Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán Video giảng lời giải chi tiết có THỦ THUẬT CASIO GIẢI PTVT MỘT CĂN THỨC NÂNG CAO (Bùi Thế Việt – Vted.vn) C – BÀI TẬP Bài Giải phương trình : x  11x  16   x  16  x  Bài Giải phương trình : x  x  11   x   x  Bài Giải phương trình : x3  x  x    x  3 x  Bài Giải phương trình : 24 x  69 x  42 x  54  33 x x  x   Bài Giải phương trình : x  26 x  19  15 x  17  x  x    Bài Giải phương trình : x  54   x  x   48  x  x   Bài Giải phương trình : x3  x  x    x  3 x  Bài Giải phương trình : x    x   x  x  Bài Giải phương trình : x3  x   x  x   x  x  Bài 10 Giải phương trình : x3  x    x  1 x    Bài 11 Giải phương trình : x  x  10 x  19  x3  x  13  x2  x   Bài 12 Giải phương trình : x  x  13 x  16  x  x   Bài 13 Giải phương trình : x  x  x   x  x  Bài 14 Giải phương trình : x  x   x   Bài 15 Giải phương trình : x  x  x   x  x   Bài 16 Giải phương trình : 16 x  40 x3  49 x  x  25  24 x x  Bài 17 Giải phương trình : x  18 x  x  82  4 x  Bài 18 Giải phương trình : x  x   4 x  Bài 19 Giải phương trình : x3  x    x  1 x  x   Bài 20 Giải phương trình : x  x  x   x   BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình facebook.com/viet.alexander.7 Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán Video giảng lời giải chi tiết có D – ĐÁP ÁN Bài Giải phương trình : x  11x  16   x  16  x  Hướng dẫn : Bước : Tìm nghiệm :  6   0; ;    15 Bước : Tìm nhân tử :  Bước : Chia biểu thức : x    8  x    1 chứa nghiệm 0;     15   6   x   x  chứa nghiệm       Kết luận : x  11x  16   x  16  x  x2 1  x   x  11x  16   x  16  x    x2   x  Đáp số : x  x   1  x2   2x   x  x  11   x   x  Hướng dẫn : Tương tự trước ta có : 11 Bước : Tìm nhân tử : Kết luận :  6  x  15 Bài Giải phương trình : Bước : Chia biểu thức : x2   x  x   13 x  x  x  11   x   x  11 x   13 x    x  x2 1 x  x  11   x   x      11 x   13 x  x  x   BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình facebook.com/viet.alexander.7 Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán Video giảng lời giải chi tiết có Đáp số : x   17 x   Bài Giải phương trình : Hướng dẫn : Tương tự trước ta có : Bước : Tìm nhân tử : Bước : Chia biểu thức : x  x  x    x  3 x    x2   ; x  x  x    x  3 x   Kết luận : x2      2x2 1  Đáp số : x   x  1  Bài Giải phương trình : Bước : Chia biểu thức : Kết luận :     x  x   3x  ;  x2  x   x  24 x3  69 x  42 x  54  33 x x  x  x  x   3x  2  Đáp số : x   x  x   3x  x  2x   x  Hướng dẫn :     5 x   x  x    x2  x   x  5x   x2  x   x  1 x  3  Bài Giải phương trình :  24 x3  69 x  42 x  54  33 x x  x   24 x3  69 x  42 x  54  33 x x  x    2x 1  2x2 1  2 x2 1  x  2x   x2 1  Hướng dẫn : Tương tự trước ta có : Bước : Tìm nhân tử :  x2   x  x  x  x    x  3 x    x2 1  x  x  26 x  19  15 x  17  x  x  BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình facebook.com/viet.alexander.7 Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán Video giảng lời giải chi tiết có Bước : Tìm nghiệm :  3  ;  ;   5    Bước : Tìm nhân tử : Chọn cặp để lấy nhân tử :     8  5  3 Cách :  ;   13 x  x   x  14  5 3 8 Cách :  ;    x  x   5 5 Cách :  ;    x  x   x    Bước : Chia biểu thức :  Cách :  Cách :  Cách : x  26 x  19  15 x  17  x  x  x  x   3x  5 x  26 x  19  15 x  17  x  x  13 x  x   x  14  Cách : Cách : x  x 1   4 x   x  x   3 x   x  x  x  26 x  19  15 x  17  x  x      x2  x   x  x  x   3x   x  26 x  19  15 x  17  x  x    13 x  x   x  14  x   x  5 Bài Giải phương trình : Hướng dẫn : Tương tự trước ta có : Bước : Tìm nhân tử :    x2  x   x   x  26 x  19  15 x  17  x  x   x2  x   Đáp số : x    3 x   x  x  x  26 x  19  15 x  17  x  x  Kết luận :  Cách :    x  x   3x   x   x3  54   x   48  x  x    BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình facebook.com/viet.alexander.7 Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán Video giảng lời giải chi tiết có  60 Bước : Chia biểu thức : Kết luận :  60  x  x   73 x  48 ; x2  x   x  x   x3  54   x   48  x  x    x  x   73 x  48  x2  x   x     2x   x2  x  26 x   x3  54   x   48  x  x     60 x  x   73 x  48 x2  x   x  x2  x   x   26 84 12 23  61 Đáp số : x   x   x  19   Bài Giải phương trình : Hướng dẫn : Tương tự trước ta có :  x3  x  x    x  3 x3   Bước : Tìm nhân tử : Bước : Chia biểu thức :  x3   x  x  x  x    x  3 x3  x   2x  Kết luận : Đáp số : x  Bài Giải phương trình : Hướng dẫn : Tương tự trước ta có : Bước : Tìm nhân tử : Bước : Chia biểu thức :  x   x3  x3  x  x    x  3 x        x3   x   x3   x   x2    x  4 x2  x   x  3x   x  ; x  3x   3x x    x   x  3x   x  x   x  2 x  3x   x BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình   1 facebook.com/viet.alexander.7 Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán Video giảng lời giải chi tiết có Kết luận : x2    x   x2  3x   Đáp số : x    11  85 6  14 x  Bài Giải phương trình : x3  x   x  x   x  x  Hướng dẫn : Tương tự trước ta có : 2 Bước : Tìm nhân tử : Bước : Chia biểu thức : Kết luận :  x2  x   x  x3  x   x  x   x  x  Bước : Để ý :  x  x   x  2 x2  3x   3x  x  x 1  x 1  3 x  x   x  x  x  x   x  x   x  x    x  1  x3  x   x  x   x  x      x  x   x  3x2  5x   x2  x   Đáp số : x  32 32 x  3 Bài 10 Giải phương trình : Hướng dẫn : Tương tự trước ta có : x3  x    x  1 x    Bước : Tìm nhân tử : Bước : Chia biểu thức : x3  x    x  1 x  Bước : Để ý : x   2x  2x  x    x  4 Kết luận : x 1  2   x2   x   2 x  x    x   x   1  x   x    x    x2    2  BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình 2 facebook.com/viet.alexander.7 Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán Video giảng lời giải chi tiết có x3  x    x  1 x    Đáp số : x     x2   x  x2  x    x  4 x2   Bài 11 Giải phương trình :  x  x  10 x  19  x3  x  13 Hướng dẫn : Tương tự trước ta có : Bước : Tìm nhân tử : Bước : Chia biểu thức :  x  x  10 x  19  x3  x  13 Bước : Để ý :   x  x 1 1  x2  x   x2  x   Phương trình x  x  x  16  x  Phương trình x  x  x  16  x    x  x   có nhân tử :  x  x  x  16  x   x  x 1  2 x  x    x  2    x2  x  1  21   x2  x    