Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.MATHVN.com Email: Loinguyen1310@gmail.com (DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2011) Gửi tặng: www.Mathvn.com Bỉm sơn 16.03.2011 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN I Công thức tích phân phần: Cho hai hàm số u ( x), v ( x ) liên tục có đạo hàm đoạn [a; b] Ta có  uv  ' '  u ' v  uv '   uv  dx  u ' vdx  uv ' dx b b b  d  uv   vdu  udv   d (uv )   vdu   udv a b b a a b b b b  uv a   vdu   udv   udv  uv a   vdu a a a a b b b 1 Ta có công thức:  udv  uv a   vdu a a Công thức (1) viết dạng: b  b b b f ( x ) g ' ( x)dx   f ( x)d  g  x   dx  f ( x) g ( x) a   f ' ( x ) g ( x )dx a a  2 a II Phương pháp giải toán: b Bài toán: Sử dụng CT.TPTP xác định: I =  f ( x)dx a Phương pháp chung: Cách 1: b Bước 1: Biến đổi TP dạng: I =  a u  f1 ( x) du Bước 2: Đặt:   dv  f ( x )dx v b b f ( x )dx =  f ( x) f ( x)dx a (Chọn C  ) b b a Bước 3: Khi đó: I =  udv  uv   vdu (công thức (1)) a a Chú ý: Việc đặt u  f ( x ), dv  g ( x )dx (hoặc ngược lại) cho dễ tìm nguyên hàm v( x) vi phân b b ' du  u ( x)dx không phức tạp Hơn nữa, tích phân  vdu phải đơn giản tích phân  udv a a Cách 2: b Phân tích  a b f1 ( x ) f ( x )dx   f1 ( x) f ' ( x)dx sử dụng trực tiếp công thức (2) a - Nhận dạng: Để sử dụng tích phân phần dấu hiệu thường gặp tích hai loại hàm số khác (đôi tích loại hàm) -Ý nghĩa: Phương pháp TPTP nhằm đưa tích phân phức tạp tích phân đơn giản để khử bớt hàm số dấu tích phân (cuối lại loại hàm số dấu tích phân) www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com Chú ý: - Đôi tính TPTP mà chưa có dạng cụ thể ta phải dùng công thức đại số, lượng giác kết hợp với phương pháp biến đổi số xuất dạng cụ thể  x dx  cos x Ví dụ 1: (ĐHDB – A 2003) Tính tích phân sau I   Giải: Nhận xét: Tích phân để nguyên mà tính TPTP thì… không đâu ta sử dụng công thức nhân đôi  cos x   2cos x   2cos x lấy nguyên hàm  Ta I  x dx  cos x u  x du  dx  Đặt  dx   v  tan x dv  cos x    14   Khi I  x tan x   tan xdx   ln cos x   ln 2 20 8 0 Chú ý: - Ta sử dụng công thức (2) sau      4 x 1 1   I dx   xd (tan x)  x tan x   tan xdx    ln cos x    ln 2 20 2 0 cos x 0 - Đừng quên trước dấu tích phân 2 Ví dụ 2: (ĐHDB – D 2003) Tính tích phân sau I   x3 e x dx Giải: 1 2 Ta có I   x3 e x dx   x e x xdx 0 Đặt t  x  dt  xdx  xdx  dt  x  t  Đổi cận   x  t  1 1 1 e 1 Khi I   tet dt  tet   et dt   et  (sử dụng công thức 2) 20 20 2 Chú ý: www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.MATHVN.com Email: Loinguyen1310@gmail.com 1 x2 x e d  x  Đến ta  0 sử dụng công thức (1) công thức (2) ngắn độ phức tạp cao nên không đưa ra, bạn đọc tự tìm hiểu - Dĩ nhiên ta không cần biến đổi số mà làm trực tiếp Ta có I   x3 e x dx   Ví dụ 3: (ĐHTCKT – 1998) Tính tích phân sau I   x  cos x  1 dx Giải: Nhận