HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH, NĂM 2015 TỈNH YÊN BÁI Thời gian làm 180 phút ĐỀ THI ĐỀ XUẤT (Đề có 01 trang, gồm 05 câu) Câu (4 điểm) Giải hệ phương trình sau tập hợp số thực 4 x3 − y3 + x − y = xy ( x − y )   − y + + x = x y + xy − x − Câu (4 điểm) Xét tam giác không vuông ABC Ba đường thẳng lA, lB, lC dựng qua đỉnh A, B, C sau: Gọi A’ chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC, đường tròn đường kính AA’ cắt AB M, AC N lA đường thẳng qua A vuông góc với MN Các đường thẳng lB, lC dựng cách tương tự Chứng minh lA, lB, lC đồng qui điểm Câu (4 điểm) Tìm tất nghiệm nguyên dương (x;y) phương trình p x − y p = , với p số nguyên tố lẻ cho trước Câu (4 điểm) Cho x, y, z số thực không âm, chứng minh rằng: ( y + z − x) + ( z + x − y) + ( x + y − z ) ≥ 2 ( y + z ) + x2 ( z + x ) + y2 ( x + y ) + z 2 Câu (4 điểm) Cho 2015 số đôi khác a1, a2,…, a2015.Hỏi có tất hoán vị 2015 số đó, mà hoán vị ba số bốn số a1, a2, a3, a4 nằm ba vị trí liên tiếp? HẾT -Người đề Nguyễn Trọng Nghĩa SĐT: 0917115167 ĐÁP ÁN + BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 10 Câu Nội dung cần đạt Điểm Giải hệ phương trình sau tập hợp số thực 4 x3 − y3 + x − y = xy ( x − y ) (1)   − y + + x = x y + xy − x − 1( )  x ≥ −2 Điều kiện  y ≤ 1,0 (1) ⇔ ( x − y ) + ( x − y ) = y3 + y ⇔ ( 2x − y − y) ( ( 2x − y) ) + y ( x − y ) + y + ⇔ x = y Thay y=x vào phương trình (2) ta được: 1,0 − x + + x = x3 + x − x − −x +   x+4  ⇔  3− x − ÷+  + x − ÷=     −x + x + x3 + x − x − − − (*) 3 −x +   − x + > Với −2 ≤ x ≤ , ta có   2+ x + x+4 >0    2  −x + x + −x + x + ÷ (*) ⇔  + = − ( − x2 + x + 2) ( x + 2) ÷ x+4  − x + −x + ÷ 2+ x + 3   1,0    ÷ 1 ⇔ ( − x2 + x + 2)  + + ( x + 2) ÷= −x + x+4  3− x + ÷ 2+ x + 3   ⇔ − x2 + x + =  x = −1 ⇔ x = Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm (x:y) (-1;-1) (2;2) 1,0 Xét tam giác không vuông ABC Ba đường thẳng lA, lB, lC dựng qua đỉnh A, B, C sau: Gọi A’ chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC, đường tròn đường kính AA’ cắt AB M, AC N lA đường thẳng qua A vuông góc với MN Các đường thẳng lB, lC dựng cách tương tự Chứng minh lA, lB, lC đồng qui điểm 1,0 A N M C B A' K Không tính tổng quát giả sử µA > 900 Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Kẻ Cx ⊥ AC Do ·AMN , ·ANM góc nhọn nên lA cắt MN điểm nằm đoạn MN lA cắt Cx điểm K phía với B so với AC Do AMA’N tứ giác nội tiếp nên · · MAA ' = MNA ' · · · · · Ta lại có MNA Mà MAA ' = CAK ⇒ MAA ' = CAK ' + ·ABC = 900 · CAK + ·AKC = 900 nên ·ABC = ·AKC ⇒ K nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do ·ACK = 900 nên AK đường kính