SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THPT VÙNG DUYÊN HẢI &ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ VIII , NĂM HỌC 2014-2015 Môn: Toán; Lớp: 10 Thời gian: 180 phút không kể thời gian phát đề ĐỀ ĐỀ NGHỊ Câu (4 điểm)    1 + =2  x + y  ÷ ÷ x + y y + x Giải hệ phương trình:      x + y + = x + + 19 − y Câu (4 điểm) Tìm giá trị lớn số thực k cho bất đẳng thức sau : ( + a ) ( + b ) ( + c ) + ( + b ) ( + c ) ( + d ) + ( + c ) ( + d ) ( + a ) ( ) +2 ( + d ) ( + a ) ( + b ) ≥ k ( ab + bc + cd + ac + bd + da − ) với số thực a, b, c, d thay đổi tùy ý Câu (4 điểm) n Tìm tất số nguyên dương n cho ( n + 11n − ) ×n! + 33 ×13 + là số chính phương Câu (4 điểm) Cho hai đường tròn ( ω1 ) ( ω2 ) cắt P Q, đường thẳng d thay đổi qua P cắt ( ω1 ) A cắt ( ω2 ) B cho P nằm A B; C, D hai điểm cố định thuộc ( ω1 ) , ( ω2 ) cho P thuộc tia đối tia DC Tia BD đoạn AC cắt X, điểm Y thuộc ( ω1 ) cho PY song song BD, điểm Z thuộc ( ω2 ) cho PZ song song AC Gọi I, J tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABQ CDQ a) Chứng minh IJ ⊥ XQ b) Chứng minh d thay đổi đường thẳng YZ qua điểm cố định Câu (4 điểm) Cho A tập số nguyên dương thoả mãn điều kiện sau đây: 1) Nếu a ∈ A ⇒ ∀x a x ∈ A 2) Nếu < a < b ∈ A ⇒ + ab ∈ A Chứng minh A ≥ A ≡ ¥ * - Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: ………………………………………………………………………………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THPT TRƯỜNG THPT CHUYÊN VÙNG DUYÊN HẢI &ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ VĨNH PHÚC LẦN THỨ VIII , NĂM HỌC 2014-2015 Môn: Toán; Lớp: 10 HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung Điểm    1 x + y + =2  ÷  ÷ x + y y + x Giải hệ phương trình:      x + y + = x + + 19 − y 19   x ≥ 0, ≥ y ≥ Điều kiện   x + y > Từ ( 1) : sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có ( ) ( 1) ( 2) x x + y 1 x x+ y  × ≤  + và x + y x + 3y  x + y x + 3y ÷  y 2y 1 2y  = × ≤  + , cộng hai kết quả ta được x + 3y  x + 3y ÷ x + 3y  x = x + 3y x + y 1 x 3 ≤  + ÷, tương tự ta cũng có x + 3y  x + y  x + y 1 y 3 ≤  + ÷, y + 3x  x + y    1 x+ y  1 + ≤  + ÷ = = VP ( 1) suy VT = x + y  ÷ y + 3x ÷   x + 3y  2 x + y Dấu bằng xẩy và chỉ x = y ( 3) Thế vào phương trình ( ) ta được pt : x + x + = x + + 19 − x ( )   ⇔ ( x2 + x − 2)  + + =0 ÷  ÷ x + + x + 19 − x + 13 − x ( ) ( )  ⇔ x + x − = ⇔ x = ∨ x = −2 ( Loai ) ( 3) → y = x = Thử lại ( x; y ) = ( 1;1) thỏa mãn hệ phương trình Khi x =  Vậy hệ phương trình có nghiệm nhất ( x; y ) = ( 1;1) ( 1) ( ) Giải pt ( ) ⇔ ( x + x − ) = 3 x + − ( x + )  + 3 19 − x − ( 13 − x )  − x2 − x + 2) − x2 − x + 2) ( ( ⇔ 3( x + x − ) = × + 9× x + + ( x + 5) 19 − x + ( 13 − x ) Điều kiện cần Bất đẳng thức với a = b = c = d = thay vào BĐT ta 4.2.8 ≥ k ( 6.3 − ) ⇒ k ≤ Điều kiện đủ Ta chứng minh BĐT với k = ∑ (1+ a ) (1+ b ) (1+ c ) ⇔2 2 a ,b ,c , d ⇔ ≥ ( ab + ac + ad + bc + bd + cd − ) ∑ ( + a ) ( + b ) ( + c ) ≥ ( ab + ac + ad + bc + bd + cd − ) 2 a ,b ,c , d Ta có ( + a ) ( + b ) ( + c ) = ( + a ) ( bc − 1) + ( b + c ) 2 2 2 ≥  ( bc − 1) + a ( b + c ) = ab + bc + ca − Tương tự ta ⇔ ∑ ( + a ) ( + b ) ( + c ) ≥ ( ab + ac + ad + bc + bd + cd − ) 2 a ,b ,c , d Dấu xẩy a = b = c = d = ± Vậy giá trị lớn k Khi BĐT với thực a, b, c, d thay đổi tùy ý n Tìm tất số nguyên dương n cho ( n + 11n − ) ×n! + 33 ×13 + là số chính phương n Đặt An = ( n + 11n − ) ×n! + 33 ×13 + Xét giá trị của An theo mod8 Nếu n ≥ , ta có ×2 ×3 ×4 ×××n = n! , vậy An = ( n + 11n − ) ×n! + 33 ×13n + ≡ + 5n + ( mod8 ) 2k k +1 Vì ≡ 1( mod8 ) ⇒ ≡ 1( mod8 ) ,5 ≡ ( mod8 ) , k ∈ ¥ Từ đó An ≡ ( mod8 ) n chẵn và An ≡ 1( mod8 ) n lẻ Mà An là số chính phương vậy An ≡ 1( mod8 ) n lẻ, các số chẵn n ≥ bị loại Khi n lẻ, n ≥ xét các giá trị của An theo mod Ta có n! , từ đó n ⇒ A = ( n + 11n − ) ×n! + 33 ×13n + ≡ + ×( −1) + ≡ ( mod ) vô lý A là n n số chính phương thì An ≡ 0,1,2,4 ( mod ) , vậy mọi n lẻ, n ≥ bị loại Từ hai điều ta có n ∈ { 1,2,3,5} Nếu n = ⇒ A3 ≡ ×1 + ×3 + ≡ ( mod5 ) loại A3 là số chính phương nên A3 ≡ 0,1,4 ( mod5 ) Nếu n = ⇒ A5 ≡ ( −4 ) ×0 + ×3 + ≡ ( mod5 ) loại A5 là số chính phương nên A5 ≡ 0,1,4 ( mod5 ) Nếu n = ⇒ A1 = 441 = 21 ( thỏa mãn) Nếu n = ⇒ A2 = 5625 = 75 ( thỏa mãn) 1 a) + Vì ACQP PDQB tứ giác nội tiếp nên ta có ·XAQ = CAQ · · · · = CPQ = DPQ = DBQ = ·XBQ nên AXQB nội tiếp (1) + Vì AXQB BPDQ tứ giác nội tiếp nên ta có · · · nên tứ giác XDQC nội tiếp (2) QXC = ·ABQ = PBQ = CDQ Từ (1) (2) suy QX trục đẳng phương hai đường tròn ( ABQ ) ( CDQ ) IJ ⊥ XQ b) + Ta chứng minh đường thẳng YZ qua điểm Q cố định đường thẳng qua điểm X · · · Vì XDQC nội tiếp nên DQX (3) = DCX = PCA · · · Từ PZ AC nên PCA (4) = CPZ = DPZ · · Từ (3) (4) suy DQX = DPZ · · · · Mặt khác PDQZ nội tiếp nên DPZ + DQZ = 1800 , DQX + DQZ = 1800 hay Y , Q, X thẳng hàng + Chứng minh tương tự ta Z , Q, X thẳng hàng Từ suy điều phải chứng minh Giả sử { x < y < z} ⊂ A Nếu yz M2 ⇒ ∈ A / ⇒ + yz M2 ⇒ ∈ A Ta chứng minh ∈ A Thật Nếu yz M  Nếu z ≡ ( mod ) ⇒ ∈ A  z ≡ 1( mod ) ⇒ t = + z ∈ A, t ≡ ( mod ) ⇒ + tz ∈ A  Nếu  1 + tz ≡ ( mod ) ⇒ ∈ A  Nếu z ≡ ( mod ) ⇒ t = + z ∈ A, t ≡ 1( mod ) ⇒ l = + tz ∈ A l ≡ ( mod ) ⇒ + lt ∈ A,1 + lt M4 ⇒ ∈ A  Nếu z ≡ ( mod ) ⇒ t = + z ∈ A, t ≡ ( mod ) ⇒ l = + tz ∈ A , l ≡ ( mod ) ⇒ ∈ A Tóm lại ∈ A ⇒ = + 2.4 ∈ A ⇒ ∈ A ⇒ 13 = + 3.4 ∈ A ⇒ 40 = + 3.13 ∈ A ⇒ ∈ A Ta chứng minh quy nạp: n ∈ A∀n ≥ theo n Với n ≤ kết luận Giả sử kết luận có k ∈ A∀k ≤ n Xét số n + n n  Nếu nM2 ⇒ < ∈ A ⇒ + ∈ A ⇒ + n ∈ A 2 n +1 n +1 /2⇒ 2< ∈ A ⇒ + ∈ A ⇒ n + 2∈ A  Nếu n M 2 + 2n ∈ A ⇒ + ( 2n + 1) ( n + ) ∈ A ⇔ 2n + 5n + ∈ A ⇔ ( n + 1) ( 2n + 3) ∈ A ⇒ n + 1∈ A Vậy n + 1∈ A theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải cm 1 Lưu ý chấm bài: - Đáp án trình bày cách giải bao gồm ý bắt buộc phải có làm học sinh Khi chấm học sinh bỏ qua bước không cho điểm bước - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo ý đáp án điểm - Trong làm, bước bị sai phần sau có sử dụng kết sai không điểm - Học sinh sử dụng kết phần trước để làm phần sau - Trong lời giải 4, học sinh không vẽ hình vẽ sai hình không cho điểm - Điểm toàn tính đến 0,5 không làm tròn