Trường THPT Kiến An Nguyễn Trung Tiến RÈN LUYỆN KĨ NĂNG KẾT HỢP NGHIỆM VÀ ĐIỀU KIỆN TRONG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Những kiến thức lượng giác đặc biệt phương trình lượng giác (PTLG) phận quan trọng chương trình toán THPT nói chung Đại số giải tích 11 nói riêng Trong đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng thường xuyên có mặt dạng toán giải PTLG, loại PTLG có điều kiện thường làm cho học sinh bối dối Đa số em gặp khó khăn khâu kết hợp nghiệm phương trình hệ với điều kiện phương trình ban đầu Đặc thù PTLG thường có vô số nghiệm công thức nghiệm cho PTLG có hình thức biểu diễn khác Dung lượng kiến thức phần tương đối lớn, số lượng tiết học lớp đảm bảo cho em nắm vững kiến thức Để giải tốt đề PTLG có điều kiện mức độ thi đại học cao đẳng, học sinh cần tìm tòi thêm phải liên hệ tốt với kiến thức công thức lượng giác Nhằm giúp đỡ học sinh có kỹ tốt việc kết hợp nghiệm với điều kiện PTLG có điều kiện qua có phương án giải tối ưu trọn vẹn cho toán PTLG có điều kiện, chọn nghiên cứu chuyên đề: “RÈN LUYỆN KĨ NĂNG KẾT HỢP NGHIỆM VÀ ĐIỀU KIỆN TRONG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN” Mục đích nghiên cứu Chuyên đề nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ tiếp cận vấn đề từ nhiều góc độ khác từ chọn phương pháp kết hợp nghiệm với điều kiện phù hợp toán PTLG cụ thể Qua rút ngắn đáng kể thời gian để có lời giải trọn vẹn, ngắn gọn, mạch lạc Phương pháp nghiên cứu + Tổng hợp kiến thức, kiểm nghiệm qua thực tế dạy học + Tập hợp vấn đề nảy sinh, băn khoăn, lúng túng học sinh trình giải toán phương trình lượng giác có điều kiện Từ đề xuất phương án giải quyết, tổng kết thành học kinh nghiệm Phạm vi nghiên cứu Trong việc giải PTLG có điều kiện có nhiều phương pháp kết hợp nghiệm với điều kiện, xong tập trung nghiên cứu tìm hiểu phương pháp phổ biến nhất, hiệu phù hợp với học sinh Trong chuyên đề, http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Trường THPT Kiến An Nguyễn Trung Tiến tổng hợp đúc kết kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy vấn đề mà chủ yếu học sinh học lớp 11 Điểm chuyên đề Chuyên đề tập trung rèn luyện cho học sinh kỹ kết hợp nghiệm điều kiện phương trình lượng giác có điều kiện Đặc biệt cố gắng giúp học sinh nhận định nên áp dụng phương pháp cho toán cụ thể Chuyên đề ý rèn luyện cho học sinh biết kết hợp phương pháp kết hợp nghiệm điều kiện toán phương trình lượng giác http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Trường THPT Kiến An Nguyễn Trung Tiến B NỘI DUNG I CÁC PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP NGHIỆM VỚI ĐIỀU KIỆN PHỔ BIẾN: Biểu diễn nghiệm (của phương trình hệ quả) điều kiện (của phương trình ban đầu) qua hàm số lượng giác: 1.1 Kiến thức sở: Trong phần cần sử dụng tốt công thức sau: Công thức nhân đôi Công thức hạ bậc