www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Chuyên đề T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 TỔ HỢP – XÁC SUẤT – NHỊ THỨC NEWTON Bài NHỊ THỨC NEWTON I Kiến thức cần nắm vững  Nhị thức Newton khai triển tổng (hiệu) lũy thừa có dạng: n ( a + b)n = ∑ Cnk an − k b k = Cn0 an + Cn1 an −1b + Cn2 an − b2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + Cnn −1 abn −1 + Cnn bn k =0  Nhận xét khai triển nhị thức: + Trong khai triển ( a ± b)n có n + số hạng hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu số hạng cuối nhau: Cnk = Cnn− k + Số hạng tổng quát dạng: Tn +1 = Cnk an − k b k số hạng thứ N k = N − + Trong khai triển ( a − b)n dấu đan nhau, nghĩa + , − , + , ….… + Số mũ a giảm dần, số mũ b tăng dần tổng số mũ a b n + Nếu khai triển nhị thức Niutơn, ta gán cho a b giá trị đặc biệt thu công thức đặc biệt Chẳng hạn như: x =1 • (1 + x)n = Cn0 x n + Cn1 x n −1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +Cnn → Cn0 + Cn1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +Cnn = 2n x =−1 • (1 − x)n = Cn0 xn − Cn1 xn −1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( −1)n Cnn ⇒ Cn0 − Cn1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ( −1)n Cnn =  Công thức hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp (thường cho kết hợp với khai triển): + Hoán vị: Pn = n ! = n.( n − 1).(n − 2) 3.2.1, (n ≥ 1) + Chỉnh hợp: Ank = + Tổ hợp: Cnk = n! , (1 ≤ k ≤ n) (n − k )! Ak n! = n , (1 ≤ k ≤ n) Cnk + Cnk +1 = Cnk ++11 k !.( n − k )! k! II Tìm hệ số số hạng thỏa mãn điều cho trước 1) Khai triễn dạng: (axp + bx q )n kết hợp với việc giải phương trình chứa Ank , Cnk , Pn BT Tìm số hạng không chứa x (độc lập với x) khai triễn nhị thức:  a)  x +  12 1  , ∀x ≠ x ĐS: 924   b)  x −  ⋅ x   ĐS: −8064 x 3 d)  +  ⋅ 3 x ĐS: 495   f)  x +  , ( x > 0) x  10  1 c)  x −  , ∀x ≠ x  12 ĐS: 6528 17   + x  , ∀x ≠ h)  ĐS: 24310   x  Tìm hệ số số hạng M cho biết số hạng thứ khai triễn nhị thức:   g)  x +  , ∀x > x  BT ĐS: 924 18 12 1  e)  + x  , ∀x > x   ĐS: −10 ĐS: 35 a) (2 x − y )17 M = x8 y9 ĐS: −39.28.C17 b) ( x + y)25 M = x12 y13 13 ĐS: C25 c) ( x − 3)9 M = x4 ĐS: −35.C95 Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 www.DeThiThuDaiHoc.com http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Page - 113 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 d) (1 − 3x)11 M = x6 ĐS: 36.C11 e) (3 x − x )12 M = x15 ĐS: −39.C12 f) ( x − x)10 M = x16 ĐS: 3360 M = x 31 ĐS: C40  2 h)  x −  , ∀x ≠ x  M = x11 ĐS: −2 3.C10 i) ( x −2 + x)7 M = x2 ĐS: 35  x j)  xy +  , ∀xy ≥ 0, y ≠ y  M = x6 y ĐS: 45 k) (1 + x + x + x )5 M = x10 ĐS: 101 40  1 g)  x +  , ∀x ≠ x   10 10 BT 10 l) x(1 − x) + x (1 + 3x) M=x ĐS: 3320 m) (2 x + 1)4 + (2 x + 1)5 + (2 x + 1)6 + (2 x + 1)7 M = x5 ĐS: 896 Tìm hệ số số hạng thứ n khai triễn nhị thức, ứng với trường hợp sau:  1 a)  x +  , ∀x ≠ x  n = ĐS: 120 b) (3 − x)15 n = 13 ĐS: 12285  1 c)  x −  , ∀x > x  n = ĐS: C15 d) (2 − 3x)25 n = 21 20 ĐS: 5.320.C25 15 BT Tìm hệ số số hạng tìm số hạng (dạng có điều kiện) a) Cho số nguyên dương n thỏa mãn Cn3 = 5Cn1 Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị n   thức Newton  x+  , x>0 ? x n−5 ĐS: C74 = 35 n 2  b) Tìm hệ số x4 khai triển biểu thức  − x  , ∀x ≠ 0, biết n số tự nhiên thỏa mãn x   hệ thức: Cnn−−46 + n.An2 = 454 ? ĐS: n = 8; − 1792  c) Tìm số hạng độc lập với x khai triển:  x x +  28 x  n n −1 n−2 thỏa mãn điều kiện: Cn + Cn + Cn = 79 ? d) Cho a = 5log 9x −1 + b = − log ( 3x−1 + 1) n   , ∀x ≠ 0, biết n số tự nhiên  ĐS: 792 Tìm số thực x , biết số hạng chứa a khai triển Newton: ( a + b) 224 ĐS: x = ∨ x = n x e) Tìm giá trị x , biết khai triển  lg(10 − ) + 2( x − 2)lg  có số hạng thứ 21   Cn1 + Cn3 = 2Cn2 ĐS: x = ∨ x = n n f) Cho n số nguyên dương thỏa mãn: 3C + A = 3n + 15 Tìm số hạng chứa x10 khai n  3 triển nhị thức Newton:  x −  , ∀x ≠ x   ĐS: C10 6.34.x10 g) Cho khai triển: (1 + x)n = ao + a1 x + a2 x + + an x n với n ∈ ℕ ∗ Biết a3 = 2014 a2 ĐS: n = 6044 Tìm n ? Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 www.DeThiThuDaiHoc.com http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Page - 114 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 n   h) Tìm số hạng không chứa x khai triển:  x +  , x > Biết n thỏa mãn điều x  ĐS: C15 26 = 320320 kiện: Cn6 + 3Cn7 + 3Cn8 + Cn9 = 2Cn8+ n  a  i) Cho n ∈ ℤ + a , b , (b > 0) Biết khai triển nhị thức Newton  + b  có hạng tử chứa  b  a b , tìm số hạng chứa tích a b với số mũ ? ĐS: 5005a6 b6 j) Cho n số nguyên dương thỏa mãn: Cnn− − Cn2−1 = Cn1 −1Cnn++32 Tìm hệ số số hạng chứa x11 n  n  ĐS: C12 48 khai triển: P = x  xn − −  , x ≠ x   k) Cho n số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 6Cnn+−11 = An2 + 160 Tìm hệ số x7 khai triển: (1 − x )(2 + x)n ? ĐS: −2224 12 l) Cho P = (1 − x + x − x ) = ao + a1 x + a2 x + + a12 x Tìm a7 ? ĐS: −40 m) Tìm hệ số x khai triển: P = x(1 − x) + x (1 + x) , biết An2 − Cnn+−11 = n 2n n) Cho P( x) = ( x + 1)10 ( x + 2) = x11 + a1 x10 + a2 x9 + + a10 x + a11 Tìm a5 ? 