x  2 x2  x  2   x2  x   Bài 12 Giải phương trình : x2  x   x2  x  x  x  10 x  19  x  x  13 Đáp số : x  2 x  x2  x    1 5 35 x  x    x2  x   x    x  x 1  0 2 2  x  x   có nghiệm x  x  x   có nhân tử : Bước : Chia biểu thức :   x  x   vô nghiệm  Suy x  x  x  16  x  Kết luận :    x  x  x  16  x   Suy x  x  x  16  x  Bước : Để ý : x2  x        x2  x     x2  x   x2  x    x  2 x2  x   x3  x  13 x  16  x  x   BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình facebook.com/viet.alexander.7 Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán Video giảng lời giải chi tiết có Hướng dẫn : Bước : Tìm nghiệm x  Đổi dấu trước cho nghiệm lẻ x  5.2179238 Bước : Kiểm tra nghiệm bội : x  x  13 x  16  x  x  0 x 1 x 1 lim lim x 1 lim x 1 x  x  13 x  16  x  x    x  1 x  x  13 x  16  x  x  Vậy PT cho có nghiệm bội ba x  Bước : Tìm nhân tử :  x  1 0   x  x   ax  bx  c chứa nghiệm bội ba x     2x  3 a   d    2 dx  x  x      x 1   d Khi b   x2  3x   2a  Vậy nhân tử : dx x 1   15 c  1  a  b       8 Bước : Để ý : x  x   x  10 x  15    x3  x  13 x  16  x  x    x  1  x  x   x  10 x  15  x  x  13x  16  8 x  3x      20  x  10 x  15  3 x    0 3   3 2 27  11 0 x 27 2 x  3x   x  10 x  15  Kết luận :  x  11  x  21x  40   2 311  x  x  1 x  x   x  10 x  15  x3  x  13 x  16  x  x      x  1  x  x   x  10 x  15  BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình facebook.com/viet.alexander.7 Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán Video giảng lời giải chi tiết có   311  x  0   x  1 1   x  x   x  10 x  15    Đáp số : x  Bài 13 Giải phương trình : x3  x  x   x  x  Hướng dẫn : Bước : Tìm nghiệm : 5  1;0;   3    Bước : Tìm nhân tử : 5  x  x   ax  bx  c chứa nghiệm ba nghiệm 1;0;   3   a     1  a  b  c     Khi 1  c   b  Vậy nhân tử :  29 25    c  1 a bc0 9   2 Bước : Để ý :     x4  x   x2  x    x3  x  x   x  x   x  x  1 x    x  x   x  x  1  x  x2x   0 2  2 x  x 1  x  x   Ta có : x  x   x  1 x4  x   x2  x  2 x4  x   x2  5x   4x    x   x  1   x  1  x  x  2  3x   x  5x   3x   x  x    x  1  Kết luận : Cách : BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình facebook.com/viet.alexander.7 Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán Video giảng lời giải chi tiết có  x3  x  x   x  x   x  x  1 x    x  x   x  x     4x  x  x  1 x   1  0  x4  x   x2  x        x  x  1 x   x  x   x  x   Cách : x3  x  x   x  x    3x3  x  x      64 x  x   x  36 x5  82 x  60 x3  177 x  80 x   x  3x  16  x  5 x  1  Đáp số : x  x  x   Bài 14 Giải phương trình : x4  5x   x4   Hướng dẫn : Bước : Tìm nghiệm : x  Phương trình đổi dấu có nghiệm lẻ Bước : Kiểm tra nghiệm bội : x4  5x   x4  0 x 1 x 1 lim lim x 1 Vậy PT có nghiệm kép x  Bước : Tìm nhân tử :   d  x4  a   Khi :  dx b  2  a  1    x  1 29   x 1  1 Vậy nhân tử :    x  x   x  x   x  1   x4   x  x4  5x   x4   x4  x    x   ax  b chứa nghiệm kép x  Bước : Để ý :  x4  5x   x4  BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình  x4   x  facebook.com/viet.alexander.7 10 Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán Video giảng lời giải chi tiết có  x4   Kết luận :  x  1    x  x   x  1  x   x    x    x  x    x  1  x  1 x4  5x   x4   x4  5x    x4  5x   x   x4 Đáp số : x  Bài 15 Giải phương trình : 2   x  x   x  1 2 0 x  x3  x   x  x   Hướng dẫn : Bước : Tìm nghiệm : x  Phương trình đổi dấu có nghiệm lẻ Bước : Kiểm tra nghiệm bội : x  x  x   x6  x  0 x 1 x 1 lim lim x 1 x  x  x   x6  x   x  1 Vậy PT có nghiệm kép x   Bước : Tìm nhân tử :   x 1   2 Bước : Để ý :    47 Vậy nhân tử : x6  x   x    x  x3  x   x  x   x  x3  x   x  x   x    x  x3  x   x  x   x  1   x  x  x   2 x  x    x  x  x  36  40    Suy :  x  3 x   x    2  x    x  x   ax  b chứa nghiệm kép x  d  a   dx x  x  Khi :  b  1  a    2 x6  x   2x     x   x  x   x  1  x  x   x3  x  2 x3  x   x   2 x   x  1  x  Kết luận :   Ta có : x  x  x   2 x  x     x  3 x   x   40   x  2 BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình facebook.com/viet.alexander.7 11 Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán Video giảng lời giải chi tiết có x  x3  x   x6  x   x  x3  x    2x   x  x  x   x3  x     x  x   x  1  Đáp số : x      x   x  x   x  1 2 Bài 16 Giải phương trình : 16 x  40 x3  49 x  x  25  24 x x  Hướng dẫn : Bước : Tìm nghiệm : x  Phương trình đổi dấu vô nghiệm Bước : Kiểm tra nghiệm bội : 16 x  40 x  49 x  x  25  24 x x  0 x 1 4x  lim lim x 1 16 x  40 x  49 x  x  25  24 x x  Vậy PT có nghiệm kép x   Bước : Tìm nhân tử :  x  5  x   ax  b chứa nghiệm kép x  3 Bước : Chia biểu thức : x2   5x  16 x  40 x  49 x  x  25  24 x x  x   5x  Bước : Chú ý :   2  Ta nhân tử :     5 x  x  x   x   x  x  x    x  1 x  x    0 x2   x  x  x    x  1   x  1 x  15 x   Kết luận : Ta có :   16 x  40 x  49 x  x  25  24 x x     x   x  x3  x  x   x    Nếu x  : x  x  x    x  1 x  x    Suy :   x3  x  3x   x2  BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình  x2   x2   facebook.com/viet.alexander.7 12 Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán Video giảng lời giải chi tiết có   x2    x   x2  Nếu x  1 :  x   3  x  1  Lại có : x  x  x    x  1   x  1 x  15 x    0x  1 Vậy : Đáp số : x    x3  x  3x   x2  Bài 17 Giải phương trình : x2   x  18 x  x  82  4 x  Hướng dẫn : Bước : Tìm nghiệm : x  Phương trình đổi dấu vô nghiệm Bước : Kiểm tra nghiệm bội : x  18 x  x  82  4 x  lim 0 x 3 x3 lim x 3 Vậy PT có nghiệm kép x    x  3  Bước : Tìm nhân tử : x  18 x  x  82  4 x  2  291 x   ax  b chứa nghiệm kép x  Ta nhân tử : 4 Bước : Chú ý :  x   x 1    x  18 x  x  82  4 x   x  18 x  81  4 x   x   44 x    x  18 x  81   x    x  3 Kết luận : Ta có :  x  1  2   x  10 x  57  x  3  x   x  (vì x  ) x  18 x  x  82  4 x  2    x  18 x  x  82   x  1  x  10 x  57  x    x  18 x  x  82  x   x  18 x  81 Đáp số : x    x    x  3  Bài 18 Giải phương trình : Hướng dẫn : 2 2 x3  x   4 x  Bước : Tìm nghiệm : x  2 Phương trình đổi dấu có nghiệm lẻ BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình facebook.com/viet.alexander.7 13 Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán Video giảng lời giải chi tiết có Bước : Kiểm tra nghiệm bội : x3  x   4 x  lim 0 x 2 x2 lim x 2 lim x 2 Vậy PT có nghiệm bội ba x  2  Bước : Tìm nhân tử :       x  2 2 x3  x   4 x   4  x  2 0  13 x   ax  bx  c chứa nghiệm bội ba x  2 Ta nhân tử : Bước : Chú ý :  x3  x   4 x  x   x  24 x  24   x3  x   4 x   x  12 x  24 x  16  4 x   x  24 x  24 x3  12 x  24 x  16  2 x    f  x   4 x   x  24 x  24 f ' x   f ''  x     2x x2   x2  x 3x  x f '''  x   x 2  10 x  24 3   18 3    10 11 Kết luận : ĐKXĐ : x  x   TH1 : x   Xét hàm số f  x   4 x   x  24 x  24 với x   Khi : f '  x   x 2x 3   10 x  24  f ''  x    x2  x 3   10  f '''  x   24 Vậy f '''  x    f ''  x   có tối đa nghiệm Chỉ nghiệm x  2 Vẽ BBT cho f ''  x  ta thấy đổi dấu từ dương sang âm qua x  2  x x x  18 3   11 Lại thấy f  2    f  x  đổi dấu từ dương sang âm qua x  2 Vậy ta có 4 x   x  24 x  24 ngược dấu với  x   Suy : BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình facebook.com/viet.alexander.7 14 Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán Video giảng lời giải chi tiết có x3  x   4 x   x3  12 x  24 x  16  4 x   x  24 x  24   x    4 x   x  24 x  24  x    x  2 TH2 : x  Khi :  11  2x  x   x   2x  x   x   x2    2  17  x3  x   x   x  3 x  10 x  11  0 2 Đáp số : x  2 Bài 19 Giải phương trình :  4  x3  x    x  1 x  x   Hướng dẫn : Bước : Tìm nghiệm : x  1 Phương trình đổi dấu có nghiệm lẻ Bước : Kiểm tra nghiệm bội : x3  x    x  1 x  x   x 2 x2 Vậy PT nghiệm bội lim x  Bước : Chú ý :   x   x  1   2  x  x  x   1  x  x Ta có : x  x   1  x  x  1  x  x2  x  x   x  3x  1 x3  x    x  1 x  3  x  x  1 Kết luận :   Khi đó, x2  x   1  x  x2   x  3 2  x2  x   x  1  x2  x   x  1   x  1  x   x  , suy : x3  x    x  1 x  x   x  x    x  1 x  3  x  x  1  Đáp số : x  1 Bài 20 Giải phương trình : Hướng dẫn : x5  x  x   x   Bước : Tìm nghiệm : x  Phương trình đổi dấu có nghiệm lẻ BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình facebook.com/viet.alexander.7 15 Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán Video giảng lời giải chi tiết có Bước : Kiểm tra nghiệm bội : x5  x  x2   x2  0 x 0 x lim x5  x  x2   x2  0 x 0 x2 lim x5  x  x2   x2  0 x 0 x3 lim x5  x  x2   x2  0 x 0 x4 lim x5  x  x2   x2  1 x 0 x5 Vậy PT có nghiệm bội năm x  (sợ chưa !!!) lim Bước : Chú ý :  x5 chứa nghiệm bội năm x   x  4x   x     13  x  3x   3 x     2    x  x   x   phải chứa nghiệm bội năm x  2  x 1    x 1 1   15   x  x4x    2  Kết luận : Ta có :  x2    x2    x5  x  x   x    x5   x2                x5 3x  3x   x  x  BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình  x2     x x2     x 1   x2    Đáp số : x  x6   x2   facebook.com/viet.alexander.7 16 Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán Video giảng lời giải chi tiết có E – BÀI ĐỌC THÊM PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔNG  f i  n ia Trên thực tế có nhiều phương pháp tính tổng, kể đến ứng dụng đạo hàm, tích phân, hàm sinh, số phức, tổ hợp, sai phân phần, … Tuy nhiên, viết