Đỗ Văn Hùng Rèn luyện phát triển t toán học , TR 28-36 GóP PHầN Rèn luyện phát triển t toán học cho sinh viên ngành s pHạM toán thông qua hoạt động Huy động - Tổ chức vận dụng kiến thức kinh nghiệm Đỗ Văn Hùng (a) Tóm tắt Trong viết này, đề cập đến vấn đề rèn luyện phát triển t toán học cho sinh viên đại học ngành s phạm toán trình dạy học toán trờng s phạm dựa việc hớng dẫn sinh viên tham gia hoạt động Huy động - Tổ chức vận dụng kiến thức kinh nghiệm Đây hoạt động hữu hiệu để rèn luyện phát triển t cho sinh viên trình dạy học toán Đặt vấn đề Rèn luyện phát triển t nói chung, t toán học nói riêng cho sinh viên s phạm trình dạy học toán yêu cầu, nhiệm vụ quan trọng, đợc đặt từ lâu trờng s phạm Đây vấn đề mới, đợc nhiều tác giả quan tâm mức độ khác đợc nhiều nhà khoa học chọn làm đề tài nghiên cứu Ngày nay, trớc đổi phát triển, trớc yêu cầu xã hội, khoa học công nghệ, đòi hỏi ngành giáo dục đào tạo phải đáp ứng nguồn nhân lực có chất lợng cao, đào tạo ngời động, sáng tạo lao động sống vấn đề đòi hỏi trờng s phạm phải quan tâm nhiều Các thao tác cần thiết để rèn luyện phát triển t toán học cho ngời học trình dạy học toán, nh phơng pháp t đợc nhiều nhà nghiên cứu khoa học giáo dục đề cập giáo trình Tâm lý học, Giáo dục học, Lý luận phơng pháp dạy học môn toán, Tuy nhiên, khó khăn đặt cho giáo viên giảng dạy trờng phổ thông với khoảng thời gian ngắn giảng dạy lớp, ngời giáo viên phải làm nào, dạy nh để vừa giúp học sinh lĩnh hội đợc nội dung kiến thức theo chơng trình quy định, vừa rèn luyện phát triển t toán học cho học sinh trình dạy học toán Để nâng cao hiệu việc rèn luyện phát triển t toán học cho học sinh trình dạy toán phổ thông sau việc phải hiểu thấu, nắm vững kiến thức chuyên môn, phơng pháp dạy học môn, trớc hết sinh viên ngành s phạm toán phải có kỹ năng, có phơng pháp để rèn luyện phát triển t toán học trình học toán trờng s phạm Rèn luyện phát triển t dạy học toán 2.1 Cơ sở khoa học việc rèn luyện phát triển t toán học Theo Tâm lý học, T trình nhận thức, phản ánh thuộc tính chất, mối quan hệ có tính quy luật vật tợng Sản phẩm t khái niệm, phán đoán, suy luận đợc biểu đạt ngôn Nhận ngày 06/5/2008 Sửa chữa xong 21/7/2008 28 trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 2A-2008 ngữ nói, viết, ký hiệu Theo K K Plantônôv, t hoạt động trí tuệ với trình gồm bớc bản: xác định đợc vấn đề (tìm đợc câu hỏi cần giải đáp); huy động tri thức, kinh nghiệm, liên tởng hình thành giả thuyết cách giải vấn đề, trả lời câu hỏi; kiểm nghiệm xác minh giả thuyết (chứng minh); nhận xét, đánh giá kết quả, vận dụng Theo Từ điển Tiếng Việt (Hoàng Phê - chủ biên), t giai đoạn cao trình nhận thức, sâu vào chất phát quy luật vật hình thức nh biểu tợng, phán đoán suy lý Nh vậy, t giúp ngời nắm đợc chất quy luật vận động tự nhiên, xã hội ngời; t có tác dụng cải