sinh khối 12 khối 11 là: C76 Số cách chọn có học sinh khối 11 khối 10 là: C96 Số cách chọn có học sinh khối 12 khối 10 là: C86 Số cách chọn thoả mãn đề là: C126 − C76 − C96 − C86 = 805 (cách) Ví dụ Trên cạnh AB, BC, CD, DA hình vuông ABCD cho 1, 2, n điểm phân biệt khác A, B, C, D Tìm n biết số tam giác có ba đỉnh lấy từ n + điểm cho 439 Lời giải Nếu n ≤ n + ≤ Do số tam giác có ba đỉnh lấy từ n + điểm không vượt qua C83 = 56 < 439 (loại) Vậy n ≥ Vì tam giác tạo thành ứng với tổ hợp chập n + phần tử Nhưng cạnh CD có đỉnh, cạnh DA có n đỉnh nên số tam giác tạo thành là: Cn3+6 − C33 − Cn3 = ( n + ) ( n + ) ( n + ) − − ( n − ) ( n − 1) n = 439 6 ⇔ (n + 4)(n + 5)(n + 6) – (n – 2)(n – 1)n = 2540 ⇔ n2 + 4n – 140 = Từ tìm n = 10 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1) Có số tự nhiên gồm bốn chữ số khác mà số lớn 2010 2) Cho hai đường thẳng song song d1 d2 Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, đường thẳng d2 có n điểm phân biệt ( n ≥ ) Biết có 2800 tam giác có đỉnh điểm cho Tìm n 3) Cho tập A = { 0;1; 2;3;4;5} , từ A lập số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, thiết phải có chữ số 2.2 Nhị thức Newton: n   Ví dụ Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức  2.x + ÷ , biết x  n −1 An − Cn +1 = 4n + Lời giải Giải phương trình An2 − Cnn+−11 = 4n + ; Điều kiện: n ≥ ; n ∈ N Phương trình tương đương với n(n − 1) − (n + 1)! n(n + 1) = 4n + ⇔ n(n − 1) − = 4n + 2!( n − 1)! ⇔ n2 – 11n – 12 = ⇔ n = - (Loại) v n = 12 12   Với n = 12 ta có nhị thức Niutơn:  2x + ÷ x  k k 12 12 − k Số hạng thứ k + khai triển là: Tk +1 = C (2 x) k Hay Tk+ = C12k ( x ) 12−k x − = C12k 212−k.x 24−3 k    ÷ ; k ∈ N, ≤ k ≤ 12  x k ∈ N , ≤ k ≤ 12 ⇔ k = 24 − 3k = Số hạng không chứa x  Vậy số hạng thứ không chứa x T9 = C128 24 = 7920 Ví dụ Tìm hệ số x8 khai triển (x2 + 2)n, biết: An3 − 8Cn2 + Cn1 = 49 Lời giải Điều kiện n ≥ n k k n−k Ta có ( x + ) = ∑ Cn x 2 n k =0 Hệ số số hạng chứa x8 Cn4 2n− Hệ số số hạng chứa x8 Cn4 2n− Ta có: An3 − 8Cn2 + Cn1 = 49 ⇔ (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49 ⇔ n3 – 7n2 + 7n – 49 = ⇔ (n – 7)(n2 + 7) = ⇔ n = Nên hệ số x8 C74 23 = 280 Ví dụ (ĐH) Cho khai triển đa thức: ( − x ) 2013 = ao + a1 x + a2 x + + a2013 x 2013 Tính tổng: S = a0 + a1 + a2 + + 2014 a2013 Lời giải Ta có: ( x(1 − x) 2013 ) ′ = a0 + 2a1 x + 3a2 x + + 2014a2014 x 2013 ⇔ (1 − x) 2013 − 4026 x(1 − x)1012 = a0 + 2a1 x + 3a2 x + + 2014a2013 x 2013 (*) k k Nhận thấy: ak x = ak (− x) thay x = −1 vào hai vế (*) ta có: S = a0 + a1 + a2 + + 2014 a2013 = 1343.32213 Ví dụ (ĐH) Cho khai triển: ( + x ) trị a6 10 (x + x + 1) = ao + a1 x + a2 x + + a14 x14 Hãy tìm giá Lời giải Ta có x + x + = (2 x + 1)2 + ( + 2x) 10 ( x + x + 1) = nên (1 + x)14 + (1 + x)12 + (1 + x)10 16 16 Trong khai triển ( + 2x ) là: 26 C126 14 12 hệ số x là: 26 C146 ; Trong khai triển ( + 2x ) hệ số x 10 Trong khai triển ( + 2x ) hệ số x là: 26 C106 Vậy hệ số a6 = 6 6 6 C14 + C12 + C10 = 41748 16 16 100 + 8C100 + 12C100 + + 200C100 Ví dụ (ĐH) Tính giá trị biểu thức: A = 4C100 Lời giải Ta có: ( + x ) 100 100 100 = C100 + C100 x + C100 x + + C100 x (1− x) 100 100 100 = C100 − C100 x + C100 x − C100 x + + C100 x (2) Lấy (1)+(2) ta được: ( + x ) Lấy đạo hàm 100 ( + x ) − 100 ( − x ) 99 100 99 + ( 1− x) 100 hai (1) 100 100 = 2C100 + 2C100 x + 2C100 x + + 2C100 x