B¶n tin To¸n häc (Bé m«n To¸n trêng PTNK) – sè 02 – -1 BẢN TIN TOÁN HỌC BỘ MÔN TOÁN – TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU Số 02 Tháng 10-2003 Lời ngỏ Chào bạn đến với số thứ hai tin toán học Thưa bạn! Sau tin toán học số đời, Ban biên tập nhận hưởng ứng nhiệt tình bạn học sinh PTNK bạn cựu học sinh sinh viên làm việc Để đáp lại long tin cậy mong mỏi bạn, Bản tin tháng kỳ thay tháng kỳ dự kiến Bản tin có mục đích cung cấp cho bạn số kiến thức toán học mà bạn chưa học lớp, cung cấp thông tin hoạt động toán học nước giới,… Bên cạnh đó, tin diễn đàn để bạn trao đổi thông tin vấn đề toán học mà quan tâm; nơi để bạn gởi thắc mắc toán mà ngại hỏi học khóa; … Đồng thời, tin nơi để bạn tập dượt sáng tạo cách gởi cộng tác cho cho Ngay từ bây giờ, bạn gởi thư cho theo đòa hộp thư trước phòng môn Toán (tầng trệt) gởi trực tiếp cho thành viên ban biên tập bảng tin BAN BIÊN TẬP Trong số này: - Abel vµ ®Þnh lý lín cđa «ng - §¸p ¸n ®Ị thi m«n to¸n N¨ng khiÕu – Kú thi tun sinh líp 10 – PTNK 2003 - Lêi gi¶i vµ nhËn xÐt c¸c ®Ị to¸n sè - Cïng gi¶i to¸n - TiÕng Anh qua c¸c bµi to¸n Abel vµ ®Þnh lý lín cđa «ng V.Tikhomirov B¶n tin To¸n häc (Bé m«n To¸n trêng PTNK) – sè 02 – -2 Nhµ to¸n häc vÜ ®¹i ngêi Na Uy – Nils Henric Abel, ngêi cïng víi Grieg vµ Ibsen ®· lµm r¹ng rì Tỉ qc cđa m×nh, ®· sèng mét cc ®êi ng¾n ngđi, ®Çy khã kh¨n vµ ®au khỉ ¤ng mÊt v× bƯnh ë ti 28 TÊt c¶ nh÷ng kÕt qu¶ to¸n häc chÝnh ® ỵc «ng thùc hiƯn vßng chØ n¨m Carl Gustav Jacobi, ngêi còng s¸ng t¹o vµ nghiªn cøu ®ång thêi nh÷ng vÊn ®Ị cđa Abel ®· viÕt: “Abel ®· rêi xa chóng ta, nhng dÊu Ên mµ «ng ®Ĩ l¹i khã cã thĨ phai mê” Vµ nh÷ng lêi nãi nµy trë thµnh lêi sÊm: hÇu nh tÊt c¶ nh÷ng g× mµ Abel cèng hiÕn cho khoa häc ®Ịu trun ®Õn thÕ hƯ chóng ta nh nh÷ng kho b¸u BiÕn ®ỉi Abel, dÊu hiƯu héi tơ Abel, nhãm Abel, ph¬ng tr×nh tÝch ph©n Abel, tÝch ph©n Abel – vÉn lµ ngêi b¹n ®ång hµnh thêng xuyªn cđa c¸c nhµ to¸n häc, vµ mäi nhµ to¸n häc ®Ịu biÕt ®Õn ®Þnh lý lín cđa Abel vỊ tÝnh kh«ng gi¶i ®ỵc b»ng c¨n thøc cđa ph¬ng tr×nh bËc lín h¬n Abel sinh ngµy th¸ng n¨m 1802 ë miỊn Nam Nau Uy Cha «ng lµ cha cè N¨m 1915 cha «ng ®a «ng ®Õn häc ë trêng Dßng ë thđ ®« Christiania (nay lµ Oslo) T¹i trêng nµy Abel may m¾n gỈp ®ỵc ngêi thÇy gi¸o ®· ph¸t hiƯn vµ ®¸nh gi¸ cao n¨ng khiÕu to¸n häc cđa «ng Bernt Mikel Holmboe - tªn ngêi thÇy gi¸o - ®ỵc ngêi ®êi tr©n träng v× mét thêi gian dµi ®· hç trỵ hÕt lßng cho ngêi häc trß vÜ ®¹i nhng bÊt h¹nh cđa m×nh Holmboe viÕt: “Trong Abel cã c¶ kh¶ n¨ng to¸n häc thiªn bÈm lÉn niỊm ®am mª kh«ng bao giê c¹n ®èi víi khoa häc” Ngay tõ ®Çu, «ng ®· viÕt, “cËu ta sÏ trë thµnh nhµ to¸n häc xt s¾c nhÊt thÕ giíi”, vµ cã thĨ nghÜ r»ng Abel sÏ biÕn lêi dù ®o¸n ®ã thµnh hiƯn thùc nÕu nh bƯnh tËt kh«ng cíp ®i sinh m¹ng cđa «ng qu¸ sím nh vËy Abel vµo ®¹i häc tỉng hỵp n¨m 1821 Cha cđa «ng mÊt vµ «ng kh«ng cã ®iỊu kiƯn sèng tèi thiĨu ¤ng lµm ®¬n xin häc bỉng, nhng trêng kh«ng cã kinh phÝ ®Ĩ cho «ng Khi ®ã, mét sè gi¸o s cđa trêng, víi suy nghÜ “gi÷ g×n