CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: NGUYÊN HÀM 10/04/16 Bài 1: NGUYÊN HÀM 1./ Khái niệm nguyên hàm 2./ Nguyên hàm số hàm thường gặp 3./ Một số tính chất nguyên hàm 10/04/16 1./ Khái niệm nguyên hàm VD: Tìm hàm số F(x) cho F’(x) = f(x) a) f(x) = 2x b) f(x) = cosx Giải : ' a)Ta có (x ) = 2x nên F(x) = x ' b) Ta thấy (sin x ) = cos x nên F(x) = sinx ta nói F(x) nguyên hàm f(x) 10/04/16 1./ Khái niệm nguyên hàm Định nghĩa: Kí hiệu K khoảng hay đoạn hay nửa khoảng Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm f(x) K F’(x) = f(x) với x thuộc K Câu hỏi : Hàm số y = tanx nguyên hàm hàm số ? Hàm số y = logx nguyên hàm hàm số ? Trả lời : 1 Hàm số y = tanx nguyên hàm hàm số y= cos x Hàm số y = logx nguyên hàm hàm số y = x ln 10 10/04/16 1./ Khái niệm nguyên hàm Chú ý: • Trong trường hợp K = [a;b], đẳng thức F’(a) = f(a), F’(b) = f(b) hiểu F ( x) − F (a) = f (a) lim x−a x→a + hay F ( x) − F (b) = f (b) lim x−b x →b − • Cho hai hàm số f F liên tục đoạn [a;b] Nếu F nguyên hàm f (a;b) chứng minh F’(a) = f(a) F’(b) = f(b) Do F nguyên hàm f đoạn [a;b] 10/04/16 1./ Khái niệm nguyên hàm ĐỊNH LÝ Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K với số C, hàm số G(x)=F(x)+C nguyên hàm f(x) K Ngược lại, với nguyên hàm G(x) hàm số f tồn số C cho G(x) = F(x) + C với x thuộc K 10/04/16 1./ Khái niệm nguyên hàm Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) họ nguyên hàm f(x) F(x) + C kí hiệu ∫ f ( x )dx = F ( x ) + C ,C ∈ ¡ f(x)dx vi phân F(x) Ký hiệu dùng nguyên hàm hàm số f ( ∫ f ( x )dx )' = f ( x ) Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K 10/04/16 2./ Nguyên hàm số hàm thường gặp ∫ 0dx = C ∫ dx = ∫ 1dx = x +C α +1 x ∫ x dx = α + + C (α ≠ −1) α ∫ x dx = ln x + C 10/04/16 2./ Nguyên hàm số hàm thường gặp cos( kx + b ) + C ,k ≠ ∫ sin( kx + b )dx = − k sin( kx + b ) +C ∫ cos( kx + b )dx = k x kx a e x kx a dx = + C( < α ≠ ) e dx = + C ∫ ∫ ln a k ∫ cos x dx = tan x + C 10/04/16 ∫ dx = − cot x + C sin x 3./ Một số tính chất nguyên hàm Định lý 2: Nếu f,g hai hàm số liên tục K , với a số thực khác thì: ∫ [f ( x ) + g( x )]dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g( x )dx ∫ af ( x )dx = a ∫ f ( x )dx Chú ý: 10/04/16 [ ∫ f ( x )dx ] ' = f ( x ) ∫ f ( t )dt = F ( t ) + C ⇒ ∫ f [u( x )]u'( x )dx = F [u( x )] + C ∫ f ( u )du = F ( u ) + C 10 3./ Một số tính chất nguyên hàm Chú ý: Nêu ∫ f ( x )dx = F ( x ) + C ∫ f ( ax + b )dx = ∫ f ( ax + b )d( ax + b ) a = F ( ax + b ) + C a u ' ( x) ∫ u ( x) dx = ln u ( x) + C ∫ dx = x +C x 10/04/16 n n n +1 ∫ xdx = n + x + C dx n n n −1 ∫ n x = n −1 x + C n dx −1 ∫ x n = (n − 1) x n−1 + C 11 Hỏi nhanh: mệnh đề sau sai: A B e dx = e + C ∫ x x dx = x + C ∫ sin xdx = cos x + C ∫ x D ∫ xdx = +C C 10/04/16 12 Ví dụ 1: tìm nguyên hàm hàm số: f( x)= Giải x + 3x + 5x f ( x) = x + 3 x + x = x + (3 x) + (5 x) ∫ f ( x)dx = ∫ [ x 2 3 + (3 x) + (5 x) ]dx 3 2x 3 = +3 ⋅ x +5 ⋅ x +C 4 3 3 = x + ⋅ x + 3⋅ ⋅ x +C 4 10/04/16 13 Ví dụ 2: tìm nguyên hàm hàm số: f( x)=(3 +2 ) x Giải x f ( x) = (3 + ) = (3 ) + 2.3 + (2 ) x x x = + 2.6 + x Vậy ∫ 10/04/16 x x x x x x x x f ( x)dx = + + +C ln ln ln 14 Ví dụ 3: tìm nguyên hàm hàm số: sin x − f( x)= sin x Giải sin x − sin x   f ( x) = = −   sin x 3  sin x  Vậy   sin x ∫  − sin x dx = − cos x + cot x + C 10/04/16 