20 ĐS: 3320 ĐS: 672 10  1  1 o) Cho: P ( x ) =  x −  +  x −  , ∀x ≠ Sau khai triển rút gọn biểu thức gồm x  x   số hạng ? ĐS: 29 số hạng 2) Khai triễn dạng: (a + bx p + cx q )n kết hợp với việc giải phương trình chứa Akn , Ckn , Pn n n n k Viết P( x) = ( a + bx p + cxq )n =  a + ( bx p + cx q )  = ∑ Cnk a n− k ( bx p + cx q )k = ∑ Cnk an − k ∑ C ki ( bx p )k −i (cxq )i k =0 k =0 i =0 n k = ∑∑ Cnk a n − k C ki (bx p ) k − i ( cx q )i , với k , i ∈ ℕ k =0 i =0 BT Tìm hệ số số hạng M cho biết số hạng thứ khai triễn nhị thức: a) (1 + x + x )10 M = x4 10 b) (1 + x + x ) d) (2 + x − x ) , ∀x ≥ ĐS: −230 ĐS: −10 M=x ĐS: 238 10 M=x ĐS: 101 M = x8 ĐS: −27159 M=x M=x e) ( x + x − 1) f) (1 + x − x ) ĐS: 38400 M=x c) (1 + x + x ) ĐS: 8085 17 M=x 10 ĐS: 1695 g) (1 + x + x + x ) 12  1 h)  − x −  , ∀x ≠ x   BT Tìm hệ số số hạng tìm số hạng (dạng có điều kiện) a) Cho (1 + x − x )10 = ao + a1 x + a2 x + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + a20 x 20 Tìm a8 ? ĐS: a8 = 45 n 1  b) Cho P ( x ) =  − ( x + x )  , ∀x ≠ Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khai triển x   P( x) biết n thỏa: Cn3 + 2n = An2+1 ĐS: −98 n    c) Tìm hệ số x khai triển biểu thức  x +  −   , (x > 0) ? Biết n số nguyên x    dương thỏa mãn 3Cn +1 + 8Cn + = 3Cn+ ĐS: 4422 Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 www.DeThiThuDaiHoc.com http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Page - 115 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 d) Cho khai triển nhị thức: (1 − x + x )n = ao + a1 x + a2 x + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + a3 n x 3n Xác định hệ số a6 , biết 15 rằng: ao + a a1 a2 1 + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 33nn =   ⋅ 22 2 ĐS: a6 = −150 e) Cho: (1 + x)10 (3 + x + x )2 = ao + a1 x + a2 x + ⋅ ⋅ ⋅ + a14 x14 Tìm a6 ? ĐS: a6 = 482496  x2  f) Tìm hệ số x10 khai triển Newton:  + x +  ( x + 2)3n với n số tự nhiên thỏa   mãn điều kiện: An3 + Cnn − = 14n ĐS: a10 = 2956096 3) Khai triển (axp + bxq )n ; (a + bxp + cx q )n kết hợp tính tổng đơn giản Khai triển Newton: ( a + b)n = Cn0 an + Cn1 an −1b + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + Cnn −1 abn −1 + Cnn bn , với:   Số mũ a giảm dần số mũ b tăng dần Nếu biểu thức số mũ tăng giảm (a b) Nếu dấu biểu thức đan khai triển có dạng ( a − b)n  Trong biểu thức có Cn0 + Cn2 k + Cn4 k (toàn chẵn toàn lẻ) dấu hiệu nhận dạng khai triển hai biểu thức dạng ( a − b)n ( a + b)n chọn a , b cộng lại (khi toàn chẵn) trừ (khi toàn lẻ) theo vế BT Biết tổng hệ số khai triển (1 + x )n 1024 Tìm hệ số x12 ? ĐS: n = 10; 210 n BT 1  Tìm hệ số x6 khai triển  + x  , với n số nguyên dương biết tổng hệ x  số khai triển 1024 ? ĐS: n = 10; 210 n BT   Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển P ( x ) =  + x  với x > Biết n thỏa mãn x  n −1 n điều kiện: Cn + Cn + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + Cn + Cn = 4095 ĐS: C12 = 7920 BT 10 Tìm hệ số x10 khai triển nhị thức (2 + x)n , biết n số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 3n Cn0 − 3n −1 Cn1 + 3n − Cn2 − 3n − Cn3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ( −1)n Cnn = 2048 10 ĐS: a10 = C11 = 22 BT 11 Tìm hệ số x10 khai triển ( x − x )n , (x > 0), biết n số nguyên dương tổng hệ số khai triển −2048 ? BT 12 Tìm hệ số x n 10 n điều kiện: C − ĐS: −4455 n khai triển nhị thức (2 + x) , biết n số nguyên dương thỏa mãn n −1 n Cn1 + 3n − Cn2 − 3n − Cn3 + + ( −1) Cnn = 2048 ĐS: 22 BT 13 Tìm hệ số x19 khai triển biểu thức P = (2 x − 1)9 ( x + 2)n , biết n số nguyên dương: Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn = 2048 ? ĐS: 8960 2n BT 14 Tìm hệ số x khai triển đa thức (2 – 3x) , n số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: C21n + + C23n +1 + C25n +1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C22nn++11 = 1024 ? ĐS : a7 = −2099520 n BT 15 Tìm hệ số x khai triển (1 + x + x ) , biết n số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: C20n + C22n + C24n + + C22nn = 512 ĐS: 105 3n BT 16 Hãy tìm hệ số x khai triển: P( x) = (1 − x + x ) 1006 Biết rằng: C2014 + C2014 + C2014 + C2014 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C2014 = 503n − với n số nguyên dương ĐS: a5 = −2C12 C31 − 8C12 C43 41 + ( −2)5 C12 C55 BT 17 Tìm hệ số chứa x18 khai triển P( x) = ( x + 2)13 ( x − x + 4)n Biết n nguyên dương thỏa mãn điều kiện: C21n +1 + C22n+ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C2nn +1 = 20 − Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 ĐS: a18 = 15138816 www.DeThiThuDaiHoc.com http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Page - 116 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 4) Tìm hệ số lớn khai triển (a + bx)n Xét khai triển nhị thức Newton ( a + bx)n có số hạng tổng quát: Tk +1 = Cnk a n− k b k x k Đặt ak = Cnk an− k b k , ≤ k ≤ n dãy hệ số {ak } Khi hệ số lớn khai triển thỏa a ≥ ak +1 hệ phương trình:  k ⇒ ko ⇒ ako max = Cnko an − ko b ko a ≥ a  k k −1  2x  BT 18 Trong khai triển  +  3  11 thành ao + a1 x + a2 x + ⋅ ⋅ ⋅ + a11 x11 Hãy tìm k để hệ số ak lớn 28 C11 311 BT 19 Cho khai triển : (1 + x)n = a0 + a1 x + ⋅ ⋅ ⋅ + an xn , n ∈ ℤ hệ số a0 , a1 , , an thỏa mãn ĐS: ak max = tính ? (0 ≤ k ≤ 11, k : nguyên) hệ thức a0 + a a1 + ⋅ ⋅ ⋅ + nn = 4096 Tìm số lớn số a0 , a1 , , an ? ĐS: amax = 126720 2 n 1 x BT 20 Cho khai triển  +  = a0 + a1 x + a2 x + ⋅ ⋅ ⋅ + an x n Tìm số lớn số a0 , a1 , a2 , , an ? 2 3 1001 Biết n số tự nhiên thỏa mãn Cn2Cnn − + 2Cnn − 2Cnn −1 + Cn1Cnn −1 = 11025 ? ĐS: amax = ⋅ 62208 BT 21 Tìm số nguyên dương n nhỏ cho khai triển (1 + x)n có tỉ số hai hệ số liên tiếp khai triễn ? 15 ĐS: n = 21 5) Tìm số hạng hữu tỉ ( số hạng số nguyên) khai triển (a + b)n m r Xét khai triển ( a + b)n có số hạng tổng quát: Cnk an − k b k = Cnk α p β q với α , β số hữu tỉ Số m  p ∈ℕ  hạng hữu tỉ cần tìm thỏa mãn hệ:  k ∈ ℕ , ≤ k ≤ n ) ⇒ ko ⇒ Cnko an − ko b ko số hạng cần tìm ( r ∈ℕ  q BT 22 Tìm số hạng số nguyên khai triển nhị thức: ( + 2)n , biết n số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: ( Pn ) Cnn C2nn C3nn = P27 ĐS: C93 33.21 C99   BT 23 Tìm số hạng hữu tỉ khai triển:  + 5   3n +1 Biết n số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: Cnn + 2Cnn −1 + Cnn − = Cn2+n2− ĐS: C10 32 ; C10 3.52 32 ⋅ III Chứng minh tính tổng 1) Sử dụng nhận xét tính chất, công thức Akn , Cnk , Pn • Trong khai triển ( a − b)n dấu đan nhau, nghĩa + , − , + , ….