không sâu vào phần tính tổng mà xây dựng vài phương pháp hay cho em THPT n Lưu ý :    Cni i  Ứng dụng đạo hàm : Ta có : n n n  x  k    xi k n i   i 0 i  Vậy đạo hàm vế, ta : n n n 1 n  x  k    ix i 1k n  i   i 0 i  Cho x  ta : n 1  k  Ví dụ : Tính tổng : Lời giải : n 1 n n   ik n i   i 0 i    1 i  i    1      3     1 n  n  n i i 0 Ta có :  x  1    1 n n n i i 0 Cho x  ta :   1 Nếu n chẵn  1 n i 0 n i n    n   n   n   n x i   Đạo hàm vế ta : i  n  x  1 n i   i  i   1 , suy : n i n 1    1 n i 0 n i i  n   n ixi 1   i  n n n n n i n i n n i  n              1 n      1 i      1 i    1  2 3   n  i 0  i  i 0 i  n i i Nếu n lẻ  1    1 , suy : n n n n n i n i  n n i  n              1 n      1 i      1 i    i 0 1  2 3   n  i 0 i  i  n  n n n i n i  n Kết luận :   1 i                1 n    i 0 i  1   2 3   n Ứng dụng tích phân : Ta có : BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình facebook.com/viet.alexander.7 17 Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán Video giảng lời giải chi tiết có x  k n Tích phân vế với cận từ a đến b ta : a  k  Ví dụ : Tính tổng :  b  k  n 1 n 1 n n   xi k n i   i 0 i  n 1  a i 1  b i 1 n  i  n  k   i 1 i 0 i  n  i   i      1          n   n  n n n     i 0 Lời giải : n   1n   n n     n n 1 n n n n 1 1  n n n Ta có :  x  1   x i      x  1    xi        0 n  n  i 0 i   i  i 0 i 0 i  i  Kết luận : n n n n  n  n 1                 n 1 n n 1   1      Ứng dụng số phức : Bằng việc khai triển số phức, có cách tính tổng toán dạng : n n  n  k n  1       k 0 k 0  k  m  k  m Ví dụ : Tính tổng : n  n   2n   n   n  k  2n  n  2n   1                  1    k 0  2k           2n  Lời giải : 2n  2n k  2n  1  i    i   2n  2n  k 0 2n 2n k  k  Ta có :   1  i   1  i      1 i k   2n k 0 k  2n  k    i 2n  i         k 0 k   Lại có : 2n n n n  k 2k k 1 k 1  n k  2n  k  2n  k  2n    i    i    i         1             k 0 k 0  k  k 0  2k  k 1  2k    2k  Vậy : n  1  i 2 n  1  i  n  k  2n    1    Re   k 0    2k      Nếu n chẵn : Nếu n lẻ : Kết luận : 1  i  1  i  2n 2n   1  i   1  i  2n 2n    n n n n k  2n    I    1  2n    1     1  n k 0  2k  n n n k  2n    I    1  2n I    1    k 0  2k  BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình facebook.com/viet.alexander.7 18 Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán Video giảng lời giải chi tiết có  n n   1  2n  n   1  2n 1    1  1     1  2n   k 0  2k  Ví dụ : Tính tổng : n  n  n n n  n n                    k   3i           12  n  Với    m  n m Lời giải : n  n n 1  1     k 0  k    n k n    n  Ta có : 1   i      i    Suy : 2 2 k      k    n k n    n  1   i       i   k   k 0      n n k  n n k k n  1   1       n     i    i   1    i    i    2   2  k    2   2    k  n     Lưu ý : Ta có    i    i   nên :  2   2  3     Nếu k  3t    i    i   2   2  k k     Nếu k  3t     i    i   1  2   2  k k     Nếu k  3t     i   i   1  2   2  k k n  n      n  n  3 Suy       i    i      3   hay : 2   2   k  k 0  k   3k     k k n n n n n  2n   1     i    i                3 2  