TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - KHỐI:11 Thời gian làm bài:180 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ DỮ LIỆU Câu (4,0 điểm) Cho dãy số ( xn ) xác định : x1 = 1, xn+1 = + , ∀n ≥ + xn Chứng minh dãy ( xn ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC không cân A nội tiếp đường tròn ( O ) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác Đường tròn ( O1 ) tiếp xúc với cạnh BA, BC tiếp xúc với ( O ) B1 Đường tròn ( O2 ) tiếp xúc với cạnh CA, BC tiếp xúc với ( O ) C1 Gọi M , N tiếp điểm BC với đường tròn ( O1 ) , ( O2 ) J giao điểm B1M , C1 N Chứng minh AJ tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác B1CM , C1BN Gọi S giao điểm BC B1C1 Chứng minh ·AIS = 900 f : ¥ → ¥ thỏa Câu (4,0 điểm) Tìm tất hàm f ( f ( n ) ) + ( f ( n ) ) = n + 3n + 3, ∀n ∈ ¥ * mãn: a − j +1 | Cbja với a, b số nguyên lớn 1, Câu (4,0 điểm) Chứng minh b j ≤ a + Câu (4,0 điểm) Cho 10 người ngồi thành hàng ngang Có cách chia người thành nhóm cho người ngồi cạnh thuộc nhóm - HẾT • Thí sinh không sử dụng tài liệu máy tính cầm tay • Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Lời giải Câu Ta có x2 = + Hàm số f ( x) = + Ta có xn+1 = + 4 = 3; x3 = + = > x1; x4 = + < x2 4 liên tục nghịch biến [0,+), < f ( x) ≤ 1+ x = f ( xn ), ∀n  ( xn ) bị chặn + xn x1 < x3 ⇒ f ( x1 ) > f ( x3 ) ⇒ x2 > x4 ⇒ f ( x2 ) < f ( x4 ) ⇒ x3 < x5 ⇒ suy dãy ( x2 n+1 ) tăng dãy ( x2 n ) giảm suy ( x2 n+1 ),( x2 n ) dãy hội tụ Giả sử lim x2 n = a;lim x2 n+1 = b (a, b ≥ 1) Từ x2 n+1 = f ( x2 n ) ⇒ lim x2 n+1 = lim f ( x2 n ) ⇒ b = f ( a) Từ x2 n+ = f ( x2 n +1 ) ⇒ lim x2 n+ = lim f ( x2 n +1 ) ⇒ a = f (b)  b = +  1+ a ⇔ a = b = = Vậy lim xn = Giải hệ phương trình  a = +  1+ b Câu A C1 B1 O1 O2 Q I O P S B N M C J Gọi J1 , J giao điểm thứ B1M , C1 N với ( O ) Ta có ∆O1B1M , ∆OB1 J1 tam giác cân O1 , O , mà O, O1 , B1 thẳng hàng nên suy OJ1 || O1M Do OJ1 ⊥ BC Chứng minh tương tự ta có OJ ⊥ BC Mà J1 , J phía BC nên suy J1 ≡ J ≡ J Suy J điểm cung BC nên A, I , J thẳng hàng JB = JC = JI · · · N suy tứ giác BC1IN nội tiếp Ta có ∆IBN : ∆ABI nên BIN = BAI = BC Chứng minh tương tự ta có tứ giác CB1IM nội tiếp Mặt khác ta có JM JB1 = JB = JC = JN JC1 = JI Vậy AJ tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác B1CM , C1BN Gọi P, Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác B1CM , C1BN PQ ⊥ AJ I Vì JM JB1 = JB = JC = JN JC1 = JI nên tứ giác MNC1B1 nội tiếp Gọi S1 = PQ ∩ BC Do ∆PBN ∆QCM tam giác cân có góc đỉnh · · · · · 2BAJ nên chúng đồng dạng Suy PBN Do = PNB = QCM = QMC PB || QN , PN || QC ⇒ S1P S1B S1 N = = ⇒ S1B.S1C = S1M S1 N S1 thuộc trục đẳng phương hai S1Q S1M S1C đường tròn ( MNC1B1 ) , ( ABC ) ⇒ S1 ∈ B1C1 hay PQ, B1C1 , BC đồng quy S1 S1 ≡ S Vậy ·AIS = 900 Câu Giả sử tồn hàm số thỏa mãn đề Chứng minh f đơn ánh, tồn hàm Sử dụng phương pháp quy nạp toán học: Chứng minh f ( n ) = n + Nhận thấy, với n = , đặt f ( 1) = a ta có: f ( a ) + a = hay a = (do ≤ a ≤ mà a = không thỏa mãn), suy f ( 1) = + f ( ) = + Giả sử f ( k ) = k + với số k ∈ ¥ * Từ điều kiện toán ta có: f ( k + 1) + ( k + 1) = k + 3k + ⇔ f ( k + 1) = k + + Theo giả thiết quy nạp suy f ( n ) = n + Thử lại thấy thỏa mãn a − j +1 | Cbja với a, b số nguyên lớn 1, j ≤ a + Câu Chứng minh b + Chứng minh quy nạp b n ≥ n + 1, ∀n nguyên dương a Suy b ≥ a + ≥ j ( b )! a j −1 a = ∏ ( b − i ) (*) + Ta có C = j !( b a − j ) ! j ! i =0 j ba Với số i = 0, j − , đặt i = b r m với b | m , r số tự nhiên Do j ≤ a + nên i ≤ a , suy r nhỏ a a a r r a−r Khi b − i = b − b m = b ( b − m ) , hay số mũ b i số mũ b b a − i Với i = 1, j − số mũ b tử mẫu (*) nhau, số mũ j b Cb a trừ số mũ b j a j j −1 Do b ≥ j nên số mũ b j không vượt j − , hay số mũ b Cb không nhỏ a − j + , ta có điều phải chứng minh a Câu Đặt S ( n, k ) số cách chia nhóm n người thành k nhóm mà nhóm người liên tiếp ( *) Sử dụng truy hồi ta được: S ( n, k ) = S ( n − 1, k − 1) + ( k − 1) S ( n − 1, k ) (Xét nhóm có n – người trước đó, với S ( n − 1, k ) S ( n − 1, k − 1) tương ứng số cách phân chia thành k k – nhóm thỏa mãn, ta thêm người, nhóm n người Xét cách chia nhóm thành k nhóm thỏa mãn Người đứng nhóm, số cách S ( n − 1, k − 1) Người thêm vào nhóm người thứ n – 1, có k – nhóm vậy, trường hợp có ( k − 1) S ( n − 1, k ) cách) Áp dụng (*) với n = 10, k = ,vào toán ta được: S ( 10,3) = S ( 9,2 ) + 2S ( 9,3) = +  S ( 8,2 ) + S ( 8,3 )  = + +  S ( 7,2 ) + S ( 7,3 )  =1 + + + 8S ( 7,3) = + + + + 16 S ( 6,3 ) = + + + + 16 + 32 S ( 5,3 ) = + + + + 16 + 32 + 64 S ( 4,3) = + + + + 16 + 32 + 64 + 128S ( 3,3 ) = + + + + 16 + 32 + 64 + 128 = 28 − (Chú ý rằng: S ( n,2 ) = , có cách chia nhóm xen kẽ nhau)