tạo lại thông tin nhận thức cảm tính làm cho chúng có ý nghĩa sống; t vận dụng biết để đề giải pháp giải tơng tự, tiết kiệm đợc công sức T toán học đợc hiểu trình nhận thức, phản ánh thuộc tính chất, phát mối quan hệ bên có tính quy luật đối tợng toán học mà trớc ta cha biết Sản phẩm t toán học khái niệm, định lý, quy tắc, phơng pháp, suy luận, mang tính khái quát, tính trừu tợng cao, có tính khoa học, tính lôgic chặt chẽ, tri thức có mối quan hệ mật thiết hỗ trợ lẫn nhau, đợc biểu đạt chủ yếu ngôn ngữ viết (ký hiệu, biểu thức, công thức,) Theo Phơng pháp dạy học đại cơng môn toán tác giả Nguyễn Bá Kim [3] thì: việc dạy học toán không dừng lại chỗ để ngời học lĩnh hội đợc tri thức toán học, rèn luyện đợc kỹ năng, kỹ xảo, mà đòi hỏi không ngừng nâng cao yêu cầu để thúc đẩy phát triển ngời học, buộc họ phải tích cực suy nghĩ, phấn đấu nhằm đạt đợc mục tiêu, đồng thời qua hình thành rèn luyện cho ngời học phơng pháp suy nghĩ, phơng pháp t phơng pháp làm việc khoa học Phát triển t toán học cho ngời học lĩnh vực vừa rộng lớn, vừa khó khăn, ngời giáo viên dạy toán cần phải biết tích luỹ kiến thức, rút kinh nghiệm cách thờng xuyên lâu dài, để từ vững vàng chuyên môn nghiệp vụ, có biện pháp rèn luyện phát triển t toán học cách thích hợp cho loại học sinh trình giảng dạy Theo tác giả Nguyễn Duy Thuận [6] việc rèn luyện phát triển t cho học sinh nhiệm vụ quan trọng nghiệp giáo dục, đặc biệt trình dạy học toán Nó phải trải qua trình thờng xuyên vận dụng nguyên tắc t cách thích hợp, phải xuất phát từ vấn đề dễ đến khó, từ trờng hợp đơn giản đến phức tạp, phải vận dụng phơng pháp suy luận cách linh hoạt Kiến thức toán học đợc xếp theo hệ thống lôgic chặt chẽ liên tục, tri thức trớc làm sở cho tri thức sau phải hiểu nắm vững kiến thức, có kiến thức có sở để dựa mà t đắn, hiểu biết sâu sắc, kiến thức vững vàng t xác, mạch lạc 29 Đỗ Văn Hùng Rèn luyện phát triển t toán học , TR 28-36 Việc hiểu, nắm vững hệ thống kiến thức học thực hành vận dụng chúng thờng xuyên học tập hội để rèn luyện t duy, tạo dựng đợc kỹ t t đợc phát triển Tuy nhiên, dừng lại việc thực hành vận dụng kiến thức học theo khuôn mẫu đợc đặt, định sẵn mà phân tích, đánh giá, phê phán để loại bỏ bất hợp lý đúc rút kinh nghiệm t thiếu linh hoạt Việc đúc rút tích luỹ kinh nghiệm sau giải vấn đề, toán không hội rèn luyện hoàn thiện thao tác t mà giúp ngời học t sâu sắc hơn, phát triển Một hoạt động hữu hiệu để rèn luyện phát triển t toán học cho học sinh trình dạy học toán hớng dẫn cho học sinh tham gia hoạt động Huy động - Tổ chức vận dụng kiến thức kinh nghiệm có 2.2 Những khía cạnh cần rèn luyện cho sinh viên trình dạy học toán Để phát triển t toán học trình dạy học toán, cần ý rèn luyện cho ngời học số ý thức kỹ nh: ý thức tự học, tự phát giải vấn đề; kỹ sử dụng phơng pháp suy luận phân tích, tổng