… • Số mũ a giảm dần, số mũ b tăng dần tổng số mũ a b n 1 • Vận dụng linh hoạt tính chất: Cnk + Cnk +1 = Cnk ++11 , Cnk = Cnn − k C k = C k +1 k + n n + n +1 • Khi gặp tổng tích hai công thức tổ hợp (⋅ ⋅ ⋅ + Cni Cnj + ⋅ ⋅ ⋅), lúc thường so sánh hệ số biến bậc với nhau, chẳng hạn so sánh khai hệ số số mũ bậc hai khai triển: (1 − x )n với (1 − x)n ( x + 1)n Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 www.DeThiThuDaiHoc.com http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Page - 117 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 BT 24 Tính tổng sau: a) S = C50 + C51 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C55 ĐS: S = b) S = C50 + 2C51 + 2 C52 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C55 ĐS: S = 35 c) S = 40 C80 + 41 C81 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 48 C88 ĐS: S = 58 2010 d) S = C2010 + C 2010 + C2010 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C2010 ĐS: S = 2010 2010 e) S = C2010 + 2C2010 + 2 C2010 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 2010 C2010 ĐS: S = 32010 10 f) S = C10 + C10 + C10 + C10 + C10 ĐS: S = 386 g) S = C 100 100 +C x +C 100 + ⋅⋅⋅ + C 100 100 ĐS: S = 299 2009 h) S = 2.C2010 + 3.C2010 + 5.C2010 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 2009.C2010 k n +1 1 BT 25 Tính S = C21n − C22n + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ( −1) C2kn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ( −1) C 2n k 2n + n 1 1 + + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + + ⋅ 2!.2012! 4!.2010! 2012!.2! 2014! BT 27 Hãy tính tổng sau: BT 26 Tính tổng: S = ĐS: S = 2013 a) S1 = 12.C2013 + 2.C2013 + 32.C 2013 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 20132.C2013 b) S2 = C 2013 + C 2013 + C 2013 + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + 2013 C 2013 2014 ĐS: S = (32010 − 1) 2n ĐS: S = 2n + 2013 − 2014! ĐS: 2013.2014.2 2011 ĐS: S2 = ⋅ 2014 − 2014 BT 28 Chứng minh: (C ) + (C ) + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + (Cnn )2 = C2nn với n ≥ 2, n ∈ ℕ n n  C0 BT 29 Cho số tự nhiên n ≥ 2, chứng minh đẳng thức:  n   BT 30 Tính S = 2   Cn1   Cnn  C2nn++12 − ⋅  +   + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +   = ( n + 1)2     n+1 12 12 12 C 12 C 2013 C 2014 C12 C 12 ? + 13 + 14 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + 11.12 11.12 11.12 2012.2013 2013.2014  2n −  BT 31 Chứng minh ∀n ≥ 2, n ∈ ℕ , ta có: Cn0Cn1 Cnn ≤    n−1  BT 32 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn đẳng thức sau đây: ĐS: S = 11 C 132 2013 n−1 C20n + C22n 32 + ⋅ ⋅ ⋅ + C22nk 32 k + ⋅ ⋅ ⋅ + C22nn − 32 n − + C22nn 32 n = 215.(216 + 1) ĐS: n = 2) Khai triễn kết hợp với đạo hàm để chứng minh hoăc tính tổng a) Sử dụng đạo hàm cấp I • Nhận dạng: hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần (1, 2, 3, , n hay 12 , 2 , , n2 ) giảm dần dạng (n, , 3, 2, hay n2 , , 2 , 12 ) (không kể dấu) Hay tổng quát có dạng k.Cnk dạng k.Cnk an − k b k −1 • Phương pháp giải: + Bước Xét khai triễn: ( a + x)n = Cn0 an + Cn1 an −1 x + Cn2 an − x + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +Cnn −1ax n −1 + Cnn xn + Bước Lấy đạo hàm hai vế được: n( a + x)n −1 = Cn1 an−1 + 2Cn2 an − x + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ( n − 1)Cnn −1 axn − + Cnn xn −1 (i) + Bước Chọn giá trị x a thích hợp dựa vào đề để vào (i) BT 33 Chứng minh ∀n ≥ 1, n ∈ ℕ ∗ , thì: Cn1 3n −1 + 2.Cn2 3n − + 3.Cn3 3n − + ⋅ ⋅ ⋅ + n.Cnn = n.4n –1 BT 34 Chứng minh ∀n ≥ 1, n ∈ ℕ ∗ , thì: n −1 Cn1 + n−1 Cn2 + 2n − Cn3 + 2n − Cn4 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +nCnn = n.3n −1 BT 35 Tìm n ∈ ℤ + , thỏa: C21n + − 2.2C22n+ + 3.2 C23n + − 4.2 C24n +1 + ⋅ ⋅ ⋅ + (2n + 1).2 n C22nn++11 = 2005 ĐS: 1002 BT 36 Tính tổng S trường hợp sau: Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 www.DeThiThuDaiHoc.com http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Page - 118 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 100 a) S = 4C100 + 8C100 + 12C100 + ⋅ ⋅ ⋅ + 200C100 ĐS: S = 100.299 2000 b) S = C2000 + 2C2000 + 3C2000 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2001C2000 ĐS: S = 1001.2 2000 2006 2007 c) S = 2008C2007 + 2007C2007 + 2006C2007 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2C2007 + C2007 ĐS: S = 2009.2 2006 n   BT 37 Cho P( x) =  x −  , n ∈ ℕ∗ Hãy tìm số hạng chứa x6 , biết n số tự nhiên thỏa mãn x   n− 1 6 đẳng thức: 1.2 Cn + 2.2n − Cn2 + 3.2n − Cn3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + nCnn = 12.3n −1 ĐS: C12 x BT 38 Cho khai triển ( x − 1)100 = ao x100 + a1 x99 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + a98 x + a99 x + a100 Tính tổng: S = 100 ao 2100 + 99 a1 299 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + a98 2 + 1a99 21 + BT 39 Cho khai triển (1 − 3x) 2014 = ao + a1 x + a2 x + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + a2014 x 2014 ĐS: S = 201 ĐS: S = 3022.2 2014 Tính tổng S = ao + a1 + 3a1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 2015a2014 ? 