Chương LƯỢNG GIÁC Biên soạn: Thân Văn Cương - Gv: THPT Ngô Sĩ Liên - Bắc Giang ĐT: 0983.515825 1.1 Một số dạng phương trình thường gặp 1.1.1 Phương trình 1.1 Giải phương trình lượng giác sau √ sin(x − π6 ) = 21 sin(2x − 300 ) =√− 33 sin(2x − π4 ) = 31 cos(2x − π3 ) = 23 π cos(3x + ) = − −cos3x = cos(2x + π4 ) π sin3x = −sin(x cos4x + cos(x + π6 )√= √ + 6) π tan(x + ) = 10 tan(x − 150 ) = − π 11.tan(3x − ) = cotx 12 tan(2x + π3 ) = −tan(3x + π4 ) 2π 13 tan2x + cot3x = 14 sin(3x + π4 ) − cos(x + )=0 π π 15 cos(3x − ) = −cos(x + ) 16 sin(πcosx) = 1 π 17 cos(8sinx) = 18 sin(x − ) = 1.2 Giải phương trình lượng giác khoảng sin(x + π4 ) − sin2x = [− π4 ; 3π cos(2x + π6 ) = cos3x [− π3 ; 2π] ] √ π π π π 3π tan(2x + ) = [− ; 2π] 4.tan(2x + ) = tanx [− ; ] 4 √ √ 3 [0; 1800] [−2000; 1800 ] sin(3x − 300 ) = cot(450 − x) = 1.3 Tìm a > nhỏ thỏa mãn phương trình: cos[π(a2 + 2a − 21 )] − sinπ.a2 = 1.4 Giải biện luận phương trình sau a (4m − 1)sinx + = msinx − b (2m + 3)cosx − = mcosx − 2(m − 1) Thân Văn Cương - THPT Ngô Sĩ Liên, BG 1.1.2 Phương trình bậc hai, bậc ba với hàm số lượng giác 1.5 Giải phương trình lượng giác sau 1) 9cos2 x − 5sin2 x − 5cosx + = 2) cos2x + sin2 x + 2cosx + = 4 3) sin x + cos x = sin2x − 4) sin4 2x + cos4 2x = sin2x.cos2x 5) 6cos x + 5sinx − = 6) 5(1 + cosx) = + sin4 x − cos4 x 7) cos2x + sin2 x − 2cosx + = 8) + tanx = cos2 x 9) cos2x − 4cosx + = 10) sin4 x + cos4 x = cos2x 11) 3cos4 x + 8cos2x.sin2x − = 12) sin4 x + cos4 x = sin2x 2 13) 4tan2 x + − 14) =0 + 2tan x + 5(tanx + cotx) + = cosx sin2 x √ √ =3 15) sinx + 3cosx + 16) cotx − cot2x = tanx + sinx + 3cosx 17) 2( + cos2 x) + 9( − cosx) = 18) cosx + cos2x + tan2 x + = cos2 x cosx cosx 1.6 Cho phương trình: cos2 x + 2(1 − m)cosx + 2m − = a Giải phương trình với m = 21 b Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ [0; 2π] 1.7 Cho phương trình: cos2x − (2m + 1).cosx + m + = a Giải phương trình m = 23 b Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ [ π2 ; 3π ] 1.8 Giải phương trình sau a 4sin3 x − 8sin2 x + sinx + = b 4(sin3x − cos2x) = 5(sinx − 1) c cos3x + 3cos2x = √ √ √ 2(1 + cosx) d 6tan3 x + (3 − 3)tan2 x − (3 + 3)tanx + = 1.9 Cho phương trình (cosx + 1)(cos2x − mcosx) = m.sin2 x a Giải phương trình m = −2 b Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ [0; 2π ] 1.1.3 Phương trình dạng acosx + bsinx = c 1.10 √ Giải phương √ trình lượng giác sau √ 1) 3sinx − cosx + = 2) 3sinx − = 4sin3 x + 3cos3x √ √ 4) 3cosx + 3sinx = 3) 2(cos4 x + sin4 x) + 3sin4x = 2 √ √ 5) cos5x − sin3x √ = 3(cos3x − sin5x) 