SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ———————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP THPT NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ THI LÝ THUYẾT: MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— I PHẦN NHẬN THỨC CHUNG (4,0 điểm) Chủ đề năm học 2009-2010 xác định “Năm học đổi quản lý nâng cao chất lượng giáo dục” Đồng chí nêu nhận thức thân chủ đề năm học Qua việc nghiên cứu văn hướng dẫn nhiệm vụ năm học 2009-2010 bậc trung học thực tế giảng dạy, đồng chí xác định nhiệm vụ thân việc thực tốt yêu cầu nâng cao chất lượng giáo dục II PHẦN CHUYÊN MÔN (16,0 điểm) Đồng chí giải toán sau: Bài Cho đoạn thẳng AB Dựng dãy điểm { M n } sau: M ≡ A, M ≡ B , M n +1 trung điểm đoạn thẳng M n −1M n (n = 2, 3, 4, ) Dãy điểm { M n } hội tụ đến điểm đoạn thẳng AB −x Bài Giải phương trình: = 2   ( x +1 + x −1 )  1      Bài Chứng minh bất đẳng thức:  + ÷1 + ÷ 1 + n ÷ < (n số nguyên dương)  Bài Cho tam giác ∆ABC có I tâm đường tròn nội tiếp Gọi a, b, c tương ứng độ dài cạnh đối diện với đỉnh A,uurB, C ucủa tam giác uu r ur r a) Chứng minh rằng: a.IA + b.IB + c.IC = b) Tính giá trị biểu thức: IA2 IB IC + + bc ca ab —Hết— (Cán coi thi không giải thích thêm) Họ tên thí sinh SBD SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ———————— KỲ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP THPT NĂM HỌC 2009-2010 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ———————————— I PHẦN NHẬN THỨC CHUNG: 4,0 điểm -Đổi quản lý nâng cao chất lượng GD yêu cầu cấp bách giai đoạn nhằm nâng cao chất lượng đào tạo nguồn nhân lực có chất lượng đáp ứng yêu cầu đẩy mạnh CNH-HĐH, hội nhập quốc tế; Đây nhiệm vụ thường xuyên lâu dài (Nêu vài hạn chế công tác quản lý chất lượng GD nay) (1,0 đ) -Với giáo viên việc hoàn thành tốt nhiệm vụ theo chức nhiệm vụ, cần thường xuyên làm tốt số công việc sau: +Thường xuyên tu dưỡng đạo đức, học tập nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ; thực tốt vận động “Học tập làm theo gương đạo đức Hồ Chí Minh” với giải pháp cụ thể Ngành thực “Mỗi thầy cô giáo gương đạo đức, tự học sáng tạo” (1,0 đ) +Thực đổi PPDH, theo yêu cầu hai năm học năm học 20092010 chấm dứt việc dạy học chủ yếu qua lối “đọc – chép”; năm học giáo viên có đổi PPDH Đẩy mạnh ứng dụng CNTT đổi PPDH, năm học giáo viên làm giảng điện tử (1,0 đ) +Thực tốt việc đổi KTĐG; thực đánh giá theo chuẩn kiến thức kỹ năng; đánh giá chất lượng thực, khắc phục triệt để tình trạng học sinh ngồi nhầm lớp; thực công khai chất lượng GD; đổi KTĐG thúc đẩy việc đổi PPDH cách học học sinh (1,0 đ) Trên ý bản, giáo viên nêu thêm số công việc khác Giám khảo vận dụng cho điểm II PHẦN CHUYÊN MÔN: 16,0 điểm Dưới tóm tắt nêu ý lời giải cách giải toán Trong lời giải thí sinh phải đầy đủ bước, chặt chẽ lập luận, xác kí hiệu hướng dẫn học sinh giải Chỉ cho điểm tối đa đạt đồng thời yêu cầu trên, trường hợp lại cho tối đa 75% số điểm phần theo thang điểm hướng dẫn chấm Nếu thí sinh làm theo cách khác phải đạt yêu cầu cho điểm tối đa Bài (6,0 điểm) Nội dung Điểm Gọi l độ dài đoạn AB Chứng minh (bằng qui nạp) độ dài đoạn AMn (hoặc n −1 2 1  − l M1Mn)   ÷ ÷ 3  2 ÷  3,0 2l Cho n → +∞ M n → C thuộc AB cách A đoạn 3,0 Bài (6,0 điểm) Nội dung Điểm Qui đồng đưa PT dạng: 2 x đoạn: −x = x + + x − (1) Đặt f(x)=VT(1), g(x)=VP(1) Xét ( ) 1,5 + x ∈ ( −∞; − 1) : f(x) đồng biến có tập giá trị 0; ; g(x) nghịch biến có tập giá trị ( 2; + ∞ ) , rõ ràng g(x) > f(x) nên (1) nghiệm + x ∈ [−1; 0] : f(x) đồng biến có tập giá trị [ ; 2] ; g(x)=2 (hàm hằng), rõ ràng phương trình g(x)= f(x) có nghiệm nhất, dễ thấy x = − nghiệm 1,5 1,5 Tương tự xét cho khoảng (0; 1) [1; +∞) ta x = nghiệm PT Vậy PT cho có nghiệm Bài (2,0 điểm) 1,5 Nội dung Điểm Ta có với < x < (1 + x)(1 − x) = − x < ⇒ + x < , từ suy ra: 1− x 0,5      (1)  + ÷1 + ÷  + n ÷ <       −  −   −   ÷ ÷  n ÷      Mặt khác với x, y ∈ ( 0; 1) (1 − x)(1 − y ) > − x − y (*) 0,5 0,5  1 1     Khi áp dụng BĐT (*) ta có:  − ÷ − ÷  − n ÷ > − − − − n > (2) 2      Từ (1)&(2) suy đpcm 0,5 Bài (2,0 điểm) a) 1,0 điểm: Nội dung Điểm Kéo dài AI cắt BC D, theo tính chất đường phân giác ta có: BD = ac ab , DC = b+c b+c uur DC uur BD uur b uur c uur IB + IC = IB + IC (1) Mặt khác ta có: ID = BC BC b+c b+c uur r r r ID uu BD uu a uu IA = − IA (2) Vì BI phân giác của tam giác ABD nên: ID = − IA = − IA AB b+c r uu r uur uur r a uu b uur c uur IA = IB + IC hay a.IA + b.IB + c.IC = (đpcm) Từ (1)&(2) suy ra: − b+c b+c b+c b) 1,0 điểm: Nội dung Theo phần a) ta có: uu r uur uur uu r uur uur uur uur uu r a.IA + b.IB + c.IC = ⇒ a IA2 + b IB + c IC + 2abIA.IB + 2bcIB.IC + 2caIC IA = ( 0,25 0,25 0,25 0,25 Điểm ) 0,25 ⇒ a IA + b IB + c IC + ab( IB + IA − c ) + bc ( IB + IC − a ) + ca ( IC + IA − b ) = 0,25 ⇒ a.IA (a + b + c) + b.IB (a + b + c) + c.IC (a + b + c) = abc(a + b + c) 0,25 2 2 2 ⇒ 2 2 2 2 2 2 2 IA IB IC + + =1 bc ca ab 0,25 Lưu ý: Thí sinh bắt buộc phải vẽ hình cho phần a) Nếu không vẽ hình không cho điểm ——Hết——