cho khoa häc mét tµi n¨ng hiÕm cã”, ®· cho «ng häc bỉng tõ tiỊn l¬ng cđa chÝnh hä Nh÷ng kho¶n tiỊn nµy kh«ng ®đ ®Ĩ nu«i sèng gia ®×nh, vµ Abel ®· ph¶i ®i d¹y thªm Nhng «ng còng kh«ng thĨ tho¸t khái c¶nh ®ãi nghÌo Bµi b¸o “Chøng minh tÝnh kh«ng gi¶i ®ỵc b»ng c¨n thøc cđa ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t bËc lín h¬n 4” ®ỵc c«ng bè vµo n¨m 1826, vµ sù kiƯn nµy ®· lËp tøc ®Ỉt Abel lªn vÞ trÝ cđa nh÷ng nhµ to¸n häc hµng ®Çu thÕ giíi Nhng c«ng tr×nh sau ®ã cđa «ng, ®ỵc ViƯn hµn l©m Khoa häc Paris giíi thiƯu vµ chun cho Cauchy ph¶n biƯn ®Ĩ in ®· bÞ bá quªn ®èng giÊy tê cđa nhµ b¸c häc Ph¸p Cauchy chØ t×m thÊy l¹i nã sau c¸i chÕt cđa Abel C«ng tr×nh nµy cđa Abel, cïng víi c«ng tr×nh cđa Jacobi ®· ®o¹t gi¶i thëng lín cđa ViƯn hµn l©m NÕu nh gi¶i thëng nµy ®ỵc trao tỈng Abel cßn sèng Nhng ®iỊu ®ã ®· kh«ng x¶y ra, vµ nh÷ng n¨m ci ®êi Abel sèng thiÕu thèn ¤ng mÊt ngµy th¸ng n¨m 1829 Jacobi nãi vỊ «ng:”Abel mÊt sím, cø nh r»ng «ng chØ mn lµm nh÷ng g× mµ ngêi kh¸c kh«ng ®đ søc lµm, ®Ĩ cho chóng ta lµm nèt nh÷ng thø cßn l¹i “ Chóng ta sÏ nãi vỊ mét sè thµnh tùu cđa Abel to¸n häc Nghiªn cøu cđa Abel gi¶i tÝch to¸n häc Abel lµ ngêi ®Çu tiªn ¸p dơng t¬ng tù hãa cđa tÝch ph©n tõng phÇn vµo c¸c tỉng rêi r¹c C¸ch biĨu diƠn tỉng c¸c tÝch cđa hay d·y sè díi d¹ng ∑1Nakbk = aNbN - ∑1N-1Bk(ak+1-ak), (1) ®ã ak, bk lµ c¸c sè ®· cho, Bk = b1 + + bk, ≤ k ≤ N, ®ỵc mang tªn biÕn ®ỉi Abel Nã trë thµnh vµ hiƯn vÉn lµ mét c«ng quan träng cđa gi¶i tÝch cỉ ®iĨn NÕu nh ¸p dơng biÕn ®ỉi Abel cho chi ∑1∞akbk víi gi¶ sư r»ng chi ∑1∞bk héi tơ vµ d·y {ak}1∞ bÞ chỈn vµ ®¬n ®iƯu th× ta ®ỵc chi ∑1∞akbk héi tơ (tõ (1) dƠ dµng suy ®¸nh gi¸ |∑nmakbk| ≤ 4maxn ≤ k ≤ m|Bk| max {|an|, |am|}, vµ sù héi tơ cđa chi suy tõ tiªu chn Cauchy) §©y chÝnh lµ tiªu chn Abel vỊ sù héi tơ cđa mét chi Còng vÉn ph¬ng ph¸p nµy cã thĨ chøng minh tiªu chn Dirichlet: nÕu nh d·y {bk}1∞ ®¬n ®iƯu vµ héi tơ vỊ 0, cßn d·y c¸c tỉng riªng sn = ∑1nak bÞ chỈn th× chi ∑1∞akbk héi tơ C¸c tiªu chn héi tơ nµy ngµy cã bÊt cø mét cn s¸ch gi¸o khoa nµo vỊ gi¶i tÝch to¸n häc B¶n tin To¸n häc (Bé m«n To¸n trêng PTNK) – sè 02 – -3 Cauchy ®· quan niƯm sai lÇm r»ng chi c¸c hµm sè liªn tơc trªn mét ®o¹n, héi tơ t¹i mäi ®iĨm th× nã sÏ cã giíi h¹n lµ mét hµm liªn tơc Abel ®· ®a ph¶n vÝ dơ: chi ∑1∞(-1)k-1sinkx/k héi tơ t¹i mäi ®iĨm cđa ®o¹n [-π, π] (®iỊu nµy cã thĨ kiĨm chøng dƠ dµng nÕu ¸p dơng tiªu chn Dirichlet), nhng giíi h¹n cđa chi lµ mét hµm gi¸n ®o¹n (nã b»ng x/2 kho¶ng (-π, π), b»ng t¹i c¸c ®iĨm -π, π vµ lµ hµm tn hoµn cho kú -2π, nghÜa lµ cã c¸c ®iĨm gi¸n ®o¹n lµ π + 2kπ, k=0, ±1, ) VÝ dơ cđa Abel ®ãng mét vai trß quan träng viƯc h×nh thµnh mét nh÷ng kh¸i niƯm nỊn t¶ng cđa gi¶i tÝch – kh¸i niƯm liªn tơc ®Ịu Nh©n Abel (hay cßn gäi lµ nh©n Abel – Poisson) - hµm sè (1/π).