PHƯƠNG PHÁP CÂN BẰNG TÍCH G.v:Nguyễn Đại Dương BỒI DƯỠNG VÀ LUYỆN THI Năm học: 2015-2016 TÀI LIỆU NÂNG CAO Chuyên Đề PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Phần Đặc Biệt PHƯƠNG PHÁP CÂN BẰNG TÍCH G.v: Nguyễn Đại Dƣơng Chuyên Luyện Thi Quốc Gia Các Chuyên Đề :  Hình Phẳng Oxy  Phƣơng Trình & Bất phƣơng trình Vô tỉ  Hệ Phƣơng trình  Bất Đẳng Thức Địa : 76/5 Phan Thanh- Đà Nẵng Chuyên Luyện Thi Quốc Gia Môn Toán-Đ/c: 76/5 Phan Thanh-Đà Nẵng-Sdt: 0932589246 PHƯƠNG PHÁP CÂN BẰNG TÍCH G.v:Nguyễn Đại Dương Tài liệu đặc biệt dành cho học sinh Lớp Toán luyện thi Phương pháp cân tích ứng dụng để giải lớp toán Phương Trình & Bất Phương trình Vô tỷ Tài liệu bao gồm: Cơ sở lí thuyết Phương pháp chung Các ví dụ Bài tập vận dụng Các em phải biết học toán phát triển tư duy, phương pháp có hay dễ sử dụng đến mức người sử dụng phát triển học chay mà Hy vọng em nắm bắt chất để phát triển thêm phương pháp Trong tài liệu cố gắng sử dụng ví dụ tiêu biểu cho toán riêng biệt, ví dụ kinh nghiệm học Đọc hết tài liệu em có nhìn tổng quát đầy đủ phương pháp Hiển nhiên tài liệu có thiếu sót, mong em góp ý để tài liệu hoàn thiện cho lứa học sinh sau Chúc em học tốt! Phương Pháp nghiên cứu phát triển dựa kiến thức kinh nghiệm tác giả Hiện chưa có tài liệu viết phương pháp Mọi vấn đề chép yêu cầu thông qua ý kiến tác giả Mọi góp ý xin gửi về: Địa mail : ginzorodn@gmail.com Facebook: www.facebook.com/100000226390946 Website: www.sienghoc.com Tác giả: Nguyễn Đại Dƣơng Chuyên Luyện Thi Quốc Gia Môn Toán-Đ/c: 76/5 Phan Thanh-Đà Nẵng-Sdt: 0932589246 G.v:Nguyễn Đại Dương PHƯƠNG PHÁP CÂN BẰNG TÍCH Chuyên Luyện Thi Quốc Gia Môn Toán-Đ/c: 76/5 Phan Thanh-Đà Nẵng-Sdt: 0932589246 PHƢƠNG PHÁP CÂN BẰNG TÍCH C s ở: Cho phương trình có dạng g ( x) x) n Nếu phương trình có nghiệm = h( f ( x ) , g ( x ) , h ( x ) đa thức f ( x) Với = x = nghiệm biểu xo thức tích dạng: g ( x) − ( x) n ( x) = x) − n f h ( A( n f x A(x ) tồn phân ) f ( x ) B ( x ) Tr ong c ác b ài t o án t a x é t t hì :  Bậc bậc bậc  Đa thức  Đa thức f ( x ) , h (x ) g ( x ) có bậc bé A( x ) thường biểu thức bậc A( x ) = ax + b 1: Phƣ ơng ph p : Bƣớc : Sử dụng Casio để tìm biểu thức Nhập phương trình g ( x) = h f = giá trị X bấm Bấ m End ( x) n vào máy bấm máy SHIF SOLVE SHIFT STO A Đợi máy giá trị X bấm MOD máy nhập 10 ( x) A( x) : nhập biểu f(X) = thức máy nhập nhập tùy ý Sovle for để gán giá trị nghiệm cho A f ( A) − máy AX = n Nhập Start -10 máy = , máy bảng với bên giá trị xủa X bên giá = Ste = trị f(X), ta lấy giá trị mà X f(X) hai số nguyên (hoặc hữu tỉ) Khi biểu thức cần tìm Bƣớc : Cân tích : A( x ) = X x + f ( X ) với X f(X) giá trị nguyên chọn Ta cân