Sáng kiến kinh nghiệm GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN VÀ TRÁNH SAI LẦM TRONG KHI GIẢI TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI I ĐẶT VẤN ĐỀ Trong trình giảng dạy thực tế lớp số năm học, phát nhiều học sinh thực hành kỹ giải toán có r ất nhiều học sinh chưa thực hiểu kỹ bậc hai th ực hi ện phép toán bậc hai hay có nhầm lẫn hiểu sai đầu bài, th ực sai mục đích… Việc giúp học sinh nhận nhầm lẫn giúp em tránh đ ược s ự nhầm lẫn công việc vô cần thiết cấp bách, giúp em có am hiểu vững trắc kiến thức bậc hai Qua sáng kiến muốn đưa số sai lầm mà học sinh hay mắc phải trình tiếp thu kiến thức chương bậc hai để từ giúp học sinh khắc phục sai lầm mà em hay mắc phải trình gi ải t ập thi cử Cũng qua sáng kiến muốn giúp giáo viên dạy toán có thêm nhìn mới, ý đến việc rèn luyện kỹ thực hành gi ải toán v ề bậc hai cho học sinh để từ khai thác hiệu đào sâu suy nghĩ t lôgic học sinh giúp học sinh phát triển khả nhận thức II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy môn toán giáo viên có kinh nghiệm trường năm học trước vốn kinh nghiệm thân rút số vấn đề có liên quan đến nội dung sáng kiến Trong năm học vừa qua quan tâm đến vấn đề mà học sinh mắc phải Qua học sinh làm tập lớp, qua kiểm tra hình thức khác nhau, bước đầu nắm sai lầm mà h ọc sinh thường mắc phải giải tập Trong trình thực sáng kiến kinh nghiệm sử dụng phương pháp sau : - Quan sát trực tiếp đối tượng học sinh để phát nh ững v ấn đ ề mà học sinh thấy lúng túng, khó khăn giáo viên yêu cầu giải vấn đề - Điều tra toàn diện đối tượng học sinh l ớp kh ối v ới t số 65 học sinh để thống kê học lực học sinh Tìm hiểu tâm lý c em học môn toán, quan điểm em tìm hiểu nh ững vấn đề giải toán có liên quan đến bậc hai - Nghiên cứu sản phẩm hoạt động GV HS để phát hi ện trình đ ộ nh ận thức, phương pháp chất lượng hoạt động nhằm tìm giải pháp nâng cao ch ất lượng giáo dục - Thực nghiệm giáo dục giải mới, tiết luy ện tập, tiết trả kiểm tra đưa vấn đề h ướng dẫn học sinh trao đ ổi, thảo luận nhiều hình thức khác hoạt động nhóm, giảng giải, vấn đáp gợi mở để học sinh khắc sâu kiến thức, tránh sai lầm giải tập Yêu cầu học sinh giải số tập theo nội dung sách giáo khoa đưa thêm vào yếu tố mới, điều kiện khác đ ể xem xét mức độ nhận thức suy luận học sinh - Phân tích tổng kết kinh nghiệm giáo dục áp dụng nội dung nghiên cứu vào thực tiễn giảng dạy nhằm tìm nguyên nhân sai lầm mà học sinh thường mắc phải giải toán Từ tổ ch ức có hi ệu qu ả h ơn dạy III NHỮNG CÔNG VIỆC THỰC TẾ ĐÃ LÀM Qua nhiều năm giảng dạy môn toán tham khảo ý kiến đ ồng nghiệp nhiều năm kinh nghiệm, nhận thấy : trình hướng dẫn học sinh giải toán Đại số bậc hai học sinh lúng túng vận d ụng khái niệm, định lý, bất đẳng thức, công thức toán học Sự vận dụng lí thuyết vào việc giải tập cụ thể học sinh chưa linh hoạt Khi gặp toán đòi hỏi phải vận dụng có s ự tư h ọc sinh không xác định phương hướng để giải toán dẫn đến lời giải sai ho ặc không làm Một vấn đề cần ý kỹ giải toán tính toán c b ản c m ột số học sinh yếu Để giúp học sinh làm tốt tập bậc hai phần chương I đại số người thầy phải nắm khuy ết điểm mà h ọc sinh th ường mắc phải, từ có phương án “ Giúp học sinh phát tránh sai l ầm gi ải toán bậc hai” Chương “Căn