HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ TRƯỜNG THPT CHUYÊN BIÊN HÒA TỈNH HÀ NAM Câu Câu ĐÁP ÁN + BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 11 Đáp án  xy − x y ≥ 0 ≤ xy ≤ ⇔ ⇔ ≤ xy ≤   x + 4( y + 1) − xy ≥ ( x − y ) + ≥ 2 Điều kiện :   1 1 Ta có : xy − x y = −  xy −  ≤ ⇐ xy − x y ≤ ( dấu = xảy  2 xy = ) Do từ (1) ⇒ x + x − 20 y ≤ (3) 2 Từ (2) (3) ta suy : Điểm 0,5 0,5 0,5 x y + x − 28 y + ≥ x + x − 20 y + ( x − y ) + ( x − y) + ⇔ 4x3 y + ≥ x6 + y + ( x − y) + 2 (4) ⇔ ≥ ( x3 − y) + ( x − y) + ( x − y) + ≥ ⇔ 8x y + ≥ x + y + Ta lại có ( x − y ) + x = x − y = x =  ⇔ Do (4) ⇔   y = x − y =  y = x =  Thử lại ta thấy có  nghiệm hpt.0,5  y = Câu  x = −1   0,5  y = − Dễ thấy xn ∈ Z ∀n ∈ N , n ≥ Ta có xn = xn-1 - xn-2 ⇔ xn - 3xn-1 = 3xn-1 - xn-2 ⇔ x n2 − x n x n −1 + x n2−1 = x n2−1 − x n −1 x n − + x n2− 0,5 0,5 ⇔ xn2 − xn xn −1 + xn2−1 = x n2−1 − xn −1 x n −2 + x n2−2 2 từ ta có xn −6 xn xn −1 + xn −1 = x 22 − x2 x1 + x12 = −8 0,5 ⇒ xn2−1 − xn xn −1 + xn2 + = (1) Vì xn ∈ Z ∀n ∈ N , n ≥ nên phương trình (1) phải có nghiệm nguyên Do (1) có ∆' phải số phương 0,5 2 2 Tức tồn k ∈ N cho ∆' = xn − ( xn + 8) = 8( xn − 1) = k (2) Từ (2) ta suy k phải số chẵn ⇒ k = 2m ; m ∈ N ⇒ 8( xn2 − 1) = 4m ⇒ xn2 − = m 0,5 Vậy x n − số phương Câu 0,5 A N B' C' K I M B H D C a) Gọi J tiếp điểm (I) với BC Giả sử IJ cắt (I) điểm thứ N’≠E Qua N’ vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC điểm B’, C’ AB ' AC ' = =k AB AC ⇒ phép vị tự V Ak : B Ta có B’ C →C’ ⇒ V Ak : ABC → A’B’C’ Do V Ak : D →N’ ⇒ A, N’, D thẳng hàng ⇒ N’ trùng với N Khi NI//AK (cùng vuông góc với BC) ⇒ IN IM = AK MK 0,5 0,5 0,5 mà IN = IM nên suy KA = KM b) Từ câu a ta suy ra: đường tròn có tâm thuộc đường cao 0,5 AH, qua A tiếp xúc (I) M M∈AD/ A1∈AD 0,5 Tương tự, gọi E, F tiếp điểm đường tròn bàng tiếp góc B, C với CA, CB B1 ∈BE; C1∈CF ⇒AA1 , BB1, CC1 đồng quy ⇔ AD, BE, CF đồng quy Mặt khác, ta gọi a, b, c độ dài cạnh 0,5 P nửa chu vi ta có BD=EC=p-c DC=AF=p-b AE=BE=p-a ⇒ DB EC FA =1 DC EA FB 0,5 Theo định lí Ceva ta có AD, BE, CF đồng qui Câu Ta có (1) ⇔ f(x)+f(x2+2x) = f(x).f(x2+2x) ⇔ [f(x)-1].[f(x+1)2-1]=1 Thế x x-1 ta [f(x-1)-1].[f(x2-1)-1]=1 Đặt g(x)=f(x-1)-1 ⇒ g liên tục R; g(x)≠1 ∀x∈R g(x) g(x2)=1 ∀x∈R (2) Từ (2) ta có g(x) ≠0 ∀x∈R Thay x –x ⇒ g(-x).g(x2)=1-g(x).g(x2) ⇒ g(-x)=g(x) Vậy g hàm chẵn x nên ta cần xét với x>0 R Từ (2) ta có: g(x) = = g(x4) ⇒ g(x)=g(x1/4) ∀x>0 Lấy a>0 tùy ý, xét dãy (xn) xác định sau: X0=a; xn+1=xn1/4∀n∈N ⇒Lim xn=1 Và có g(xn)=g(xn1/4)=g(xn+1) ∀x∈N ⇒ g(xn)=g(xn-1)=…=g(x0)=g(a) Vì g liên tục nên ta có g(x) =Lim g(xn)=g(Lim xn) = g(1) Thay x=1 vào (2) ⇒g2(1)=1 ⇒ g(1)=1 (vì g≠1) ⇒g(x) =1 ∀a>0 ⇒g(x)=1 ∀x∈R ⇒f(x)=2 ∀x∈R Câu Giả sử sau số lần biến đổi bảng có 98 dấu Gọi xi số lần đổi dấu hàng thứ i ( i = 1, ,100 , tính từ xuống) Gọi yj số lần đổi dấu cột thứ j ( j = 1, ,100 , tính từ trái sang phải) Gọi m số lẻ số x1; x2 ; ; x100 n số lẻ số y1; y2 ; ; y100 Ta có m , n ∈ { 0,1,2 100} 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Ta có số lượng dấu - bảng m(100-n) + n( 100-m) = 100m +100n - 2mm Bảng có 98 dấu - nên ta có 100m +100n - 2mm = 98 ⇒ ( m − 50 ) (n − 50) = 50 − ⇔ ( m − 50 )( n − 50) = 43.57 (*) ⇒ ( m − 50 )( n − 50 ) 57 mà 57 số nguyên tố nên m-50  57 n-50  57 0,5 Ta có m-50 , n-50 ∈ { − 50;−49; .;49;50} nên m-50 = n50 = mâu thuẫn với (*) Vậy bảng có 98 dấu - 1 0,5