hai vế với biểu thức n , trình dạng: Trong f ( x) k ( x) A A( x) ( ( x ) + h ( x ) A( x ) (x) f ( x ) + h ( x) n n n f ( x) ) n = k = f x) , ( A n x) ( để đưa phương f (x) g ( x ) = k ( x )   A n ( x ) − f ( x )  − h ( x ) A ( x ) Tùy vào biểu thức g( x) mà ta lựa chọn k ( x) số a, biểu thức bậc ax + b , biểu thức bậc phù hợp để cân Thông thường k ( hệ x) ax + bx m hay phân thức … + c ax + b C hú ý : Biểu thức A(x) thông thường bậc biểu thức bậc cao ta phán đoán A(x) dựa vào toán x 2 2 x2 Ví dụ 1: Giải phương trình: (1) Điều kiện x ≥ −2 : Nhập biểu = 2− X = bấ X2 X thức: Bấm 0.6180339887 m SHIFT SOVLE = máy = −10 MOD Bấm nhập X = 1, f ta suy f ) (X)= ( A+ − AX X = Khi SHIFT STOmáy A Ans → A máy bảng ta thấy có giá trị nguyên A( x ) = x +1 hay x + = x +1 Ta viết lại phƣơng trình cân nhƣ sau: P ⇔ x+ 2 2−x t x = x + Đầu tiên ta cân cho +1: ( x +1) = x + Khi VT thừa lại : − x − ( x +1) = 1− x − x Ta tiếp tục cân thêm vế cho : x = x + ( x +1)2 Do biểu thức cân có bậc + bậc biểu thức thừa nên ta cân với hệ số a : ( x +1)2 + ( x +1) = a ( x + ) + a Khi để (*) tương đương với (1) + ( x +1) ⇔  x+  − ( x +1)2  + x +1− ( (*) a ( x +1)2 − a ( x + 2) = 1− x − x2 , đồng ta a = −1 − ( x +1)2 = −( x + ) + ⇔ Pt x + x+ x+ )=0 ⇔ ( + + x +1 ⇔ ( x )( )(  x +1 ≥ TH : +1) (x x+ ) + ( x +1− x+ 2− x −1 TH : x+ 2− x+ + x )=0 )=0 x + = x +1 x + = −x 5 ⇔   x + = x +1 ⇔  x + = −1+  ⇔ +1 x ( )2 x ≤ x + = −x ⇔  ⇔ x + = x x= x = −1 So sánh với điều kiện suy phương trình có nghiệm x= , x = −1 −1 2x2 x 2  x 1 Ví dụ 2: Giải phương trình: x2 Điều kiện: x ≥ −2 x  = x +1 Nhập Casio ta tìm biểu thức cân Ta cân tích nhƣ sau: Ta cân cho Do x +2 x +1: x + nhân với lượng nên Khi VT thừa lại: Ta cân tiếp cho .( x −1 )( x x+ +1) = ( x −1) ( x −1) x +1 2x + x − − ( x −1)( x +1) = x + x −1 2 x = x ( x +1)2 Do bậc biểu thức cân biểu thức + + thừa bậc nên ta cân với hệ số a: a ( x +1)2 + a ( +1) = Chuyển vế đồng hệ số: Pt ⇔ −1)( x +1) = ( x −1 )( x a ( x + ) + ( x −1) x +1)2 − a ( x + 2) = x2 + x −1 ⇔ ( x +1)2 + ( x ( x + ) + ( x −1) ⇔ ( x +1)2 − ( x  + ) + ( x −1 ) x +1− ( ⇔ x+ (x x+ )( 2x + x+ a =1 x+ x+ )=0 )=0 +1−  x+ = x +1 ⇔   x + = −2x  x +1 ≥ −1+ ⇔ x= TH : x + = x +1 ⇔  x + = ( x +1) TH : x ≤ 1− 33 x + = −2x ⇔  ⇔ x + = 4x  So sánh với điều kiện suy phương trình có nghiệm x= −1+ x= ,x= 1− 33 C hú ý: Khi toán có nhiều nghiệm lẻ ta lƣu nghiệm tìm biểu thức cân bằng, thông thƣờng nghiệm lẻ cho ta biểu thức cân khác Dù biểu thức cân khác nhƣng kết sau cân giống Điều kiện: x 1 3 x3 3x2 3x 2 Ví dụ 3: Giải phương trình: 0 x ≥ −1 Nhập CASIO ta bảng giá trị X, f(X) nguyên nào, tất số lẻ… Đến ta hiểu phương trình nhân tử chung dạng X +1 = aX + b làm ví dụ ta mặc định hệ số ứng với trình phải có dạng: với a, b hệ số nguyên Thực chất X thực tế nhân tử phương +1 k X +1 = aX + b Với k, a, b số nguyên, thường k = không cho ta X, f(X) nguyên ta thay k = 2, 3, Ta nhập lại biểu thức: f(X) = A +1 − AX Ta cân tích nhƣ sau: thu biểu thức cân ⇔ x3 − 3x x +1 − 3x = −2( x +1) Pt Ta cân cho −x x +1 − ( x : +1 )( −x ) = − ( x x +1 = −x x +1 +1 ) Khi VT thừa lại: x − 3x − 3x − ( x +1) x = x − 4x − 4x 3 2 Ta cân tiếp cho x ( −x ) (2 +1 ) = ( x +1) Nhưng biểu thức thừa bậc mà lượng cân bậc nên ta cân với biểu thức bậc ax + b : (ax + b) x2 −( x +1 )( −x ) + b ) ( x +1) − ( x +1 ) = (ax x +1 Chuyển vế đồng hệ số: ( ax + b) x2 − ( ax + b) ( x+1) = x3 = a  − 4x − 4x⇒ b = 3x +1 )( x +1+ (x − x 3x +1 ) = − x + 2) Ta có: x − x +1+ − x + 2) Pt ⇔ +1− x Vậy phương trình có nghiệm (x 3x +1 > ∀x ≥ − x +1 ≥ 3x +1 = ⇔  x − x = ⇔ x= 0∨ x= x = 1, x = Chuyên Luyện Thi Quốc Gia Môn Toán-Đ/c: 76/5 Phan Thanh-Đà Nẵng-Sdt: 0932589246 22 x 1x 13 x2 2x  Ví dụ 8: Giải phương trình: Điều kiện: 2x +1≥ ⇔ Nhập CASIO ta nghiệm Ta cân bằng: x≥ − 2x3 1 x = 2, 7320 MODE ta (ax + b )( 2x +1) + + b ) ( 2x +1) + (2x +1) 2x +1 = 2x +1 = (ax 2x +1 ( Chuyển vế đồng nhất: (ax + b )( 2x +1) −( ax + b ) 2x +1) = x − 2x − x − 2x − 3 ta không tìm a, b thỏa mãn Khi điều xãy ta hiểu biểu thức cân ta tìm chưa Ta thay đổi suy nghĩ chút: Ta biết phương trình có nhân tử dạng 2x +1 = A ( x) biểu thức bậc : A( x ) = ax + b , bậc phương trình nên ta nghĩ đến A ( x ) = ax + nghĩa biểu thức cân có bậc bx + c Ta có hướng tìm biểu thức sau:  Một cách đơn giản b = ta có biểu thức cân 2x +1 = ax + b Ta hy vọng có phân tích đơn giản Ta nhập vào máy sau: MOD f = (X) biểu thức cân 2A +1 − A X máy bảng có giá trị (X)= −1 2x +1 = x −1  Để ý thấy bậc lũy thừa lớn ) X = 1, f Ta suy (x nên ta chọn a = , biểu thức cân có dạng 2x +1 = x + bx + c Ta nhập vào máy sau: MOD f = (X) 2A +1 − A − AX máy bảng ta có giá trị X = 0, f Ta suy (X)= −1 biểu thức cân 2x +1 = x −1 C hú ý: Bài toán dù có phức tạp đến biểu thức cân thƣờng đơn giản nhƣ hai hƣớng x thay cho ax +1 +b 2x Thực tế toán ta cân với lƣợng nhƣng cách cân thêm lƣợng lại ngƣợc từ kết toán, không thích hợp với lối tƣ phƣơng pháp Pt ⇔ x − 2x − x −1 = Ta cân tích đƣợc: ⇔ (x −1 − 2x +1 )( x − x+ 2x +1 2x +1 ) = ⇔ 2x +1 x −1 Do = f ( x) = x − x+ ∀x ≥ − 2x +1 >  x −1 ≥ ⇔ x = +  ⇔  ( x2  −1 )2 = 2x3 +1 So sánh với điều kiện, phương trình có nghiệm Ví dụ 9: Giải phương trình: Điều kiện: − ≤ x = 1+ 2( x 2x +1 +1 = −1) − 6x ≤ x Bài toán chứa hai bậc dạng để ta cân tích biểu thức bậc 1, đơn giản bình phương biểu thức thu tối đa bậc Nên ta bình phương hai vế để đưa dạng