Các đẳng thức lượng giác Từ ta có kết cần ý sau sin a = sin 2a = ⇔  cos a = sin a ≠ sin 2a ≠ ⇔  cos a ≠ sin a = ⇔ cos a = ± ; sin a = ⇔ cos a = cos a = ⇔ sin a = ± ; cos a = ⇔ sin a = sin a ≠ ⇔ cosa ≠ ± ; cosa ≠ ⇔ sin a ≠ ±1 1.2 Một số ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2010, khối A) Giải phương trình (1 + sin x + cos2 x ) sin  x +  + t anx π  4 = cos x Lời giải: cos x ≠ sin x ≠ ± ⇔  t anx ≠ −1  t anx ≠ −1 Điều kiện:  http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Trường THPT Kiến An Nguyễn Trung Tiến Khi (1 + sin x + cos2 x ) sin  x +  + t anx π  4 cos x = π  ⇒ cos x (1 + s inx + cos x ) 2.sin  x +  = cos x ( sin x + cos x ) 4  π  ⇔ (1 + s inx + cos x ) 2.sin  x +  = ( sin x + cos x ) (do cos x ≠ ) 4  ( ) ⇔ ( sin x + cos x )( sin x + cos2 x ) = ⇔ ( sin x + cos x ) sin x + − 2sin x =    tan x = −1 sin x = − cos x  sin x + cos x =  ⇔ ⇔ sin x = ⇔ sin x =  2sin x − sin x − =   sin x = − sin x = −    π  x = − + k 2π  ⇔ sin x = − ⇔  π x = + k 2π  ( L) ( L) (t / m ) (k ∈ Z ) Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2006, khối B) x Giải phương trình cot x + sin x  + tan x tan  =  Lời giải: 2  cos x ≠  Điều kiện s inx ≠ ⇔ s in2x ≠  x cos ≠  x   s inx sin  x cos x  Ta có cot x + sin x  + tan x tan  = ⇔ + s inx 1 + =4 x 2 s inx   cos x cos   2 x x   cos x.cos + s inx.sin  cos x cos x s inx ⇔ + s inx  =4⇔ + =4  x s inx s inx cos x   cos x.cos   http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Trường THPT Kiến An Nguyễn Trung Tiến = ⇔ sin x = (t / m ) sin x π π    x = + k 2π  x = 12 + k π ⇔ ⇔  x = 5π + k 2π  x = 5π + k π   12 ⇔ (k ∈ Z ) Ví dụ 3: (Tạp chí Toán học tuổi trẻ 11/2009) Giải phương trình 1 + = cos x sin x sin x Lời giải: Điều kiện Khi  sin x ≠ ± cos x ≠ sin x ≠ ± sin x ≠ ±     ⇔ s inx ≠ s in2x ≠ ⇔ s inx ≠ ⇔ s inx ≠     sin x ≠ cos2x ≠ 1 − 2sin x ≠ sin x ≠ ±  1 + = cos x sin x sin x  sin x = −1  ⇒ 4s inx.cos2 x + 2cos2 x = ⇔ s inx 2sin x + s inx-1 = ⇔ sin x =  sin x =  ( ) π  x = + k 2π  Đối chiếu với điều kiện ta sin x = ⇔   x = 5π + k 2π  π   x = + k 2π Vậy phương trình có nghiệm   x = 5π + k 2π  (k ∈ Z ) http://toanlihoasinh.blogspot.com/ (k ∈ Z ) Trường THPT Kiến An Nguyễn Trung Tiến Ví dụ 4: (Bài giảng trọng tâm ôn luyện môn Toán_Tập _Trần Phương) Giải phương trình sin x + cos x = cos 4 x π π     tan  − x  tan  + x  4  4  Lời giải: Điều kiện  π  sin  − x  ≠     π  π   sin  − x  ≠ cos  − x  ≠   4   2  ⇔ ⇔ cos2 x ≠ ⇔ sin x ≠ ±  π π     sin sin + x ≠ + 2x  ≠        cos  π + x  ≠     Nhận thấy π  π  tan  − x  tan  + x  = , phương trình cho trở thành 4  4  sin x + cos x = cos 4 x ⇔ − sin x = cos 4 x ⇔ 2cos 4 x − cos x − = sin x = ⇔ cos x = ⇔ sin x = ⇔  cos2 x = π (k ∈ Z ) Đối chiếu điều kiện ta sin x = ⇔ x = k Ví dụ 5: sin 2 x + cos x − =0 sin x.cos x Giải phương trình Lời giải: Điều kiện sin x > Khi phương