CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng TP HCM — 2011 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 / 14 Cách tính tích phân kép Định lý Fubini Cho hàm số f (x, y ) liên tục miền D Nếu D xác định a tục [a, b] x b, ϕ1 (x) b ϕ2 (x) a Nếu D xác định c tục [c, d] y d TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) f (x, y )dy ϕ1 (x) d, ϕ1 (y ) f (x, y )dxdy = D ϕ2 (x), ϕ1 (x), ϕ2 (x) liên dx f (x, y )dxdy = D y x ϕ2 (y ) dy c ϕ2 (y ), ϕ1 (y ), ϕ2 (y ) liên f (x, y )dx ϕ1 (y ) CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 / 14 Cách tính tích phân kép Định lý Fubini Ví dụ xdxdy , với D tam giác OAB, O(0, 0), A(1, 1), B(0, 1) Tính I = D TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 / 14 Cách tính tích phân kép Định lý Fubini Ví dụ xdxdy , với D tam giác OAB, O(0, 0), A(1, 1), B(0, 1) Tính I = D O TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 / 14 Cách tính tích phân kép Định lý Fubini Ví dụ xdxdy , với D tam giác OAB, O(0, 0), A(1, 1), B(0, 1) Tính I = D A O TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 / 14 Cách tính tích phân kép Định lý Fubini Ví dụ xdxdy , với D tam giác OAB, O(0, 0), A(1, 1), B(0, 1) Tính I = D O B A TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 / 14 Cách tính tích phân kép Định lý Fubini Ví dụ xdxdy , với D tam giác OAB, O(0, 0), A(1, 1), B(0, 1) Tính I = D O B A TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 / 14 Cách tính tích phân kép Định lý Fubini Ví dụ (xy + 2y )dxdy , với D tam giác OAB, Tính I = D O(0, 0), A(1, 1), B(2, 0) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 / 14 Cách tính tích phân kép Định lý Fubini Ví dụ (xy + 2y )dxdy , với D tam giác OAB, Tính I = D O(0, 0), A(1, 1), B(2, 0) O TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 / 14 Cách tính tích phân kép Định lý Fubini Ví dụ (xy + 2y )dxdy , với D tam giác OAB, Tính I = D O(0, 0), A(1, 1), B(2, 0) A O TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 / 14 Cách tính tích phân kép Đổi biến hệ tọa độ cực Ví dụ: tam giác có cạnh nằm trục y 0 x x x y y x−1 f (x, y ) dy dx I = 1−x = (y > 0) = (y < 0) =1−x ⇔ =x −1 ⇔ ⇔ ϕ = π/2 ⇔ ϕ = −π/2 ρ(cos ϕ + sin ϕ) = ρ(cos ϕ − sin ϕ) = −1 Nối tia từ gốc tọa độ quan sát với đoạn đoạn tia thuộc miền TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 12 / 14 Cách tính tích phân kép Đổi biến hệ tọa độ cực Ví dụ: tam giác có cạnh nằm trục y x−1 x x x y y 1−x = (y > 0) = (y < 0) =1−x ⇔ =x −1 ⇔ D1 : − π2 −1 f (x, y ) dy dx I = D2 : ϕ ϕ ⇔ ϕ = π/2 ⇔ ϕ = −π/2 ρ(cos ϕ + sin ϕ) = ρ(cos ϕ − sin ϕ) = 0, π 2, Với ϕ > ta thu trường hợp; với ϕ > ta trường hợp khác Cần phải chia miền lấy tích phân thành miền TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 12 / 14 Cách tính tích phân kép Đổi biến hệ tọa độ cực Ví dụ: tam giác có cạnh nằm trục y x−1 x x x y y 1−x = (y > 0) = (y < 0) =1−x ⇔ =x −1 ⇔ D1 : − π2 −1 f (x, y ) dy dx I = D2 : 0, ≤ ρ ϕ ϕ ⇔ ϕ = π/2 ⇔ ϕ = −π/2 ρ(cos ϕ + sin ϕ) = ρ(cos ϕ − sin ϕ) = 1 cos ϕ−sin ϕ π 2, Trên tia tương ứng với góc ϕ từ −π/2 đến 0, miền lấy tích phân chứa đoạn từ gốc tọa độ đến điểm giao với phương trình y = x − TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 12 / 14 Cách tính tích phân kép Đổi biến hệ tọa độ cực Ví dụ: tam giác có cạnh nằm trục y x−1 x x x y y 1−x = (y > 0) = (y < 0) =1−x ⇔ =x −1 ⇔ D1 : − π2 −1 f (x, y ) dy dx I = D2 : 0, ≤ ρ ϕ ϕ ⇔ ϕ = π/2 ⇔ ϕ = −π/2 ρ(cos ϕ + sin ϕ) = ρ(cos ϕ − sin ϕ) = π 2, ρ cos ϕ−sin ϕ cos ϕ+sin ϕ Trên tia tương ứng với góc ϕ từ đến π/2, miền lấy tích phân chứa đoạn từ gốc tọa độ đến điểm giao với đường thẳng y = − x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 