2014 BT 40 Tính tổng: S = C2014 + 3C2014 + 5C2014 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 2015.C2014 ĐS: S = 1008.2 2013 2014 BT 41 Tính giá trị biểu thức: A = C2014 + 2C2014 + 3C2014 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 1007C2014 ĐS: A = 1007 2013 b) Sử dụng đạo hàm cấp II • Nhận dạng: hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần 1.2, 2.3, ,( n − 1)n giảm dần (n − 1)n, , 2.3, 1.2  (không kể dấu), có dạng tổng quát: k.Cnk an − k k( k − 1)Cnk • Phương pháp giải: Các bước giải tương tự đạo hàm cấp 1 2006 2007 BT 42 Tính tổng: S = 12 C2007 + 2 C2007 + 32 C2007 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 2006 C2007 + 2007 C2007 ĐS: 2007.2008.2 2005 2012 2013 BT 43 Chứng minh: 12 C2013 + 2 C203 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 2012 C 2013 + 20132 C2013 = 2013.2014.2 2011 BT 44 Cho n ∈ ℤ , thỏa mãn điều kiện: An3 + Cn3 = 35, (n ≥ 3) ( n − 1)(n − 2) Hãy tính tổng: S = 2.Cn2 − 32 Cn3 + Cn4 − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ( −1)n n2 Cnn ? ĐS: S = 30 3) Khai triễn kết hợp với đạo hàm để chứng minh hoăc tính tổng • Nhận dạng: Số hạng tổng quát có dạng ak +1 − b k +1 k ⋅ Cn ( có dạng phân số) k +1 • Phương pháp giải: + Bước Xét khai triễn: (cx + d)n = Cn0 (cx)n + Cn1 (cx)n −1 d + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +Cnn −1cxdn −1 + Cnn d n + Bước Lấy tích phân hai vế với cận a b b ∫ (cx + d) b n dx = ∫ Cn0 (cx)n + Cn1 ( cx)n −1 d + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + Cnn −1cxdn −1 + Cnn d n  dx a a b b ⇔ +  xn +1  ( cx + d)n+ xn x2 =  cn Cn + c n Cn1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +cdn −1 Cnn −1 + d nCnn x  ⋅ c n+1 a  n+1 n a Bước Chọn a , b , c , d phù hợp dựa vào đề BT 45 Các toán mở đầu sử dụng tích phân 1 a) Tính tổng: S = Cn0 + Cn1 + Cn2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ Cn ⋅ n+1 n b) Tính tổng: S = Cn0 + c) Tính tổng: S = 22 − 1 23 − 2 n+ − n Cn + Cn + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C ⋅ n+1 n n.Cn0 2n −1 Cn1 20 Cnn + + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + ⋅ n+1 n Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 ĐS: S = n +1 − ⋅ n+1 ĐS: S = 3n + − n + ⋅ n+1 ĐS: S = 3n + − ⋅ 2(n + 1) www.DeThiThuDaiHoc.com http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Page - 119 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán d) S = T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 22 − 1 24 − 26 − 2010 − 2009 C 2010 + C2010 + C2010 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C ⋅ 2010 2010 ĐS: 32011 − − 2011 ⋅ 4022 1 1 e) S = Cn0 + Cn1 + Cn2 2 + Cn3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C n 2n n+1 n ĐS: S = 3n + − ⋅ 2( n + 1) 1 1 f) S = C21n + C23n + C 25n + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C 22nn −1 ⋅ 2n ĐS: S = 22n − ⋅ 2n − ĐS: S = ( n − 1)2 n + ⋅ n+1 n g) S = Cn1 + Cn2 + Cn3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + Cn ⋅ n+1 n 2n h) Tìm n ∈ ℤ + thỏa: C21n − C22n + C23n − C24n + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − C22nn = ⋅ 2n + 123 ĐS: n = 61 n   BT 46 Tìm hệ số x khai triển Newton biểu thức  + x  , biết n số nguyên x  n 1 1 dương thỏa mãn: Cn0 − Cn1 + Cn2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ( −1) ĐS: C12 Cn = ⋅ = 25344 n + n 13 20 n   BT 47 Tìm hệ số chứa x2 khai triển  x +  , biết n nguyên dương thỏa mãn điều kiện: x  21 22 23 2n +1 n 6560 ? ĐS: a2 = −2.C72 = 2Cn0 + Cn1 + Cn2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + Cn = n+1 n+1 22 2n n 121 BT 48 Tìm n ∈ ℤ + thỏa: Cn0 + Cn1 + Cn2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C = ⋅ n+1 n n+1 ĐS: n = BÀI TẬP RÈN LUYỆN n  2 BT 49 Tìm hệ số x khai triển nhị thức Newton  x −  , ( x ≠ ) Biết n số nguyên x  3 dương thỏa mãn điều kiện: 4Cn +1 + 2Cn = An n   BT 50 Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Newton  3x −  với x ≠ 0, biết x   n ∈ ℕ ∗ thỏa mãn điều kiện: Pn − (4n + 5)Pn − = Ann − BT 51 Tìm hệ số x9 khai triển (1 − x 3)2 n , n ∈ ℕ∗ Biết số nguyên dương n thỏa mãn mãn điều kiện: 14 + = ⋅ Cn 3Cn n n   BT 52 Tìm số hạng không chứa x khai triển:  x +  , x > Biết n số nguyên dương x  thỏa mãn phương trình: 2(Cn2 + Cn3 ) = 3n2 − 5n BT 53 Cho n số nguyên dương thỏa mãn phương trình: 5Cnn −1 = Cn3 Tìm số hạng chứa x khai n  nx  triển nhị thức Newton  −  , x ≠  14 x  n  2 BT 54 Tìm hệ số x khai triển  3x −  , biết hệ số số hạng thứ ba 1080 x  BT 55 Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức: ( x + 2)n , biết số nguyên dương n thỏa mãn phương trình: An3 − 8Cn2 + Cn1 = 49 BT 56 Tìm hệ số x10 khai triển nhị thức: ( x − x )n , (x > 0), biết tổng hệ số khai triển −2048 Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 www.DeThiThuDaiHoc.com http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Page - 120 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 n 2  BT 57 Tìm hệ số x khai triển  − x  , x > Biết n số nguyên dương thỏa mãn phương x   trình: Cnn−−46 + nAn2 = 454 n BT 58 Tìm hệ số số hạng chứa x −1   khai triển  x −  thành đa thức Biết n số x   nguyên dương thỏa mãn đẳng thức: Cn3 − Cnn−−13 = Cnn−−12 Cn1+ n   BT 59 Tìm số hạng không chứa x khai triển: p ( x ) =  x +  Biết số nguyên dương n thỏa x  mãn phương trình: Cn6 + 3Cn7 + 3Cn8 + Cn9 = 2Cn8+ n   BT 60 Tìm số hạng không phụ thuộc vào x khai triển Newton nhị thức:  x −  , biết 2x   ∗ n ∈ ℕ thỏa mãn phương trình: 2Cn + Cn = 90 BT 61 Cho số nguyên dương n thỏa mãn phương trình: An3 + 6Cn2 − 4Cn1 = 100 Tìm hệ số chứa x8 3n  2n  khai triển nhị thức Newton  x +    n   BT 62 Tìm số hạng không chứa x khai triển  − x  , x ≠ Biết n số nguyên dương  x  thay đổi thỏa mãn phương trình: C2 n+ + C2 n +1 + C2 n +1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C2nn +1 = 28 − n  1 BT 63 Tìm số hạng chứa x10 P ( x ) =  3x −  , x ≠ Biết n ∈ ℤ + , thỏa: An2 − Cnn+−11 = 5n + x   BT 64 Khai triển nhị thức: (2 + x)n theo lũy thừa tăng dần x ta số hạng thứ tám 144 Tìm x biết n thỏa mãn phương trình: Cnn++31 + 2Cnn+ = 16( n + 2), n ∈ ℕ * n 1  BT 65 Tìm hệ số x  + x  , biết tổng hệ số khai triển 1024 ? x  n   BT 66 Tìm hệ số x khai triển nhị thức Newton  x +  , biết n thỏa mãn n số x  nguyên dương thỏa mãn: Cn1 + 4Cn2 + 3Cn3 2 + 4Cn4 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + nCnn 2n −1 = 6561n BT 67 Tìm hệ số x19 khai triển biểu thức P = (2 x − 1)9 ( x + 2)n , biết n số nguyên dương thay đổi thỏa mãn phương trình: Cn0 + Cn1 + Cn2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Cnn = 2048 BT 68 Cho khai triển: (1 + x + x )12 = ao + a1 x + a2 x + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + a24 x 24 Tính a4 BT 69 Tìm hệ số x khai triễn P( x) = (1 − x − 3x )n , biết n ∈ ℤ + , thỏa: Cnn − + 6n + = An2+1 BT 70 Cho n số nguyên dương thỏa mãn phương trình: Cn1 + Cn2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +Cnn−1 + Cnn = 255 Hãy tìm số hạng chứa x14 khai triển: P( x) = (1 + x + 3x )n 3n 1  BT 71 Tìm hệ số x13 khai triển  + x + x  ( x + 1) với n số tự nhiên thay đổi thỏa mãn 4  n−2 phương trình: An + Cn = 14n BT 72 Cho n số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: Cn1 + Cn2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + Cnn −1 + Cnn = 255 Hãy tìm số hạng chứa x14 khai triển: P( x) = (1 + x + 3x )n BT 73 Tìm hệ số chứa x10 khai triển P( x) = (1 − x + x − x )n Biết n số nguyên dương thay đổi thỏa mãn phương trình: C2nn++11 + C2nn++21 + C2nn++31 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C 22nn+−11 + C22nn+1 = 28 − Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 www.DeThiThuDaiHoc.com http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Page - 121 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 BT 74 Tìm n ∈ ℤ + , thỏa: ( x + x + 1)n = a0 + a1 x + a2 x + ⋅ ⋅ ⋅ + a2 n x n a1 + 2a2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2na2 n = 81 ? BT 75 Tìm hệ số x5 khai triển: P( x) = x(1 − x)n + x (1 + x)2 n Biết n số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: An2 − Cnn+−11 = BT 76 Khai triển nhị thức P( x) = (1 − x)n = a0 + a1 x + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ak x k + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + an x n Hãy tính giá trị biểu a a1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + nn , biết n số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 2Cn2 − 8Cn1 = n 2 BT 77 Tìm số hạng hữu tỉ khai triển nhị thức Newton sau: thức T = a0 + 10   c/  + 5   BT 78 Hãy tìm hệ số lớn khai triển nhị thức Newton: P( x) = (2 x + 1)13 = a0 x13 + a1 x12 + a2 x11 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + a12 x + a13 a/ ( 16 + ) b/ ( 3+32 ) 10   d/  − 2   BT 79 Cho khai triển nhị thức P( x) = (1 + x)n = a0 + a1 x + a2 x + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + an xn Hãy tìm hệ số lớn khai triển biết n số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: C21n + C23n + + C22nn −1 = 27 1006 BT 80 Tính tổng: T = C2014 + C2014 + C2014 + C2014 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C2014 BT 81 Tính tổng: S = A2013 + A2013 + A2013 + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + 2013 A2013 ⋅ 0! 1! 2! 2013! 2013 BT 82 Tính tổng S = 1.2.C2013 + 2.3.C2013 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 2012.2013.C2013 BT 83 Tính tổng: S = 12 Cn0 + 2 Cn1 + 32 Cn2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + (n + 1)2 Cnn BT 84 Tìm n ∈ ℕ ∗ thỏa mãn điều kiện sau: a/ C20n + 2C22n + 3C 24n + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ( n + 1)C22nn = 2 n +1 2010 2009 k 2010 − k 2010 C2011 + C2011 C2010 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C2011 C2011 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C2011 C1 = 2011.2 n b/ C2011 −k c/ C21n+ 2 n − 2.C22n +1 2 n −1.3 − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −2nC22nn+1 2.32 n −1 + (2n + 1)C 22nn++11 32 n = 2011 n Cn1 2Cn2 3Cn3 n −1 nC n − + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ( −1) = ⋅ n 32 2 (1 + x)n = a0 + a1 x + a2 x + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ak x k + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + an xn  e/  a ⋅ a a k −1 = k = k + , (1 ≤ k ≤ n – 1)  24  BT 85 Tính tổng trường hợp sau đây: 2000 a/ S = C2000 + 2C2000 + 3C2000 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +2001C2000 d/ 15 16 b/ S = 1.2C16 − 2.3C163 + 3.4C16 − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − 14.15C16 + 15.16C16 22 − 1 23 − 2n +1 − n Cn + Cn + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C n+1 n 26 25 24 23 22 d/ S = C60 + C61 + C62 + C63 + C64 + C65 + C66 1 1 ( −1)n n e/ S = Cn − Cn + Cn − Cn + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C 2( n + 1) n c/ S = Cn0 + 32 − 2 33 − 39 − 310 − 210 C9 + C9 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C9 + C9 10 22 − 1 23 + 2100 − 99 2101 + 100 g/ S = 3C100 + C100 + C100 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C100 + C 100 101 100 2 2 99 99 2 100 h/ S = C100 + C100 + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + C100 + 100 C100 100 99 1 1 18 19 i/ S = C19 − C19 + C19 − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C19 − C19 20 21 f/ S = C90 + ( ) ( ) Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 ( ) ( ) www.DeThiThuDaiHoc.com