3 2          12  Ví dụ : Tính tổng : n  n  n n n   n  n                    k   6i      12   18   24  n BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình n facebook.com/viet.alexander.7 19 Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán Video giảng lời giải chi tiết có n  Với    m  n m Lời giải : n  n k n       1   k 0  k  n n    Ta có : 1   i      2  k    n n    1   i         2  k    n i    Suy :  k k  n i    k  k k k k k n  3 1  1   n   3  3 k i    i      1    i    i       2 2 2 2     k 0        k      Lưu ý : Ta có    i    i   nên :  2   2  3 1  1  k Nếu k  3t  1    i    i    1 2  2  k k k 1  1  Nếu k  3t   1    i    i  2  2  k k k 1  1  Nếu k  3t   1    i    i  2 2     k k n  n 1  1    n  k k n  Suy    1    i    i     3  1   hay : k 0  k 0  3k   2   2    k   k k k n n n n n  1 3  1 3  i    i                  3 2  3 2          12  Lại có, theo trước ta có : n n n n n n  2n   1          i    i           3 2  3 2          12  n Kết luận : n n n n n  n  n  2n   11  1 3  13          i    i    i    i           6 2  6 2  6 2  6 2      12  18   24  n n n Ứng dụng sai phân phần : Một ứng dụng mang tên Abel's lemma Đơn giản áp dụng công thức sau : BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình facebook.com/viet.alexander.7 20 n Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán Video giảng lời giải chi tiết có  f  k  g  k   f  k  g  k  n   g  k  1 f  k  k m n n 1 với f  x   f  x  1  f  x  Có vẻ khó hiểu không ? Thực chất áp dụng hay : Ví dụ : Tính tổng : k m i n i 0 n i  f  k   k Áp dụng với  ta g  k   Sn   k  k n n 1 k 0  12  22  32   n a  1a  2a  3a   n a f  k   2k  Suy :   g  k   k i 0 k m    k  1 2k  1   n  1  2 k  3 k  n  n n n n  n  1 2n  1 3 S n   n  1  S n  n  n  1  n   S n  a a a f  k    k  1  k  f  k   k Áp dụng với  ta  Suy : g  k    g  k   k k 0 S n   k a  k a 1 k 0 k 0   n a 1 a    k  1 k i   k 0 k 0 k 0 i 0 i  n a 2 a a 1 n   k  1 k i       n a2 a a 1 k 0 i 0 i    n  1    k  1 k i    aS n  S n  a 1 k 0 i 0 i  Bằng quy nạp, ta chứng minh : a k 1 k a  n  a  k   a   S n    1  k  i     a   i  k 1 i   Ví dụ : Tính tổng : n n 1    k  1  k  1  k a   n  1 k 0 n   1 i n i i 0 a a 1  12  22  32  42   1 n n Có bạn hỏi anh này, áp dụng sai phân phần, trở lên đơn giản : f  k   2k   f  k   k  k 1 Áp dụng với  ta  k 1 Suy :   g k        g k    S n    1 k n Tương tự, ta có : k 0 k  1  k 1 BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình k2 n 1  n k 0  1 k 2  2k  1 facebook.com/viet.alexander.7 21 Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán Video giảng lời giải chi tiết có  n Kết luận : k 0  1 k 2 Sn Ví dụ : Chứng minh :  2k  1  1   1  n  1  n k  2k  1 n 1  n k 0  1 k   1  n  1 n  1  n  1   1 n  n  1  n  1 n 2   2n    n 1 k 0   k k   Lời giải : f  k    f k     1 1 k 1 Với   1  2n   k   2n  1 Ta :  k  2n  1 g  k    1  g k       2n  3  k   k     1  2n   k   2n  1      2n  3 k   2n    k  n 1  1 k k 1 1 n  0 k 0    k  Ví dụ : Cho n  * a1 , a2 , a3 , , an số nguyên dương phân biệt