Dạng 2: Phương trình bậc hai hai ẩn Dạng ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = (a, b, c, d, e, f số nguyên) Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5x – 3y = 2xy – 11 (1) Hướng dẫn giải x  11 x5  2 2x  Cách 1: Rút y theo x: y = x  (Do x nguyên nên 2x + khác 0) Vì y nguyên => x +  2x + => …  2x + Lập bảng ta có: cặp (x; y) là: (-1;6); (-1; -2); (2; 3); (-5; 2) Thử lại giá trị Cách Đưa phương trình ước số: Cách 3: Coi phương trình bậc hai ẩn x, y số biết Đặt ĐK để có x nguyên Ví dụ Tìm nghiẹm nguyên phương trình x + 2y2 +3xy –x – y + =0 (1) Hướng dẫn giải Sử dụng cách thứ ví dụ 3 Dạng 3: Phương trình bậc ba trở lên có hai ẩn Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình: x(x+1)(x+2)(x+3) = y2 (1) Hướng dẫn giải Phương trình (1) (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = y2 Đặt a = x2 + 3x (ĐK: a  2 (*) Ta có: a2 – = y2 GiảI phương trình cách đưa phương trình ước số: => nghiệm phương trình (1) Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình: x3 - y3 = xy + (1) Hướng dẫn giải Ta có: x  y x  xy  y  Ta có x khác y x = y => x2 + = Vô lý x  xy  y  xy  Vì x; y nguyên => x  y  => => x2 + xy + y2  xy  (2) Nếu xy + < 0=> (2) (x + y)2  -8 Vô nghiệm N ếu xy +8 > => (2) x2 + y2  => x2 , y2  0;1; 4 Từ tìm Hai nghiệm nguyên (1) là: (0; - 2); (2; 0) Dạng 4: Phương trình dạng phân thức 1 1    Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y xy (1) Hướng dẫn giải Đặt điều kiên sau đưa phương trình ước số Tìm hai nghiệm (43; 7); (7; 43) Ví dụ Tìm x nguyên cho x  17 x  bình phương phân số Hướng dẫn giải x  17 Giả sử x  = a    b  Với a, b nguyên, b khác (a, b) = Nếu a = => x = 17 Nếu a khác Ta có (a2, b2) = => x – 17 = a2.k; x – = b2.k (k nguyên) Từ ta có: = (a + b).(b – a).k Lập bảng tìm nghiệm phương trình x =17; 18; Dạng 5: Phương trình dạng mũ Ví dụ Tìm số tự nhiên x, y cho: 2x + = y2 (1) Hướng dẫn giải Nếu x = => y2 = => y = y = -2 Nếu x = => y2 = Vô nghiệm nguyên Nếu x  => 2x  Do vế tráI chia cho dư mà y lẻ (Do 1) => y2 chia dư => Vô lý Vậy nghiệm nguyên (1) là: (0; 2); (0; -2) II BÀI TẬP: Tìm nghiệm nguyên phương trình: a) 2x + 3y = 11 b) 3x + 5y = 10 Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình: 4x + 5y = 65 Phân tích số 100 thành hai số tự nhiên số chia hết cho 7, số chia hết cho 11 Tìm số nguyên dương bé chia cho 100 dư 1, chia cho 98 dư 11 Có 37 táo có số nhau, 17 hỏng, số lại chia cho 79 người Hỏi có quả?