vn to an SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Nguyễn Minh Nhiên12 Bài toán chung uy en Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), xét toán tương giao đồ thị hai hàm số: (C1 ) : y = f (x) (C2 ) : y = g(x) Có thể thấy số giao điểm (C1 ) (C2 ) số nghiệm phương trình: f (x) = g(x) (1) Khi đó, toán quy việc biện luận số nghiệm phương trình (1) Thông thường, nl • Nếu (1) quy bậc hai việc giải toán quy việc tính toán với nghiệm kết hợp với việc sử dụng định lý Viette • Nếu (1) phương trình trùng phương ta quy xét phương trình bậc hai /o • Nếu (1) phương trình bậc ba bậc cao, ta hướng đến: ◦ Nếu cô lập m đưa (1) thành F (x) = h(m) toán quy khảo sát hàm số y = F (x) :/ ◦ Nếu phương trình có nghiệm x = x0 ta đưa (1) dạng (x − x0 )h(x, m) = tiếp tục biện luận với phương trình h(x, m) = Ví dụ (Đề thi Đại học khối A năm 2003) Cho hàm số y = để (C) cắt Ox hai điểm phân biệt có hoành độ dương mx2 +x+m x−1 có đồ thị (C) Tìm m ht Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm (C) Ox: mx2 + x + m =0⇔ x−1 x=1 mx2 + x + m = (1) Trường THPT Quế Võ Số 1, Bắc Ninh Bài viết trình bày lại chương trình soạn thảo LaTeX can_hang2007 Đề nghị bạn ghi rõ nguồn http://onluyentoan.vn đăng tải trang web khác Nguyễn Minh Nhiên ye nt oa n Đặt f (x) = mx2 + x + m Ta có (C) cắt Ox hai điểm phân biệt có hoành độ dương (1) có hai nghiệm dương phân biệt khác Điều tương đương với    m = m = ∆ = − 4m2 > ⇔  −1 ⇔ 2a −a +2 −2a −a +2 >0⇔4+ 4a3 > ⇔ a > −3 27 Hợp kết hai trường hợp, ta a > −3 tập hợp giá trị thỏa mãn yêu cầu /o nl u (b) Cách Ta có phương trình hoành độ giao điểm: x3 + ax + = Vì x = không nghiệm nên ta cần xét x = 0, lúc phương trình viết lại dạng a = −x2 − (1) x Xét hàm số y = −x2 − x2 với x ∈ R\{0} Ta có y = −2x + lim y = −∞, x→0+ Bảng biến thiên: , x2 y = ⇔ x = ⇒ y = −3, lim y = +∞, x→0− x −∞ y + + +∞ :/ y −∞ lim y = −∞ x→±∞ +∞ − −3 −∞ −∞ Dựa vào bảng biến thiên dễ dàng suy (1) có nghiệm a > −3 Nhận xét Với hàm bậc ba f (x) = ax3 + bx2 + cx + d (a = 0), ∆ = b2 − 3ac, ta có • Nếu ∆ phương trình f (x) = có nghiệm • Nếu ∆ > hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1 , x2 Khi đó: ht ◦ Phương trình f (x) = có nghiệm f (x1 )f (x2 ) > ◦ Phương trình f (x) = có nghiệm có ba nghiệm phân biệt f (x1 )f (x2 ) < • Trong trường hợp f (x) = có nghiệm x = x0 , ta đưa phương trình dạng (x − x0 )g(x) = Sự tương giao hai đồ thị Ví dụ (Đề thi Đại học khối A năm 2010) Cho hàm số y = x3 − 2x2 + (1 − m)x + m, (1) ye nt oa n m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn điều kiện x21 + x22 + x23 < Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị với trục hoành là: x3 − 2x2 + (1 − m)x + m = Biến đổi tương đương phương trình này: (2) (2) ⇔ x3 − 2x2 + x − mx + m = ⇔ x(x2 − 2x + 1) − m(x − 1) = ⇔ (x − 1)(x2 − x − m) = ⇔ x=1 x2 − x − m = (3) Gọi x1 , x2 nghiệm (3) ta phải có 12 + x1 + x2 < ⇔ (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 < ⇔ m < (4) Yêu cầu toán tương đương với (3) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 = thỏa mãn điều kiện (4) Điều xảy     ∆ = + 4m >  −1   m > −1  P = 2m + > /o nl u √ Khi đó, gọi nghiệm (2) t , t (0 < t < t ), ta suy nghiệm (1) − t2 , 2 √ √ √ − t1 , t1 , t2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng Ta có √ √ √ − t2 + t1 = −2 t1 √ √ √ − t1 + t2 = t1 ⇔ √ √ t2 = t1 ⇔ t2 = 9t1 (3) Áp dụng định lý Viette, ta có m+1 , t2 = :/ Từ (3) (4) suy t1 = t1 + t2 = 2m + (4) t1 t2 = 2m + (5) 9m+9 Thay vào (5), ta  (thỏa) 9(m + 1) = 25(2m + 1) ⇔ 9m − 32m − 16 = ⇔  m = (thỏa) 2 m=− Như vậy, ta tìm hai số thỏa mãn yêu cầu đề m = m = − 49 Nhận xét ht • Phương trình ax4 + bx2 + c = có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng phương trình at2 + bt + c = có hai nghiệm dương t1 , t2 thỏa mãn t2 = 9t1 • Phương trình ax3 + bx2 + cx = d = (a = 0) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng b x = − 3a nghiệm phương trình Sự tương giao hai đồ thị Bài tập tự luyện Hy vọng qua ví dụ trên, bạn đọc nắm dạng toán tương giao hai đồ thị hàm số Cuối mời bạn giải số tập sau: ye nt oa n Bài tập (Đề thi Đại học khối D năm 2008) Cho hàm số y = x3 − 3x2 + có đồ thị (C) Chứng minh đường thẳng qua điểm I(1, 2) với hệ số góc k > −3 cắt đồ thị hàm số (C) ba điểm phân biệt I, A, B, đồng thời I trung điểm AB Xác định m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số Bài tập Cho hàm số y = x +mx−1 x−1 hai điểm phân biệt A, B cho OA ⊥ OB Bài tập Cho hàm số (Cm ) : y = x3 + mx2 − x − m Tìm m để (Cm ) cắt trục hoành ba điểm phân biệt hoành độ giao điểm lập thành cấp số cộng Gọi I giao điểm hai tiệm cận đồ thị hàm số Bài tập Cho hàm số (C) : y = x −2x+2 x−1 (C) Hãy viết phương trình hai đường thẳng qua I cho chúng có hệ số góc nguyên cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt đỉnh hình chữ nhật Bài tập (Đề thi Học viện Ngân hàng năm 1999) Xác định a để đường thẳng có phương trình y = m (với −4 < m < 0) cắt đồ thị hàm số y = −x3 + ax2 − ba điểm phân biệt Bài tập (Đề thi Đại học Kiến trúc Hà Nội năm 1994) Cho hàm số (Cm ) : y = x4 + 2mx2 + m /o nl u Tìm m để đường thẳng y = −3 cắt (Cm ) điểm phân biệt, điểm có hoành độ lớn 2, ba điểm lại có hoành độ nhỏ Bài tập Cho hàm số y = x3 + 3x2 − 9x + m Với giá trị m đồ thị hàm số cắt Ox tại: (a) Ba điểm phân biệt? (b) Một điểm nhất? :/ Bài tập (Đề thi Đại học khối D năm 2009) Tìm giá trị tham số m để đường thẳng hai điểm phân biệt A, B cho trung điểm y = −2x + m cắt đồ thị hàm số y = x +x−1 x đoạn thẳng AB thuộc trục tung Bài tập Tìm giá trị tham số m để đồ thị hai hàm số y = x2 − 1, y = 2x−m cắt x ba điểm phân biệt Khi đó, tìm tâm bán kính đường tròn qua ba giao điểm ht Bài tập 10 Cho hàm số (C) : y = mx3 − nx2 − 9mx + 9n Tìm m, , n để giao điểm (C) với trục hoành có hai giao điểm cách đơn vị khoảng cách từ tâm đối xứng (C) đến trục hoành đơn vị