Điều Kiện Để Hàm Số Đơn Điệu Trên Một Khoảng Cho Trước Có hai phương pháp để giải toán tính đơn điệu khoảng cho trước PP1: Rút m theo x, dựa vào toán cụ thể để tìm m PP2: Lập bảng biến thiên để tìm khoảng đơn điệu cụ thể, từ rút kết luận Ví dụ (A-2013) Tìm m để hàm số y = −x3 + 3x2 + 3mx − nghịch biến (0; +∞) Ta có y = −3x2 + 6x + 3m Hàm số nghịch biến (0; +∞) ⇔ y ≤ 0, ∀x ∈ (0; +∞) ⇔ −3x2 + 6x + 3m, ∀x ∈ (0; +∞) ⇔ m ≤ x2 − 2x, ∀x ∈ (0; +∞) (1) Xét hàm số f (x) = x2 − 2x (0; +∞) Ta có f (x) = 2x − 2; f (x) = ⇔ x = x − f (x) Bảng biến thiên: +∞ + +∞ f (x) −1 Từ bảng biên thiên ta có (1) ⇔ m ≤ −1 Vậy với m ≤ −1 hàm số cho nghịch biến (0; +∞) Ví dụ Tìm m để hàm số y = − x3 + (m − 1) x2 + (m + 3) x + đồng biến (0; 3) Lời giải Ta có: y = −x2 + (m − 1) x + m + Hàm số đồng biến (0; 3) y ≥ 0, ∀x ∈ (0; 3) ⇔ −x2 + (m − 1) x + m + ≥ 0, ∀x ∈ (0; 3) ⇔ m (2x + 1) ≥ x2 + 2x − 3, ∀x ∈ (0; 3) ⇔m≥ Xét hàm số f (x) = x2 + 2x − , ∀x ∈ (0; 3) 2x + x2 + 2x − 2x2 + 2x + [0; 3] có f (x) = > 0, ∀x ∈ [0; 3] 2x + (2x + 1)2 Bảng biến thiên x + f (x) 12 f (x) −3 12 Từ bảng biến thiên suy (1) ⇔ m ≥ 12 Vậy với m ≥ , hàm số cho đồng biến (0; 3) (1) Nguyễn Minh Hiếu Ví dụ Tìm m để hàm số y = x3 − (2m + 1) x2 + m2 + 2m x + đồng biến (0; +∞) Lời giải Ta có: y = 3x2 −2 (2m + 1) x+m2 +2m; ∆y = (2m + 1)2 −3 m2 + 2m = (m − 1)2 Với m = 1, ta có y ≥ 0, ∀x ∈ R ⇒ hàm số đồng biến R nên đồng biến (0; +∞) Do m = thỏa mãn điều  kiện toán 2m + − |m − 1|  x1 = Với m = 1, ta có y = ⇔  2m + + |m − 1| x2 = Bảng biến thiên x x1 −∞ + y x2 − y(x1 ) +∞ + +∞ y −∞ y(x2 ) Từ bảng biến thiên suy hàm số đồng biến (0; +∞) 2m + + |m − 1| ≤ ⇔ |m − 1| ≤ −2m − Với m > 1, ta có |m − 1| ≤ −2m − ⇔ m − ≤ −2m − ⇔ m < (loại) Với m < 1, ta có |m − 1| ≤ −2m − ⇔ −m + ≤ −2m − ⇔ m < −2 (thỏa mãn) Vậy với m ≤ −2 m = 1, hàm số cho đồng biến (0; +∞) Ví dụ Tìm m để hàm số y = x2 − 2mx + 2m2 − đồng biến (1; +∞) x−m Lời giải Tập xác định: D = R\ {m} Ta có: y = x2 − 2mx + (x − m)2 Hàm số đồng biến (1; +∞)   x − 2mx + ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞) y ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞) ⇔ (x − m)2 m∈ / (1; +∞)  m≤1 x2 − 2mx + ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞) m≤1 ⇔   x2 + , ∀x ∈ (1; +∞) ⇔  m ≤ 2x Xét hàm số f (x) = m≤ √ x2 + 2x2 − [1; +∞) có f (x) = ; f (x) = ⇔ x = 2x 4x2 Bảng biến thiên x − f (x) f (x) √ +∞ + +∞ √ √ m≤ Từ bảng biến thiên ta có (2) ⇔ ⇔ m ≤ m≤1 Vậy với m ≤ 1, hàm số cho đồng biến (1; +∞) (2) Ví dụ Tìm a để hàm số y = x3 + 3x2 + ax + a nghịch biến đoạn có độ dài Lời giải Ta có: y = 3x2 + 6x + a; ∆y = − 3a Với − 3a ≤ ⇔ a ≥ ⇒ y ≥ 0, ∀ ∈ R ⇒ hàm số đồng biến R, mâu thuẫn giả thiết Do a ≥ không thỏa mãn Với − 3a > ⇔ a < ⇒ y có hai nghiệm x1 , x2 (x1 < x2 ) Bảng biến thiên x x1 −∞ + y x2 − y(x1 ) +∞ + +∞ y −∞ y(x2 ) Từ bảng biến thiên suy hàm số nghịch biến đoạn có độ dài |x1 − x2 | = ⇔ (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 = ⇔ − 4a = ⇔ a = (thỏa mãn) Vậy với a = , hàm số cho nghịch biến đoạn có độ dài Nhận Xét: Đối với toán có m bậc có khoảng đơn điệu cụ thể nên dùng PP1 toán có bậc m lớn khoảng đơn điệu không cụ thể phải dùng PP2 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 − mx − nghịch biến (−∞; 0) Tìm m để hàm số y = 31 mx3 − (m − 1) x2 + (m − 2) x + đồng biến [2; +∞) Tìm m để hàm số y = x4 − 8mx2 + 9m đồng biến (2; +∞) Tìm m để hàm số y = mx + nghịch biến (−∞; 1) x+m Tìm m để hàm số y = mx2 + 6x − nghịch biến [1; +∞) x+2 Tìm a để hàm số y = x2 − 2ax + 4a2 đồng biến (2; +∞) x − 2a Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 + (m + 1) x + 4m đồng biến khoảng (−∞; −2) (2; +∞) Tìm a để hàm số y = x3 − (a − 1) x2 + 3(a − 2)x + đồng biến khoảng có hoành độ thỏa ≤ |x| ≤ Tìm m để hàm số y = độ dài (m + 1) x3 + (2m − 1) x2 − (3m + 2) x + m nghịch biến đoạn có 10 Tìm m để hàm số y = − 13 x3 + x2 + (3m + 2) x + m − đồng biến đoạn có độ dài nhỏ