SỞ GD - ĐT BẮC GIANG TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG (ĐỀ THI ĐỀ XUẤT) ĐỀ THI DUYÊN HẢI VÀ ĐBBB NĂM 2015 MÔN TOÁN LỚP 10 Thời gian làm 180 phút Câu (4 điểm) Giải hệ phương trình  x + y − ( x + x + 4) y + x + xy − =  2  x + y − x y + x + xy − y = 0, ( x, y ∈ ¡ ) Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, không cân, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O, đường cao AD Đường thẳng AO cắt BC E Gọi I, S, F trung điểm AE, AH BC Đường thẳng qua D song song với OH cắt AB, AC M N Đường thẳng DI cắt AB, AC P, Q Đường thẳng MQ cắt NP T Chứng minh rằng: a) SF // AE b) Các điểm D, O, T thẳng hàng Câu (4 điểm) Cho hàm số f : ¥ a ¥ , f khác số thỏa mãn a – b | f(a) – f(b) Chứng minh tập ước nguyên tố f(c), với c ∈ ¥ vô hạn Câu (4 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c chứng minh a − bc b − ca c − ab + + ≥0 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b Câu (2 điểm) Bên hình vuông cạnh cho 2015 điểm cho ba điểm thẳng hàng Chứng minh tồn tam giác có đỉnh điểm cho diện tích S thoả mãn bất đẳng thức: S < HẾT 2013 ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM Câu Câu Phương pháp – Kết Lấy 3pt(2) – pt(1) ta Điểm (2 x + 1)[y − ( x − 1) y + x − x + 2] = 2 x + = ⇔ 2  y − ( x − 1) y + x − x + = TH1: x + = ⇔ x = − 5±3 2 TH2: y − ( x − 1) y + x − x + = (3) Câu 2 Thay vào pt (1) ta y = Lây pt(1) – pt (2) – pt(3) ta được: x2 + = (vô nghiệm) KL … a) Ta có hệ thức quen thuộc uuur uuur uuur uuur OA + OB + OC = OH uuur uuur uuur Gọi L đối xứng O qua F ta có OA + OL = OH Suy tứ giác OLHA hình bình hành Từ suy đpcm b) Gọi K, L giao điểm DO AB, AC Theo phần a) OH,SF, DI có chung trung điểm J Do D(HOJN) = -1 Suy (ALQN) = -1 (AKPM) = -1 Do (AKMP) = - Vậy KL, MQ, PN đồng quy Hay DO, MQ, PN đồng quy Từ suy đpcm 1 1 Câu Giả sử f có hữu hạn ước nguyên tố Khi gọi tất ước nguyên tố f p1, p2, , pn Theo giả thiết ta có a = (a+1) – | f(a + 1) – f(1) Vì f(1) xác định nên tồn vô số số a cho v pi (a ) > v pi ( f (1)) Mà a | f(a + 1) – f(1) Nếu f(a + 1) ≠ f(1) tồn số i cho v pi ( f (a + 1)) ≠ v pi ( f (1)) ⇒ v pi ( f (a + 1) − f (1)) ≤ v pi ( f (1)) < v pi (a ) (vô lí) Vậy f(a + 1) = f(1) Với b ta có (a + 1) – b | f(a + 1) – f(b) = f(1) – f(b) Do (a + 1) – b | f(1) – f(b) với a Điều xảy f(b) = f(1) Hay f hàm (mâu thuẫn với điều kiện toán) Vậy có điều phải chứng minh Câu BĐT tương đương với (b + c) (c + a ) ( a + b) + + ≤3 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b Ta có (b + c) (b + c) b2 c2 = ≤ + 2a + b + c ( a + b ) + ( a + c ) a + b a + c 2 Tương tự với hai BĐT lại suy đpcm Câu Xét bao lồi 2015 điểm nằm bên hình vuông Vì điểm thẳng hàng, nên bao lồi có k đỉnh ( k ≤ 2015) , điểm cho đỉnh đa giác lồi, nằm hẳn bên đa giác bao lồi Chỉ có hai khả sau xảy ra: TH1: (H1) Nếu k = 2015 Khi số đường chéo xuất phát từ A1 đa giác bao lồi tạo thành cạnh đa giác A2 A3 A1 A2An Ak+1 A1 Ak 2013 tam giác Gọi S diện tích tam giác nhỏ 2013 tam giác Vì tổng diện tích 2013 tam giác nhỏ 1( ý diện tích hình vuông chứa chọn 2013 tam giác ), suy S< 1 2013 TH2 (H2) Nếu k < 2013 Khi bên đa giác bao lồi A1 A2 Ak 2013 – k điểm Ak +1 , Ak + , , An Nối Ak +1 với đỉnh A1 , A2 , , Ak Khi ta có k tam giác Ak +1 A1 A2 , Ak +1 A2 A3 , , Ak +1 Ak A1 Vì ba điểm thẳng hàng, nên điểm phải nằm hẳn k tam giác nói Giả sử Ak + thuộc tam giác Nối Ak + với ba đỉnh tam giác này, từ tam giác ta có ba tam giác Sau lần làm số tam giác tăng lên Như ta đến : k + ( 2015 − k − 1) = 2.2015 − k − = 2013 + ( 2015 − k ) tam giác, mà bên tam giác điểm thuộc 2015 điểm cho Gọi S tam giác có diện tích bé tam giác thì: S< 1 < n − k > ) 2013 + ( n − k ) 2013 (do Bất đẳng thức S < chứng minh 2013 Người đề: Nguyễn Văn Thảo - đt: 0983186256