http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Page - 122 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 Bài TỔ HỢP & XÁC SUẤT I – Các qui tắc đếm Qui tắc nhân Giả sử nhiệm vụ X thực qua K giai đoạn sau: Giai đoạn thứ K1 có n1 cách làm Giai đoạn thứ hai K2 có n2 cách làm A ………………………………………… Giai đoạn thứ K có nk cách làm C B Có 2.3 = cách từ A đến C Mỗi cách làm việc không trùng với cách làm việc lại Khi đó, để hoàn thành công việc X ta phải thực đồng thời K giai đoạn trên, nên có: n(X) = n1 n2 n3 nk cách thực công việc Qui tắc cộng Một công việc X bao gồm k công việc (trường hợp) X1 , X2 , X3 , , Xk , với công việc độc lập nhau, đó: Giai đoạn thứ K1 có n1 cách thực Giai đoạn thứ hai K2 có n2 cách thực …………………………………………… Giai đoạn thứ K có nk cách thực n1 x1 x2 n2 n3 x3 x4 n4 X n( X ) = n1 + n2 + n3 + n4 Để hoàn thành X ta thực k công việc Xi , (i = 1, k ), suy số cách thực công việc X n( X ) = n1 + n2 + n3 + ⋅ ⋅ ⋅ + nk cách Qui tắc bù trừ Đối tượng x cần đếm chứa đối tượng X gồm x x đối lập Nếu X có m cách chọn , x có n cách chọn Vậy x có ( m − n) cách chọn Về mặt thực hành, đề cho đếm đối tượng thỏa a b Ta cần làm: Bài toán : Đếm đối tượng thỏa a Bài toàn : Đếm đối tượng thỏa a , không thỏa b Do đó, kết toán = kết toán − kết toán Lưu ý • Nếu toán chia trường hợp không trùng lập để hoàn thành công việc dùng qui tắc cộng, toán chia giai đoạn thực ta dùng qui tắc nhân Trong nhiều toán, ta kết hợp hai qui tắc lại với để giải mà cần phải phân biệt cộng, nhân, trừ • "Nếu cho tập hợp hữu hạn A B giao khác rỗng Khi số phần tử A ∪ B số phần tử A cộng với số phần tử B trừ số phần tử A ∩ B , tức là: n ( A ∪ B ) = n ( A ) + n ( B ) − n ( A ∩ B ) " Đó quy tắc cộng mở rộng ⇒ Khi giải toán đếm liên quan đến tìm số cho số số chẵn, số lẻ, số chia hết ta nên ưu tiên việc thực (chọn) chúng trước để tránh trùng lặp II – Hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp Hoán vị Ví dụ: Cho tập hợp gồm ba phần tử A = {a; b; c} xếp ba phần tử A theo thứ tự khác ta có tất cách xếp ( a , b , c ), ( a , c , b), ( b , a , c ), ( b, c , a), ( c , a , b), ( c , b , a) Số cách số hoán vị phần tử, tức: P3 = 3! = 3.2.1 = cách xếp Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1) Khi xếp n phần tử theo thứ tự ta hoán vị phần tử tập hợp A Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 www.DeThiThuDaiHoc.com http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Page - 123 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 Số hoán vị n phần tử là: Pn = n ! = n( n − 1)( n − 2) 3.2.1 Chỉnh hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử A , (1 ≤ k ≤ n) theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp chập k n phần tử n! kí hiệu Ank = , (1 ≤ k ≤ n) ( n − k )! Tổ hợp Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k , (1 ≤ k ≤ n) phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử Lập tổ hợp chập k A lấy k phần tử A (không quan tâm đến thứ tự Ak n! = n⋅ phần tử) Số tổ hợp chập k n phần tử kí hiệu là: Cnk = k !.( n − k )! k ! Phân biệt tổ hợp chỉnh hợp: Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử ( k ≤ n) mà không thứ tự, không hoàn lại Cnk , có thứ tự, không hoàn lại Ank III – Xác suất nguyên tắc tính xác suất Loại Sử dụng định nghĩa xác suất  Bước Tính số phần tử không gian mẫu n(Ω) tập hợp kết xảy phép thử (giải toán đếm trước chữ "Tính xác suất")  Bước Tính số phần tử biến cố A xét kết phép thử làm xảy A (giải toán sau chữ "Tính xác suất") n( A)  Bước Áp dụng công thức: P ( A ) = n( A) ⋅ n( Ω) Loại Áp dụng nguyên tắc tính xác suất  Bước Gọi A biến cố cần tính xác suất Ai , (i = 1, n) biến cố liên quan đến A cho: Biến cố A biểu diễn theo biến cố Ai , (A1 , A2 , , An ) Hoặc xác suất biến cố Ai tính toán dễ dàng so với A  Bước Biểu diễn biến cố A theo biến cố Ai  Bước Xác định mối liên hệ biến cố áp dụng nguyên tắc: Nếu A1 , A2 xung khắc ( A1 ∩ A2 = ∅ ) ⇒ P( A1 ∪ A2 ) = P( A1 ) + P( A2 ) Nếu A1 , A2 ⇒ P( A1 ∪ A2 ) = P( A1 ) + P( A2 ) − P( A1 A2 ) Nếu A1 , A2 độc lập ⇒ P( A1 A2 ) = P( A1 ).P( A2 ) Nếu A1 , A2 đối ⇒ P( A1 ) = − P( A2 ) Lưu ý Dấu hiệu chia hết Gọi N = an an −1 a1a0 số tự nhiên có n + chữ số ( an ≠ ) Khi đó: • Dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 4, 25, 125 số tự nhiên N : + N ⋮ ⇔ a0 ⋮ ⇔ a0 = {0; 2; 4; 6; 8} + N ⋮ ⇔ a0 ⋮ ⇔ a0 = {0; 5} + N ⋮ ( hay 25 ) ⇔ a1a0 ⋮ ( hay 25 ) + N ⋮ ( hay 125 ) ⇔ a2 a1a0 ⋮ ( hay 125 ) • Dấu chia hết cho : N ⋮ ( hay ) ⇔ ( a1 + + an ) ⋮ ( hay ) Bài toán đếm xác suất cổ điển BT 86 (A, A1 – 2014) Từ hộp chứa 16 thẻ đánh số từ đến 16, chọn ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để thẻ chọn đánh số chẵn ? ĐS: P ( A ) = ⋅ 26 Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 www.DeThiThuDaiHoc.com http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Page - 124 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 BT 87 (A, A1 – 2013) Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Xác định số phần tử S Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để chọn số chẵn ? ĐS: P ( A ) = BT 88 Gọi X tập hợp số gồm hai chữ số khác lấy từ: 0; 1; 2; 3; 4; 5; Lấy ngẫu nhiên phần tử X Tính xác suất để hai số lấy số chẵn ? ĐS: P ( A ) = BT 89 Cho E tập hợp số có ba chữ số khác lấy từ: 0, 1, 2, 3, 4, Chọn ngẫu nhiên phần tử E Tính xác suất để phần tử chọn số có ba chữ số chẵn ĐS: P ( A ) = 25 BT 90 Gọi S tất số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ 0, 1, 2, 3, 4, 5, Chọn ngẫu nhiên số từ tập S Tích xác suất để tích hai số chọn số chẵn ? ĐS: P ( A ) = BT 91 