[a/(a2+x2)], a > 0, ®ãng mét vai trß quan träng gi¶i tÝch vµ lý thut x¸c st Abel lµ ngêi ®Çu tiªn t×m lêi gi¶i cđa ph¬ng tr×nh tÝch ph©n, tøc lµ ph¬ng tr×nh tun tÝnh víi “v« sè Èn sè” Ph¬ng tr×nh nµy, ®ỵc mang tªn «ng, cã mỈt hµng lo¹t c¸c bµi to¸n lý thut vµ øng dơng Nãi riªng, Rieman vµ Liouville ®· sư dơng nã ®Ĩ ®a kh¸i niƯm ®¹o hµm bËc ph©n sè Abel ®· ®Ỉt nỊn mãng cho lý thut tÝch ph©n c¸c hµm sè d¹ng ∫ R(x, y)dx, ®ã R H(x, y) = lµ hµm ph©n thøc (tøc lµ tØ sè cđa hai ®a thøc), cßn H lµ ®a thøc hai biÕn C©u hái vỊ tÝnh biĨu diƠn ®ỵc cđa c¸c tÝch ph©n nh vËy qua c¸c hµm s¬ cÊp lµ mét c©u hái rÊt s©u C©u tr¶ lêi chøa ®Þnh lý c¬ b¶n ®ỵc chøng minh bëi Abel, vµ ®ỵc biĨu thÞ th«ng qua c¸c ®Ỉc tÝnh t«-p« cđa ®a t¹p hai chiỊu (cơ thĨ lµ - gièng cđa mỈt Rieman H(z, w) = kh«ng gian phøc) V.I Arnold cn s¸ch “To¸n häc lµ g×?” gi¶i thÝch b¶n chÊt cđa ®Þnh lý nµy vµ kÕt ln:”Trong ®Þnh lý nµy, cã mét ®iỊu ®¸ng ng¹c nhiªn lµ mèi liªn hƯ gi÷a c¸c vÊn ®Ị mµ tho¹t nh×n rÊt xa cđa to¸n häc: lý thut c¸c hµm s¬ cÊp, tÝch ph©n vµ t«-p«” VỊ tÝnh gi¶i ®ỵc b»ng c¨n thøc cđa ph¬ng tr×nh ®¹i sè Vµ b©y giê chóng ta sÏ nãi vỊ thµnh tùu nỉi tiÕng nhÊt cđa Abel – vỊ ®Þnh lý cđa «ng liªn quan ®Õn tÝnh gi¶i ®ỵc b»ng c¨n thøc cđa ph¬ng tr×nh ®¹i sè C«ng tr×nh nµy cã ¶nh hëng lín ®Õn sù ph¸t triĨn cđa ®¹i sè, cßn thùc chÊt kh¸i niƯm nhãm Abel ®ỵc ®a c«ng tr×nh nµy lµ c¬ së cđa lý thut nhãm §Þnh lý Abel cã liªn hƯ víi nh÷ng lÜnh vùc kh¸c cđa to¸n häc vµ cã hµng lo¹t c¸c chøng minh kh¸c Chóng ta sÏ tr×nh bµy mét nh÷ng chøng minh ®¹i sè trùc tiÕp Chøng minh nµy kh¸ s¬ cÊp, mỈc dï cã sư dơng sè phøc Mçi chóng ta ®Ịu biÕt c«ng thøc t×m nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh bËc hai x2 + px + q = 0: x1,2 = (-p ± √p2- 4q)/2 V× c¸c sè n√a ®ỵc gäi lµ c¨n thøc nªn ngêi ta nãi r»ng ph¬ng tr×nh x2 + px + q = gi¶i ®ỵc b»ng c¨n thøc Mét thêi gian dµi c¸c nhµ to¸n häc t×m c«ng thøc cho nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh bËc ba Vµo gi÷a thÕ kû 16, mét c«ng thøc nh vËy ®· ®ỵc t×m thÊy Ph¬ng tr×nh x3 + ax2 + bx + c = cã thĨ dƠ dµng ®a vỊ d¹ng x3 + px + q = 0, vµ nghiƯm cđa nã cã thĨ t×m ®ỵc b»ng c«ng thøc x = 3√ -q/2 +√q2/4 + p3/27 + 3√ -q/2 -√q2/4 + p3/27 NÕu tÝnh ®óng c¸c gi¸ trÞ cđa c¸c c¨n thøc th× cã thĨ t×m ®ỵc c¶ ba nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh bËc ba Nh thÕ, víi ph¬ng tr×nh bËc ba tån t¹i c«ng thøc tÝnh nghiƯm th«ng qua c¨n thøc Kh«ng l©u sau c«ng thøc Cardano ®ỵc c«ng bè ngêi ta chøng minh ®ỵc r»ng viƯc gi¶i ph¬ng tr×nh bËc bÊt kú cã thĨ ®a vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai vµ bËc ba b»ng mét quy tr×nh chn, nghÜa lµ víi ph¬ng tr×nh bËc còng cã c«ng thøc tÝnh nghiƯm b»ng c¨n thøc B¶n tin To¸n häc (Bé m«n To¸n trêng PTNK) – sè 02 – -4 Vµ sau ®ã, kho¶ng thêi gian gÇn thÕ kû ngêi ta ®· cè g¾ng t×m c«ng thøc cho c¸c ph¬ng tr×nh bËc cao h¬n nhng ®Ịu thÊt b¹i Vµ ®Þnh lý chøng minh bëi Abel ®· ®Ỉt dÊu chÊm cho nh÷ng cè g¾ng nµy §Þnh lý Abel §Þnh lý Abel §èi víi mçi sè tù nhiªn n lín h¬n kh«ng thĨ t×m ®ỵc c«ng thøc biĨu diƠn nghiƯm cđa mäi ph¬ng tr×nh bËc n th«ng qua c¸c hƯ sè cđa nã sư dơng c¨n thøc vµ c¸c phÐp to¸n sè häc Chóng ta sÏ chøng minh ë ®©y mét ®iỊu m¹nh h¬n, vµ chÝnh lµ tån