đường tròn Do lA qua O (tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) 1,0 1,0 I A P C B Q D Hạ BI ⊥ AC Gọi P, Q tương ứng giao điểm đường tròn đường kính BI với AB, BC Kẻ Cy ⊥ BC Do µA > 900 nên I nằm CA kéo dài phía A Do P B nằm hai phía IQ · ⇒ BQP > 900 , lB cắt PQ điểm nằm PQ kéo dài phía Q ⇒ lB cắt Cy D khác phía với A so với BC · · Vì BIPQ tứ giác nội tiếp nên PBI Mặt khác = PQI · · · · Mà PQI = CBD ⇒ PBI = CBD · · · · · · ⇒ PBI + PAI = 900 , CBD + BDC = 900 BAI = BDC 1,0 · · ⇒ BDC + BAC = 1800 Do D nằm đường tròn ngoại tiếp · tam giác ABC BCD = 900 nên lB đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay lB qua O Vì B, C có vai trò toán nên lC đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay lC qua O Vậy lA, lB, lC đồng qui điểm O Tìm tất nghiệm nguyên dương (x;y) phương trình p x − y p = , với p số nguyên tố lẻ cho trước x p Xét phương trình : p − y = ( 1) 1,0 Nếu (x;y) nghiệm x p p −1 p = y + = ( y + 1) ( y − + y − y + 1) Do (1) y + = pn ( n∈¢) Nếu n=0 (x;y)=(0;0) p số nguyên tố lẻ tùy ý Nếu n ≠ p x = ( p n − 1) + = p np − p p p 1,0 n( p −1) + C2p p n( p − ) + − C pp−2 p n + p p n (*) p số nguyên tố ⇒ Ckp với k=2,…,p-2 chia hết cho p Do vế phải (*) chia hết cho p n+1 không chia hết cho p n+2 ⇒ x = n + np n ( p −1) + C2p p Ta có: = p − p p n( p − ) + − C pp−2 p n (**) 1,0 Với p=3 = 33n − 3.32 n , điều có nghĩa n=1, (x;y)=(2;2) p Với p ≥ , C p −2 không chia hết cho p2 nên vế phải (**) không chia hết cho p n+ , vế trái (**) lại chia hết cho p n+ ⇒ vô lý ⇒ p0 Cho 2015 số đôi khác a1, a2,…, a2015 Hỏi có tất hoán vị 2015 số đó, mà hoán vị ba số bốn số a1, a2, a3, a4 nằm ba vị trí liên tiếp? Kí hiệu số phần tử tập hợp X |X| Xét tập A gồm tất hoán vị a = ai1 , ai2 , , ai2015 2015 số a1 , a2 , , a2015 Kí hiệu , a j , ak , ah bốn số phân biệt thuộc tập E = {a1 , a2 , a3 , a4 } ( ) 1,0 Số cách lấy ba số thuộc E hoán vị chúng C43 (3!) = 4! Xét tập B ⊂ A mà phần tử a ∈ B ba số tập E nằm ba vị trí liên tiếp Tập B chứa tập B1 mà B1 gồm hoán vị chứa bốn số E nằm bốn vị trí liên tiếp Giả sử a ∈ B chứa (ai, aj, ak), ta coi ba số chiếm vị trí hoán vị a số hoán vị a 2013! (gồm 2013 phần tử (ai, aj, ak), ah am với m=5,6,…,2015) 1,0 Nhưng hoán vị có hoán vị dạng (…,(ai, aj, ak), ah, …) (…,ah, (ai, aj, ak),…) số thay đổi, chúng chứa bốn số tập E bốn vị trí liên tiếp, phải bỏ 1,0 2012! số hoán vị 2012 phần tử (gồm ( , a j , ak , ah ) am với m=5,6,…,2015) Như vậy: | B |= C43 (3!).(2013!− 2012!) = 4!.2012!.2012 Số phần tử A 2015!; số hoán vị phải tìm gồm hoán vị mà ba số bốn số E nằm ba vị trí liên tiếp là: |A|-|B|=2015!-4!.2012!.2012 1,0