Vận dụng tính chất đường phân giác của tam giác để giải toán hình học 8 CẤU TRÚC CỦA GIẢI PHÁP A. PHẦN MỞ ĐẦU: I. Lý do chọn đề tài. II. Mục đích của đề tài. III. Phạm vi nghiên cứu của đề tài. IV. Đối tượng nghiên cứu. V. Thời gian nghiên cứu. B. NỘI DUNG: I. Đánh giá thực trạng. II. Giải pháp thực hiện. C. KẾT QUẢ: : . I. Kết quả đạt được. II. Đế xuất. III. Tài liệu tham khảo. GV: Lê Đình Lượm - Trường THCS Nguyễn Đình chiểu Trang 1 C ộ n g h ò a x ã h ộ i c h ủ n g h ĩ a v i ệ t n a m Vận dụng tính chất đường phân giác của tam giác để giải toán hình học 8 GIẢI PHÁP HỮU ÍCH “ VẬN DỤNG TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC 8 “ A. PHẦN MỞ ĐẦU: I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: - Trong quá trình giảng dạy toán ở THCS về việc bồi dưỡng học sinh đã nắm vững kiến thức cơ bản của toán học trở thành học sinh khá, học sinh giỏi là không dễ dàng nhưng cũng không đến nỗi khó khăn. - Muốn đạt được học sinh giỏi cấp thành phố, cấp tỉnh theo tôi việc rèn luyện cho học sinh khả năng chứng minh, tính diện tích tam giác dựa vào tính chất đường phân giác trong tam giác của hình học 8 là không thể thiếu. - Tính chất đường phân giác trong tam giác ở chương trình toán 8 chỉ gồm 2 tiết nhưng nó lại có vai trò rất lớn trong việc giải toán, có thể vận dụng làm rất nhiều bài toán hay, bài toán khó. - Học sinh có thể vận dụng tính chất đường phân giác trong tam giác vào việc chứng minh, phát hiện ra những định lí mới, qua đó phát triển kĩ năng, kĩ xảo trong chứng minh hình học. - Cấu trúc của bài tính chất đường phân giác rải rác không liên tục dẫn đến học sinh tiếp thu hệ thống rất khó khăn, vì vậy khi học đến phần nầy giáo viên phải hệ thống lại. - Xuất phát từ những lí do trên trong một chừng mực nào đó tôi mạnh dạn chọn chọn giải pháp "Vận dụng tính chất đường phân giác của tam giác để giải toán hình học 8". II. Mục đích của đề tài : - Nhằm phát huy sự đam mê, yêu thích học toán của học sinh. - Nâng cao năng lực học toán, sự tìm tòi, sáng tạo của học sinh. - Bồi dưỡng học sinh đã nắm vững kiến thức cơ bản trở thành học sinh khá, học sinh khá trở thành học sinh giỏi. GV: Lê Đình Lượm - Trường THCS Nguyễn Đình chiểu Trang 2 C ộ n g h ò a x ã h ộ i c h ủ n g h ĩ a v i ệ t n a m Vận dụng tính chất đường phân giác của tam giác để giải toán hình học 8 III. Phạm vi nghiên cứu của đề tài : - Hệ thống bài tập trong chương trình toán lớp 8. IV. Đối tượng nghiên cứu: - Học sinh lớp 8A, 8C trường THCS Nguyễn Đình Chiểu. V. Thời gian nghiên cứu: - Trong năm học 2008 – 2009. B. NỘI DUNG: I. Đánh giá thực trạng: - Trại Mát, Xuân Thọ là địa phương có địa hình không thuận lợi ở cách trung tâm thành phố 10km, nền kinh tế chủ yếu là nông nghiệp vì thế tình hình kinh tế của phường, xã còn gặp nhiều khó khăn. Nhiều gia đình bố mẹ đi làm vườn cả ngày ít thời gian chăm sóc, đôn đốc, nhắc nhở các em dẫn đến ý thức học tập của học sinh rất kém đặc biệt đối với bộ môn toán. - Học sinh trường THCS Nguyễn Đình Chiểu còn thụ động trong việc học, hoặc một số em học khá, giỏi có tính tự học cao nhưng vẫn chưa được chú ý quan tâm đến, chưa có học sinh mũi nhọn. Thông thường đến lớp 9 giáo viên bộ môn chọn ra một số em học giỏi để ôn luyện thi học sinh giỏi, từ đó dẫn đến học sinh không đạt kết quả cao trong các kỳ thi cụ thể chưa có học sinh đạt học sinh giỏi môn toán cấp tỉnh. - Một phần do học sinh không yêu thích đối với bộ môn toán nhất là môn