t¹i mét ph¬ng tr×nh (cơ thĨ) bËc n¨m víi hƯ sè nguyªn kh«ng gi¶i ®ỵc b»ng c¨n thøc ViƯc chøng minh kÕt qu¶ nµy sÏ ®ỵc tr×nh bµy sè b¸o sau Cơ thĨ, chóng ta sÏ chøng minh ph¬ng tr×nh p(x) = x5 - 4x - = kh«ng gi¶i ®ỵc b»ng c¨n thøc (Cßn tiÕp – TrÇn Nam Dòng dÞch tõ T¹p chÝ Kvant, sè 1/2003) §¸p ¸n ®Ị thi tun sinh vµo líp 10 n¨ng khiÕu n¨m häc 2003-2004 (To¸n N¨ng khiÕu) C©u 1) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (a2-b2)x2 + 2(a3-b3)x + a4 - b4 = cã nghiƯm víi mäi a, b 2) Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh  xy + x + y =  3 ( x + 1) + ( y + 1) = 35 Lêi gi¶i: 1) + NÕu a = b th× ph¬ng tr×nh trë thµnh = Mäi x lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh + NÕu a = -b th× ph¬ng tr×nh trë thµnh 2a3x = cã nghiƯm x = + NÕu a ≠ ± b th× a2 - b2 ≠ 0, ph¬ng tr×nh ®· cho lµ ph¬ng tr×nh bËc hai cã ∆’ = (a3 - b3)2 - (a2 - b2)(a4 - b4) = a2b2(a-b)2 ≥ ®ã cã nghiƯm VËy mäi trêng hỵp ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiƯm 2) §Ỉt X = x+1, Y = y+1, ta cã hƯ ph¬ng tr×nh  XY =  3  X + Y = 35 Suy X3, Y3 lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh T2 – 35T + 216 = Tõ ®ã (X, Y) = (2, 3) hc (3, 2) suy (x, y) = (1, 2) hc (2, 1) Thư l¹i thÊy tho¶ C©u 1) Cho an = 22n+1 – 2n+1 + 1, bn = 22n+1 + 2n+1 + Chøng minh r»ng víi mäi n nguyªn d¬ng, hai sè an, bn lu«n cã ®óng mét sè chia hÕt cho vµ mét sè kh«ng chia hÕt cho 2) T×m tÊt c¶ c¸c bé ba sè nguyªn d¬ng ph©n biƯt mµ tÝch cđa chóng b»ng tỉng cđa chóng Lêi gi¶i: 1) Ta cã an.bn = (22n+1+1)2 - 22n+2 = 24n+2 + = 16n.4 + = (5k+1)n.4 + = (5K+1).4 + chia hÕt cho MỈt kh¸c bn - an = 2.2n+1 kh«ng chia hÕt cho KÕt hỵp víi ®iỊu võa chøng minh ë trªn ta suy hai sè an, bn cã ®óng mét sè chia hÕt cho 5, suy an + bn kh«ng chia hÕt cho 2) Gi¶ sư sè ®ã lµ (x, y, z) Kh«ng mÊt tÝnh tỉng qu¸t, cã thĨ gi¶ sư x < y < z Theo ®iỊu kiƯn ®Ị bµi x + y + z = x.y.z => 1/xy + 1/yz + 1/zx = B¶n tin To¸n häc (Bé m«n To¸n trêng PTNK) – sè 02 – -5 NÕu x ≥ th× ta cã y ≥ 3, z ≥ ®ã 1/xy + 1/yz + 1/zx ≤ 1/6 + 1/12 + 1/8 < M©u thn VËy ta ph¶i cã x = Thay vµo ta ®ỵc ph¬ng tr×nh 1/y + 1/z + 1/yz = 1._TiÕp theo cã hai c¸ch gi¶i: C¸ch 1: NÕu y ≥ th× z ≥ 4, ®ã 1/y + 1/z + 1/yz ≤ 1/3 + 1/4 + 1/12 < M©u thn VËy ta ph¶i cã y = 2, suy z = VËy ta cã bé (1, 2, 3) tho¶ m·n yªu cÇu bµi to¸n C¸ch 2: 1/y + 1/z + 1/yz = yz = y + z + (y-1)(z-1) = = 1.2 => y = 2, z = C©u Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A H¹ ®êng cao AA1 §Ỉt BA1 = x, CA1 = y 1) Gäi r, r’ lÇn lỵt lµ b¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp c¸c tam gi¸c AHK vµ ABC t¬ng øng H·y tÝnh tû sè r’/r theo x, y vµ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa tû sè nµy 2) Chøng minh tø gi¸c BHKC néi tiÕp mét ®êng trßn TÝnh b¸n kÝnh ®êng trßn nµy theo x, y Lêi gi¶i: Áp dơng tÝnh chÊt cđa tam gi¸c vu«ng (hc dïng tam gi¸c ®ång d¹ng) ta suy AA1 = xy Ta cã HK = AA1 = xy Hai tam gi¸c AHK vµ ABC ®ång d¹ng víi tû sè HK/BC = xy /(x+y) ®ã r’/r = xy /(x+y) ¸p dơng bÊt ®¼ng thøc C«-si ta cã xy ≤ (x+y)/2 DÊu b»ng x¶y x = y Suy gi¸ trÞ lín nhÊt cđa r’/r lµ 1/2 2) Ta cã ∠HKA1 = ∠HAA1 = ∠ACB Tõ ®ã suy ∠HKC + ∠HBC = ∠HKA1 + ∠A1KC + HBC = ∠ACB + 900 + ∠HBC = 1800 Suy tø gi¸c BHKC néi tiÕp mét ®êng trßn TiÕp tơc ¸p dơng tÝnh chÊt tam gi¸c ®ång d¹ng ta tÝnh ®ỵc x x y y , BH = x , AK = x , CK = y x+ y x+ y x+ y x+ y AH = y Gäi I lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c BHKC vµ M, N lµ h×nh chiÕu cđa I lªn AB, AC  y y  1 x R = IB = IM + BM =  x + y + x ÷   x+ y ÷ x+ y  x+ y  2 x2 y y x y3 y3 x + 3xy + y + + + = x+ y x+ y x+ y x+ y t¬ng øng th× Suy 2 2  ÷ ÷ =  R = x + xy + y / C©u 1) Cho ®êng trßn (C) t©m O vµ mét ®iĨm A n»m ®êng trßn Mét ®êng th¼ng qua A c¾t (C) t¹i M vµ N Chøng minh r»ng ®êng trßn (C’) qua O, M, N lu«n ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh kh¸c O 2) Cho ®êng trßn (C) t©m O lµ ®êng th¼ng (D) kh«ng c¾t (C) I lµ mét ®iĨm di ®éng trªn (D) §êng trßn ®êng kÝnh IO c¾t (C) t¹i M vµ N Chøng minh r»ng ®êng th¼ng MN lu«n ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh Lêi gi¶i: 1) Gäi (C’) lµ ®êng trßn qua O, M, N KỴ OA nèi dµi c¾t (C’) t¹i B Ta cã ∠OBN = (1/2) cung (ON) = (1/2) cung (OM) =∠MNO = ∠ANO Tõ ®ã suy hai tam gi¸c ONB vµ OAN ®ång d¹ng Do ®ã ON/OB = OA/ON => OB = ON 2/OA => ®iĨm B lµ ®iĨm cè ®Þnh 2) H¹ OP vu«ng gãc víi (D) th× P cè ®Þnh vµ n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh IO Gi¶ sư MN c¾t OP t¹i A T¬ng tù nh trªn, hai tam gi¸c OAN vµ ONP ®ång d¹ng, tõ ®ã OA/ON = ON/OP => OA = ON2/OP => A lµ ®iĨm cè ®Þnh B¶n tin To¸n häc (Bé m«n To¸n trêng PTNK) – sè 02 – -6 C©u 1) Trªn b¶ng vu«ng 4x4 cã ghi sè vµ sè Víi mçi phÐp biÕn ®ỉi b¶ng cho phÐp thay tÊt c¶ c¸c sè trªn cïng mét hµng hc cïng mét cét thµnh c¸c sè vµ c¸c sè thay b»ng c¸c sè Hái sau mét sè h÷u h¹n c¸c phÐp biÕn ®ỉi b¶ng, cã thĨ ®a b¶ng ®· cho vỊ b¶ng gåm toµn sè ®ỵc kh«ng? 2) ë v¬ng qc “S¾c mµu kú ¶o” cã 13 hiƯp sÜ tãc ®á, 15 hiƯp sÜ tãc vµng vµ 17 hiƯp sÜ tãc xanh Khi hai hiƯp sÜ kh¸c mµu gỈp nhau, tãc cđa hä biÕn sang mµu thø ba (vÝ dơ nÕu hiƯp sÜ tãc ®á gỈp hiƯp sÜ tãc xanh th× c¶ hai sÏ biÕn thµnh hiƯp sÜ tãc vµng) Hái sau mét sè h÷u h¹n lÇn gỈp nh vËy, cá thĨ x¶y ta trêng hỵp ë v¬ng qc “S¾c mµu kú ¶o” tÊt c¶ c¸c hiƯp sÜ ®Ịu cã cïng mµu ®ỵc kh«ng? Lêi gi¶i: 1) Gäi S(n) lµ tỉng sè sè sau lÇn biÕn ®ỉi b¶ng thø n Ta cã S(0) = Mçi lÇn biÕn ®ỉi b¶ng, gi¶ sư trªn dßng ta chän cã k sè vµ 4-k sè Sau biÕn ®ỉi, ta cã k sè vµ 4-k sè Nh vËy S(n+1) = S(n) + - k - k = S(n) + 2(2-k) Nh thÕ, S(n+1) vµ S(n) cã cïng tÝnh ch½n lỴ Do S(0) = lỴ nªn S(n) lỴ víi mäi n, tøc lµ ta kh«ng thĨ biÕn ®ỉi vỊ b¶ng cã toµn sè 2) Ta gäi D(n), V(n), X(n) lÇn lỵt lµ sè hiƯp sÜ tãc ®á, vµng, xanh t¬ng øng sau lÇn gỈp thø n vµ ®Ỉt S(n) = V(n) + 2X(n) Ta cã S(0) = 15 + 2.17 = 49 + Khi hai hiƯp sÜ ®á vµ vµng gỈp nhau, tãc hä ®ỉi sang mµu ®á, ®ã S(n+1) = V(n) - + 2(X(n)+2) = S(n) + + Khi hai hiƯp sÜ ®á vµ xanh gỈp nhau, tãc hä ®ỉi sang mµu vµng, ®ã S(n+1) = V(n) + + 2(X(n)-1) = S(n) + Khi hai hiƯp sÜ vµng vµ xanh gỈp nhau, tãc