vế theo ẩn x = 4C x + 8C x + + 200C x 100 100 100 99 100 100 + 8C100 + + 200C100 Thay x=1 vào => A = 100.299 = 4C100 BÀI TẬP TỰ LUYỆN  + 1) Tìm số hạng không chứa x khai triển   x 2) Tính tổng: T = 10  x ÷ với x >  C2012 C1 C2 C 2012 + 2012 + 2012 + L + 2012 2013 2012 C2012 2C2012 22 C2012 23 C2012 22012 C2012 − + − + + 3) Tính tổng S = 1.2 2.3 3.4 4.5 2013.2014 ta được: 2.3 Xác suất: Ví dụ Một hộp chứa cầu màu đỏ, cầu màu xanh cầu màu vàng Lấy ngẫu nhiên lúc cầu từ hộp Tính xác suất cho cầu lấy có cầu màu đỏ không hai cầu màu vàng Lời giải Số phần tử không gian mẫu Ω = C16 = 1820 Gọi B biến cố “ lấy có cầu màu đỏ không hai màu vàng” Ta xét ba khả sau: - Số cách lấy đỏ, xanh là: C41C53 - Số cách lấy đỏ, xanh, vàng là: C41C52C71 - Số cách lấy đỏ, xanh, vàng là: C41C51C72 1 2 Khi Ω B = C4C5 + C4C7C5 + C4C7 C5 = 740 Xác suất biến cố B P ( B ) = ΩB 740 37 = = Ω 1820 91 Ví dụ Chọn ngẫu nhiên tú lơ khơ Tính xác suất cho quân có quân thuộc (ví dụ K) Lời giải Số cách chọn quân tú lơ khơ là: C552 = 2598960 Số cách chọn quân tú lơ khơ mà quân có quân thuộc là: 13 C34 = 52 Xác suất để chọn quân tú lơ khơ mà quân có quân thuộc là: 52 13 = 2598960 649740 Ví dụ Cho E tập số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ chữ số: 0,1,2,3,4,5,6,7 Lấy ngẫu nhiên số E Tính xác suất để lấy số chia hết cho Lời giải Giả sử abcde ∈E ⇒ a ≠ ⇒có cách chon a; & Chọn bcde có A ⇒ n( E ) = A = 5880 e = ⇒ n(Ω) = 5880; abcde ∈ E abcdeM 5⇔ ⇒ Trong E có : A + 6A 36 = 1560 e = Số chia hết cho Gọi A biến cố chọn dc số chia hết cho n(A)=1560 P( A) = 1560 13 = 5880 49 Ví dụ Cho tập E = { 1, 2,3, 4,5} Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, số gồm chữ số đôi khác thuộc tập E Tính xác suất để hai số có số có chữ số Lời giải Số số tự nhiên có chữ số đôi khác thuộc tập E là: 5.4.3 = 60 Trong số số mặt chữ số 4.3.2=24, số số có mặt chữ số 60 − 24 = 36 Gọi A biến cố “hai số viết lên bảng có mặt chữ số 5”, B biến cố “hai số viết lên bảng mặt chữ số 5” Rõ ràng A,B xung khắc Do áp dụng qui tắc cộng xác suất ta có: P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) = 1 1 C36 C36 C24 C24 13 + = 1 1 C60C60 C60C60 25 Suy xác suất để hai số có số có chữ số P = 1− P ( A ∪ B) = 1− 13 12 = 25 25 Ví dụ Trong kì thi Thí sinh phép thi lần Xác suất lần đầu vượt qua kì thi 0,9 Nếu trượt lần đầu xác suất vượt qua kì thi lần hai 0,7 Nếu trượt hai lần xác suất vượt qua kì thi lần thứ ba 0,3 Tính xác suất để thí sinh thi đậu Lời giải Gọi Ai biến cố thí sinh thi đậu lần thứ i (i = 1;2;3) Gọi B biến cố để thí sinh thi đậu Ta có: B = A1 ∪ (A1A ) ∪ (A1 A A ) Suy ra: P(B) = P(A1 ) + P(A1A ) + P(A1 A 2A ) Trong đó: P(A1 ) = 0,9  P(A1A ) = P(A1 ).P(A / A1 ) = 0,1.0,  P(A1 A A ) = P(A1 ).P(A / A1 ).P(A / A1 A ) = 0,1.0,3.0,3 Vậy: P(B) = 0,9 + 0,1.0,7 + 0,1.0,3.0,3 = 0,979 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1) Từ chữ số tập T = { 0;1;2;3;4;5} , người ta ghi ngẫu nhiên hai số tự nhiên có ba chữ số khác lên hai thẻ Tính xác suất để hai số ghi hai thẻ có số chia hết cho 2) Có 10 học sinh lớp A; học sinh lớp B học sinh lớp C Chọn ngẫu nhiên học sinh từ học sinh Tính xác suất cho lớp có học sinh chọn có học sinh lớp A 3) Một hộp đựng 11 viên bi đánh số từ đến 11 Lấy ngẫu nhiên viên bi cộng số viên bi lại với Tính xác suất để kết thu số lẻ 4) Một hộp đứng bút màu xanh, bút