trình cho trở thành cos 2 x = sin x = ± sin x + cos x − = ⇔ cos x − cos x = ⇔  ⇔ sin x = cos x = 4 Đối chiếu điều kiện ta sin x = ⇔ x = π + k 2π ⇔ x = http://toanlihoasinh.blogspot.com/ π + k π (k ∈ Z ) Trường THPT Kiến An Nguyễn Trung Tiến Các tập tương tự 1/ cos2 x − tan x = 2/ c otx − = cos x − cos3 x − ; cos x cos2 x + sin x − sin x (2003_A); + t anx 3/ c otx − t anx + 4sin x = π (2003_B); sin x 4/ sin  −  tan x − cos = (2003_D); 2 4 x x 5/ 5sin x − = (1 − sin x ) tan x (2004_B) http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Trường THPT Kiến An Nguyễn Trung Tiến Thử trực tiếp xét mệnh đề đối lập 2.1 Kiến thức sở + Các nhận xét tính chu kì hàm số lượng giác sin (α + k 2π ) = sin α tan (α + kπ ) = tan α ∀α ; co s (α + k 2π ) = cosα ∀α ; cot (α + kπ ) = cot α ∀α ; ∀α + Các công thức giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt (sách giáo khoa Đại số 10) 2.2 Một số ví dụ minh hoạ Giải phương trình cos3x.tan x = sin x Ví dụ 1: Lời giải: Điều kiện cos5 x ≠ Khi phương trình cho trở thành  x = sin x.cos3 x = 2sin x.cos5 x ⇔ sin x = sin12 x ⇔  x =  Với x = π kπ + 20 10 (k ∈ Z ) kπ cos5 x = cos Với x = kπ 5k π  kπ   kπ = cos  + k 2π  = cos     π 20 + kπ 10   ≠ ⇔ k = 2m   π kπ  cos5 x = cos  + ≠0 4  Vậy phương trình cho có nghiệm x = mπ ; x = π 20 Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ, 2011, khối A) Giải phương trình (m ∈ Z ) + s in2x+ cos x = s inx sin x + c ot x Lời giải: Điều kiện sin x ≠ ⇔ cos x ≠ ± Khi phương trình cho trở thành http://toanlihoasinh.blogspot.com/ + kπ 10 ( m, k ∈ Z ) Trường THPT Kiến An Nguyễn Trung Tiến sin x (1 + sin x + cos2 x ) = 2 sin x.cos x ⇔ + 2sin x.cos x + 2cos x − = 2 cos x  cos x = ( t / m ) ⇔ cos x s inx + cos x − = ⇔  s inx + cos x = ( ) ( *) Giả sử sin x = ⇔ cos x = ± , (*) ⇔ ± = (vô lí) π  cos x = x = + kπ  Do phương trình tương đương với   π  ⇔  cos  x −  =  π x = + k 2π 4    π   x = + kπ Vậy phương trình có nghiệm   x = π + k 2π  (k ∈ Z ) Ví dụ 3: Giải phương trình 3s inx + cos x = (1 + t anx ) − Lời giải: Điều kiện cos x cosx ≠ ⇔ sin x ≠ ± Khi ⇔ cos x ( 3s inx + cos x ) = ( cos x + s inx ) − cos x ⇔ cos x ( 3s inx + cos x ) − cos x = 3s inx + cos x − 3s inx + cos x = (1 + t anx ) − ⇔ cos x ( 3s inx + cos x − 1) − ( 3s inx + cos x − 1) = cos x − = ⇔ ( 3s inx + cos x − 1)( cos x − 1) = ⇔  3s inx + cos x − = (1) ⇔ cos x = thoả mãn điều kiện, ta (1) ( 2) x = k 2π , k ∈Z Tiếp theo giả sử cosx = ⇔ sin x = ± , thay vào (2) ta ±3 − = (vô lí) Tức nghiệm (2) thoả mãn điều kiện Giải (2) ta x = α ± arccos (với cosα = + k 2π 13 k∈Z , ; sin α = ) 13 13 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Trường THPT Kiến An Nguyễn Trung Tiến  x = k 2π Vậy phương trình có nghiệm  x = α ± arccos + k 2π  13 10 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ k ∈Z Trường THPT Kiến An Nguyễn Trung