6) tanx − 3cotx = 4(sinx + 3cosx) 7) 2sin3x + √3cos7x + sin7x = 8) + cosx + sin3x√+ cos3x − sin2x − sinx 9) 3sin3x − 3cos9x = √ + 4sin 3x 10) cos7x.cos5x − 3sin2x √= − sin7x.sin5x 11) 4(sin4 x + cos x) + x − = 3sinx − 3sin4x = 12) 4sin 3cos3x √ 13) cos2 x − 3sin2x = + sin2 x 14) sinx(1 − sinx) = cosx(cosx − 1) 1.11 Giải biện luận phương trình 2m(sinx + cosx) = 2m2 + cosx − sinx + 1.1.4 Phương trình bậc hai, bậc ba 1.12 Giải phương trình lượng giác sau 1) 2sin2 x − 5sinxcox − cos2 x + = √ π 3) sin3 (x − ) = 2sinx √ 5) 3sinx + cosx = cosx 7) 6sinx − 2cos3 x = 5cosxsin2x 9) sinx.sin2x + sin3x = 6cos3 x 11) 4sin3 x + 3cos3 x − 3sinx − sin2 x.cosx = 13) cos3 x + sinx − 3sin2 x.cosx = 15) sinx + cosx − 4sin3 x = 17) sin3x + cos3x + 2cosx = Thân Văn Cương - THPT Ngô Sĩ Liên, BG 2) 4cos3 x − cosx − sinx = 4) sin2 x + 2sinx.cosx + 3cos2 x − = 6) 6sin2 x − sinx.cosx − cos2 x = 8) sin3x + cos3x + 2cosx = 10) sinx − cosx = 4sinx.cos2 x 12) cos3 x − 4sin3 x − 3cosx.sin2 x + sinx = 14) cos3 x − sin3 x = sinx − cosx 16) sin2 (1 + tanx) = 3sinx(cosx − sinx) + 18) sinx − 4sin3 x + cosx = π 3π − x) + 4sin(x + π).cosx + 2sin( − x)cos(x + π) = 2 3π π 20) 2sinx.cos( + x) − 3sin(π − x).cosx + sin( + x).cosx = 2 19) 4sinx.cos( 1.13 Tìm m để phương trình sau có nghiệm x ∈ [− π4 ; π4 ] 2sin2 x − sinx.cosx − cos2 x = m 1.1.5 Phương trình đối xứng với sinx cosx 1.14 Giải phương trình sau 1) sinx.cosx + 2(sinx + cosx) = √ √ 3) (1 + 2)(sinx − cosx) + 2sinx.cosx = + 5) − sin2x = cosx − sinx 7) 3(sinx + cosx) + 2sin2x + = 9) sinx + cosx = cotx − tanx √ 2) sin x + cos x = 2π √ 4) sin2x + 2sin(x − ) = 6) 6(sinx − cosx) − sinx.cosx = 8) + sin3 x + cos3 x = sin2x 10) sin3 x + cos3 x = cos2x 3 1.15 Tìm m để phương trình sau có nghiệm sin2x + 4(cosx − sinx) = m 1.16 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: sinx.cosx + 6(sinx + cosx + m) = 1.1.6 Phương trình đối xứng với tanx cotx 1.17 Giải phương trình sau 1) 3(tanx + cotx) − 2(tan2 x + cot2 x) − = 2) tanx + cotx + tan2 x + cot2 x + tan3 x + cot3 x = 3) 3(tanx − cotx) + tan2 x + cot2 x = 4) tan7 x + cot7 x = tanx + cotx 5) 9(tanx + cotx)4 = 48(tan2 x + cot2 x) + 96 6) 3(tanx + cotx)4 − 8(tan2 x + cot2 x) = 32 1.18 Cho phương trình: tan2 x + cot2 x + 2(m + 2)(tanx + cotx) = m − m2 Tìm m để phương trình có nghiệm 1.1.7 Phương trình có chứa sin2n x + cos2n x Trong dạng ta thường sử dụng hai công thức lượng giác sau sin x + cos4 x = − sin2 2x sin6 x + cos6 x = − sin2 2x 4 1.19 Giải phương trình sau a sin4 x + cos4 x = cos2x b sin6 x + cos6 x = 41 sin2 2x c 16(sin6x + cos6 x − 1) + 3sin6x = sin6 x+cos6 x d cos x−sin2 x = m.tan2x Tìm m để phương trình có nghiệm √ e 4sin3 x.cos3x + 4cos3 xsin3x + 3cos4x = 1.20 Cho phương trình: 4(sin4 x + cos4 x) − 4(sin6 x + cos6 x) − sin2 4x = m Tìm m để phương trình có nghiệm 1.21 Tìm m để phương trình sau có nghiệm x+sin6 x a cos cos2 x−sin2 x = m.tan2x b sin6 x + cos6 x = m.sin2x c sin4 x + cos4 x − cos2x + 41 sin2 2x + m = d 4(sin4 x + cos4 x) − 4(sin6 x + cos6 x) − sin2 4x = m Thân Văn Cương - THPT Ngô Sĩ Liên, BG 1.1.8 Sử dụng công thức hạ bậc 1.22 Giải phương trình sau a cos2 x + cos2 2x + cos2 3x = b sin2 3x − sin2 2x − sin2 x = c sin2 x = cos2 2x + cos2 3x d sin2 2x + sin2 4x = sin2 6x e sin2 x = cos2 2x + cos2 3x 1.1.9 Sử dụng công thức nhân đôi 1.23 Giải phương trình a cos4 x + sin6 x = cos2x b 2sin3 x − cos2x + cosx = c.cos4 x − cos2x + 2sin6 x = d sin3 x + cos3 x = cos2x e sin3 x + cos3 x = 2(sin5 x + cos5 x) f.sin8 x + cos8 x = 2(sin10 x + cos10 x) + coss2x 1.1.10 Sử dụng công thức biến đổi tổng, tích 1.24 Giải phương trình a sinx + sin2x + sin3x = + cosx + cos2x b.1 + cosx + cos2x + cos3x = c.cosx + cos2x + cos3x + cos4x = d.cos11x.cos3x = cos17x.cos9x π π e.4cosx.sin( + x).sin( − x) = cos2x 6 f sin6x.sin2x = sin5x.sin3x g sin5x.cos6x + sinx = sin7x.cos4x 1.1.11 Mũ+lượng giác 1.25 Giải phương trình sin2 x ) + 4.5cos2x = 25sinx.cosx a.5( 25 b.2cos2x = 3.2cos x − 2 c.9sin x + √ 9cos x = 10 √ 3)cosx + ( − 3)cosx = d.( +√ √ e (3 + 2)tanx + ((3 − 2)tanx = 1.26 Giải phương trình sau √ √ −π π a (3 + 2)tanx + ((3 − 2)tanx = m có nghiệm x ∈ ( , ) 2 √ tanx √ tanx + (5 − 6) = m Giải biện luận theo m b (5 + 6) 2 c 2sin x + 3cos x ≥ m.3sin x có nghiệm 1.1.12 Phương pháp tổng bình phương 1.27 Giải phương √ trình sau √ a 4cosx + 3tan2 x − 3cosx + 3tanx + = b sin2 x + 41 sin2 3x = sinx.sin2 3x 1 HD: Pt⇔ sin2 x − sinx.sin2 3x + sin4 3x − sin4 3x + sin2 3x = 4 c cos2x − cos6x + 4(3sinx − 4sin3 x + 1) = HD: pt ⇔ (1 − cos2x) + (1 − cos6x) + 4sin3x + = d x2 + 2xsinx − 2cosx + = Thân Văn Cương - THPT Ngô Sĩ Liên, BG e sin2 x − sinx + 17 + cos2 x − √ 39 3cosx + =5 √ √ + 2cosx − cos2 x + + 2sinx − sin2 x = 2 g x√2 + 4xcosxy + = h 3sin2x − 2sin2 x √ − 4cosx + = i 2sin2x +√ cos2x + 2sinx − = √ k cos2x − 3sin2x + 4sin2 x − 2sinx + = 3cosx f 1.28 Giải √ phương trình sau a cos3x +√ − cos2 3x = 2(1√+ sin2 2x) b sinx + − sin2 x + sinx − sin2 x = 3 + cos2 x + + cos2 x = c 4 d y y = + 2x − x | sin cos | x x 1.1.13 Đặt ẩn phụ 1.29 Giải phương trình √ π a sin3 (x + ) = 2sinx √ π b sin3 (x − ) = 2sinx π c 8cos3 (x + ) = cos3x π x d tanx = tan3 ( − ) 3x π 3π x e sin( + ) = 3sin( − ) 10 10 3π π x f sin( + x) = 2sin( − ) 5 1.30 Giải phương trình sau sin4 2x + cos4 2x a = cos4 4x tan( π4 − x).tan( π4 + x) b Tìm b để phương trình sau có nghiệm cos2x + sin2 x + bcosx + = c sin3 x + cos3 x = − 21 sin2x π π d sin4 x + cos4 x = 2cos(2x + ).cos(2x − ) 4 e sinx + 3sin2x = sin3x − sin2x f + tan2x = cos2 2x sin4x g cosx.sin2x.cos3x = 1.2 Các tập tổng hợp Phần tổng hợp toán lượng giác có đề thi ĐH, CĐ đề thi thử ĐH, CĐ trường THPT năm 1.31 Giải phương trình lượng giác sau Thân Văn Cương - THPT Ngô Sĩ Liên, BG 1) cos2 x − √ 2) cos3 x − 4sin3 x − 3cosxsin2 x + sinx = 3sin2x = + sin2 x cos2x 3) cotx − = + sin2 x − sin2x + tanx 5) sinx − 4sin3 x + cosx = 7) tanxsin2 x − 2sin2 x = 3(cos2x + sinxcosx) 4) sin3x + cos3x + 2cosx = 6) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 8) sin3 x.cos3x + cos3 x.sin3x = sin3 4x sinx + sin2x + sin3x √ 10) = cosx + cos2x + cos3x 12) + sin3x = sinx + cos2x 14) cos3x + cos2x − cosx − = 16) cosx − cos2x + cos3x = 18) + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 9) 4cosx − 2cos2x − cos4x = √ 11) sinx.sin4x = 2cos( π6 − x) − 3cosxsin4x 13) + sin x2 sinx − cos x2 sin2 x = 2cos2 ( π4 − x2 ) 15) 2cos2x − sin2x = 2(sinx + cosx) √ 17) sin3 (x + π4 ) = 2sinx cosx + sin3x 19) 5(sinx + ) = cos2x + + 2sin2x 21) cotx − tanx + 4sin2x = sin2x √ 23) (sin x2 + cos x2 )2 + 3cosx = cos2x 25) cotx − = + sin2 x − sin2x + tanx 27) sin3 xcos3x + cos3 xsin3x = sin3 4x 20) cos3x − 4cos2x + 3cosx − = 22) sin2 ( x2 − π4 )tan2 x − cos2 x2 = 24) (2cosx − 1)(2sinx + cosx) = sin2x − sinx 29) 2(tanx − sinx) + 3(cotx − cosx) + = √ π 31) sinx.sin4x = 2cos( − x) − 3cosx.sin4x 33) + sin x2 sinx − cos x2 sin2 x = 2cos2 ( π4 − x2 ) 35) sin4 x + cos4 x = cot(x + π3 ).cot( π6 − x) 37) (sinx + sin2x + sin3x)3 = sin3 x + sin3 2x + sin3 3x 39) sin4x + 2cos2x + 4(sinx + cosx) = + cos4x 41) 2sin3x(1 − 4sin2 x) = sin2x 45) cotx − sinx(1 + tanxtan x2 ) = 43) cotx − tanx + 4sin2x = 1.3 26) (2cosx − 1)(2sinx + cosx) = sin2x − sinx 28) cosx.cos2x.cos4x.cos8x = 16 sinx + sin2x + sin3x √ = 30) cosx + cos2x + cos3x 32) + sin3x = sinx + cos2x 34) sin4 x + cos4 (x + π4 ) = √ π ) = 2cos( 36) 2sin3 (x + 9π − x) 2 cot x − tan x = 16(1 + cos4x) 38) cos2x 40) cos(1 − tanx)(sinx + cosx) = sinx (1 + cos2x)2 = 2cos2x 42) sin2 x + 2sin2x 44) + sinx + cosx + sin2x + cos2x = √ 46) 3sin2x + cos2x = 2cosx − Các toán phương trình lượng giác đề thi Phần tuyển chọn đề thi thử Đại học phần lượng giác trường chuyên toàn quốc năm 2012 1.32 (Chuyên