hä ®ỉi sang mµu ®á, ®ã S(n+1) = V(n) - + 2(X(n)-1) = S(n) - Nh vËy S(n+1) lu«n cã cïng sè d víi S(n) phÐp chia cho V× S(0) chia d nªn S(n) chia d víi mäi n Do ®ã kh«ng thĨ x¶y trêng hỵp sau mét sè h÷u h¹n lÇn gỈp nhau, tÊt c¶ c¸c hiƯp sÜ ®Ịu cã cïng mµu tãc (v× ®ã S sÏ chia hÕt cho 3!) Lời giải nhận xét đề toán số (9/2003) Bài 1: Tìm 12 số nguyên dương có tổng tích Lời giải: Gọi 12 số nguyên dương cần tìm a1, a2, …, a12 Theo giả thiết ta có: a1 + a2 + … + a12 = a1.a2…a12 (*) Không tính tổng quát ta giả sử: a1 ≥ a2 ≥ … ≥ a12 Khi ta có: VT ≤ 12a1, suy a1.a2…a12 ≤ 12.a1 Từ đđó a2.a3…a12 ≤ 12 (**) Với ≤ i ≤ ta có: ai4 ≤ aii-1 = a2.a3…ai ≤ a2.a3…a12 ≤ 12 => = Vậy = với i = 5, …, 12 Thế vào (*) ta có: a1 + a2 + a3 + a4 + = a1.a2.a3.a4 Thế vào (**): a2.a3.a4 ≤ 12, suy ra: a43 ≤ 12 nên a4 ≤ + Nếu a4=2: Ta có ≥ với i = 1, 2, VT ≤ 4.a1+8 ≤ 4.a1+ 4.a1 = 8a1 ≤ a1.a2.a3.a4 =VP Dấu xảy a1 = a2 = a3 = Như trường hợp ta có nghiệm: a i =1 với i=5, …, 12 = với i = 1, …, B¶n tin To¸n häc (Bé m«n To¸n trêng PTNK) – sè 02 – -7 + Nếu a4 =1 ta có: a1 + a2 + a3 + = a1.a2.a3 Thế vào (**), suy ra: a2.a3 ≤ 12 Từ đó: a32 ≤ 12 nên a3 ≤ + Nếu a3 = : Ta có a1, a2 ≥ VT ≤ 3.a1 + ≤ 3.a1 + 3.a1 = 6.a1 < 9a1 ≤ a1.a2.a3 =VP (loại) + Nếu a3 =2: Ta có: a1 + a2 + 11 = 2.a1.a2 ⇔ (2.a1-1).(2.a2-1) = 23, nên 2a1 - = 23 2a2 - = => a1 = 12, a2 = (loại a2 ≥ 2) + Nếu a3 =1 ta có: a1 + a2 +10 = a1.a2 ⇔ (a1-1).(a2-1)=11 ⇔ a1 - = 11 a2 – =  a1 = 12 a2 = Như ta có nghiệm =1 với i = 3, 4, …, 12, a2 = a1 =12 Vậy toán có nghiệm: 1) a(i) =1 với i = 5, …, 12 a1 = a2 = a3 = a4 =2 2) =1 với i = 3, 4, …, 12, a2 = a1 =12 Nhận xét: 1) Đâây toán đơn giản bạn làm quen với phương trình nghiệm nguyên Nhìn chung bạn tham gia gửi giải tốt có hướng giải giống Tuy nhiên, phần trình bày nhiều rườm rà chưa rõ ý 2) Dựa vào cách giải đây, đưa số đánh giá cho toán tổng quát: Tìm n số nguyên dương có tổng tích (Bài toán A(n)) Ví dụ: (i) Bài toán A(n) có nghiệm (hãy nghiên cứu kỹ nghiệm trả lời sao?) (ii) Nếu a1, a2, …, an nghiệm A(n) a1 + a2 + …+ an ≤ 2n (iii) Nếu n ≤ 2k - k có nhiều k số a i ≥ (như có n-k số 1) (iv) Tổng quát, n ≤ ak - (a-1)k có nhiều k số ≥ a 3) Các bạn sau có lời giải tốt: Nguyễn Anh Cường, Nguyễn Hành Trình, Võ Nguyễn Thuỷ Tiên, Lê Minh Huy (10 Toán), Nguyễn Thanh Bình (12 Toán) Bạn Phạm Văn Hồng Thắng (10 Toán) tìm nghiệm tổng quát cho trường hợp n bất kỳ, nhiên khẳng đònh bạn cho tất nghiệm toán thiếu xác Trần Vónh Hưng Bài : Cho a , b , c ≥ Chứng minh :  a+b b+c c+a a b c + + ≥  + + c a b c+a a+c  b+c  ÷ ÷  Lời giải : Cách 1: (Của bạn Võ Nguyễn Thuỷ Tiên số bạn khác) B¶n tin To¸n häc (Bé m«n To¸n trêng PTNK) – sè 02 – -8 Với x , y > ta có bất đẳng thức sau : 1 + ≥ x y x+ y x+ y ≥ x+ y i ( ii ) Thật : 1 + ≥ ⇔ ( x + y ) ≥ 4.x y ⇔ ( x − y ) ≥ x y x+ y x+ y ≥ x + y ⇔ 2.