Gi¸o viªn : §inh B¸ Hoan Gi¸o viªn : §inh B¸ Hoan Bµi 3: NhÞ thøc Newton Hãy khai triển biểu thức sau: (a+b) 4 = = a 4 + 4a 3 b+ 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 a 4 + a 3 b+ a 2 b 2 + ab 3 + b 4 C 0 4 C 1 4 C 2 4 C 3 4 C 4 4 Nhận xét: Với các dạng luỹ thừa bậc cao hơn, VD (a+b) 6 , (a+b) 10 , . hay tổng quát : (a+b) n ; ta cũng vận dụng quy tắc này Với mọi a, b và mọi số tự nhiên n 1, ta luôn có: (a+b) n = a n + a n-1 b + . + a n-k b k + . + b n (I) = (Quy ước a 0 =b 0 =1 với a, b khác 0) C n 0 C n 1 C k n C n n = n k kkn k n ba C 0 Tổng quát Công thức (I) được gọi là công thức nhị thức Niuton Vận dụng: Khai triển biểu thức (a + b) 6 = Theo công thức Nhị thức Niuton ta có: Bài giải (a+b) 6 = a 6 + a 5 b+ a 4 b 2 + a 3 b 3 + a 2 b 4 + ab 5 + b 6 0 6 C 1 6 C 2 6 C 3 6 C 5 6 C 6 6 C 4 6 C = a 6 + 6a 5 b+ 15a 4 b 2 + 20a 3 b 3 + 15a 2 b 4 + 6ab 5 + b 6 Với mọi a, b và mọi số tự nhiên n 1, ta luôn có: (a+b) n = a n + a n-1 b + . + a n-k b k + . + b n (I) = (Quy ước a 0 =b 0 =1 với a, b khác 0) C n 0 C n 1 C k n C n n = n k kkn k n ba C 0 Víi mäi a, b vµ mäi sè tù nhiªn n 1, ta lu«n cã: (a+b) n = a n + a n-1 b + . + a n-k b k + . + b n (I) = (Quy ­íc a 0 =b 0 =1 víi a, b kh¸c 0) C n 0 C n 1 C k n C n n ∑ = − n k kkn k n ba C 0 0 n C 1 n C k n C * V i a = b =1, ta cã: 2ớ n = + + … + 0 n C 1 n C n n C * V i a = 1, b =-1, ta cã: ớ 0 = - + … +(-1) k + … +(-1) n HÖ qu¶ ≥ 1. Cho biết trong khai triển có bao nhiêu số hạng? 2. Số mũ của a và b thay đổi như thế nào? 3. Hãy nêu đặc điểm của các hệ số trong khai triển (a + b n ? Với mọi a, b và mọi số tự nhiên n 1, ta luôn có: (a+b) n = a n + a n-1 b + . + a n-k b k + . + ab n-1 + b n = (Quy ước a 0 =b 0 =1) C n 0 C n 1 C k n C n n = n k kkn k n ba C 0 1n n C Chú ý Trong biểu thức ở vế phải của công thức (I): a) Số các hạng tử là n+1 b) Các hạng tử có: Số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n. Song tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n. c) Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau. e. 2 n = (1+1) n = + + + + Tính chất k n k k n a b C C n 0 C n 1 C n 2 C n n f. 0 = (1-1) n = - + - +(-1) n C n 0 C n 1 C n 2 C n n = n k kkn k n ba C 0 )( a. Trong khai triển (a+b) n thành đa thức có n+1 số hạng b. Các hệ số cách đều 2 số hạng đầu và cuối bằng thì nhau c. Tổng số các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng số mũ của nhị thức vì: (n-k)+k=n d. Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng T k+1 = g. (a-b) n =[a+(-b)] n = Víi mäi a, b vµ mäi sè tù nhiªn n 1, ta lu«n cã: (a+b) n = a n + a n-1 b + . + a n-k b k + . + ab n-1 + b n = (Quy ­íc a 0 =b 0 =1) C n 0 C n 1 C k n C n n ≥ ∑ = − n k kkn k n ba C 0 1n n C − Cñng cè H·y ®iÒn ®óng (§) ho c sai (S) vµo « trèng sau:ặ C©u1: Trong khai triÓn (x + y) 8 A. Sè c¸c h¹ng tö lµ 8 B. HÖ sè cña x 5 lµ 28 C. HÖ sè lín nhÊt lµ 70 D. HÖ sè nhá nhÊt lµ 1 Đ S Đ S 9 56 Víi mäi a, b vµ mäi sè tù nhiªn n 1, ta lu«n cã: (a+b) n = a n + a n-1 b + . + a n-k b k + . + ab n-1 + b n = (Quy ­íc a 0 =b 0 =1) C n 0 C n 1 C k n C n n ≥ ∑ = − n k kkn k n ba C 0 1n n C − C©u2: Trong khai triÓn (2x - y) 8 A. Sè c¸c h¹ng tö lµ 9 B. HÖ sè cña sè h¹ng thø 7 lµ 28 C. HÖ sè lín nhÊt lµ 70 D. HÖ sè nhá nhÊt lµ 1 Đ S Đ S 1= , 2= , 1= 2 =1+1 = + 1= C 0 2 C 1 2 C 2 2 C 1 1 Nhà toán học Pháp Pascal đã xây dựng bảng số sau đây gọi là tam giác Pascal: 1= II. Tam giác pascal 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 1 5 10 10 5 1 . Các số ở hàng thứ n trong tam giác Pascal là dãy gồm n+1 số: , , , , , C n 1 C n 0 C n n 1 C n 2 C n n C 0 1 C 1 2 C 0 1 C 1 1 Nhận xét đặc điểm của các số ở mỗi hàng có liên quan như thế nào với các hệ số trong khai triển Niutơn ? 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 1 10 1 = + 1 1 k n C 1 k n C k n C [...]... 1 3 6 10 15 1 1 4 10 20 1 5 15 1 6 1 Bài 3: Nhị thức Newton II/ Tam giác Pa-xcan Nhận xét: k 1 k Từ công thức C n = C n 1 + C n 1 suy ra cách tính các số ở mỗi dòng dựa vào các số ở dòng trước nó Chẳng hạn k C 2 5 C = 1 4 + C 2 4 = 4 + 6 =10 Dùng tam giác Pa-xcan, chứng tỏ rằng: C b) 1 + 2 + + 7= C a) 1 + 2 + 3 + 4 = 2 5 2 8 Tổng kết bài 1 Công thức Nhi thức Newton: 0 1 n (a+b)n= C nan+ C n an-1b+ . 0 Tổng quát Công thức (I) được gọi là công thức nhị thức Niuton Vận dụng: Khai triển biểu thức (a + b) 6 = Theo công thức Nhị thức Niuton ta có: Bài. tìm ra nhị gian còn là sinh viên, Newton đã tìm ra nhị thức trong toán học giải tích, được gọi là nhị thức trong toán học giải tích, được gọi là nhị thức