màu đen, bút màu tím bút màu đỏ Lấy ngẫu nhiên bút Tính xác suất để lấy bút màu CHUYÊN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Biên soạn sưu tầm: Hoàng Văn Quý – GV trường THPT Lương Tài số Kiến thức liên quan 1.1 Công thức nguyên hàm Nguyên hàm hàm số Nguyên hàm mở rộng ∫ dx = x + C ∫ a.dx = ax + C , a ∈ ¡ xα +1 ∫ x dx = α + + C , α ≠ −1 (ax + b)α +1 ∫ (ax + b) dx = a α + + C α ∫ dx = ln x + C , x ≠ x ∫ e dx = e x x +C α dx ∫ ax + b = a ln ax + b + C ∫e dx = e ax +b + C a ax + b aα x + β dx = +C α ln a ax ∫ a dx = ln a + C ∫a ∫ cos xdx = sin x + C cos( ax + b ) dx = sin( ax + b) + C ∫ a ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C x ∫ cos x ∫ sin x α x+ β 1 dx = tan x + C ∫ cos (ax + b) dx = a tan(ax + b) + C dx = −cotx + C ∫ sin 2 1 dx = − cot (ax + b) + C (ax + b) a 1.2 Công thức tích phân F(x) nguyên hàm hàm số f(x) đoạn [a;b] ln dx 19 ∫ x e + 2e − x − ln 20 ∫ e dx ∫ 21 22 −x ∫ 23 − x2 dx 24 sin x dx x ∫ cos 1 − x dx π ∫1+ x dx Bài 3: Tính tích phân sau π π 2 ∫ e sin xdx x ∫ x cos xdx 0 ∫ (2 x − 1)cosxdx π e ∫ xe dx x ∫ x ln xdx π π ∫ ( x + cos x)sin xdx ∫ e2 x sin 3xdx ∫ ( x + 1)sin xdx 2x ∫ ( x − 2)e dx 0 e 10 ∫ x ln(1 + x )dx 11 ∫ (2 x + 2) ln xdx 2 12 ∫ x cos x dx 13 ∫ (2 x + 7) ln( x + 1)dx 2x 14 ∫ ( x − 2)e dx 0 Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: 3 a) y = − x + x − , trục hoành, x = x = b) y = x + 1, x = −1, x = trục hoành c) y = x − 12 x, y = x d) y = x3 − tiếp tuyến điểm có tung độ -2 e) y = x − x, y = 0, x = 0, x = f) y = sinx, y=0, x=0, x= 3π g) y = e x , Ox, x = 0, x = π Bài 5: Tính thể tích vật tròn xoay quay hình phẳng giới hạn đường sau quanh trục hoành: a) y = x − x, y = 0, x = 0, x = b) y = cos x, y = 0, x = 0, x = π c) y = tan x, y = 0, x = 0, x = π d) y = − x , y = 1 e e) y = ln x, x = , x = e, y = CHUYÊN ĐỀ 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Biên soạn sưu tầm: Hoàng Văn Quý – GV trường THPT Lương Tài số Kiến thức liên quan 1.1 Một số phép toán vectơ uuu r AB = ( xB − x A , yB − y A , z B − z A ) uuu r 2 2 AB = AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( zB − z A ) r r r r a ± b = ( a1 ± b1 , a2 ± b2 , a3 ± b3 ) a = ( a1 , a2 , a3 ) , b = ( b1 , b2 , b3 ) r k.a = ( ka1 , ka2 , ka3 ) r a = a12 + a22 + a32  a1 = b1 r r  a = b ⇔ a2 = b2 a = b  rr a.b = a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 r r r r a a a a cp b ⇔ a = k b ⇔ = = b1 b2 b3 r r rr a ⊥ b ⇔ a.b = ⇔ a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 = r r a 10 [a, b] =   b2 a3 a3 , b3 b3 a1 a1 a2  , ÷ b1 b1 b2  11 M trung điểm AB  x + xB y A + y B z A + z B  M A , , ÷ 2   12 G trọng tâm tam giác ABC  x + xB + xC y A + yB + yC z A + z B + zC G A , , 3   ,÷  1.2 Phương trình mặt phẳng *) Phương trình mp(α) qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt  n = (A;B;C) A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = (α) : Ax + By + Cz + D = ta có vtpt  n = (A; B; C) *) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) x y z + + =1 a b c Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng ta cần xác định tọa độ điểm qua véctơ pháp tuyến *) Vị trí tương đối hai mp (α1) (α2) : ° (α ) cắt ( β ) ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 A B C D A B C D 1 1 ° (α ) / / ( β ) ⇔ A = B = C ≠ D 2 2 1 1 ° (α ) ≡ ( β ) ⇔ A = B = C = D 2 2 ° (α ) ⊥ ( β ) ⇔ A1 A2 + B1B2 + C1C2 = *) Khoảng cách từ M(x0,y0,z0) đến (α) : Ax + By + Cz + D = d(M,α ) = Ax o + Byo + Cz o + D A + B2 + C r r n1 n2 *) Góc hai mặt phẳng : cos((α ),(β )) = r r n1 n2 1.3 Phương trình đường thẳng r *) Phương trình tham số đường thẳng d qua M(xo ;yo ;zo) có vtcp a = (a1;a2;a3)  x = x o + a1t  d : y = y o + a2 t ( t ∈ ¡ ) z = z + a t o  *) Phương trình tắc d : d: x − xo a = y − yo a2 = z - z0 a3 *) Vị trí tương đối đường thẳng d , d’ : Ta thực hai bước r uur + Tìm quan hệ vtcp a d , a d /  x + a1t = x'0 + a'1t'  + Tìm điểm chung d , d’ cách xét hệ:  y0 + a t = y'0 + a'2 t' (I) z + a t = z' + a' t'  r uur a Hệ (I) Quan hệ d , a d/ Vị trí d , d’ Vô số nghiệm Cùng phương d ≡ d' Vô nghiệm d / /d ' Có nghiệm d cắt d’ Vô nghiệm Không phương d , d’ chéo *) Góc đường thẳng : Gọi ϕ góc d d’ r uur ad ad / cosϕ = r uur ad ad / (0o ≤ ϕ ≤ 90o) 1.4 Một số dạng toán thường gặp  Dạng 1: Các toán bản( yếu tố cho sẵn) • Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm, qua điểm song song với mặt phẳng cho trước • Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm, song song với đường thẳng cho trước • Chứng minh ABCD tứ diện, tính diện tích tam giác biết tọa độ ba điểm • Tìm tọa độ hình chiếu điểm đường thẳng, mặt phẳng • Viết phương trình mặt cầu biết tâm bán kính, qua điểm cho  Dạng 2: Bài toán phương trình mặt phẳng vấn đề liên quan • Viết phương trình mặt phẳng cách xác định VTPT • Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách • Viết phương trình mặt phẳng dạng đoạn chắn • Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc • Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu • Các dạng toán khác mặt phẳng  Dạng 3: Bài toán phương trình đường thẳng vấn đề liên quan • Viết phương trình đường thẳng cách xác định VTCP • Viết phương trình đường thẳng liên quan đến đường thẳng khác • Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách • Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc • Viết phương trình đường thẳng liên quan đến diên tích tam giác  Dạng Các toán tổng hợp 1.5 Phương trình mặt cầu 1.5.1 Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính R (S) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = r 2 2 (1) +/ (S) : x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = (2) ( vôùi a2 + b2 + c2 − d > ) +/Ta có: Tâm I(a ; b ; c) r = a + b2 + c − d 1.5.2 Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Cho (S) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = r ( α) : Ax + By + Cz + D = 2 Gọi d = d(I,(α)) : khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mp(α)  d > r : (S) ∩ (α) = ∅  d = r : (α) tiếp xúc (S) H (H: tiếp điểm, (α): tiếp diện) *Tìm tiếp điểm H (là hình chiếu vuông góc tâm I mp( α ) ) uu r r a + Viết phương trình đường thẳng d qua I vuông góc mp(α) : ta có d = n(α ) + H = d ∩ (α)  Gọi H (theo t) ∈d  H∈(α) ⇒ t = ? ⇒ tọa độ H (S) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = r  d < r : (α) cắt (S) theo đường tròn (C):  (α ) : Ax + By + Cz + D = *Tìm bán kính R tâm H đường tròn giao tuyến: + Bán kính R = r − d2 ( I ,(α )) + Tìm tâm H ( hình chiếu vuông góc tâm I mp(α) ) 1.5.3 Các dạng toán mặt cầu • Viết phương trình mặt cầu cách xác định tâm bán kính • Viết phương trình mặt cầu cách xác định hệ số phương trình tổng quát • Bài toán khác liên quan đến mặt cầu VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng x = t x−2 y−2 z−2  d1 : = = & d :  y = + 2t ( t ∈ R ) z = t  Chứng minh hai đường thẳng song song Viết phương trình mp(P) chứa đường thẳng Lời giải • • • • • ur uu r Ta có u1 = ( 2;4;2 ) ; u2 = ( 1;2;1) suy hai véc tơ phương Ta có M ( 2;2;2 ) ∈ d1 M ( 2;2;2 ) ∉ d Suy hai đường thẳng song song ur uuuu r ur uuuu r   = ( 6;0;6 ) với N(0;1;0) u = 2;4;2 ; MN = − 2; − 1; − ⇒ u , MN ( ) ( ) Ta có   Phương trình mp(P): x+z-4=0 Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x-2y-3z+1=0 mặt phẳng (Q): 5x+2y+5z-1=0 Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với mp(P) mp(Q) đồng thời biết khoảng cách từ gốc tọa độ đến mp(R) Lời giải uur uur uur • Ta có nR =  nP , nQ  = ( −4; −30;16 ) • Suy phương trình (R) là: -4x-30y+16z+D=0 • Ta có d ( O; ( R ) ) = D 293 =1 • Vậy phương trình mp(R) là: −2 x − 15 y + z ± 293 = Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0,1,2), B(2,-2,1), C(2;0;1) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z-3=0 cho MA=MB=MC Lời giải 1.Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C uuu r uuur r uuu r uuur   AB = 2; − 3; − ; AC = − 2; − 1; − ⇒ n = AB ( ) ( ) • Ta có  , AC  = ( 2;4; −8 ) • Phương trình mặt phẳng(ABC) : x+2y-4z+6=0 Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z-3=0 cho MA=MB=MC uuu r uuur AB • Ta có AC = nên M thuộc đường thẳng vuông góc với (ABC) trung điểm I(0;-1;1) đoạn BC • Tọa độ điểm M thỏa mãn hệ phương trình 2 x + y + z − =   x y +1 z −1  = = −4 • Suy tọa độ M(2;3;-7) Ví dụ 4: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A(1;2;3) B(2;2;2) C(1;2;0) Viết phương trình mặt phẳng qua A, B cho khoảng cách từ C đến mặt phẳng Lời giải r r uuu r • Gọi n = ( a; b; c ) ⇒ n AB = ⇒ a − c = • Phương trình mp có dạng ax+by+cz-a-2b-3c=0 • Ta có d ( C ; ( P ) ) = −3c a + b2 + c2 = • Suy a=b=c=1 a=c=1, b=-1 • Phương trình mp(P) x+y+z-6=0 x-y+z-2=0 Ví dụ 5: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;0;0), B(0;b;0), C( 0;0;c), b,c dương mặt phẳng (P): y-z+1=0 Xác định b c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) khoảng cách từ O đến (ABC) Lời giải x y z • Ta có phương trình (ABC) + b + c = uuuur uur • Ta có nABC nP = ⇔ b = c −bc • Ta có d ( O; ( ABC ) ) b 2c + b + c = b = c = • Suy Ví dụ Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x = + t x +1 y +1 z −1  d1 : = = & d :  y = − 2t ( t ∈ R ) −1  z = −t  Viết phương trình đường thẳng d cắt đường thẳng d1 d đồng thời vuông góc với mp(P): 2x+y-5=0 Lời giải • Ta có d ∩ d1 = A ⇒ A ( −1 − u; −1 + 3u;1 + 2u ) d ∩ d = B ⇒ B ( + t ;1 − 2t ; −t ) uuu r ⇒ AB = ( t + u + 3; −2t − 3u + 2; −t − 2u − 1) uuu r uur t = d ⊥ P ⇔ AB = k n ( ) • T a có P ⇒  u = −2  x = + 2t '  • Suy phương trình đường thẳng d  y = −7 + t ' ( t ' ∈ R )  z = −5  Ví dụ7: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2), B(-3;1;4), C(1;-2;-1) Viết phương trình tham số đường thẳng d biết: a) d qua điểm A trung điểm I đoạn thẳng BC b) d qua C vuông góc với mp(ABC) Lời giải   a) I trung điểm BC nên I  −1; − ; ÷ 2   uur   VTCP: AI =  −1; − ; − ÷ 2     x = −t  x = x0 + a1t  Phương trình tham số đường thẳng d:  y = y + a t ⇔  y = − t   2 z = z + a t     z = − t uuu r uuur b) AB = (−3;0;2), BC = (4; −3; −5) r uuur r uuu VTCP: n = AB ∧ BC = (6; −7;9) Phương trình đường thẳng d cần tìm:  x = x0 + a1t  x = + 6t    y = y0 + a2t ⇔  y = −2 − 7t z = z + a t  z = −1 + 9t    x = −1 + t  Ví dụ 8: Xét vị trí tương đối d  y = − t với đường thẳng:  z = 3t   x = + 2t  a) ∆1 :  y = −2t  z = + 6t  x = + t  b) ∆ :  y = − 2t  z = + 4t   x = −1 − 2t  c) ∆ :  y = + t  z = −1 + 3t  Lời giải r a) d có VTCP u = (1; −1;3) r ∆1 có VTCP u1 = (2; −2;6) 1 + 2t = −1 + t ' 2t − t ' = −2   Xét hệ phương trình: −2t = − t ' ⇔ −2t + t ' = vô nghiệm 3 + 6t = 3t ' 6t − 3t ' = −3   r r Và u1 = (2; −2;6) = 2u Suy ra: d // ∆1 b) Thực tương tự: d ∆ cắt c) Thực tương tự: d ∆3 chéo Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P): x-2y-3z+5=0 Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với (P) đồng thời chứa Oy Lời giải uur uur r uur   n = n , j ⇒ n • Ta có α  P  α = ( 3;0;1) • Phương trình mặt phẳng là: 3x+z=0 Ví dụ 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng x = 1+ t  d :  y = − 2t z = + t  x = + t '  d ' :  y = −1 + t ' z = + t '  Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng Lời giải t = • Ta có hệ phương trình có nghiệm t ' = suy d cắt d’ I(2;-1;3) uur r ur uur   n = u , u ' ⇒ n • Ta có P   P = ( −3;0;3 )  • Phương trình mặt phẳng là: -x+z-1=0 Ví dụ 11: Cho A(1;3;1), B(2;1;2), C(0;2;-6) mp(P) x − y + z + = a) Viết phương trình mặt cầu tâm B qua A b) Viết phương trình mặt cầu đường kính BC c) Viết phương trình mặt cầu tâm C, tiếp xúc mp(P) Lời giải a) Mặt cầu tâm B, qua A nên có bán kính r = AB AB = + + = Phương trình mặt cầu cần tìm: ( x − 1) + ( y − 3) + ( z − 1)2 = b) Gọi I trung điểm BC   Khi đó, I 1; ; −2 ÷, BC =   69   69 Mặt cầu đường kính BC có tâm I 1; ; −2 ÷, bán kính r = có phương trình:   3 69 ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 2) = c) Mặt cầu tâm C tiếp xúc với (P) nên có bán kính r = d (C ,( P )) = − − 12 + 1+ + =5 Phương trình mặt cầu cấn tìm: x + ( y − 2) + ( z + 6)2 = 25 Ví dụ 12: Cho mặt cầu (S): x + y + z − x + y − z + = a) Xác định tọa độ tâm I bán kính r mặt cầu (S) b) Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu M(1;1;1) Lời giải −2a = −2 a = −2b = b = −3   ⇔ a) Từ phương trình mặt cầu ta có:  −2c = −8 c = d = d = Tọa độ tâm I(1; -3; 4) Bán kính: r = + + 16 − = b) Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu M nên IM vuông với mp uuur IM = (0;4; −3) uuur Mp(P) qua M(1;1;1), có VTPT IM = (0;4; −3) có phương trình: 0( x − 1) + 4( y − 1) − 3( z − 1) = ⇔ y − z − = BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;3) mp(P) x+y+z-3=0 Tìm tọa độ hình chiếu A lên (P) x = t  Bài Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;3) d :  y = + 2t ( t ∈ R ) Tìm tọa độ hình chiếu z = t  A lên d, điểm đx A qua d x = t  Bài Trong không gian Oxyz, cho (P): x+y+z-1=0 d :  y = + 2t ( t ∈ R ) Tìm M d z = t  cho khoảng cách từ M đến mp(P) Bài Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng x = t x−2 y−2 z−2  d1 : = = & d :  y = + 2t ( t ∈ R ) z = t  Xét vị trí hai đường thẳng Viết ptmp chứa đường thẳng Bài Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng x = t x − y −1 z −1  d1 : = = & d :  y = + 2t ( t ∈ R ) −1 z = t  Xét vị trí đường thẳng Viết ptmp qua chứa đường thẳng d1 đồng thời // d Bài Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1 ; -2 ; 2), B(1 ; ; 0), C(0 ; ; 0), D(0 ; ; 3) a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ABCD tứ diện b) Tìm điểm