( x + y ) ≥ x + y ⇔ ( ) ( ) ( x− y ) ≥0 Do ta có bất đẳng thức i ii : a b  a b a+b = c + c ≥  c + c ÷÷  c  b c  b c + ≥  + ÷ Tương tự : a a  a  c a  c a + ≥  + ÷ b b b÷  b   a a  b b  c c  a+b b+c c+a  + + + + + ≥ + + ÷  ÷  ÷ (*) Suy :   c÷ b÷  b c a b   c   a   1 2 + ≥ ≥ Áp dụng ii i ta có : b c b+ c b+c Áp dụng i ta có : Suy : Tương tự : Suy : a a a + ≥ 2 c b b+c b b b + ≥ 2 c a c+a b b b + ≥ 2 c a c+a  a a  b b  c c + +  + +  +  ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ c  c a  a b÷  b   a b c  ≥ 2  + + ÷ (**) c+a a+c ÷  b+c  Từ (*) (**) ta có bất đẳng thức đề  a+b b+c c+a a b c  + + ≥  + + ÷ c a b c+a a+c ÷  b+c  Dấu “=” xảy : a = b= c Cách 2: (Của bạn Nguyễn Hành Trình) Không tính tổng quát giả sử a ≥ b ≥ c Bất đẳng thức cho tương đương với: B¶n tin To¸n häc (Bé m«n To¸n trêng PTNK) – sè 02 –  a+b c   b+c a   c+a b −2 + − + −  ÷  ÷    c a+b ÷ a b+c ÷ b c+a      a + b − 2c b + c − 2a c + a − 2b ⇔ + + ≥0 c( a + b) a(b + c) b(c + a ) -9  ÷ ÷≥  Từ a ≥ b ≥ c suy a + b - 2c ≥ c(a+b) = ac + bc ≤ b(a+c), từ a + b − 2c a + b − 2c ≥ c ( a + b) b( a + c ) Tương tự, b+c -2a ≤ a(b+c) ≥ b(c+a) nên b + c − 2a b + c − 2a ≥ a (b + c ) b( a + c ) Từ suy a + b − 2c b + c − 2a c + a − 2b a + b − 2c b + c − 2a c + a − 2b + + ≥ + + =0 c ( a + b) a (b + c) b (c + a ) b (c + a ) b (c + a ) b (c + a ) điều cần chứng minh Dấu xảy a = b = c Nhận xét: 1) Đây đề toán thú vò bất đẳng thức Việc nhiều bạn giải cho thấy kỹ giải toán bất đẳng thức học sinh Việt Nam nói chung học sinh trường ta nói riêng tốt 2) Các bạn sau có lời giải tốt: Lê Minh Huy, Phan Văn Hồng Thắng (10 Toán) 3) Bạn Nguyễn Anh Cường (10 Toán) đưa chứng minh toán tổng quát “Với số nguyên dương m ≥ 2, n ≥ n số dương a1, a2, …, an ta có bất đẳng thức m  a2 + + an a + a + + an a + + an −1 an a1 +m + + m ≥ (n − 1)  m + + m  a1 a1 an a1 + + an −1  a2 + + an  (2) ÷ ÷ T  uy nhiên, lời giải, bạn phạm sai lầm biến đổi Bất đẳng thức (2) thực không Lấy ví dụ cho tất (2) tương đương với n m n − ≥ (n − 1)n m ⇔ m n −1 ≥ n −1 n −1 Bất đẳng thức cuối m = n = Lời giải bạn Cường trường hợp m = (trường hợp n = hiển nhiên ta có đẳng thức) 4) Bạn Nguyễn Thanh Bình (12 Toán) đưa chứng minh toán tổng quát Bất đẳng thức bạn Bình bất đẳng thức (2) thay n-1 vế phải (n-1)2/m Cách giải dùng bất đẳng thức Bunhiacopsky mở rộng Các bạn thử sức xem Nguyễn Tiến Khải B¶n tin To¸n häc (Bé m«n To¸n trêng PTNK) – sè 02 – - 10 Cïng gi¶i to¸n Mêi c¸c b¹n tham gia gi¶i to¸n cïng víi B¶n tin To¸n häc SÏ cã nh÷ng phÇn quµ hÊp dÉn dµnh cho c¸c b¹n gi¶i ®óng vµ sím nhÊt cho b¶n tin Khi ®Ị xt c¸c bµi to¸n, chóng t«i cè g¾ng ghi râ xt xø cđa bµi to¸n Trong trêng hỵp kh«ng râ xt xø, chóng t«i dïng tht ng÷ “D©n gian” PhÇn thëng th¸ng sÏ ®ỵc trao cho c¸c b¹n: Vâ Ngun Thủ Tiªn, Ngun Hµnh Tr×nh, Lª Minh Huy vµ Ngun Thanh B×nh C¸c b¹n liªn hƯ víi thÇy Nam Dòng vµo c¸c s¸ng thø n¨m ®Ĩ nhËn quµ Bµi 1: Cho a, b, c, d , m số tự nhiên a + d , (b-1).c , a.b – a + c chia hết cho m Chứng minh a.bn + c.n + d chia hết cho m với số tự nhiên n Ngun TiÕn Kh¶i Bµi 2: Cho {Hn} lµ d·y sè Fibonacci tỉng qu¸t, tøc lµ H 1, H2 lµ c¸c sè nguyªn bÊt kú vµ víi n > th× Hn = Hn-1 + Hn-2 a) H·y t×m T, phơ thc vµo H1 vµ H2 cho c¸c sè