Chứng minh : a1 a2 a3 a 1 1     n2      2 n n  n Lời giải : Áp dụng công thức k m f  k  g  k   f  k  g  k  k  m   g  k  1 f  k  n n 1 k m 2k     f  k     f k   k  k  1 k  Với :  Ta : g  k   ak  g k  a  a   a  k 1    n ak ak a1 g  k  a1 n g  k  1 2k  1 g  n  1 3a1 n g  k  1 2k  1           2 12 k k  12 k  k  k  12 k  k  k  12 k 1 k k 2 k  n  1 n 1 n Lại có : g  k   a1  a2   ak 1       k  1  k n ak  g  n  1  3a1  k 2 n g  k  1 2k  1  k  1 k Ta : k  k  1  n  1 n  n  1 n k  k  1 2k  1 n n 2k        k  2k  k  12  n  1 k  2k  k  1  n  1 k 1 2 BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình facebook.com/viet.alexander.7 22 Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán Video giảng lời giải chi tiết có   n n 1  n n 1 n            n  1 k   k k    n  1 k  k k  k  n n 1 n 1 1           n  1 k 1 k 2 k 1 k  n  1  k 1 k n Vậy : a1 a2 a3 a 1 1     n2      2 n n * Ví dụ 10 : Cho n   , x  an   nx  , tức số nguyên nhỏ lớn nx Chứng minh : a1 a2 a3 a     n  an n Lời giải :    f k   f  k    k  k  1 k  Với  Ta : g  k   ak  g  k   a  a   a  k 1  n ak ak a1 g  k  a1 n g  k  1 g  n  1 a1 n g  k  1           k k  k  k  k  1 n 1 k  k  k  1 k 1 k k 2 k n 1 n Ta có :  a   b   a  b  a1  an 1   nx   an Tương tự ta chứng minh : a2  an   an ; a3  an   an ;  g  n  1  a1  a2  a3   an 1  an  Suy :  n  1 an ak g  n  1 a1 n g  k  1 an a1 n ak  k  1        n 1 k  k  k  1 2 k  2k  k  1 k 1 k n n an a1 n ak a1 an n ak a          k  an 2 k 1 k 2 k 1 k k 1 k Bài toán giải Bài tập tự luyện : n n  i    n  n  n  1 i 0 i       i  1  i    2n  3 n i 0 i n i 0 i n   n 1  n n4    n  n  1 n  5n  i    BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình facebook.com/viet.alexander.7 23 Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán Video giảng lời giải chi tiết có n 2n   n       n   n  3 i   i  1 i    i  n   n   2i   2     k 0  2k  n k   1  2i  n n n  n   1  i   1  i      k   4k  n 1 k n   1 k    1  2n  1 2n  2n  8 k 0 n n k n k 0   n n   k  n 1 n  n   k2  k 1 n 1   k! n! k 0 n 4n  3n   n 10  i   2 n  i 1 i 1 i   j   j 1 n  n  2k      2n k   k   k 0  n    k  n 1 n n k 2k 12 [Tự chế]     n  n  1 k   n  k 0 k    k  a1  a2  a3   an   k 13 Cho  k Chứng minh : a  b  k  1, n     i i  i 1  i 1 a12  a22  a32   an2  b12  b22  b32   bn2 11 [Moa Apagodu] n b1  b2  b3   bn  k 14 Cho  k Chứng minh : a  b  k  1, n     i i  i 1  i 1 a1  a2  a3   an  b1  b2  b3   bn 0  x1  x2   xn  15 Cho  n với n  Chứng minh :   x  k  k 1  n k 1 xk   n  1  BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình n k 1 xk facebook.com/viet.alexander.7 24 Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán Video giảng lời giải chi tiết có Vậy kết thúc đọc thêm số 4, kinh dị ! Sang đọc thêm số 5, anh giới thiệu thủ thuật CASIO hay theo yêu cầu số em, thủ thuật tính nguyên hàm, tích phân CASIO Ví dụ : 13 x3  x  97 43 59 95 x  13      x  1 x   x  3 x  2 x  1  x   5 x  3 10 x  OK !   BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình   facebook.com/viet.alexander.7 25