hợp; kỹ vận dụng thao tác t khái quát hoá, đặc biệt hoá, tơng tự quy nạp, trình giải vấn đề Cụ thể là: - Phân tích toán cách toàn diện dới nhiều khía cạnh, nhiều góc độ khác nhau, chia toán thành nhiều toán nhỏ, xét khả xảy ra, đa toán dạng sử dụng đợc định lý, công thức, khái niệm biết, sở tìm mối quan hệ đối tợng, khái niệm từ huy động kiến thức, kinh nghiệm có để dự đoán cách giải cho vấn đề, trờng hợp - Chuyển từ việc nghiên cứu cách giải trờng hợp đơn lẻ, trờng hợp cụ thể toán sang giải trờng hợp tổng quát ngợc lại, từ cho ta gợi ý tốt để tìm phơng án, cách thức giải vận dụng kiến thức, kinh nghiệm có vào thực giải vấn đề - Khai thác đánh giá cách giải toán để phát sai lầm, nguyên nhân sai lầm, tìm nhiều cách giải khác nhau, từ tìm đợc cách giải tốt hơn, rút phơng pháp giải chung cho lớp toán tơng tự đề xuất vấn đề mới, toán - Tổng kết, đúc rút kinh nghiệm tìm cách ứng dụng vào giải vấn đề thực tiễn Thông thờng, trớc vấn đề, toán cần giải quyết, sinh viên phải thực loạt hoạt động trí tuệ: 1) Xác định yêu cầu, nhiệm vụ cần giải quyết, xác định kiện biết, từ dùng thao tác t phát mối quan hệ chúng mối quan hệ với kiến thức, kinh nghiệm có; 30 trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 2A-2008 2) Khoanh vùng, huy động kiến thức liên quan (khái niệm, tính chất, định lý, quy tắc,) kinh nghiệm có, sử dụng (vấn đề tơng tự, toán tơng tự, cách thức giải quyết,) vận dụng trờng hợp này, tự đặt câu hỏi tìm cách tự trả lời, từ đa phán đoán, định hớng cách giải quyết; 3) Lập kế hoạch giải bớc vấn đề đặt ra, xác định vấn đề cần giải trớc vấn đề giải sau, kiến thức vận dụng trớc kiến thức vận dụng sau, thực bớc theo kế hoạch giải; 4) Phân tích u, nhợc điểm cách giải thực để tìm cách giải khác hợp lý hơn, từ đúc rút, tích luỹ kinh nghiệm; 5) Thay đổi kiện toán mức độ khác nhau, tìm cách phát triển vấn đề, toán giải thành vấn đề mới, toán Hoạt động huy động - vận dụng kiến thức liên quan kinh nghiệm có sinh viên để phát triển t toán học cho sinh viên diễn suốt trình học toán, nhiên hoạt động mang lại hiệu nhiều trình thực bớc giải toán Theo G Pôlya, muốn huy động kiến thức liên quan, kinh nghiệm có vận dụng chúng cách thích hợp vào giải toán cụ thể ngời học cần phải biết: khoanh vùng kiến thức biết tơng ứng với toán; xác định mối quan hệ toán giải với khái niệm, định lý, công thức, tính chất, với dạng toán biết; hồi tởng lại khái niệm, định lý, công thức, tính chất, dạng toán biết cách giải; 2.3 Một số ví dụ Sau đây, đa vài ví dụ minh hoạ việc bớc rèn cho sinh viên số hoạt động trí tuệ trình tự học, tự nghiên cứu thực hành giải toán sơ cấp f (0) = với n N Để giải f (n + 1) = f (n) Ví dụ 1: Tìm f (100) = ? biết toán này, sinh viên thực loạt hoạt động trí tuệ sau đây: 1) Xác định yêu cầu toán tìm f (100) = ? với kiện f (0) = / n N , đồng thời định