Tiến Ví dụ 4: Giải phương trình π tan x + t anx  = sin  x +  tan x + 4  cosx ≠ ⇔ sin x ≠ ± Lời giải: Điều kiện Khi  π tan x + t anx 2 2  2 = sin x + ⇔ c os x tan x + t anx = s inx + cos x     tan x + 4  2   ⇔ sin x + cos x.s inx = ( s inx + cos x ) ⇔ 2s inx ( s inx + cos x ) − ( s inx + cos x ) = ⇔ ( s inx + cos x )( 2s inx − 1) = ( *) ( ) Giả sử cosx = ⇔ sin x = ± , thay vào (*) ta ±1( ±2 − 1) = (vô lí) Tức nghiệm (*) thoả mãn điều kiện π 3π 5π + kπ ; x = + k 2π ; x = + k 2π 6 Giải (*) ta x = tan x.tan x = Ví dụ 5: Giải phương trình π π  x ≠ +m  cos5x ≠  10 ⇔  cos2 x ≠ x ≠ π + n π  Lời giải: Điều kiện (k ∈ Z ) (1) ( 2) ( m, n ∈ Z ) phương trình tương đương với tan x = π π ⇔ tan x = cot x ⇔ x = + k tan x 14 (k ∈ Z ) + Đối chiếu điều kiện (1) Giả sử π 14 +k π = π 10 +m Do k , m ∈ Z nên ∃t ∈ Z : t = π + 2m t −1 ⇔ m = 2t + Lại t , m ∈ Z nên ∃s ∈ Z : s = Từ + 2m ⇔ k = m+ t −1 ⇔ t = 2s + k = s + Suy x = π 14 +k π với k ≠ s + thoả mãn phương trình + Đối chiếu điều kiện (2) 11 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Trường THPT Kiến An Nguyễn Trung Tiến Giả sử π 14 +k π = π +n π ⇔ 4k − 14n = ( 3) Ta thấy vế trái (3) chẵn, vế phải (3) lẻ nên không tồn k , n ∈ Z thoả mãn (3) Từ suy điều kiên (2) thoả mãn x= Vậy phương trình cho có nghiệm π 14 +k Các tập tương tự 1/ ( s inx − cos x ) = ; tan x + cot x cot x − 2/ sin x + c otx = sin x + ; 3/ s inx.cot5x = 1; cos9x 4/ tan ( − sin x +1 = ) x sin x cos x ; 5/ ( cos x − 3) sin 3x = 12 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ π (k ∈ Z ) Trường THPT Kiến An Nguyễn Trung Tiến Biểu diễn đường tròn lượng giác (ĐTLG) 3.1 Kiến thức sở + Mỗi cung (hoặc góc) lượng giác biểu diễn điểm ĐTLG x = α + k 2π biểu diễn điểm ĐTLG; x = α + kπ biểu diễn ĐTLG điểm đối xứng qua O; x =α + k 2π biểu diễn ĐTLG điểm cách nhau, tạo thành 3 đỉnh tam giác nội tiếp ĐTLG; x =α + k 2π biểu diễn ĐTLG n điểm cách nhau, tạo thành n n đỉnh đa giác nội tiếp ĐTLG + Ta biểu diễn ĐTLG điểm không thoả mãn điều kiện (đánh dấu “x”) điểm nghiệm tìm (đánh dấu “o”) Những điểm đánh dấu “o” mà không trùng với điểm đánh dấu “x” điểm thoả mãn điều kiện 3.2 Một số ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2011, khối D) Giải phương trình s in2x +2 cos x − s inx − =0 tanx + π   x ≠ − + mπ  t anx ≠ − ⇔  cos x ≠  x ≠ π + nπ  Lời giải: Điều kiện ( m, n ∈ Z ) y Khi phươngtrình cho trở thành s in2x +2 cos x − s inx − = ⇔ cos x ( s inx + 1) − ( s inx + 1) = π  s inx = −1  x = − + k 2π ⇔ ( s inx + 1)( cos x − 1) = ⇔  ⇔ cos x = π  x = ± + k 2π   π 2π π Kết hợp với điều kiện đường tròn lượng O x giác (như hình bên) ta nghiệm phương trình x = π + k 2π (k ∈ Z ) − 13 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ π − π Trường THPT Kiến An Nguyễn Trung Tiến Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2006, khối A) Giải phương trình ( ) cos x + sin x − sin x.cos x − sin x Lời giải: Điều kiện =0 π  x ≠ + m2π  s inx ≠ ⇔  x ≠ 3π + n 2π  ( m, n ∈ Z ) Khi phương trình cho trở thành ( ) cos x + sin x − sin x.cos x =   ⇔ 1 − sin 2 x  − sin x =   ⇔ 3sin 2 x + sin x − = ⇔ sin x = ⇔x= π + kπ y 3π (k ∈ Z ) Kết hợp với điều kiện đường tròn lượng giác ta nghiệm phương trình x= 5π + k 2π Lời giải: Điều kiện 5π sin x + sin x = −1 sin x sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ ⇔ x ≠ k π Khi sin x + sin x = −1 ⇔ sin x + sin x + sin x = sin x ⇔ 2sin x.cos x + sin x = sin x = ⇔ sin x ( cos x + 1) = ⇔  cos x = −  14 o (k ∈ Z ) Ví dụ 3: Giải phương trình π http://toanlihoasinh.blogspot.com/ x Trường THPT Kiến An Nguyễn Trung Tiến π  x = k ⇔  x = ± 2π + k 2π  π 2π Kết hợp với điều kiện đường tròn lượng giác Ta nghiệm phương trình x= π y π O + kπ 4π − π Các tập tương tự 1/ s inx + sin x + sin x = 3; cos x + cos2 x + cos3 x 2/ cos x + sin x = ; 3/ − cos x + + cos x = 4s inx ; cos x 3.cos x + 2sin x.cos x − sin x − 4/ =1; s inx + cos x 5/ π (1 − sin x ) cos x = (1 + 2s inx )(1 − s inx ) (đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2009, khối A) 15 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ x − π Trường THPT Kiến An Nguyễn Trung Tiến II Một số ý áp dụng chuyên đề vào thực tế Khi áp dụng chuyên đề vào thực tế giảng dạy nảy sinh vài vấn đề cần ý sau 1/ Nếu toán PTLG kết hợp nghiệm với điều kiện theo ba phương pháp nên áp dụng theo phương pháp nào? Với vấn đề cần nhấn mạnh cho học sinh thấy phương pháp thao tác Vi vi làm theo phương pháp 1: “Biểu diễn nghiệm (của phương trình hệ quả) điều kiện (của phương trình ban đầu) qua hàm số lượng giác”là ngắn gọn 2/ Khi làm thi áp dụng phương pháp 3: “Biểu diễn ĐTLG”, yêu cầu thẩm mỹ tính xác nên nhiều thời gian trình bày Vậy có phép bỏ qua phần vẽ hình khâu kết hợp điều kiện không? Với vấn đề này, cho phép học sinh không trình bày hình vẽ vào làm yêu cầu học sinh phải phác hoạ nháp thực thao tác nói phương pháp để có kết luận xác Đồng thời trình bày vào làm phải nói rõ kết hợp ĐTLG ta nghiệm phương trình là… 3/ Có phương pháp áp dụng cho tất toán PTLG có điều kiện không? Làm biết toán nên kết hợp nghiệm theo phương pháp nào? Câu trả lời phương pháp áp dụng cho tất toán Với toán không áp dụng theo phương pháp ta tìm cách áp dụng phương pháp Phương pháp coi phổ biến phương pháp số toán mà việc biểu diễn nghiệm điều kiện cần nhiều điểm điểm biểu diễn ĐTLG gần nhau…thì phương pháp gặp khó khăn gần thực giới hạn thời gian lực học sinh Khi phương pháp lại phù hợp ( ví dụ 1, ví dụ phương pháp minh hoạ cho điều này) III Hướng phát triển chuyên đề: Do thời gian có hạn nên chuyên đề đề cập phương pháp kết hợp nghiệm với điều kiện phương trình lượng giác có điều kiện Chuyên đề nghiên cứu để mở rộng với toán giải hệ phương trình lượng giác hệ lượng