E tập số tự nhiên gồm năm chữ số khác lập từ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Lấy ngẫu 13 nhiên số E tính xác suất để lấy số chia hết cho ĐS: P ( A ) = 49 BT 92 Gọi E tập hợp số tự nhiên có ba chữ số đôi khác lập từ chữ số 1, 2, 3, 4, Tập E có phần tử ? Chọn ngẫu nhiên phần tử E, tính xác suất chọn chia hết cho ? ĐS: P ( A ) = BT 93 Gọi X tập hợp số có tám chữ số đôi khác Chọn ngẫu nhiên số từ tập X Tính xác suất để chọn số thuộc X số chia hết cho ? ĐS: P ( A ) = BT 94 Có 30 thẻ đánh số từ đến 30 Chọn ngẫu nhiên 10 thẻ Hãy tìm xác suất để có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có thẻ mang số chia hết 99 cho 10 ? ĐS: P ( A ) = 667 BT 95 Cho tập hợp X = {0;1; 2; 4; 5; 7; 8} Ký hiệu G tập hợp tất số có bốn chữ số đôi khác lấy từ tập X , chia hết cho Tính số phần tử G Lấy ngẫu nhiên số tập G, tính xác suất để lấy số không lớn 4000 ? ĐS: P ( A ) = 11 BT 96 Từ tập A = {0;1; 2; 3; 4; 5; 6} lập số tự nhiên chia hết cho 5, gồm năm chữ số khác mà có mặt chữ số 1, 2, chúng đứng cạnh ? ĐS: 66 BT 97 Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm bốn chữ số phân biệt chọn từ chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để số chọn lớn số ĐS: P ( A ) = 2014 ? BT 98 Từ chữ số 0, 1, 2, , lập số tự nhiên chẵn gồm năm chữ số khác đôi chữ số số ? ĐS: 1218 BT 99 Cho tập hợp X = {0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Có thể lập số tự nhiên gồm năm chữ số khác đôi từ X, cho ba chữ số phải ĐS: 2280 BT 100 Cho tập E = {1; 2; 3; 4; 5} Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, số gồm chữ số khác 12 ⋅ 25 BT 101 Cho tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} , từ A lập số tự nhiên gồm chữ số phân thuộc E Tính xác suất để hai số có số có chữ số ĐS: P = biệt mà phải có chữ số số ? ĐS: 384 BT 102 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số tự nhiên gồm chữ số khác số có chữ số chẵn chữ số lẻ ? ĐS: 2592 Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 www.DeThiThuDaiHoc.com http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Page - 125 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 BT 103 Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số có chữ số khác Lấy ngẫu nhiên số số lập, tính xác suất để số lấy có hai chữ số chẵn, hai chữ số lẻ ? ĐS: P ( A ) = BT 104 Gọi E tập hợp số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt lập từ số 1, 2, 3, 4, Chọn ngẫu nhiên hai số khác thuộc tập E Tính xác suất để hai số chọn có số có 144 chữ số ? ĐS: P ( A ) = 295 BT 105 Cho A = {1; 23; 4; 5; 6} , B = {0;1; 2; 3; 4; 5} Có số gồm sáu chữ số phân biệt cho: BT 106 BT 107 BT 108 BT 109 BT 110 BT 111 BT 112 BT 113 BT 114 BT 115 a/ Hai chữ số không đứng cạnh lập từ tập A ? ĐS: 480 ĐS: 192 b/ Chữ số đứng cạnh chữ số lập từ tập B ? Có số tự nhiên gồm bảy chữ số cho: a/ Chữ số có mặt hai lần, chữ số có mặt ba lần chữ số lại có mặt không lần ĐS: 11340 b/ Khác tổng chữ số số số chẵn ĐS: 45.10 Người ta viết lên bìa, dãy kí tự gồm hai chữ đứng đầu ba chữ đứng sau, chữ lấy từ tập hợp {B, H, T, X}, chữ thứ hai lấy từ tập hợp {D, L, Q} chữ số đôi khác lấy từ tập hợp {1, 2, 7, 8, 9} (mỗi dãy kí tự viết bìa} Gọi A tập bìa viết dãy dãy kí tự nêu Lấy ngẫu nhiên bìa từ A đốt cháy bìa Tính xác suất để bìa bị đốt cháy có dãy kí tự HD 981 có phần tử TQ hay XL" (B – 2014) Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta gửi đến phận kiểm nghiệm hộp sữa cam, sữa dâu sữa nho Bộ phận kiểm nghiệm lấy ngẫu nhiên hộp sữa để phân tích mẫu Tính xác suất để hộp chọn có loại ? ĐS: P ( A ) = ⋅ 11 Trong hộp có bi đỏ, bi vàng bi trắng Lấy ngẫu nhiên hộp viên bi 43 Tính xác suất để viên bi lấy không đủ ba màu ? ĐS: P = ⋅ 91 Trong hộp có 10 viên bi đỏ có bán kính khác nhau, viên bi xanh có bán kính khác viên bi vàng có bán kính khác Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Tính xác 42910 suất để viên lấy có đủ ba màu ? ĐS: P = ⋅ 48620 Một ngân hàng đề thi gồm có 20 câu hỏi Mỗi đề thi gồm có câu lấy ngẫu nhiên từ ngân hàng đề thi Thí sinh A học thuộc 10 câu ngân hàng đề thi Tìm xác suất để thí 229 sinh A rút ngẫu nhiên đề thi có câu học thuộc ? ĐS: P ( X ) = 323 Một lớp có 20 nam sinh 15 nữ sinh Giáo viên gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng giải 4615 tập Tính xác suất để học sinh gọi có nam nữ ? ĐS: P = 5236 Cần chọn ngẫu nhiên học sinh lớp học có 15 nam 10 nữ để tham gia đồng diễn Tính xác suất cho học sinh chọn có nam lẫn nữ số học sinh nữ số 325 học sinh nam ? ĐS: P ( A ) = 506 Trong kì thi thử TN THPT QG lần I năm 2015 TT LTĐH – Đại học Ngoại Thương có 13 học sinh đạt điểm 9,0 môn Toán, khối 12 có học sinh nam học sinh nữ, khối 11 có học sinh nam Chọn ngẫu nhiên học sinh để trao thưởng, tính xác suất để 57 ĐS: P = học sinh chọn có nam nữ, có khối 11 khối 12 ≃ 0,199 286 Một nhóm gồm 10 học sinh có nam nữ Hỏi có cách xếp 10 em thành hàng dọc cho học sinh nam đứng liền ? ĐS: 120960 cách Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 www.DeThiThuDaiHoc.com http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Page - 126 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 BT 116 Trong Thể dục, tổ I lớp 12 A có 12 học sinh gồm học sinh nam học sinh nữ tập trung ngẫu nhiên theo hàng dọc Tính xác suất để người đứng đầu hàng cuối hàng học sinh nam ? ĐS: P ( A ) = 22 BT 117 Một tổ học sinh có em nữ em nam xếp thành hàng dọc Tính xác suất để có hai em nữ A , B đứng cạnh nhau, em nữ lại không đứng cạnh không đứng cạnh A , B ĐS: P = ⋅ 63 BT 118 Một tổ học sinh có em nữ em nam xếp thành hàng dọc