12 / 14 Cách tính tích phân kép Đổi biến hệ tọa độ cực Ví dụ: tam giác có cạnh nằm trục y x−1 x x y y x 1−x = (y > 0) = (y < 0) =1−x ⇔ =x −1 ⇔ D1 : − π2 D2 : −1 ϕ I = π 2, 1/(cos ϕ−sin ϕ) f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ)ρ dρ+ π/2 + 1/(cos ϕ+sin ϕ) dϕ cos ϕ−sin ϕ cos ϕ+sin ϕ ρ dϕ −π/2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ⇔ ϕ = π/2 ⇔ ϕ = −π/2 ρ(cos ϕ + sin ϕ) = ρ(cos ϕ − sin ϕ) = 0, ≤ ρ ϕ Đáp số: f (x, y ) dy dx I = f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ)ρ dρ CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 12 / 14 Cách tính tích phân kép Đổi biến hệ tọa độ cực Ví dụ: phần parabol I = dx −1 f (x, y ) dy x2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 13 / 14 Cách tính tích phân kép Đổi biến hệ tọa độ cực Ví dụ: phần parabol I = dx −1 f (x, y ) dy x2 y −1 x Biểu diễn miền lấy tích phân D hình vẽ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 13 / 14 Cách tính tích phân kép Đổi biến hệ tọa độ cực Ví dụ: phần parabol I = dx −1 y = x ⇔ sin ϕ = ρ cos2 ϕ y = ⇔ ρ sin ϕ = f (x, y ) dy x2 y −1 x Mô tả phương trình biên hệ tọa độ cực TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 13 / 14 Cách tính tích phân kép Đổi biến hệ tọa độ cực Ví dụ: phần parabol I = dx −1 y = x ⇔ sin ϕ = ρ cos2 ϕ y = ⇔ ρ sin ϕ = f (x, y ) dy x2 y −1 x Nối tia từ gốc tọa độ quan sát với đoạn đoạn tia thuộc miền TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 13 / 14 Cách tính tích phân kép Đổi biến hệ tọa độ cực Ví dụ: phần parabol I = dx −1 y = x ⇔ sin ϕ = ρ cos2 ϕ y = ⇔ ρ sin ϕ = f (x, y ) dy x2 y D1 : ϕ π 4, D2 : π ϕ 3π , D3 : 3π −1 ϕ π, x Với < ϕ < π/4 ta thu trường hợp; với π/4 < ϕ < 3π/4 ta trường hợp khác; với 3π/4 < ϕ < π ta trường hợp thứ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 13 / 14 Cách tính tích phân kép Đổi biến hệ tọa độ cực Ví dụ: phần parabol I = dx −1 y = x ⇔ sin ϕ = ρ cos2 ϕ y = ⇔ ρ sin ϕ = f (x, y ) dy x2 y −1 D1 : 0 ϕ ρ D2 : π ϕ D3 : 3π ϕ π 4, sin ϕ cos2 ϕ 3π , π, x Trên tia tương ứng với góc ϕ từ đến π/4, miền lấy tích phân chứa đoạn từ gốc tọa độ đến điểm giao với phương trình y = x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 13 / 14 Cách tính tích phân kép Đổi biến hệ tọa độ cực Ví dụ: phần parabol I = dx −1 y = x ⇔ sin ϕ = ρ cos2 ϕ y = ⇔ ρ sin ϕ = f (x, y ) dy x2 y D1 : 0 D2 : π D3 : −1 3π ϕ ρ ϕ ρ ϕ π 4, sin ϕ cos2 ϕ 3π , sin ϕ π, x Trên tia tương ứng với góc ϕ từ π/4 đến 3π/4, miền lấy tích phân chứa đoạn từ gốc tọa độ đến điểm giao với đường thẳng y = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 13 / 14 Cách tính tích phân kép Đổi biến hệ tọa độ cực Ví dụ: phần parabol I = dx −1 y = x ⇔ sin ϕ = ρ cos2 ϕ y = ⇔ ρ sin ϕ = f (x, y ) dy x2 y D1 : 0 D2 : π D3 : 3π −1 ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ x π 4, sin ϕ cos2 ϕ 3π , sin ϕ π, sin ϕ cos2 ϕ Trên tia tương ứng với góc ϕ từ 3π/4 đến π, miền lấy tích phân chứa đoạn từ gốc tọa độ đến điểm giao với đường thẳng y = x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 13 / 14 Cách tính tích phân kép Đổi biến hệ tọa độ cực Ví dụ: phần parabol I = dx y = x ⇔ sin ϕ = ρ cos2 ϕ y = ⇔ ρ sin ϕ = f (x, y ) dy x2 −1 y D1 : 0 D2 : ϕ ρ π D3 : 3π −1 x 3π/4 Đáp số: I = π/4 + f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ)ρ dρ+ sin ϕ/ cos2 ϕ dϕ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) sin ϕ/ cos2 ϕ π + π, sin ϕ cos2 ϕ 1/ sin ϕ dϕ π/4 ϕ ρ ϕ ρ π 4, sin ϕ cos2 ϕ 3π , sin ϕ dϕ 3π/4 CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 13 / 14 Cách tính tích phân kép Đổi biến hệ tọa độ cực THANK YOU FOR ATTENTION TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2011 14 / 14