hớng cách giải cách từ biểu f (n + 1) = f (n) thức cho biết, tính lần lợt giá trị f (1); f (2); để tìm đợc f (100) Tuy nhiên, nhận thấy việc làm nh không hiệu tốn nhiều thời gian công sức trình tính toán 2) Huy động kiến thức liên quan kinh nghiệm có, sinh viên nhận thấy toán dạng tìm giá trị hàm số với đối số số tự nhiên n nhận thấy toán tìm số hạng u100 cấp số nhân: u0 , u1 , u2 , , un có 31 Đỗ Văn Hùng Rèn luyện phát triển t toán học , TR 28-36 u0 = 5, q = Nh vậy, kiến thức kinh nghiệm cần huy động, vận dụng liên quan đến hàm số, tính giá trị hàm số tìm số hạng cấp số nhân, Vấn đề đặt phải biểu diễn f ( n) biểu thức đơn giản dùng công thức tính số hạng tổng quát cấp số nhân 3) Lập kế hoạch giải toán tìm cách biểu diễn f ( n) dạng hàm số f ( n) = 5.3n (bằng phơng pháp quy nạp) dùng công thức tìm số hạng tổng quát cấp số nhân un = 5.3n từ tính f (100) nhanh 4) Nhận xét u, nhợc điểm cách giải này, sinh viên nhận thấy rằng: phải làm toán trung gian, nhng thời gian công sức tính toán giảm nhiều Từ đó, rút kinh nghiệm trớc toán ta nên suy nghĩ tìm cách đa dạng toán quen thuộc biết cách giải 5) Phân tích toán, thay đổi thêm, bớt kiện toán, dùng phơng pháp suy luận khái quát hoá, tơng tự, để phát triển thành toán mới, toán tổng quát Chẳng hạn, từ cách giải kết giải toán cho, ta f (0) = a với f (n + 1) = b f (n) rút công thức cho toán dạng tổng quát Tìm f (k ) = ? biết n N , kết cần tìm là: f (k ) = a.b k ; phát triển thành toán: Tìm f (0) = f (100) = ? biết với n N Để tìm kết toán này, sinh f (n + 1) = f (n) + viên vận dụng kinh nghiệm đúc rút đợc từ cách giải toán cách biến đổi kiện toán cho dạng f (0) = đặt f (n + 1) + = 3.[ f (n) + ] F (n + 1) = f (n + 1) + Việc huy động - vận dụng kiến thức kinh nghiệm đòi hỏi sinh viên phải có kỹ t linh hoạt, phải biết vận dụng tính chất định lý thích hợp, vận dụng phơng pháp giải toán tơng tự biết, đồng thời phải thờng xuyên rèn luyện Ví dụ 2: Tìm số n Z cho: n + n + 4n3 + 6n + 4n + số nguyên tố Giải toán sinh viên cần phải: 1) Xác định đợc yêu cầu toán tìm số n Z , vi d kiện toán cho biết n + n + 4n3 + 6n + 4n + số nguyên tố 2) Huy động kiến thức liên quan, kinh nghiệm có số nguyên, số nguyên tố, phơng pháp chứng minh biểu thức số nguyên tố, biến đổi biểu thức thành nhân tử, từ định hớng tìm cách giải 3) Lập kế hoạch giải thực bớc giải: biến đổi biểu thức thành nhân tử với hệ số nguyên, cho thừa số tìm n xét điều kiện lại 32 trờng Đại học Vinh toán, từ Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 2A-2008 tìm giá trị thích hợp Ta có: n + = (n + 1) 2.n = (n + n).(n + + n) , nhận thấy nhân tử không 2 2 có hệ số nguyên, phải tìm trực tiếp sinh viên tìm đợc nhiều giá trị, chẳng hạn: n = 1; 2; 6; Mt khác n + 4n3 + 6n + 4n + = n ( n + 1) + 4n.( n + 1) + 5.( n + 1) = = (n + 1).(n + 4n + 5) = (n + 1).