cân tích: ⇒ 2 ( x −1) = − 6x 2x +1 +1   2x +1 = ⇔ 4x − 3x2 + −1) ( x Nhập CASIO ta biểu thức cân 2x +1 = 2x Cân tích ta được: Pt ⇔ x− (2 2x +1 )( 4x − 4x 2x +1 + + 2x Ta có: 4x − 4x + + 2x ) 2 2x +1 = 3x = − 2x + 2x + +1 (x + x ≥ ) > ∀x ≥ − 1+ Pt ⇔ x= 2x +1 ⇔  ⇔ x = 4x − 2x −1 = 1+ x= nghiệm Thử lại ta thấy Ví dụ 10: Giải bất phương trình: x + x ≥ ( x + 2)( Điều kiện: x ≥ − Sử dụng kĩ thuật cân tích: Bpt ⇔ (x +1− +1− 2 )(( x +1)2 + 2x + + x ⇔ 2x + (x )( x 2x + ( + x+ 2x + ) ≥0 2x + ) )≥0 2x + −1 ) Do ( x +1)2 + (x + Xét ( x +1)2 +1)2 ) 2x + (x + ( x + ≥ với x ∈ R + + Xét ( x 2x + ) 2x + = 0⇔ ) > x = −1 x  1 x 2 x 2 Bptx 1  2x 3   Kết hợp ta tập nghiệm S  2,  1   x 1 2x 1 2  x x2  Ví dụ 11: Giải bất phương trình: Điều kiện: 2x 1 0 x  Bpt x 1 2x 3x  1 Xét biểu thức: f x  2x2 3x   Dùng kĩ thuật cân tích:   x 1Bpt  x 1 2  x 1  x 1 2 Xét x 1 0 x 1 2x  1 0  2x 1   2x 1    0 f x  x  2  2x 1    0 2x 1 x 2 2x 1 2x 1 x 2   Do 2x 2 2x 1 0 x 1 Bptx 1 2 2x 1 0 x2 6x 3  x 3 2 x 3 2 Kết hợpx 3 2 Xét x 1 0 x 1 Bptx 1 2 2x 1 0 x2 6x 3 0 3 2 x 3 2 Kết hợp3 2 x 1    Vậy ta có tập nghiệm bất phương trình S 3 2 3,1  2  3,  x x x 2 3  x 2 x 2  Ví dụ 12: Giải bất phương trình: Điều kiện: x≥ 1+ Bpt ) ≥ ( x − 2x − 2) x − 2 x ⇔ + x + ( ⇔ x − 4x − ≤ x − x − 2x Nhập CASIO ta biểu thức cân bằng: Ta cân tích cho 2x + 2 x − x − 2x = 2x + ⇔ x − 2x = x +1 x − x − 2x : 2x + ≤ x3 − x2 − 2x Do bậc biểu thức thừa nên ta cân thêm lượng x (2 +1 ( ) a x +1 + 2x ) Bpt x ⇔ ( − +1 ⇔ ⇔ ( ( + 2x + ) ≤ − x +1 − ⇔ x +1 − ( x − 2x )( 2 ) ( ) x − 2x x − x − 2x + x +1 + x − 2x x +1 + )( x +1 x2 − 2x − ≥ ) x − 2x + x3 − x − 2x ( + 2≤ a Chuyển vế đồng ta a = −1 ⇔ x − 6x − ≤ x − 2x )− x − 2x )≥0 x +1 ( x +1 − x − 2x )≥0 : ⇔ + ≤ x ≤ + 13 Vậy tập nghiệm bất phương trình S= 1+  C hú ý: Bài toán ta nhân thêm lƣợng 3,3 + a x +1 13  để cân thay cho cân kép Bài t ập vận dụng: Giải phương trình: 2x −1 + x − 3x +1 = Giải phương trình: 4x −13x +5+ Giải phương trình: 5x +15x + = 4x + Giải phương trình: x2 x 1  x 2  Giải phương trình: 4x2 2x 3 8x 1 Giải phương trình: 3x2 3x 2  x 6  Giải phương trình:  2x  2 Giải phương trình: 2x2 6x 10 5  x 2  Giải phương trình: 3x +1 = 2 x 2 x 2 3x2 2x 3 x2 x 2 x2 5x 2 x  0 x2 2 2 3x  x 2 3 3x 1 Giải phương trình: x2 3x 1  x 3 Giải phương trình:  x 1 Giải phương trình: 2x 4 4 2x x 9x2 16 x3 15x2 78x 141 5 2x 9 Giải phương trình: x 1 x3 1 2x3  2x  Giải phương trình: x3 6x2 12x 7 3 x3 9x2 19x 11 Giải phương trình: 2x3 10x2 17x 8 2x2 5x x2 Giải phương trình: x2 3x 2 x 2 2 x x 6 5 x Giải phương trình: 2x3 3x2 2x 1  x  3xx2  Giải phương trình: x 13x2 1 x 1 x2 x 1 Giải phương trình: x x3 2x 6  x 2x 6 x2 1 Giải phương trình: 5x 