A’ cho mp(BCD) mặt phẳng trung trực đọan AA’ Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai điểm A(2 ; ; 1), B(2 ; -1 ; 5) a) Viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB b) Viết phương trình mặt phẳng qua tiếp điểm với mặt cầu (S) A c) Tìm điểm M đường thẳng AB cho tam giác MOA vuông O Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3 ; ; -2), B(1 ; -2 ; 4) a) Viết phương trình đường thẳng AB phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB b) Viết phương trình mặt cầu tâm A qua điểm B Tìm điểm đối xứng B qua điểm A Bài Cho A(-1;2;1), B(1;-4;3), C(-4;-1;-2) a) Viết phương trình mp qua I(2;1;1) song song với mp (ABC) b) Viết phương trình mp qua A song song với mp (P):2x- y- 3z- = c) Viết ptmp qua hai điểm A ,B vuông góc với mp (Q):2x- y+2z- = d) Viết ptmp qua A, song song với Oy vuông góc với mp (R):3x – y-3z-1=0 e) Viết phương trình mp qua C song song với mp Oyz f) Viết pt mp(P) qua điểm hình chiếu điểm M(2;-3;4) lên trục tọa độ Bài 10 Cho hai đường thẳng (d): x +1 y −1 z − x−2 y+2 z = = = = (d’): 1 −2 a) Chứng tỏ (d) (d’) chéo nhau.Tính khoảng cách (d) (d’) b) Viết phương trình đường vuông góc chung chúng c) Tính góc (d1) (d2) Bài 11 Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-2;1;-1), B(0,2,-1), C(0,3,0), D(1,0,1) a) Viết phương trình đường thẳng BC b) Chứng minh điểm A, B, C, D không đồng phẳng Tính thể tích tứ diện ABCD Bài 12 Cho ( α ) : x + y + z + 17 = đường thẳng (d) giao tuyến hai mặt phẳng 3x – y + 4z – 27 = 6x + 3y – z + = a) Tìm giao điểm A (d) ( α ) b) Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) qua A, vuông góc với (d) nằm mặt phẳng ( α ) Bài 13 Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;4;2) mặt phẳng (P) có phương trình x + 2y + z –1= a) Hãy tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A (P) b) Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P) Bài 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (4 ; -3 ; ) đường thẳng  x = −2 + 3t  (d) có phương trình tham số  y = −2 + 2t  z = −t  a) Viết phương trình mp(P) qua điểm M chứa đường thẳng (d) b) Viết phương trình mp (Q), biết mp(Q) qua M vuông góc đường thẳng (d) c) Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vuông góc M lên đường thẳng (d) Bài 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0), mặt phẳng (P) : x + y + z + = mặt cầu (S) : x + y + z − x + y − z + = a) Tìm điểm N hình chiếu điểm M lên mặt phẳng (P) b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) [...]... 2/ J = ∫ 0  x 1  e + x ÷dx e + 2   2 3/ K = ∫ 1 x2 − 1 ln xdx x2 Lời giải 2 2  2 1 − x2  1 − x2 2 1/ I = ∫  x + dx = x dx + dx 3 ÷ 2 ∫ ∫ x + x x + x  1 1 1 2 2 2 Tính I1 = ∫ x 2 dx = 1 x 3 = 7 3 1 2 2 1− x dx = ∫ 3 x + x 1 1 I2 = ∫ 2 7 3 Vậy I = I1 + I 2 = + ln ln 4 2/ J = ∫ 0 ∫ e dx = e x 0 ln 4 J2 = 1 ∫ e +2 x 0 1  1 + x 2 − 1 2 d ÷ 4 x 1    x2 dx = − ∫ dx = − ln  + x ÷ = ln 1 1 5... x) = x 2 , f 2 ( x) = 2 x + 3  x = 1 ∈ [0 ;2]  x = −3 ∉ [0 ;2] 2 2 Ta có: f1 ( x) − f 2 ( x) = 0 ⇔ x − ( 2 x + 3) = 0 ⇔ x + 2 x − 3 = 0 ⇔   Diện tích hình phẳng đã cho 2 S = ∫ | x 2 + 2 x − 3 | dx 0 1 2 0 1 = ∫ ( x 2 + 2 x − 3)dx + ∫ ( x 2 + 2 x − 3)dx 1 2  x3   x3  =  + x 2 − 3x ÷ +  + x 2 − 3x ÷  3 0  3 1 1 8 1 5 7 − 2 + + 4 − 6 − −1 + 3 = + = 4 3 3 3 3 3 =  x = −1 x = 2 2 2 c) Ta... 1 − x 2 dx π 3 1 ∫1+ x 2 dx 0 Bài 3: Tính