bậc hai, bậc ba” có hai nội dung chủ yếu phép khai phương (phép tìm bậc hai số học số không âm) số phép biến đổi biểu thức lấy bậc hai Giới thiệu số hiểu biết bậc ba, thức bậc hai bảng bậc hai Nội dung bậc hai A Kiến thức Nội dung chủ yếu bậc hai phép khai ph ương (phép tìm b ậc hai số học số không âm) số phép biến đổi biểu thức lấy bậc hai * Nội dung phép khai phương gồm : - Giới thiệu phép khai phương(thông qua định nghĩa, thuật ngữ bậc hai số học số không âm) - Liên hệ phép khai phương với phép bình phương(với a≥0, có ( a) = a; với a có a =| a | ) - Liên hệ phép khai phương với quan hệ thứ tự(SGK th ể b ởi Đ ịnh lý v ề so sánh bậc hai số học : “Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : a < b ⇔ a < b ”) - Liên hệ phép khai phương với phép nhân phép chia(th ể b ởi : đ ịnh lý “ Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : ab = a b ” định lý “ Với a ≥ 0, b > 0, ta có : a = b a b ”) * Các phép biến đổi biểu thức chứa bậc hai mà SGK giới thiệu cho công thức sau : (v ới A bi ểu th ức đ ại s ố hay nói g ọn bi ểu A = | A| thức ) AB = A = B A B A ( với A, B hai biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ 0) ( với A, B hai biểu thức mà A ≥ 0, B > 0) B A B =| A | B ( với A, B hai biểu thức mà B ≥ ) A = AB B B ( với A, B hai biểu thức mà AB ≥ 0, B ≠ ) A ( với A, B biểu thức B > 0) B = A B B C A±B = C A± B C ( A B ) A − B2 = C( A  B ) A− B (với A, B, C biểu thức mà A≥ A ≠ B2) ( với A, B, C biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ A ≠ B) * Tuy nhiên mức độ yêu cầu phép biến đổi khác chủ yếu việc giới thiệu phép nhằm hình thành kỹ biến đổi bi ểu thức( số phép giới thiệu qua ví dụ có kèm thuật ngữ Một s ố phép g ắn với trình bày tính chất phép tính khai phương) B Kỹ Hai kỹ chủ yếu kỹ tính toán kỹ biến đổi biểu thức * Có thể kể kỹ tính toán : - Tìm khai phương số ( số số phương khoảng từ đến 400 tích hay thương chúng, đặc bi ệt tích ho ặc thương số với số 100) - Phối hợp kỹ khai phương với kỹ cộng trừ nhân chia s ố ( tính theo thứ tự thực phép tính tính h ợp lý có s d ụng tính ch ất c phép khai phương) * Có thể kể kỹ biến đổi biểu thức : - Các kỹ biến đổi riêng lẻ tương ứng với công thức nêu phần trên( với công thức dạng A = B , có phép bi ến đổi A thành B phép bi ến đ ổi B thành A) Chẳng hạn kỹ nhân hai căn(thức) bậc hai có th ể coi v ận d ụng công thức AB = A B theo chiều từ phải qua trái - Phối hợp kỹ đó( kỹ có lớp trước) để có kỹ biến đổi biểu thức chứa thức bậc hai Chẳng h ạn k ỹ trục thức mẫu Điều quan trọng rèn luyện kỹ biến đổi biểu thức tính mục đích phép biến đổi Điều này, SGK ý thông qua ứng d ụng sau hình thành ban đầu kỹ biến đổi biểu thức Các ứng dụng nhằm phong phú thêm cách thức rèn kỹ năng( để so sánh số, giải toán tìm x tho ả mãn điều kiện đó.) Ngoài hai kỹ nêu ta thấy có kỹ hình thành củng cố phần : - Giải toán so sánh số - Giải toán tìm x - Lập luận để chứng tỏ số bậc hai số học số cho - Một số lập luận giải toán so sánh số(củng cố tính ch ất b ất đ ẳng th ức nêu toán 8) - Một số kỹ giải toán tìm x ( kể việc giải phương trình tích) - Kỹ tra bảng số sử dụng máy tính C - Những sai lầm thường gặp học sinh giải toán bậc hai Như trình bày học sinh mắc vào hai hướng sai lầm chủ yếu sau : Sai lầm thuật ngữ toán học Ví dụ : Tính 16 Học sinh đến giải sai sau : 16 = - có nghĩa 16 = ± Như học sinh tính số 16 có hai bậc hai hai số đối : 16 = 16 = - Do việc tìm bậc hai bậc hai số học nhầm lẫn với Lời giải : 16 = ( giải thích thêm > 42 = 16) Trong toán sau không cần yêu cầu học sinh phải giải thích * So sánh bậc hai số học : Với hai số a b không âm, ta có a < b ⇔ a < b Ví dụ : so sánh 15 Học sinh loay hoay nên so sánh chúng theo hình thức theo định nghĩa số 15 bậc hai số học 15 đem so sánh với số số có hai bậc hai số học -2 v ới suy nghĩ học sinh đưa lời giải sai sau : < 15 (vì hai bậc hai nhỏ 15 ) Tất nhiên sai học sinh em hiểu nh ầm sau học song mà sau học thêm loạt khái niệm h ệ th ức học sinh không ý đến vấn đề quan trọng Lời giải : 16 > 15 nên 16 > 15 Vậy = 16 > 15 giáo viên cần nhấn mạnh ta so sánh hai bậc hai số học! * Sai thuật ngữ ý định nghĩa bậc hai số học : với a ≥ 0, ta có : Nếu x = a x ≥ x2 =a; Nếu x ≥ x2 =a x = a Ví dụ : Tìm số x, không âm biết : x = 15 Học sinh áp dụng ý thứ giải sai sau : Nếu x = a x ≥ x2 =a; phương trình x2 = a có nghiệm x = a x =- a học sinh giải lớp nên em giải toán sau : Do x ≥ nên x = 152 hay x = 225 x = -225 Vậy tìm hai nghiệm x1 =225 x2 =-225 Lời giải : từ ý bậc hai số học, ta có x = 15 Vậy x =225 * Sai thuật ngữ khai phương : Ví dụ : Tính - 25 - Học sinh hiểu phép toán khai phương phép toán tìm bậc hai số học số không âm nên học sinh s ẽ nghĩ - 25 bậc hai âm số dương 25, dẫn tới lời giải sai sau : - 25 = - Lời giải : - 25 = -5 * Sai sử dụng thức bậc hai đẳng thức A = | A| ∙ Căn thức bậc hai : Với A biểu thức đại số, người ta gọi A thức bậc hai A, A gọi biểu thức lấy hay biểu thức dấu A xác định (hay có nghĩa ) A lấy giá trị không âm ∙ Hằng đẳng thức : A = | A| Cho biết mối liên hệ phép khai phương phép bình phương Ví dụ : Hãy bình phương số -8 khai phương kết vừa tìm Học sinh với vốn hiểu biết có lời giải sau (lời giải sai) : (-8)2 = 64 , nên khai phương số 64 lại -8 Lời giải : (-8)2 = 64 64 = Mối liên hệ a = | a| cho thấy “ Bình phương số, khai phương kết đó, chưa số ban đầu” Ví dụ : Với a2 = A A chưa a Cụ thể ta có (-5)2 = 25 định kết 25 = 5; nhiều ví dụ tương tự khảng Sai lầm kỹ tính toán Ví dụ : Tìm x, biết : 4(1 − x) - = * Lời giải sai : 4(1 − x) - = ⇔ (1 − x) = ⇔ 2(1-x) = ⇔ 1- x = ⇔ x = - * Phân tích sai lầm : Học sinh chưa nắm vững ý sau : Một cách tổng quát, với A biểu thức ta có A = | A|, có nghĩa : A = A A ≥ ( tức A lấy giá trị không âm ); A = -A A < ( tức A lấy giá trị âm ) Như theo lời giải bị nghiệm * Lời giải : 4(1 − x) - = ⇔ (1 − x) = ⇔ | 1- x | = Ta phải giải hai phương trình sau : 1) 1- x = ⇔ x = -2 2) 1- x = -3 ⇔ x = Vậy ta tìm hai giá trị x x1= -2 x2= Ví dụ : Rút gọn biểu thức : x2 − x+ * Lời giải sai : x2 − x+ = ( x − )( x + ) x+ = x - * Phân tích sai lầm : Rõ ràng x = - x + = 0, biểu thức x −3 x + không tồn Mặc dù kết giải học sinh không sai, sai lúc giải lập luận, biểu thức không tồn có kết * Lời giải : Biểu thức phân thức, để phân thức tồn c ần phải có x + ≠ hay x ≠ - Khi ta có x2 − x+ ( x − )( x + ) = x+ = x - (với x ≠ - ) Ví dụ : Rút gọn M, tìm giá trị nhỏ M  M =  a− a +  a +1  : với a > a − 1 a − a + 1 * Lời giải sai :  M =  a− a +  1+ a  a +1  a +1 :  : =   a − 1 a − a +  a ( a − 1)  ( a − 1)