4 2x 3  x 5 Giải phương trình: x − 3x + 5x − = x − 4x + 3x 2 2 Giải phương trình: 2( x − x + Giải phương trình: 5x +14x +9− x + 6) = 2 x +1 x − x − 20 = Giải phương trình: Giải phương trình: Giải bất phương Giải bất phương trình: trình: Giải bất Giải bất phương trình: phương trình: x + x + 6+ x −1 − 3x − 6x +19 = 4x + 2x −1+ (2x 2x2 + 2x −1 x≥ x    x 1 ( x + 3) x +1 2x 1 0 + 2x +1) Giải bất phương trình: x +1 4x 3322x2 30x 12  22x 3 x  2x −1 ≤ ( x − x 2 0 x2 3x 2 x2 6x 5  10x  14 2x −1) Giải bất phương trình: x3 x  x 1 Giải bất phương trình: 27x3 27x 12x 2  x 2  Giải bất phương trình: x3 3x2 5x 3  x  3 x2 1 3x2 8x 5 3 x2 1  x2 Giải bất phương trình: Giải bất phương trình: Giải bất phương trình: Giải bất phương trình: Giải bất phương trình: x x4 2x3 2x 1 x3 2 x2 2x x x2 x4 2x3 x2 1  x 25 x3 1  x2 5x 4 1x  x 2x   12x 4x3  x 2x 1 6x2 1 Giải bất phương trình: Giải bất phương trình:  x 1 x  x3  x  x 12x 13 x 1 6x +1 = Tản mạn! Nguồn gốc Phương Pháp Một buổi chiều mùa hè nóng nực vào Youtube xem vài video Bất Đẳng Thức có vài video Cân Bằng Bất Biến anh Trần Hưng-LS lên Dĩ nhiên biết đến phương pháp từ trước chưa có dịp xem video anh nên click vào xem thử, thấy phương pháp thật hay lại phức tạp sử dụng cho toán đối xứng gần hoàn toàn kiểu f (ux ) = f (vx ) , số cần đến tư suy đoán rắc rối toán khác việc cân khó khăn hay phải nói bất khả thi Trước khoảng tháng 6-2015 đọc số tài liệu CASIO, năm 2014 thực mà nói CASIO thể loại ( đến ko biết cách giải hệ bậc ẩn CASIO… việc bấm CASIO nhờ học sinh bày cho ) toán nghiệm lẻ trước giải hoàn toàn tay suy luận tự nhiên Trong nhiều thủ thuật dùng CASIO chọn cảm thấy phù hợp dễ hiểu Ý tưởng Cân Bằng Tích đến tình cờ! Việc suy đoán biểu thức để cân phức tạp, biết trước biểu thức cân sao? Để trả lời câu hỏi bắt đầu trình thử nghiệm, áp dụng vào toán nghiệm lẻ, nghiệm chẳn, nhiều nghiệm… cuối xử lí số dạng toán Sau hoàn thành Phương Pháp tìm cách để diễn đạt cách đơn giản dễ hiểu Và áp dụng dạy thử cho lứa học sinh 98, thời gian có hạn chế thu kết tương đối tốt…Việc lựa chọn tên gắn liền với tảng tư phương pháp Hiển nhiên phương pháp có ưu khuyết, người đọc vận dụng phải hiểu rõ ưu điểm khuyết điểm phát triển hoàn thiện Hy vọng Phương Pháp cho người xem cách tiếp cận tốt nhìn việc xử lí toán vô tỷ số toán Chúc thầy cô em học sinh năm thành công! Đà Nẵng, ngày 06-09-2015 Hãy truy cập vào website www.sienghoc.com để tham gia thảo luận xem video miễn phí chuyên đề luyện thi Đây web hoàn toàn tác giả sáng lập Hy vọng thầy cô, bạn đồng nghiệp em học sinh tham thảo luận chia sẻ kinh nghiệm, tạo môi trường học tập tốt hiệu cho tất người Chân thành cảm ơn chào đón người!