các tích phân sau π 2 π 2 1 2 ∫ e sin xdx x 1 ∫ x cos 2 xdx 0 0 1 3 ∫ (2 x − 1)cosxdx 0 π 2 e 4 ∫ xe dx x 5 0 ∫ x ln xdx 1 π 2 0 π 2 7 ∫ ( x + cos 2 x)sin xdx 1 8 ∫ e2 x sin 3xdx 0 6 ∫ ( x 2 + 1)sin xdx 2x 9 ∫ ( x − 2) e dx 0 0 1 e 10 ∫ x ln(1 + x )dx 11 ∫ (2 x + 2) ln xdx 2 0 1 2 12 ∫ x cos x dx 1 13 ∫ (2 x + 7) ln( x + 1)dx 2x 14 ∫ ( x − 2) e dx 0 0 Bài 4:... = 1 1 2t + 1 • Khi đó K 2 = ∫ t + 1 dt = ( 2t − ln ( t + 1) ) 0 = 2 − ln 2 0 • Vậy ta được K = K1 + K 2 = 2 e − ln 2 1 ln 2  ∫  x + 2e 4/ L = 0 1 x  ÷dx +1 ln 2 • Tính L1 = • Tính L2 = ∫ xdx 0 ln 2 ∫ 2e 1 2 ta được kết quả I = ln 2 2 1 x 0 +1 dx x x • Đặt e = t ta được e dx = dt • Đổi cận x = 0 ⇒ t = 1; x = ln 2 ⇒ t = 2 2 dt 5 6 • Khi đó L2 = ∫ t ( 2t + 1) = ( ln t − ln ( 2t + 1) ) 1 = ln 2 − ln... 2t − 6t ) dt =  5 t − 2t ÷ = 5 2 2 4 2 1 2x + 1 dx 0 1 + 3x + 1 2/ J = ∫ t2 −1 2 • Đặt 3x + 1 = t ta được x = 3 ⇒ dx = 3 tdt • Đổi cận x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 2 2 2 2 2t 3 + t 2  2 3  28 2 3 • Khi đó J = 9 ∫ 1 + t dt = 9 ∫  2t − 2t + 3 − t + 1 ÷dt = 27 − 3 ln 2 1 1 e  1 2ln x + 1 3 / K = ∫  + x x ( ln x + 1) 1  ÷ ÷dx  • Tính K1 = ∫ x dx ta được kết quả K1 = 2 ( e − 1) 1 e 1 dx • Đặt... + 1)dx 1 x 1 x 2 9 ∫ (e + x + 1)dx 0 3 e2 3 7x − 2 x − 5 dx 11 ∫ x 1 10 ∫ ( x + 1).dx 3 −1 4 2 13 ∫ ( x − 4)dx −3 8  1  16 ∫  4 x − 12 ∫ x( x − 3)dx 2 2 x2 − 2x 15 ∫ 3 dx x 1  1 1 14 ∫  2 + 3 ÷dx x x  1 2 2  ÷dx 3 3 x2  1 Bài 2: Tính các tích phân sau π 2 1 ∫ sin xcos xdx 3 2 2 π 3 1 ∫ 1 + 4sin xcosxdx 2 3 ∫ x x + 1dx 0 0 1 1 4 ∫ x 1 − x dx 2 5 0 π 2 x2 ∫ x +1 3 0 1 dx π 2 7 ∫ e cosxdx sin... ÷dx = ∫ e dx + ∫ x e +2 e +2  0 0 ln 4 J1 = 3 1 x ln 4 0 =3 dx; t = e x ⇒ t 2 = e x ⇒ 2tdt = e x dx ⇒ dx = 2 2 2 3  t  ⇒ J2 = ∫ dt = ln  ÷ = ln t t + 2) 2  t + 2 1 1 ( Vậy J = J1 + J 2 = 3 + ln 3 2 2 dt t 2 3/K = ∫ 1 x2 −1 ln xdx x2 1  u = ln x 2 du = dx 2  1 11      x 2 ⇒ ⇒ K = x + ln x −  Đặt  x −1  ÷  x + ÷ dx ∫ x xx  1 1 dv = 2 dx v = x + 1 x  x  2 2 1 1 5 3   ⇒ K... ; c), bán kính R (S) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = r 2 2 2 2 (1) +/ (S) : x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 (2) ( vôùi a2 + b2 + c2 − d > 0 ) +/Ta có: Tâm I(a ; b ; c) và r = a 2 + b2 + c 2 − d 1.5 .2 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu Cho (S) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = r 2 và ( α) : Ax + By + Cz + D = 0 2 2 2 Gọi d = d(I,(α)) : khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mp(α)... b = ( a1 ± b1 , a2 ± b2 , a3 ± b3 ) a = ( a1 , a2 , a3 ) , b = ( b1 , b2 , b3 ) r 4 k.a = ( ka1 , ka2 , ka3 ) r 5 a = a 12 + a 22 + a 32 6 7 8 9  a1 = b1 r r  a = b ⇔ a2 = b2 a = b 3  3 rr a.b = a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 r r r r a a a a cp b ⇔ a = k b ⇔ 1 = 2 = 3 b1 b2 b3 r r rr a ⊥ b ⇔ a.b = 0 ⇔ a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 = 0 r r a 10 [a, b] =  2  b2 a3 a3 , b3 b3 a1 a1 a2  , ÷ b1 b1 b2  11 M là trung... 2 + ( y − 3) 2 + ( z − 1 )2 = 6 b) Gọi I là trung điểm BC   Khi đó, I 1; ; 2 ÷, BC = 2  2  2 3 1 69   69 Mặt cầu đường kính BC có tâm I 1; ; 2 ÷, bán kính r = có phương trình:  2  2 3 3 69 ( x − 1) 2 + ( y − ) 2 + ( z + 2) 2 = 2 4 c) Mặt cầu tâm C tiếp xúc với (P) nên có bán kính r = d (C ,( P )) = 0 − 4 − 12 + 1 1+ 4 + 4 =5 Phương trình mặt cầu cấn tìm: x 2 + ( y − 2) 2 + ( z + 6 )2 = 25