Tính xác suất để 14 hai em nữ đứng cạnh ? ĐS: P = ⋅ 143 BT 119 Một hộp có viên bi đỏ, viên bi vàng viên bi xanh Hỏi có cách lấy viên bi, số bi đỏ lớn số bi vàng ? ĐS: 275 BT 120 Trong lô hàng có 12 sản phẩm khác nhau, có phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ lô hàng Hãy tính xác suất để sản phẩm lấy có không 17 phế phẩm ? ĐS: P = 22 BT 121 (D – 2014) Cho đa giác n đỉnh, n ∈ ℕ n ≥ Tìm n biết đa giác cho có 27 đường chéo ? ĐS: n = BT 122 Cho đa giác lồi n cạnh với n ∈ ℕ n ≥ Hỏi có đường chéo đa giác lồi ? Tìm n biết số giao điểm đường chéo đa giác 70 ĐS: Cn2 − n, n = BT 123 Cho hai đường thẳng a b song song với Trên đường thẳng a có điểm phân biệt đường thẳng b có 10 điểm phân biệt Hỏi tạo tam giác có đỉnh điểm hai đường thẳng a b cho ? ĐS: 325 BT 124 Trong không gian cho hai đường thẳng a b song song với Trên đường thẳng lấy điểm cách khoảng x Hỏi thành lập hình bình hành tạo thành từ 10 điểm ? ĐS: 30 BT 125 Cho d1 // d2 , đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, đường thẳng d2 có n điểm phân biệt (n ≥ 2) Biết có 2800 tam giác có đỉnh điểm cho Tìm n ? ĐS: n = 20 BT 126 Cho đa giác A1 A2 A3 A2 n (n nguyên) nội tiếp đường tròn (O) Biết số tam giác có đỉnh 2n điểm A1 A2 A3 A2 n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh ĐS: n = 2n điểm A1 A2 A3 A2n Tìm n ? + BT 127 Cho đa giác 2n đỉnh (n ≥ 2, n ∈ ℤ ) Gọi a số đường chéo đa giác b số hình chữ nhật có bốn đỉnh đỉnh đa giác Tìm n biết a = 23b ? ĐS: n = 13 Công thức xác suất BT 128 Có ba xạ thủ bắn vào bia Xác suất trúng đích là: 0, 6; 0, 0, Tính xác suất để có người bắn trúng bia ĐS: P ( A ) = 0,976 BT 129 Nam Hải thi đấu với trận bóng bàn, thắng trước séc thắng trận Xác suất Hải thắng séc 0,4 (không có séc hòa) Tính xác suất Hải thắng trận ? ĐS: P = 0, 31744 BT 130 Một nhóm xạ thủ gồm có 10 người có xạ thủ loại I xạ thủ loại II Xác suất bắn trúng đích lần bắn xạ thủ loại I loại II 0,9 0,8 Chọn ngẫu nhiên xạ thủ 10 người cho bắn viên đạn Hãy tính xác suất để viên đạn trúng đích ? ĐS: P = 0,83 BT 131 Có ba lô hàng Người ta lấy ngẫu nhiên từ lô hàng sản phẩm Biết xác suất để sản phẩm có chất lượng tốt lô hàng 0, 5; 0,6; 0,7 Tính xác suất để ba sản phẩm lấy có sản phẩm có chất lượng tốt ? ĐS: P = 0,94 Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 www.DeThiThuDaiHoc.com http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Page - 127 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 BT 132 Một hộp chứa 11 bi đánh số từ đến 11 Chọn bi cách ngẫu nhiên, cộng số 118 bi rút với Tính xác suất để kết thu số lẻ ? ĐS: P = ⋅ 231 BÀI TẬP RÈN LUYỆN BT 133 Trên giá sách có ba loại sách Toán học, Vật lý, Hóa học, có sách Toán học, sách Vật lý sách Hóa học (các sách khác nhau) Hỏi có cách chọn sách sách cho loại có 1quyển sách ? BT 134 Cho tập A tất số tự nhiên có chữ số mà chữ số khác Hỏi lấy số tự nhiên từ tập A mà số có mặt ba chữ số khác ? BT 135 Trong hộp có viên bi xanh viên bi trắng, chọn ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để viên bi chọn có bi xanh bi trắng ? BT 136 Một người cần gọi điện thoại quên chữ số cuối số điện thoại cần gọi Người nhớ chữ số khác chữ số chắn chữ số Tính xác suất để người gọi điện bấm số lần số điện thoại cần gọi ? BT 137 Một hộp chứa bi xanh, bi đỏ, bi vàng Lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp Tính xác suất để viên bi lấy có đủ màu ? BT 138 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, lập số chẵn có chữ số đôi khác Lấy ngẫu nhiên số vừa lập Tính xác suất để lấy số lớn 2013 ? BT 139 Tập A gồm tất số tự nhiên có ba chữ số đôi khác lập từ {1;2; 3; 4; 5} Chọn ngẫu nhiên số thuộc A Tìm xác suất số chọn số chẵn ? BT 140 Một hộp có 15 viên bi, có viên bi xanh viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để viên bi lấy có viên bi đỏ ? BT 141 Có 10 học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C Chọn ngẫu nhiên học sinh Tính xác suất cho lớp có học sinh chọn có học sinh lớp A ? BT 142 Gọi X tập hợp số gồm hai chữ số khác lấy từ chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai phần tử X Tính xác suất để hai số lấy số chẵn ? BT 143 Một thầy giáo có 12 sách đôi khác nhau, có sách Toán, sách Vật lý sách Hóa học Ông muốn lấy đem tặng cho học sinh: A, B, C, D, E, F em Tính xác suất để sau tặng sách xong loại ba loại Toán, Vật lý, Hóa học lại ? BT 144 Chọn ngẫu nhiên số từ tập số tự nhiên có ba chữ số khác khác Tính xác suất để số chọn số chia hết cho ? BT 145 Một hộp chứa 30 bi trắng, bi đỏ 15 bi xanh Một hộp khác chứa 10 bi trắng, bi đỏ bi xanh Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi viên bi Tìm xác suất để hai bi lấy màu ? BT 146 Cho hai đường thẳng song song d1, d2 Trên d1 lấy 17 điểm phân biệt, d2 lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác có đỉnh điểm số 37 điểm chọn d1 d2 BT 147 Cho mặt phẳng cho đa giác H có 20 cạnh Xét tam giác có ba đỉnh lấy từ đỉnh H a/ Có tất tam giác ? Có tam giác có cạnh cạnh H b/ Có tam giác có cạnh cạnh H ? Có tam giác cạnh cạnh H ? BT 148 Có số tự nhiên gồm chữ số, biết chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số lại có mặt không lần BT 149 Cho tập A = {0;1; 2; 3; ; 9} Từ tập A lập số tự nhiên gồm chữ số phân biệt nhỏ 60000 chia hết cho BT 150 Cho chữ số 1, 2, 3, 4, Gọi X tập số tự nhiên có chữ số phân biệt lập từ năm chữ số đó, lấy ngẫu nhiên số từ X Tính xác suất biến cố lấy số chia hết cho Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 www.DeThiThuDaiHoc.com http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Page - 128 -