[(n + 2)2 + 1] Theo giả thiết n + 4n3 + 6n + 4n + số nguyên tố nên ( n + 1).[( n + 2) + 1] số nguyên tố n2 + = Khi ó (n + 2) + = n = n = Kiểm chứng hai trờng hợp ta thấy có n = thoả mãn điều kiện n + n + 4n3 + 6n + 4n + số nguyên tố 4) T cách giải toán, thấy vấn đề cốt lõi sinh viên biết cách biến đổi biểu thức thành nhân tử, biết chọn biểu thức thích hợp vận dụng khái niệm số nguyên tố 5) Thay đổi biểu thức kiện toán thay đổi cách diễn đạt ta có toán mới, chẳng hạn: Cho n Z , chng minh rng n + n + 4n3 + 6n + 4n + số nguyên tố n = Ví dụ 3: Cho đờng tròn (O) hai dây cung AB, CD cắt E Giả sử M điểm thuộc đoạn BE Tiếp tuyến E với đờng tròn ngoại tiếp tam giác DEM cắt dây BC F cắt dây AC kéo dài G Chứng minh: EF MB = (xem hinh 1) EG MA 1) Yêu cầu giải toán cụ thể rõ ràng, nhiên việc định hớng để tìm cách giải không đơn giản, sinh viên cần phải phân tích kỹ kiện toán để hiểu rõ toán C F B E M A D 2) Huy động - Vận dụng kiến thức, kinh G Hình nghiệm có vào giải toán sinh viên phải t cách linh hoạt, t t câu hỏi tự tìm cách trả lời để nhn dng, phân loại, khoanh vùng toán; phi bit đoán (đôi phải mò mẫm) nh hng kiến thức liên quan, kinh nghiệm biết cần huy động, vận dụng chứng minh toán Chẳng hạn - Xét xem biểu thức cần phải chứng minh toán tơng đơng với biểu thức nào? 33 Đỗ Văn Hùng ( Rèn luyện phát triển t toán học , TR 28-36 EF MB EF MA = EF MA = EG.MB = ); EG MA EG.MB - Các đoạn EF, EG, MB, MA quan hệ với đối tợng hình học nào? (đoạn EF cạnh tam giác EFB EFC, đoạn EG cạnh tam giác EAG EAC, đoạn MA, MB biểu diễn MA = ME + EA, MB = EB ME ); - Các đoạn ME, EA, EB quan hệ với đối tợng hình học nào? (đoạn ME cạnh tam giác EMD, đoạn EA cạnh tam giác ECA, đoạn EB cạnh tam giác ECB); - Các đờng tròn, tiếp tuyến đờng tròn, góc nội tiếp, tam giác ABC, EMD nội tiếp đờng tròn cho biết quan hệ với đoạn thẳng tỷ lệ thức? - Nh li hoc liên hệ với công thức, định lý, tính chất, toán tơng tự giải, T phán đoán quan hệ đối tợng hình học theo phân tích trên, sinh viên tự huy động kiến thức, kinh nghiệm đa hàng loạt mối quan hệ kết để phán đoán, định hớng tìm cách chứng minh toán 3) Chng minh: Do tam giác ECB, ECA có chiều cao hạ từ C áp dụng tính chất diện tích tam giác, ta có: dt ( ECF ) + dt ( EFB ) EB dt ( ECB ) dt ( ECF ) + dt ( EFB ) dt ( EMD) = = = EA dt ( ECA) dt ( ECG ) dt ( EAG ) dt ( ECG ) dt ( EAG ) dt ( EMD) áp dụng công thức tính diện tích tam giác qua cạnh sin góc xen giữa, ta có: FEC = DEG = EMD dt ( ECF ) EF EC dt ( ECG ) EC.EG = = dt ( EMD) ME.MD dt ( EDM ) ME.MD MDE = BEF = AEG dt ( EFB ) EF EB dt ( AEG ) EA.EG = = dt ( EMD) DM DE dt ( EDM ) DM DE Khi ó dt ( ECF ) dt ( EFB ) EF EC EF EB + + EB dt ( EMD) dt ( EMD) ME.MD DM DE EF ( EC.DE + EB.ME ) = = = EC.EG EA.EG EA dt ( ECG ) dt ( EAG ) EG ( EC DE EA ME ) dt ( EMD) dt ( EMD) ME.MD DM DE Mt khác EC.ED = EA.EB , 34