giác hỗn hợp, phương trình kết hợp hàm số lượng giác hàm số mũ, lôga rít hàm số dấu căn… 16 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Trường THPT Kiến An Nguyễn Trung Tiến C KIỂM NGHIỆM QUA THỰC TẾ GIẢNG DẠY Trong trình giảng dạy đem vấn đề áp dụng vào hai buổi dạy tăng cường (sau dạy cho học sinh phương pháp giải phương trình lượng giác) Kết cụ thể sau: Nội dung kiểm nghiệm Kiểm tra: Giải phương trình + cos8x = 4cos 4 x π π     tan  − x  tan  + x  4     (Thời gian làm bài: 15 phút) Lớp 11A4 (chưa đc học tăng cường) Lớp 11A3 (đã đc học tăng cường) 05/44 học sinh giải 35/42 học sinh giải trọn vẹn toán trọn vẹn toán 34/44 học sinh biến 02/42 học sinh không đổi đến phương trình thể giải trọn vẹn toán mải 2cos 4 x − cos x − = mà không tìm điều tìm điều kiện cụ kiện nhiều thể gian vào việc tìm điều kiện cụ thể cho phương trình 06/44 học sinh kết hợp ngiệm theo phương pháp biểu diễn ĐTLG không đủ nghiệm thừa nghiệm Không có học sinh giải trọn vẹn toán theo phương pháp biểu diễn nghiệm điều kiện thông qua hàm số lượng giác 05/42 học sinh giải trọn vẹn toán kết hợp nghiệm theo phương pháp biểu diễn đường tròn đơn vị dẫn đến thừa thiếu nghiệm 31/42 học sinh giải trọn vẹn toán nhờ phương pháp biểu diễn nghiệm điều kiện thông qua 05/42 học sinh giải hàm số lượng giác trọn vẹn toán cos2x theo phương pháp kết 04/42 học sinh giải hợp nghiệm điều kiện trọn vẹn toán theo phương 17 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Trường THPT Kiến An Nguyễn Trung Tiến ĐTLG 18 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ pháp kết hợp nghiệm điều kiện ĐTLG Trường THPT Kiến An Nguyễn Trung Tiến D KẾT LUẬN: Chuyên đề hoàn thành với tổng hợp, tham khảo tài liệu đúc rút, tổng kết kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy, chuyên đề đạt mục tiêu đề Nhưng để chuyên đề có tính ứng dụng cao sát thực tiễn kính mong thầy cô, đặc biệt thầy cô tổ Toán – tin, trường THPT Kiến An, tiếp tục đọc kỹ thảo, thảo luận để đóng góp, bổ sung cho chuyên đề Hi vọng chuyên đề coi tài liệu để đồng nghiệp tham khảo nhằm rèn luyện cho học sinh tư linh hoạt giải toán nói chung giải phương trình lượng giác nói riêng Xin chân thành cảm ơn! Hải Phòng, ngày 10 tháng 04 năm 2013 Người thực Nguyễn Trung Tiến 19 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Trường THPT Kiến An Nguyễn Trung Tiến MỤC LỤC A MỞ ĐẦU B NỘI DUNG I) MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP NGHIỆM PHỔ BIẾN: Biểu diễn nghiệm điều kiện qua hàm số lượng giác: Thử trực tiếp xét mệnh đề đối lập: Biểu diễn đường tròn lượng giác: ………………………………….10 II) MỘT SỐ CHÚ Ý KHI ÁP DỤNG CHUYÊN ĐỀ VÀO THỰC TẾ…… 16 III) HƯỚNG PHÁT TRIỂN CHUYÊN ĐỀ: 16 C KIỂM NGHIỆM QUA THỰC TẾ GIẢNG DẠY……………………………18 D KẾT LUẬN: 17 E TÀI LIỆU THAM KHẢO Error! Bookmark not defined 20 http://toanlihoasinh.blogspot.com/