H2nH2n+2+T, H2nH2n+4 + T, H2n-1H2n+1 - T, H2n-1 H2n+3 - T ®Ịu lµ c¸c sè chÝnh ph¬ng b) Chøng minh T lµ nhÊt TrÝch tõ t¹p chÝ AMM Bµi 3: Cho n ≥ vµ n sè thùc kh«ng ©m x1, x2, …, xn tho¶ m·n ®iỊu kiƯn x1 + …+ xn = T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc n S = ∑ ( xi4 − xi5 ) i =1 Chän ®éi tun Trung Qc 1999 Bµi 4: Cho a lµ sè nguyªn Chøng minh r»ng mäi íc nguyªn tè cđa a 2.6 − a + ®Ịu cã d¹ng 6n+1.k+1 (n lµ sè nguyªn d¬ng) Ngun Thµnh Nh©n n n Bµi 5: Lơc gi¸c låi ABCDEF cã ABF lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i A BCEF lµ h×nh b×nh hµnh AD = 3, BC = 1, CD + DE = 2 TÝnh diƯn tÝch lơc gi¸c D©n gian Tiếng Anh qua toán: Bài số Problems 2: Does there exist a function f: R  R such that f(f(x)) = x2 – for all real x? Solution: No In fact, we prove a more general noexistence theorem Suppose X a set, g: X  X has exactly two fixed points {a, b} and gog has exactly four fixed points {a, b, c, d} Then there is no function f: X  X such that g = fof We first prove that g(c) = d and g(d) = c Suppose g(c) = y Then c = g(g(c)) = g(y), and hence g(g(y)) = g(c) = y Thus y is a fixed points of gog If y = a, then we see that a = g(a) = g(y) = c leading to a contradiction Similarly y = b forces b = c If y = c, then c = g(y) = g(c), so that c is one of a, b Thus the only possibility is y = d, giving g(c) = d A similar analysis gives g(d) = c Suppose there exists a function f: X  X such that g(x) = f(f(x)) for all x ∈ X Then it is easy to see that f(g(x)) = g(f(x)) for all x ∈ X Let x0 ∈ {a, b} Then f(x0) = B¶n tin To¸n häc (Bé m«n To¸n trêng PTNK) – sè 02 – - 11 f(g(x0)) = g(f(x0)), so that f(x0) is a fixed point of g Hence f(x0) ∈ {a, b} Similarly, it is easy to show that x1 ∈ {a, b, c, d} implies that f(x1) ∈ {a, b, c, d} Consider f(c) This lies in {a, b, c, d} If f(c) = a then f(a) = f(f(c)) = g(c) = d, a contradiction since f maps {a, b} into itself Similarly, f(c) = b gives f(b) = d, which is impossible If f(c) = c, then c = f(c) = f(f(c)) = g(c) = d from our earlier observation This contradicts the distinctness of c and d If f(c) = d then f(d) = f(f(c)) = g(c) = d and this gives g(d) = f(f(d)) = f(d) = d contradicting our observation that g(d) = c Thus g(c) cannot be an element of {a, b, c, d} We conclude that there is no function f: X  X suc that g = fof We now use the above result to show that there is no function f: R  R such that f(f(x)) = x2 – Consider g(x) = x2 – It has two fixed points 2, -1 and gog has four fixed points (-1±√5)/2, 2, -1 Hence there is no function f such that g = fof and this proves our assertion B¶n tin ®· nhËn ®ỵc bµi viÕt cđa c¸c b¹n: Ngun Thµnh Nh©n, Ngun §¨ng Khoa Chóng t«i sÏ nghiªn cøu sư dơng c¸c sè b¸o sau RÊt mong nhËn ®ỵc sù ®ãng gãp cđa c¸c b¹n BẢN TIN TOÁN HỌC – SỐ 02 (Ấn lưu hành nội môn Toán – Trường Phổ thông Năng khiếu thực hiện) CHỦ NHIỆM: Trần Nam Dũng – Trònh Thanh Đèo BAN BIÊN TẬP: Trần Nam Dũng, Trònh Thanh Đèo, Lê Minh Tuấn, Trần Vónh Hưng, Nguyễn Tiến Khải