hình học, khi học về phần này học sinh có vẻ mơ hồ không hiểu, do toán hình học mang tính trừu tượng, khó hiểu hơn so với các phân môn khác, từ đó không thu hút được nhiều học sinh đăng ký đội ngũ học sinh giỏi. - Tính chất đường phân giác của tam giác chỉ gồm có 2 tiết vừa lý thuyết, vừa luyện tập nên học sinh không thể khai thác được hết các dạng toán liên quan. Khi tham gia giải các bài tập có liên quan đến tính chất đường phân giác các em thường gặp khó khăn không giải được đa số các em bỏ qua không làm dạng toán này. - Bài “Định lí Talét trong tam giác”, “Định lí Talét đảo và hệ quả của định lí”, “Tính chất đường phân giác trong tam giác” được vận dụng giải bài tập rất đa dạng ở các khối lớp đặc biệt lớp 8 và lớp 9, nhưng phân phối chương trình quá ít tiết không thể khai thác hết các dạng bài tập cho học sinh. GV: Lê Đình Lượm - Trường THCS Nguyễn Đình chiểu Trang 3 C ộ n g h ò a x ã h ộ i c h ủ n g h ĩ a v i ệ t n a m Gvfdvfffffffffffffffffffffffffffvf Vận dụng tính chất đường phân giác của tam giác để giải toán hình học 8 - Cấu trúc chương trình “đường phân giác của tam giác” rải rác từ lớp 7 đến lớp 9 và các cấp học khác . . . khi học bài này học sinh rất khó tiếp thu hay bị nhằm lẫn đường phân giác với đường trung tuyến, không biết vẽ đường phân giác trong tam giác, vận dụng tính chất vào việc giải bài tập, nếu làm được cũng không đón chắn đúng hay sai. - Tính chất đường phân giác trong tam giác được xuất phát từ định lí Talét vì vậy khi học tốt “tính chất đường phân giác trong tam giác” sẽ giúp học sinh nắm vững định lí Talét thông qua việc nắm vững tính chất đường phân giác trong tam giác. - Đặc biệt vận dụng tính chất đường phân giác của tam giác vào việc giải các dạng toán trong đề thi học sinh giỏi cấp thành phố, cấp tỉnh rất nhiều. II. GIẢI PHÁP THỂ HIỆN. 1. Áp dụng tính chất đường phân giác tính trực tiếp. 1.1. Khó khăn: Học sinh quên tính chất của dãy tỉ số bằng nhau nên rất lúng túng khi vận dụng tính toán. 1.2. Giải pháp: Trước khi vận dụng tính toán, cho học sinh nêu lại tính chất của dãy tỷ số bằng nhau. 1.3. Áp dụng: Bài toán 1: Bài tập 15 trang 67 SGK Toán 8: Tính x, y trong hình vẽ và làm tròn kết quả đến số thập phân thứ nhất. L ờ i giải : a,Vì AD là phân giác góc CAB ta có: 6,5 5,4 2,7.5,35,3 2,7 5,4 ==⇒== x x hay DC DB AC AB GV: Lê Đình Lượm - Trường THCS Nguyễn Đình chiểu Trang 4 x3,5 7,2 4,5 C B A D y 8,7 6,2 M N P Q Gvfdvfffffffffffffffffffffffffffvf Vận dụng tính chất đường phân giác của tam giác để giải toán hình học 8 b,Vì PQ là phân giác của góc MPN ta có: 2,5 9,14 2,6.5,12 5,122,67,8 2,6 7,8 2,6 =⇒=⇒ == + = + ⇒== QMQM QM MN QM QMQN QM QN QM hay QN QM PN PM 1.4. V ận dụng : - Làm bài tập 18 SGKT8/68, 17, 22, 23 SBTT8/70. Bài 18 SGK/68: Tam giác ABC có AB = 5 cm, AC = 6 cm, BC = 7 cm. Tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại E. Tính các đoạn thẳng EB, EC. Bài 17 SBT/69: Tam giác ABC có AB =15 cm, BC = 25 cm. Đường phân giác góc BAC cắt cạnh BC tại D. a. Tính độ dài các đoạn thẳng DB và DC. b. Tính tỉ lệ diện tích của hai tam giác ABD và ACD. Bài 22 SBT/70: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường phân giác góc B cắt AC tại D và cho biết AB = 15 cm, BC = 10 cm. a. Tính AD, DC. b. Đường vuông góc với BD tại B cắt đường thẳng AC kéo dài tại E. Tính EC. Bài 23 SBT/70: Tam giác ABC có µ 0 A 90= , AB = 12 cm, AC = 16 cm; đường phân giác góc A cắt BC tại D. a. Tính BC, BD và CD. b. Vẽ đường cao AH, tính AH, HD và AD. GV: Lê Đình Lượm - Trường THCS Nguyễn Đình chiểu Trang 5 Gvfdvfffffffffffffffffffffffffffvf C A E F D B C E Vận dụng tính chất đường phân giác của tam giác để giải toán hình học 8 2. Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác để chứng minh. 2.1. D ạng 1: Chứng minh biểu thức bằng 1. 2.1.1. Khó khăn: Khi vận dụng tính chất đường phân giác trong tam giác học sinh vẫn không tìm thấy được kết quả, nhiều em làm rất dài mới chứng minh ra được kết quả bằng 1. 2.1.2. Giải pháp: Khi áp dụng tính chất đường phân giác tìm ra được các đoạn thẳng tỉ lệ với nhau, ta nhân các vế tương ứng của đẳng thức sau đó rút gọn. 2.1.3. Áp dụng: Bài toán 2: Bài tập 18 trang 69 SBT T8. Tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE và CF (hình vẽ). CMR: 1=•• FB FA EA EC DC DB Lời giải: Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có: )3( )2( )1( CB CA FB FA BA BC EA EC AC AB DC DB = = = Nhân các vế tương ứng của các đẳng thức (1),(2),(3) ta được: 1 =•• FB FA EA EC DC DB 2.1.4. V ận dụng: - Làm bài tập trong sách hướng dẫn giải bài tập toán 8 (tác giả Nguyễn Đức Hòa). GV: Lê Đình Lượm - Trường THCS Nguyễn Đình chiểu Trang 6 Gvfdvfffffffffffffffffffffffffffvf Vận dụng tính chất đường phân giác của tam giác để giải toán hình học 8 Đề bài: Cho tam giác ABC có AD, BE, CF là ba đường phân giác. Chứng minh rằng: BD EC FA 1 DC EA FB • • = 2.1.5. Mở rộng: - Khi chứng minh được đẳng thức 1 =•• FB FA EA EC DC DB ta giới thiệu cho học sinh Định lý Xê – Va. Mang tên nhà toán học Ý (1648 – 1734) - Cho học sinh vận dụng định lí Xê - Va để giải dạng toán chứng minh các đường thẳng đồng quy tại một điểm. Bài tập minh họa: Bài tập III.33: (“Sách toán cơ bản và nâng cao” của TS Vũ Thế Hựu) Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB, theo thứ tự ta lấy các điểm M, N, P. Chứng minh rằng các đường thẳng AM, BN, CP đồng quy thì ta có hệ thức: MB NC PA 1 MC NA PB • • = Bài tập III.34: (“Sách toán cơ bản và nâng cao” của TS Vũ Thế Hựu) Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC, theo thứ tự lấy các điểm M, N, P sao cho: MB NC PA 1 MC NA PB • • = (1) Chứng minh rằng các đường thẳng AM, BN, CP đồng quy. Bài tập III.42: (“Sách toán cơ bản và nâng cao” của TS Vũ Thế Hựu) Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông. Gọi trung điểm của BC, CA, AB theo thứ tự là M, N, P. Đường cao từ đỉnh A cắt NP tại Q, đường cao từ đỉnh B cắt MP tại R, đường cao từ đỉnh C cắt MN tại S. Chứng minh rằng các đường thẳng MQ, NR, PS đồng quy. Bài tập III.45: (“Sách toán cơ bản và nâng cao” của TS Vũ Thế Hựu) GV: Lê Đình Lượm - Trường THCS Nguyễn Đình chiểu Trang 7 Gvfdvfffffffffffffffffffffffffffvf D B C A I M E Vận dụng tính chất đường phân giác của tam giác để giải toán hình học 8 Cho hai tam giác ABC và A’B’C’. Biết rằng các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy tại O. Chứng minh rằng nếu các cặp đường thẳng AB và A’B’, BC và B’C’, CA và C’A’ cắt nhau thì ba giao điểm thẳng hàng. 2.2. Dạng 2: Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau, các đoạn thẳng song song. 2.2.1. Khó khăn: Định lí Talét trong tam giác, định lí Talét đảo và hệ quả của định lí Talét đảo chỉ có một tiết luyện tập nên học sinh lúng túng trong việc vận dụng định lí để chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau, các đoạn thẳng song song. 2.2.2. Giải pháp: Nêu lại định lí Talét, định lí Talét đảo, hệ quả định lí trước khi làm bài tập. 2.2.3. Áp dụng: Bài toán 3. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Đường phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D, đường phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E. a. Chứng minh DE// BC. b. Gọi I là giao điểm của DE với AM. Chứng minh ID = IE. Lời giải: a)Theo tính chất đường phân giác của tam giác,ta có: MB MA DB DA = và MC MA EC EA = Mà MB = MC (gt) Do đó: EC EA DB DA = Suy ra: DE// BC. b)DE//BC (theo câu a). áp dụng định lí Talét, ta có: AM AI MB ID = và AM AI MC IE = Suy ra , MC IE MB ID = mà MB = MC, do đó ID = IE. GV: Lê Đình Lượm - Trường THCS Nguyễn Đình chiểu Trang 8 Gvfdvfffffffffffffffffffffffffffvf Vận dụng tính chất đường phân giác của tam giác để giải toán hình học 8 2.2.4. V ận dụng : - Giải bài 19 SBT/69. Bài 17, 19, 20 SGK/68. Bài 19 SBT/69: Tam giác cân BAC có BA = BC = a, AC = b. Đường phân giác góc A cắt BC tại M, đường phân giác góc C cắt BA tại N. a. Chứng minh MN // AC. b. Tính MN theo a, b. Bài 17 SGK/69: Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AN. Tia phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D, tia phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E. Chứng minh rằng DE // BC. Bài 19 SGK/69: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Đường thẳng a song song với DC, cắt các cạnh AD và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng: a. AE BF ; ED FC = b. AE BF ; AD BC = c. DE CF . DA CB = Bài 20 SGK/68: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, đường thẳng a qua O và song song với đáy của hình thang cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng: OE = OF. Và giải các bài tập sau: Bài 19 (“Sách Hướng Dẫn giải bài tập toán 8” chủ biên: Nguyễn Đức Hòa) Cho hình thang ABCD (AB //CD) đường thẳng a song song với DC, cắt các cạnh AD và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng a. AE BF ED FC = b. AE BF AD BC = c. DE CF DA CB = Bài 20 (“Sách Hướng Dẫn giải bài tập toán 8” chủ biên: Nguyễn Đức Hòa) GV: Lê Đình Lượm - Trường THCS Nguyễn Đình chiểu Trang 9 Gvfdvfffffffffffffffffffffffffffvf Vận dụng tính chất đường phân giác của tam giác để giải toán hình học 8 Cho hình thang ABCD (AB//CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng a qua O và song song với đáy của hình thang cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng OE = OF. Bài III.26 (“Sách cơ bản và nâng cao” biên soạn TS: Vũ Thế Hựu) Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Các tia phân giác của góc AMB, AMC cắt AB, AC theo thứ tự tại D và E. a. Chứng minh DE song song với BC. b. Cho BC = a, AM = m. Tính độ dài DE. c. Tam giác ABC thõa mãn yêu cầu nào thì DE là đường trung bình của tam giác ABC. Bài 151 (“Sách Toán nâng cao và các chuyên đề HH8” chủ biên: Vũ Dương Thụ) Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Đường phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D, đường phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E. a. Chứng minh DE//IE. b. Gọi I là giao điểm của DE với AM. Chứng minh ID = IE. 2.3. Dạng 3: So sánh hai đoạn thẳng. 2.3.1. Khó khăn: Biến đổi phức tạp học sinh khó làm ra kết quả. 2.3.2. Giải pháp: Củng cố tính chất dãy tỉ số bằng nhau, yêu cầu học sinh thực hiện theo trình tự tháo gỡ từng vướng mắc . . . dần dần hình thành cho học sinh thói quen giải các bài tập tương tự. 2.3.3. Áp dụng: Bài toán 4: Cho tam giác ABC với các đường phân giác BD, CE có AB < AC. a. Đường thẳng qua D, song song với BC cắt AB tại K. Chứng minh E nằm giữa B và K. b. Chứng minh CD > DE > BE. Lời giải a. Do DK // BC ta có: GV: Lê Đình Lượm - Trường THCS Nguyễn Đình chiểu Trang 10 Gvfdvfffffffffffffffffffffjnhkijhno ffffffvf [...]