Vĩnh Phúc) Giải phương trình sau (1 − tanx)(1 + sin2x) = + tanx Gợi ý Đặt t = tanx biến đổi sin2x theo t 1.33 (Chuyên Vĩnh Phúc) Giải phương trình: sinx − 4sin3 x + cosx = Gợi ý Phương trình đẳng cấp bậc 1.34 (TT vn.math.com) Giải phương trình: sin2x − (sinx + cosx + 1)(2sinx − 3) = Gợi ý Biến đổi phương trình tích (sinx + cosx + 1)(−sinx + cosx + 2) = 1.35 (THPT Nguyễn Đức Mậu) Giải phương trình: cotx − Gợi ý Chú ý cotx − tanx = = tanx 2cos2x sin2x 1.36 (THTT) Giải phương trình: 16cos4 (x + Gợi ý Chú ý cosx − sinx = tích 2cos4x sin2x √ 2cos(x + − tan2 x π )=4 − 2sin4x + tan2 x π ) − sin2x = (cosx − sinx)2 Biến đổi phương trình Thân Văn Cương - THPT Ngô Sĩ Liên, BG 1.37 (Chuyên ĐHSP Hà Nội) Giải phương trình 3π π 3sin2 x.cos( + x) − sin2 ( + x).cosx = sinx.cos2 x − 3sin2 x.cosx 2 Gợi ý Có thể chuyển phương trình đẳng cấp bậc 3, chuyển phương trình tích 3π ) + cos2x = 1.38 (Chuyên ĐH Vinh) Giải phương trình 2(1 − sin2x).sin(x + 3π Gợi ý Chú ý sin(x + ) = √ (cosx − sinx) x π 1.39 (Chuyên ĐHSP Hà Nội) Giải phương trình + sinx + cosx = 2cos( − ) x x π x 2x 2x Gợi ý Phương trình tương đương với (sin( ) + cos( )) + cos − sin − 2cos( − ) = 2 2 √ π π 1.40 Giải phương trình: 2(2sinx − 1) = 4(sinx − 1) − cos(2x + ) − sin(2x + ) 4 √ π Gợi ý Chú ý công thức sinx + cosx = 2sin(x + ) 1.41 Giải phương trình: cos10x + 2cos 4x + 6cos3x.cosx = cosx + 8cosx.cos2 3x √ 1.42 Giải phương trình: 5(sinx + cosx) + sin3x − cos3x = 2(2 + sin2x) Gợi ý Chuyển phương trình tích * Các toán sau dùng hàm số để khảo sát hàm f (t), tìm giá trị tham số để phương trình có nghiệm 1.43 Biện luận số nghiệm phương trình sau them tham số m cos2 x + (1 − m)cosx + m − = Với < x < π π 1.44 Tìm m để phương trình sau có nghiệm x ∈ (0; ) 1 sinx + cosx + + (tanx + cotx + + )=m sinx cosx Gợi ý Đặt t = sinx + cosx 1.45 Biện luận phương trình sau theo m a sin2x + 4(cosx − sinx) = m b sin6 x + cos6 x = m(sin4 x + cos4 x) c cos4 x + (m − 2)sin2 x + = d mcos2x − 4(m − 2)cosx + 3(m − 2) = có nghiệm x ∈ ( −π π ; ) 2 π 1.46 Tìm m để phương trình sau có nghiệm x ∈ (0; ) 1 sinx + cosx + + (tanx + cotx + + )=m sinx cosx Gợi ý Đặt t = sinx + cosx 1.47 Cho phương trình + 2tan2 x + (2m + 3)(tanx + cotx) + = sin2 x a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm + cot2 x + m(tanx + cotx) + = cos2 x a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm 1.48 Cho phương trình sin6 x + cos6 x π =m π tan(x + ).tan(x − ) 4 a) Giải phương trình m = − 41 b) Tìm m để phương trình có nghiệm 1.49 Cho phương trình Thân Văn Cương - THPT Ngô Sĩ Liên, BG