15 Ví dụ 3: tìm nguyên hàm hàm số: x x f ( x ) = sin − sin 3 Giải x x f ( x) = sin − sin 3 Vậy x x = −2(3 sin − sin ) = −2 sin x 3 f ( x ) dx = ( − sin x ) dx ∫ ∫ = −2(− cos x) + C = cos x + C 10/04/16 16 Bảng nguyên hàm mở rộng ∀a ≠ ∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C dx ∫ ax + b = a ln ax + b + C ∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C 1 ∫ cos (ax + b) dx = a tan(ax + b) + C ∫e ax + b ax +b dx = e +C a α +1 ( ax + b ) α ( ax + b ) dx = ⋅ + C (α ≠ −1) ∫ a α +1 1 ∫ sin (ax + b) dx = − a cot(ax + b) + C 10/04/16 17 Ví dụ 4: tìm nguyên hàm hàm số: Giải f(x)= x2 + x − 1 f ( x) = = ⋅ x + x − ( x − 1)( x + ) 2 [( x + ) − ( x − 1)] 1 = ⋅ = ( − ) 3 x − ( x − 1)( x + ) x+ 2 1 dx − ∫ dx] Vậy ∫ f ( x)dx = [ ∫ x −1 x+ = [ln x − − ln x + / + C ] x −1 = ln +C 10/04/16 x + 3/ 18 Ví dụ 5: tìm nguyên hàm hàm số: f( x)= Giải f ( x) = = + sin x − cos x + sin x − cos x π − cos( x + ) 1 = = π π x 2[1 − cos( x + )] 2 sin ( + ) Vậy 10/04/16 ∫ dx −1 x π f ( x)dx = = cot( + ) + C ∫ 2 sin ( x + π ) 2 19 Ví dụ 6: tìm nguyên hàm hàm số: f(x)= e +e x Giải −x x − 2dx −x 2 x f ( x) = e x + e − x − = (e − e ) =| e − e x Xét e − e x −x −x | x −x ≥0⇔ ≥ ⇔ x≥0 2 −x x −x −x x f ( x) = e − e ⇒ ∫ f ( x)dx = ∫ (e − e )dx = 2(e + e ) + C Xét x e −e x f ( x ) = −e + e 10/04/16 −x −x [...]... C 10/04/16 12 Ví dụ 1: tìm nguyên hàm của hàm số: f( x)= Giải x + 3 3x + 3 5x 1 3 1 2 f ( x) = x + 3 3 x + 3 5 x = x + (3 x) + (5 x) ∫ f ( x)dx = ∫ [ x 3 2 1 2 1 3 1 3 1 3 + (3 x) + (5 x) ]dx 1 3 4 3 1 3 4 3 2x 3 3 = +3 ⋅ x +5 ⋅ x +C 3 4 4 3 4 3 2 3 3 3 4 5 3 4 = x + ⋅ x + 3 ⋅ x +C 3 4 4 10/04/16 13 Ví dụ 2: tìm nguyên hàm của hàm số: f( x)= (3 +2 ) x Giải x 2 f ( x) = (3 + 2 ) = (3 ) + 2 .3 2 + (2 )... ln 6 ln 4 14 Ví dụ 3: tìm nguyên hàm của hàm số: sin x − 2 f( x)= 2 3 sin x 3 Giải sin x − 2 sin x 2  1  f ( x) = = −  2  2 3 sin x 3 3  sin x  3 Vậy 2  1 2  sin x ∫  3 − 3 sin 2 x dx = − 3 cos x + 3 cot x + C 10/04/16 15 Ví dụ 3: tìm nguyên hàm của hàm số: x x f ( x ) = 8 sin − 6 sin 3 3 Giải x 3 x f ( x) = 8 sin − 6 sin 3 3 3 Vậy x 3 x = −2 (3 sin − 4 sin ) = −2 sin x 3 3 f ( x ) dx = (... số: Giải 1 f(x)= 2 x2 + x − 3 1 1 1 f ( x) = 2 = ⋅ 2 x + x − 3 2 ( x − 1)( x + 3 ) 2 2 3 [( x + ) − ( x − 1)] 1 5 1 1 1 2 = ⋅ = ( − ) 3 3 2 5 x − 1 ( x − 1)( x + ) x+ 2 2 1 1 1 dx − ∫ dx] Vậy ∫ f ( x)dx = [ ∫ 3 5 x −1 x+ 2 1 = [ln x − 1 − ln x + 3 / 2 + C ] 5 1 x −1 = ln +C 10/04/16 5 x + 3/ 2 18 Ví dụ 5: tìm nguyên hàm của hàm số: f( x)= Giải f ( x) = 1 = 2 + sin x − cos x 1 2 + sin x − cos x 1 π 2... Bảng các nguyên hàm mở rộng ∀a ≠ 0 1 ∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C dx 1 ∫ ax + b = a ln ax + b + C 1 ∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C 1 1 ∫ cos 2 (ax + b) dx = a tan(ax + b) + C ∫e ax + b 1 ax +b dx = e +C a α +1 1 ( ax + b ) α ( ax + b ) dx = ⋅ + C (α ≠ −1) ∫ a α +1 1 1 ∫ sin 2 (ax + b) dx = − a cot(ax + b) + C 10/04/16 17 Ví dụ 4: tìm nguyên hàm của hàm số: Giải 1 f(x)= 2 x2 + x − 3 1 1 1... tìm nguyên hàm của hàm số: f(x)= e +e x Giải −x x 2 − 2dx −x 2 2 x 2 f ( x) = e x + e − x − 2 = (e − e ) =| e − e x 2 Xét e − e x 2 −x 2 −x 2 | x −x ≥0⇔ ≥ ⇔ x≥0 2 2 −x 2 x 2 −x 2 −x 2 x 2 f ( x) = e − e ⇒ ∫ f ( x)dx = ∫ (e − e )dx = 2(e + e ) + C Xét x 2 e −e x 2 f ( x ) = −e + e 10/04/16 −x 2 −x 2