www.TaiLieuLuyenThi.com ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG TỔ HỢP 1 n Phương pháp: tổng dãy tổ hợp chứa hệ số phân số 1, , , , , ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Tính tích phân trường hợp chưa khai triển nhị thức Newton tích phân trường hợp khai triển Hai kết Thay x, a, b số phù hợp PHẦN (CƠ BẢN) b b  (1  x) dx   C n n a  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n dx a b b n 1  (1  x)n1    x x n x   C x  C  C   C n n n   n n  1 a  n 1  a   (1  x) dx   C b b n n a   Cn1 x  Cn2 x    1 Cnn x n dx n a b b n 1  (1  x)n1    n x x n x    C x  C  C    C   n n n n n   a  n  1 a  b b  ( x  1) dx   C x n n n a  Cn1 x n1  Cn2 x n2   Cnn dx a b b n n 1  ( x  1)n1   x n1  x x   C  C  C   Cnn x  n n n   n n 1  n 1  a  n 1 a  ( x  1) dx   C x b b n n n a   Cn1 x n1  Cn2 x n2    1 Cnn dx n a b b n n 1  ( x  1)n1   x n1 n x x n    C  C  C    C   n n n x   n n n 1  n 1  a  n 1 a 26 3n1  n BT1: Tính 2C  4C  Cn   Cn n 1 n n Phân tích: tổng không đan dấu, có chứa phân số (dấu hiệu sử dụng tích phân), quan sát số hạng cuối có hệ số 3n1  n , ta biết cận từ đến Sử dụng  (1  x) dx n 1 Giải: 3  (1  x) dx   C n n  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n dx Thầy Kiên: 01692894586 www.TaiLieuLuyenThi.com 3 n 1  (1  x)n1    x x n x   C x  C  C   C n n n   n n  1  n 1   3 3 n 1  (1  x)n1  x x n x    Cn x  Cn  Cn   Cn n  n   1 1 4n1  2n1 26 3n1  n   2Cn  4Cn  Cn   Cn n 1 n 1 4n1  2n1 Vậy S  n 1 Lưu ý: tính giá trị tích phân có gắn tổ hợp ta nên tách riêng tổ hợp BT để tính kết nhanh 2n1  n Cn  Cn   Cn n 1 2n1  n1 n1 Hướng dẫn: trên, từ hệ số ta lấy cận từ đến Lưu ý:  1,0  nên n 1 3n1  2n1 n1 n1 giá trị đề ghi hay không cần ghi, ta phải tự nhận biết Kết n 1 BT2: Tính S  Cn  BT3: Tính S  Cn  1 Cn  Cn   Cnn n 1 Hướng dẫn: cận từ đến 2n1 n BT4: Tính S  2C  2C  Cn   Cn n 1 3n1  Kết quả: n 1 n n 1  Cn   Cn   (1) n   2n1Cnn n 1 n Phân tích: chuỗi đan dấu, hệ số phân số, gắn với Cn , có dấu hiệu dùng tích phân, quan sát hệ số n 1 BT5: Tính tổng S  2Cn  số hạng cuối ta lấy cận từ đến 2, tức  1  x  dx n Giải:  1  x  n   dx   Cn0  Cn1 x  Cn2 x    1 Cnn x n dx Thầy Kiên: 01692894586 n www.TaiLieuLuyenThi.com 2 n 1  (1  x)n1    n x x n x    C x  C  C    C   n n n n n    n  1   (1)n1 1   2Cn0   22 Cn1   23 Cn2   (1) n   2n1 Cnn n 1 n 1 n  (1) Vậy S  n 1 1 Cnn n BT6: Tính tổng S  C  Cn  Cn   (1)  n 1 n Hướng dẫn: tương tự trên, lấy cận từ đến Kết S  n 1 1 n Cn0  Cn1  Cn2    1 Cnn n 1 n n 1 n Hướng dẫn: chuỗi đan dấu, hệ số gắn với Cn , có dấu hiệu sử dụng tích phân ( x  1) , quan sát n 1 n 1  hệ số đầu ta lấy cận từ đến Kết S  n 1 BT7: Tính tổng S  1  2n1Cn0   2n Cn1   2n1Cn2   (1)n  2Cnn n 1 n n 1  (1) n Hướng dẫn: Cận từ đến Kết S  n 1 BT8: Tính S  PHẦN (MỞ RỘNG) Nhân thêm x, x , Phương pháp: thông thường sau lấy tích phân hệ số chứa Cnk Nếu cho hệ số dạng k 1 1 Cnk ta phải nhân thêm x trước tích phân, dạng Cnk ta nhân thêm x trước tích phân,… k2 k 3 BT9: Tính S  1 1 Cn  Cn  Cn   Cnn n2 Phân tích: tổng không đan dấu, độ chênh lệch so với dạng nên ta nhân thêm x trước tích phân 1  x(1  x) dx   C x  C x n 0 n Thầy Kiên: 01692894586 n  Cn2 x3   Cnn x n1 dx www.TaiLieuLuyenThi.com n2  x2  2 n n 1 x x n x   C x  C x  C x   C x dx  C  C  C   C n n n n n n n n  0   n    1 1  Cn0  Cn1  Cn2   Cnn  S n2 1 1  x(1  x) dx   (1  x) n n 1  (1  x)n2 (1  x)n1   (1  x) dx    n  n    n 2n  2n1 1 n.2n1       n  n  n  n  (n  1)(n  2) n.2n1  Vậy S  (n  1)(n  2) BT10: S  1 1 Cn  Cn  Cn   (1)n Cnn n2 Phân tích: tương tự chuỗi đan dấu Giải:  x(1  x) dx   C n n o Tính x  Cn1 x  Cn2 x3   Cnn x n1 dx x   u  n u   x  du   dx Đặt , x (1  x ) dx  0 x   u  1 u n1 u n 1 x (1  x ) dx  (1  u ) u du      0 0 n  n  n  n  (n  1)(n  2) 1 n  C n n x  Cn1 x  Cn2 x   (1) n Cnn x n1 dx  x2 x3 x4 x n2   Cn0  Cn1  Cn2   (1) n Cnn n    1 1  Cn0  Cn1  Cn2   (1) n Cnn n2 S Vậy S  (n  1)(n  2) BT11: Tính S  1 1 Cn  Cn  Cn   Cnn n3 Thầy Kiên: 01692894586 www.TaiLieuLuyenThi.com Hướng dẫn:  x (1  x) dx n BT12: Tính S  1 1 Cn0  Cn1  Cn2   (1)n Cnn n3 n2 n 1 Hướng dẫn: Tính  x ( x  1) dx n Truy hồi tích phân Phương pháp: Bước 1: dùng tích phân phần để tính I n Đưa I n công thức truy hồi theo I n1 , I n2 , Truy hồi để suy công thức tổng quát I n Bước 2: Dựa vào khai triển Newton để tính I n Cho kết  BT13: a) Tính I n  (1  x ) dx n Cn1 Cn2 Cn3 (1)n Cnn 2.4.6 (2n  2).2n      b) Chứng minh  2n  1.3.5 (2n  1) Giải: n n 1   u  1  x  du  2nx 1  x  dx  Đặt  vx  dv  dx    1 n n 1 n 1 I n  1  x  x   2n  x 1  x  dx  2n  (1  (1  x )  1  x  dx   0  2n  (1  x )n1  (1  x ) n dx  2n  I n1  I n  2n 2n 2n  2n 2n  I n1  I n2  I 2n  2n  2n  2n  2n  2.4.6 (2n  2).2n Mà I   dx  nên I n  1.3.5 (2 n  1)  In  Mặt khác Thầy Kiên: 01692894586 www.TaiLieuLuyenThi.com 1 I n   (1  x ) dx   Cn0  Cn1 x  Cn2 x   (1) n Cnn ) x n  dx n 0 1 1    Cn0 x  Cn1 x3  Cn2 x5   (1) n Cnn ) x n1  2n   0 Cn1 Cn2 Cn3 (1) n Cnn 1     2n  1 C C C (1)n Cnn 2.4.6 (2n  2).2n Vậy  n  n  n    2n  1.3.5 (2n  1) Dựa vào tích phân cho trước Phương pháp: tính trực tiếp tích phân tính tích phân sau khai triển Newton Cho kết  BT14: a) Tính tích phân I  x(1  x ) dx n 1 1 (1) n n b) Chứng minh Cn  Cn  Cn   Cn  2n 2(n  1) Hướng dẫn: Đặt ẩn phụ u   x để tính trực tiếp I  BT15: Cho n ¢  a) Tính I  x (1  x ) dx n 1 1 2n1  n Cn  b) Chứng minh Cn  Cn  Cn   3n  3(n  1) Hướng dẫn: Đặt ẩn phụ u   x để tính trực tiếp I Thầy Kiên: 01692894586