Chuyên đề đại số dãy số có quy luật Chú ý : Có bốn cách thông thường để làm loại toán - Cách : Truy toán - Cách : Phân tích đánh giá số hạng tổng quát - Cách : Dùng quy nạp toán học - Cách : Đưa tính ngiệm phương trình - Cách : Vận dụng tổng hợp cách học Ví dụ : Cho A      có 100 dấu Chứng minh A số tự nhiên Giải : Dễ tháy A > Sau ta chứng minh A < 2   2  Thật 22   2 2 < A 2 2   22   2 < Do ta có < A < , chứng tỏ A N ( dpcm ) Cách giải thường gọi truy toán Ví dụ : Rút gọn dẫy tính sau 1 2  3    n 1  n Với n số tự nhiên lớn Giải : Xét số hạng tổng quát 1 n  n 1    n  n 1 n  n 1 n 1  n n  n 1 Vậy : 1  2  3   n 1  Trang = ( 1)  (  2)  (  3)   ( n  n 1) n = n 1 Như cho n giá trị cụ thể ta lại toán Cách giải gọi cách phân tích đánh giá số hạng tổng quát Ví dụ : Chứng minh với số nguyên dương n ta có 1 1     < 2 ( n  1) n Giải : Xét số hạng tổng quát ta có : n  1   1    n   n       (n 1) n (n 1)n  n n 1  n n 1  n n 1    1   1   n    n      n  n n 1  n n n 1   n =  n Ví dụ : B n 1 = Từ tiếp tục giải toán dễ dàng Tính giá trị biểu thức  13   13   13  Trong dấu chấm có nghĩa lặp lặp lại cách viết thức có chứa 13 cách vô hạn lần Giải : Nhận xét B > 2 Ta thấy : B   13   13   13   ( B2 – )2 = 13 + B  B4 – 10 B2 + 25 = 13 + B  B4 – 10 B2 – B + 12 =  B4 – B2 – B2 + – B + =  B2 ( B – )( B + ) – ( B – 3)( B + 3) – ( B – 3) =  ( B – 3)[ B2( B + 3) – ( B + 3) – ] =  ( B – 3)[ ( B + 3)( B2 – ) – ] = Vì B > nên B2 – > B + > nên ( B + 3)( B2 – 1) – > 11 B – = Vậy B = Trang Cách giải ví dụ gọi đưa tính ngiệm phương trình Ví dụ : Tính giá trị biểu thức 1 1 1 1 C  1   1   1    1  2 3 99 100 Giải : Xét số hạng tổng quát :  1  với k số nguyên k ( k  1) 2 dương , ta có 1   1 1          k (k 1)2 k k      : 2 1           12        1   2    2 1  k   k 1   k   k  k 1  k 1  k  1  k   1 1        0       Vì :  k   k k 1   k    k (k  1)  1 Vậy : 1  k (k 1)2 Nên : 1  1   1    k (k 1)  1 1 1        k (k  1)2 k (k 1) k k 1 áp dung vào 1   1  1  1  C  1     1     1      1     2  3  4  99 100  1 1 1 1 1  99           100   99,99 2 3 4 99 100 100 Ví dụ : Chứng minh với số nguyên dương n ta có 4 4   < Giải : Ta chứng minh quy nạp toán học Với n = ta có D1 =  < Đúng Trang Giả sử toán với n = k , tức ta có : Bk      <        k Ta c/m toán với n = k + B k 1      =         Bk k 1 Vì Bk < ( Giả thiết quy nạp ) , nên Bk+1 =  B k < 43 < Vậy toán với n = k + Do toán với n Ví dụ : Cho biểu thức A 2 2 2   2 2 2   tử có 100 dấu , mẫu có 99 dấu Chứng minh A > Giải : Đặt : an      an2  2an1 Ta có :  Ta có a1  a100  a100  a 99  a100     a100   a100   a100 an1  an2  2  a100  a100 A   Vậy : 2  (a100  2)  a100 Sau ta c/m có biểu thức có n dấu A < truy toán < a2     a1 < a3      a2 < a100   a99 < 22   22   Trang 1 Vậy : a100  < + = , nên : >  a1 0 ( dpcm ) Bài toán giải vận dụng tổng hợp kiến thức học Từ A > Ví dụ : Chứng minh : 2003 2004 < Giải : Đặt : ak  k (k  1) (k  2) (n  1) n n k số nguyên dương Ta chứng minh Phản chứng : Giả sử ak  k  Với n > k ak  k  theo cách đặt ta có : ak2 2 ak  k ak 1  a  k ak 1  ak 1  mà a k  ( k  1) k a k2 ( k  1) k  k  k  k    k2 nên a k 1  k k k k k với số nguyên dương k , tức điều vô lý Vậy ak  k 1 2002 2003  2003 phải sai Vậy ak  k  Do a2  Ta có điều phải chứng minh Ví dụ : Tìm ngiệm tự nhiên phương trình x  x  x  x   x  3x  x Giải : Dễ thấy x = ngiệm Nếu x = , ta có : Trang 1 1 1  1 3.1  1   Vậy x = ngiệm phương trình Nếu x = , ta có :  2  2  2   2     Vậy x = ngiệm phương trình Nếu x = , xét ta có : x  x x = nên x  3x   3.3   Căn : x  x  3x    3.3    trình lặp lại , ta có : 3 2.3  Vậy x = ngiệm phương trình Nếu x > , x  x  x  x   x  x  x  x  x  x  x  x   x  x  x2 = x + 2x  x2 – 3x =  x = x = Nhưng x > nên trường hợp phương trình vô ngiệm Vậy phương trình có hai ngiệm Trang Bài tập luyện tập dãy tính có quy luật Bài : Tính giá trị biểu thức sau a) A     vô hạn dấu b ) B      Bài : Chứng minh : vô hạn dấu      a ) C  6       n 3      b ) D  6        n Bài tập : Dùng quy nạp toán học chứng minh : Tn  a  a  a   a  a  ; Với n  Z+    n Bài tập : Chứng minh 1   1     (n 1) n  n n 1 1 với số nguyen dương n Bài : Chứng minh với n nguyên dương n > , ta có n 3 1 1     2 n 2 n Bài : Rút gọn biểu thức sau a) A  1 b) B 1    4 7  10 97  100 1 1     2 3 4 100  101 Bài : Chứng minh S  1 1 1      100 số tự nhiên Trang Bài : Dùng quy nạp toán học chứng minh : 1 1       n Bài : Cho 100 số : n , với n  Z+ a1 , a , a , a , , a100 100 số tự nhiên 1 1      a1 a2 a3 a4 cho ta có :  20 a100 Chứng minh tồn hai số Bài 10 : Chứng minh bất đẳng thức 1 1 2001      3(1 2) 5(  3) 7(  4) 4003( 2001  2002) 2003 Bài 11 : Chứng minh : 1 1      12  22 22  32 32  42 20022  20032 Bài 12 : Chứng minh : 15 n2      16 n ,  n  N n > số nguyên Bài 13 : a ) Chưng minh  n  Z+ ta có 1 n 1 n 1  1 n n ( n  1) b ) áp dụng chứng minh 2007   3 44 55 2008     2008  2008 2007 Bài 14 : Tìm ngiệm nguyên phương trình x  x  x  x   x  z            y vế trái có y dấu