Chương III : Nguyên hàm - Tích phân ứng dụng Nguyên hàm Bài click I - NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT Nguyên hàm : Bài toán nêu : Tìm hàm số F(x) cho F’(x) = f(x) : a) f ( x ) = 3x x ∈( −∞; +∞) b) f ( x) = cos x  π π x ∈ − ; ÷  2 Kí hiệu K khoảng đoạn , nửa khoảng R Định nghĩa : Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K Nếu F’(x) = f(x) với x ∈ K Ví dụ : a) Hàm số F(x) = x3 nguyên hàm hàm số y = x2 (-∞ ; +∞) , F’(x) = (x3)’ = x2 với x ∈ (-∞ ; +∞) b) Hàm số F(x) = tan x nguyên hàm hàm số 1  π π f ( x) = x ∈ − ; F ' x = tan x ' = ( ) ( )  ÷ Vì cos x cos x  2  π π x ∈ − ; ÷  2 Nêu thêm số ví dụ khác : c) Hàm số F(x) = 3x2 + nguyên hàm hàm số : f(x) = x R d) Hàm số F(x) = ln x nguyên hàm hàm số : f ( x) = x x ∈( 0; +∞) click Định lý : Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K với số C , hàm số G(x) = F(x) + C nguyên hàm f(x) K Hãy tự chứng minh định lý Định lý : Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K nguyên hàm f(x) K có dạng F(x) + C , với C số Chứng minh : Giả sử G(x) nguyên hàm f(x) K , tức G’(x) = f(x) x ∈ K Khi (G(x) – F(x))’ = G’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = , x ∈ K Vậy G(x) – F(x) hàm số không đổi K , nên G(x) – F(x) = C Hay G(x) = F(x) + C x ∈ K F(x) + C , C ∈ R gọi họ tất nguyên hàm f(x) K Kí hiệu : ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C Chú ý ; Biểu thức f(x)dx vi phân nguyên hàm F(x) f9x0 , dF(x) = F’(x) dx = f(x) dx Ví dụ : a) Với x ∈ (- ∞ ; + ∞ ) , ∫ 2xdx = x b) Với x ∈ ( ; + ∞ ) , ∫ x dx = ln x +C c) Với x ∈ ( - ∞ ; + ∞ ) , ∫ cos x.dx = sin x +C +C click Tính chất nguyên hàm : Tính chất : ∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) + C Suy từ định nghĩa nguyên hàm ∫( cos x ) '.dx = ∫ ( −sin x ) dx =cos x +C Ví dụ : Tính chất : Chứng minh : ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx Gọi F(x) nguyên hàm kf(x) , ta có : kf(x) = F’(x) ' k∫ 1  Vì k ≠ nên f ( x ) = F '( x ) =  F x ( )  ÷ Theo t/c ta có : k k  ' 1   f ( x ) dx = k ∫  F ( x ) ÷dx = k  F ( x ) +C1 ÷= F ( x ) + kC1  k  k  ( C1 ∈R ) = F ( x ) + C = ∫ k f ( x ) dx Tính chất : ∫ f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx Tự chứng minh t/c click Ví dụ : Giải : f ( x ) = 3sin x + Tìm nguyên hàm hàm số Với x ∈ ( ; + ∞) , ta có : x ( 0; +∞) 2  3sin x + dx = sin xdx + ÷ ∫ ∫ ∫ x dx = −3cos x + ln x +C x Sự tồn nguyên hàm : Định lý : Mọi hàm số f(x) liên tục K , có nguyên hàm K Công nhận định lý Ví dụ : a) Hàm số f ( x) = x Có nguyên hàm ( ; + ∞ ) 3 53 ∫ x dx = x +C b) Hàm số g ( x) = sin x Có nguyên hàm ( kπ ; (k+1)π ) , k∈Z ∫ sin x dx = −cot x +C click Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp : ax ∫ a dx = ln a +C ( < a ≠1) ∫ 0dx = C x ∫ dx = x +C α ∫ x dx = xα+1 + C α +1 ∫ cos x.dx = sin x +C ( α ≠ −1) ∫sin x.dx = −cos x +C ∫ x dx = ln x +C ∫ cos2 x dx = tan x +C ∫ sin x dx = −cot x +C x x e dx = e +C ∫ Ví dụ : Tính :   a) ∫ x + ÷dx x   ( 0; +∞) = ∫ x dx + ∫ x − dx = x +3 x +C click b) x −1 3cos x − ( )dx ∫ ( −∞; +∞) = 3∫ cos xdx − x dx 3∫ 3x = 3sin x − +C ln 3x −1 = 3sin x − +C ln Chú ý ; Từ yêu cầu tìm nguyên hàm hàm số hiểu tìm nguyên hàm khoảng xác định II - PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM Phương pháp đổi biến số : a) Cho : ∫( x −1) 10 dx Đặt u = x – Hãy viết (x – )10 dx , theo u du b) Cho : ln x ∫ x dx Định lý : Nếu f ( u ) du = F ( u ) +C Và u = u(x) hàm số có đạo hàm liên tục : Chứng minh : ∫ Đặt x = et Hãy viết biểu thức dấu ∫ , theo t dt ∫ f ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx = F ( u ( x ) ) +C Theo công thức đạo hàm hàm hợp , có : (F(u(x)))’ = F’(u).u’(x) : F’(u) = f(u) = f(u(x)) nên (F(u(x)))’ = f(u(x)).u’(x) click Hệ : Với u = ax + b ( a ≠ 0) , ta có Ví dụ : Tính : Giải : Vì ∫ f ( ax + b ) dx = F ( ax + b ) + C a ∫sin ( 3x −1) dx ∫sin udu = −cos u +C Nên theo hệ ta có : sin x − dx = − cos ( x −1) + C ( ) ∫ Chú ý ; Nếu tính nguyên hàm theo biến số u ( u = u(x)) , sau tính nguyên hàm ta phải trở lại biến x ban đầu cách thay u u(x) Ví dụ : Giải : Tính : x ∫ ( x +1) dx Đặt u = x + , u’ = x ∫ ( x +1) dx = ∫ x ( x +1) dx = u −1 1 du = ∫  −  u u5 u Thay u = x + vào kết , có : x ∫ ( x +1) u −1 du u Khi :  −4 −5 ÷du = ∫ u du − ∫ u du  1 1 = − + +C u u dx = 1 1 −  ÷+ C ( x +1)  x +1  click Phương pháp tính nguyên hàm phần : Ta có : (x.cos x)’ = cos x – x.sin x Hay - x.sin x = (x.cos x)’ – cos x Hãy tính : ∫( x.cos x ) '.dx Định lý : & ∫ cos x.dx Từ tính : ∫ x.sin x.dx Nếu hai hàm số u = u(x) v = v(x) có đạo hàm liên tục K : ∫u ( x ) v ' ( x ) dx = u ( x ) v ( x ) + ∫u ' ( x ) v ( x ) dx Chứng minh : Theo công thức đạo hàm tích , có : (u.v)’ = u’.v + v’.u Hay u.v’ = (u.v)’ – u’.v nên có : Vậy có : ∫u ( x ) v ' ( x ) dx = ∫ ( u ( x ) v ( x ) ) '.dx − ∫u ' ( x ) v ( x ) dx ∫u ( x ) v ' ( x ) dx = u ( x ) v ( x ) − ∫u ' ( x ) v ( x ) dx Chú ý ; Công thức viết dạng : Ví dụ : Giải : Tính : a) x xe ∫ dx b) ∫ u.dv = u.v − ∫ v.du ∫ x.cos x.dx c) ∫ ln x.dx a) Đặt u = x dv = ex dx , du = dx v = ex nên có : ∫ x.e x dx = x.e x − ∫ e x dx = x.e x −e x +C click b) Đặt u = x dv = cos x dx , du = dx v = sin x nên có : ∫ x.cos xdx = x.sin x − ∫ sin x.dx = x.sin x + cos x +C dx v = x Do : x = x.ln x + x +C c) Đặt u = ln x dv = dx , du = ∫ ln x.dx = x.ln x − ∫ dx Bài củng cố ; Cho P(x) đa thức x Từ ví dụ lập bảng theo mẫu sau điền u dv thích hợp vào ô trống theo phương pháp tích phân phần x P x e dx ( ) ∫ ∫ P ( x ) ln x.dx u P ( x) ????? P(x) ????? P(x) dv e x dx cosx.dx ????? ????? lnx.dx Ví dụ trắc nghiệm : A ∫ P ( x ) cos x.dx C 1−x Bài tập nhà : Tính : B ∫ c 1−x dx 1−x C Kết : − − x +C D Bài ; ; ; trang 100 sách giáo khoa GT 12 - 2008 +C 1−x