PHƯƠNG PHÁP DÙNG TAM THỨC BẬC HAI Đổi biến để đưa tam thức bậc hai biến VD: Tìm GTLN của: A = x + 2 x Giải: Điều kiện: x  Đặt  x = y  Ta có y2 = – x 9 ) +  4 1 MaxA =  y    x   x  4 A = - y2 + y = - (y- Đổi biến để đưa bất phương trình bậc hai biến VD: Tìm GTLN, GTNN A = x2 + y Biết x2 (x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = (1) Giải: Từ (1) suy (x2 + y2)2 – (x2 + y2) + = - x2  Do A2 – 4A +   (A – 1)(A – 3)   A 3 Min A =  x = 0, y =  MaxA =  x = 0, y =  3 Đưa phương trình bậc hai sử dụng điều kiện   VD1: Tìm GTLN, GTNN của: A= x2  x 1 x2  x 1 Giải: Biểu thức A nhận giá trị a phương trình sau có nghiệm a= x2  x 1 x2  x 1 Do x2 + x +  nên (1)  ax2 + ax + a = x2 – x – (1)  (a – 1)x + (a + 1)x + (a – 1) = (2) Trường hợp 1: Nếu a = (2) có nghiệm x = Trường hợp 2: Nếu a  điều kiện cần đủ để (2) có nghiệm   0, tức là: (a +1)2 – 4(a – 1)2   (a + + 2a – 2) (a + – 2a +2)   (3a – 1) (a – 3)    a3 (a  1) a = nghiệm (2) : (a  1) a 1 x  2(a  1) 2(1  a ) Với a = x = Với a = Với a = x = -1 Gộp hai trường hợp (1) (2), ta có: MinA = x = MaxA = x = -1 Nhận xét: a) Phương pháp giải gọi phương pháp miền giá trị hàm x2  x 1 số Đoạn  ;3 tập giá trị hàm số A = x  x 1 3  b) Cách khác tìm GTLN A: A= x  3x   x  x  2( x  1)2   3 x2  x  x2  x 1 MaxA = x = -1 c) Cách khác tìm GTNN A: 3x  x  x2  x 1 2( x  x  1) 2( x  1)      x  x  3( x  x  1) 3( x  x  1) x  x  MinA = x = A= VD2: Tìm GTLN GTNN của: x2  x  A= x2 1 Giải: Biểu thức A nhận giá trị a phươg trình sau có nghiệm a= x2  x  x2 1 (1) Do x2 + > nên (1)  x2(a – 2) – 4x + a – = Trường hợp 1: Nếu a = (2) có nghiệm x = - (2) Trường hợp 2: Nếu a  phương trình (2) có nghiệm  ' = – (a – 2)(a – 5)   a  7a     a   a   Với a = x = -2 Với a = x = Kết hợp hai trường hợp (1) (2), ta có: MinA = x = -2 MaxA = x = VD3: Tìm GTLN GTNN của: B = 2x2 + 4xy + 5y2 biết x2 + y2 = a ( a số, a  1) Giải: Vì a  nên ta có: B x  xy  y 2 x  xy  y =  a a x2  y Trường hợp 1: Nếu y = B =2 a Trường hợp 2: Nếu y  ta đặt t = x B 2t  4t  = y a t2 1 Theo VD2 điều kiện để phương trình ẩn t có nghiệm 1 b  nên a  b  6a ( a  1) a Từ suy MaxB = 6a x   y  2x y  5a 5a    5a 2 5a  , ,  ;   5 5     Hay (x, y) nhận giá trị  MinB = a x  mx  n x  2  x  2 y x2  2x  y  5a  5a    a a  , , ;    5   Hay (x, y) nhận giá trị  VD4: Tìm GTLN GTNN của: c= x 1 x  2 Giải: Điều kiện:  x  Đặt z = x z2 + y2 = (1) Ta cần tìm GTLN GTNN d = 4z + 3y với 2c = d + Điều kiện:  z  1,  y  1,  d  Thay 9y2 = (d – 4z)2 vào (1), ta được: 25z2 – 8dz + d2 – = Để phương trình có nghiệm z    d2  25  d  Maxd =  Maxc = đạt z= 4d 16 =  x  z2  (thoả mãn  x  ) 25 25 d = z  y  12 yz Đẳng thức xảy 4z = 3y Thay vào (1) ta tính z = ,y  ,x  20 400 (thoả mãn  x  ) Lúc Mind = 41   Minc =  4,1 25 10 VD5: Cho biểu thức A = x  mx  n x2  2x  Tìm giá trị m, n để biểu thức A có GTNN , GTLN 3 Giải: Gọi a giá trị tuỳ ý biểu thức A Ta có: x  mx  n 2 a=  x + mx + n = ax + 2ax + 4a x  2x   (a – 1)x + (2a – m) + (4a – n) = (1) Theo điều kiện toán, giá trị a = không GTLN, không GTNN A nên ta xét a  Điều kiện để (1) có nghiệm là: f ( x, y )   g  x, y      y  x    y  2 x         12a   m  n   a  4n  m  (2) Nghiệm bất phương trình (2) a1  a  a2 Trong a1, a2 nghiệm phương trình:   12a   m  n   a  4n  m2  Theo đề bài, ta phải có a1  , a2  Theo hệ thức Vi- et phương trình (3) :  4  m  n    4nm 3  a1  a2   4  n  m  10 3 12    2 4n  m  12 a a  4n  m   4n  m   12 12 Thay n = + m vào 4n – m2 = 12 ta được: 4n – m2 – 12 = nên m = m = -2 Với m = n = 12, A x  x  12 có GTNN GTLN x  2x  Với m = -2 n = 4, A x  x  12 có GTNN GTLN x  2x  Bài tập đề nghị: Bài Tìm GTLN, GTNN của: M   x  1 x   x  3 x   (3) Bài Tìm GTLN, GTNN của: A x x 1 Bài Tìm GTLN, GTNN của: x2  x  B x2 1 Bài Tìm GTLN, GTNN của: C 2x2  2x  2x2  x  Bài Tìm GTLN, GTNN của: D 2x2  2x  x2  Bài Tìm GTNN của: E  3x  x2 Bài Tìm GTNN của: F  x  x2  x với x >