... vận dụng GV: Lê Đình Lượm - Trường THCS Nguyễn Đình chiểu Trang 11 M Vận dụng tính chất đường phân giác của tam giác để giải toán hình học 8 tính chất đường phân để tính diện tích tam giác thông thường các bài toán không cho biết Gvfdvfffffffffffffffffffffffffffvf độ dài đường cao 3.2 Giải pháp: Dựa vào tính chất đường phân giác, tỉ số diện tích, tỉ số giữa các cạnh trong tam giác để đi tìm diện tích... chiểu Trang 12 N Vận dụng tính chất đường phân giác của tam giác để giải toán hình học 8 Gvfdvfffffffffffffffffffffffffffvf - Bài 16, 21 SGK/79, Bai 21 SBT/69 Bài 16 SGK/79: Tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = m, AC = n và AD là đường phân giác Chứng minh rằng tỉ số điện tích của tam giác ACD bằng m n Bài 21 SGK/79: a Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM và đường phân giác AD Tính diện tích tam... cm, đường phân giác góc A cắt BC tại D, đường thẳng D và song song với AB, cắt AC tại E a Tính độ dài các đoạn thẳng BD, DC, và DE b Tính diện tích tam giác ABD và diện tích tam giác ACD C KẾT QUẢ: I KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC: - Trước khi áp dụng giải pháp đa số học sinh không hứng thú, say mê, tiếp thu bài học, sau khi áp dụng tôi thấy học sinh có tiến bộ nhiều khi giải các bài tập liên quan đến tính chất đường. .. Trang 13 N G vfdvfffffffffffffffffffffffffffvf Vận dụng tính chất đường phân giác của tam giác để giải toán hình học 8 II ĐỀ xuất: - Về phía Tổ Toán – Lý: Nên áp dụng giải pháp cho khối lớp 8 khi học bài “Tính chất đường phân giác của tam giác” - Về phía nhà trường: Tăng cường tiết ngoại khóa cho học sinh có thời gian vận dụng tính chất đường phân giác khai thác thêm bài bài tập Có kế hoạch bồi dưỡng... 156 (“Toán nâng cao và chuyên đề hình học 8” chủ biên: Vũ Dương Thụy) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác và x, y, z là độ dài các đường phân giác trong của các góc đối diện với các cạnh đó Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 + + > + + x y z a b c 3 Vận dụng tính chất đường phân giác trong tam giác để tính diện tích tam giác 3.1 Khó khăn: Học sinh quen sử dụng công thức “Diện tích tam giác bằng nửa tích...Vận dụng tính chất đường phân giác của tam giác để giải toán hình học 8 AK AD AB = = (do BD là đường phân giác) KB DC BC Mặt khác: AE AC AB AK = > = EB BC BC KB  AE + EB AB AK + KB AB = > = EB EB KB KB  EB < KB hay E nằm giữa B và K · · · b Do DBA = DBC =... chất đường phân giác, tỉ số diện tích, tỉ số giữa các cạnh trong tam giác để đi tìm diện tích tam giác 3.3 Áp dụng: Bài toán 5: Cho tam giác vuông ABC (góc A=900), AB=21cm, AC=28cm, đường phân giác góc A cắt BC tại D, đường thẳng qua D và song song với AB cắt AC tại E vẽ) (Hình B a Tính độ dài các đoạn thẳng BD, DC và DE b Tính diện tích tam giác ABD và diện tích tam giác ACD D 21 A C E Lời giải: µ . tự là M, N, P. Đường cao từ đỉnh A cắt NP tại Q, đường cao từ đỉnh B cắt MP tại R, đường cao từ đỉnh C cắt MN tại S. Chứng minh rằng các đường thẳng MQ,. ABC (AB = AC), đường phân giác góc B cắt AC tại D và cho biết AB = 15 cm, BC = 10 cm. a. Tính AD, DC. b. Đường vuông góc với BD tại B cắt đường thẳng AC