xét: Nếu để nguyên mà tính thật nan giải Sử dụng công thức hạ bậc    0 I   x  cos x  1 dx   1  cos x   1 dx   x cos xdx du  dx u  x  Đặt   sin x dv  cos xdx v     sin x 14  cos x   2 Khi I  x   sin xdx   4   20 8 0 - Đôi tính TPTP ta phải tính đến hay lần TPTP e Ví dụ: (ĐH – D 2007) Tính tích phân sau I   x3 ln xdx  5e  32 Giải: dx  du  ln x  u  ln x  x Đặt   dv  x v  x  e x e e4 Khi I  ln x   ln x.x dx   I1 21 2 e Tính I1   ln x.x dx dx  du  u  ln x  x Đặt   dv  x v  x  e x e e 4 e 3e  Khi I1  ln x   x dx   x  41 16 16 Vậy I  e4 e 3e  5e   I1    4 16 32 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com www.MATHVN.com DĐ: 01694 013 498 - Đôi tính TPTP ta gặp trường hợp lập lại tích phân ban đầu (tích phân luân hồi) gặp tích phân mà làm triệt tiêu tích phân e ln x Ví dụ 1: (TN – 2007) Tính tích phân sau: I   dx x Giải: dx u  ln x   du  ln x Đặt  x dx   dv    v  ln x x  Khi e e ln x I  ln x.ln x   dx   I x 1 Đến ta coi phương trình bậc theo I ta I  Chú ý: - Đương nhiên ta làm phương pháp biến đổi số  x  e t  dx Đặt t  ln x  dt  Đổi cận   x x  t  t 1 Khi I   t dt   3 e e ln x ln x e Hoặc: Đưa vào vi phân sau I   dx   ln xd  ln x    x 3 1 et  x - Để tránh tích TPTP lần ta biến đổi số trước cách đặt t  ln x   t sau TPTP e dt  dx  e x (sin x  cos x  1) dx (1  cos x) Ví dụ 2: Tính tích phân sau I   Giải:    4 e x (sin x  cos x  1) ex e x sin x I dx   dx   dx  I1  I 2  cos x (1  cos x)2 0 (1  cos x )  e x sin x dx (1  cos x ) Tính I   u  e x du  e x dx   sin x Đặt   dv  dx v   1  cos x   cos x      ex ex e4 Khi I  dx    I1   cos x  cos x 2 0 1 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.MATHVN.com Email: Loinguyen1310@gmail.com  Vậy I  I  e4 1  2 Chú ý: Nếu ta tính đồng thời I1 I vừa công mà lại dài nên ta chọn tính I1 I để làm triệt tiêu I I1 …Tùy vào để ta chọn (kinh nghiệm thôi) - Thông thường ta sử dụng CT (1) dễ nhìn CT (2) MỘT SỐ DẠNG CỤ THỂ  Dạng 1: Tính tích phân I   Pn  x  Q  x  dx với Pn  x  đa thức bậc n  1 Q  x  ; ;sin x;cos x; e x , a x cos x sin x u  Pn  x  Đặt  (Nếu Pn  x  có bậc n ta phải tính tích phân phần n lần (mỗi lần Pn  x  giảm dv  Q  x  dx bậc)) Đặc biệt: - Khi Q  x   ln x; ln n x; log m x; ln  f  x   u  Q  x  Đặt  (nếu Q  x   ln n x ta phải tính n lần tích phân) dv  Pn  x  dx - Khi Q  x   sin  ln x  ;cos  ln x  ;sin  log a x  ; cos  log a x  u  Q  x  Đặt  (thường người ta chọn Pn  x   1; Q  x   x k cho đơn giản) dv  Pn  x  dx Chú ý: Trong dạng gặp tích phân luân hồi (Sau tính tích phân lần thứ hai trở tích phân ban đầu) Loại 1: Khi Q  x   1 ; 2 cos x sin x Bài tập giải mẫu: www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498  Bài 1: Tính tích phân sau I    www.MATHVN.com xdx sin x Giải: u  x du  dx  Đặt  dx   v   cot x dv  sin x Áp dụng công thức tính tích phân phần    3 xdx  I     x cot x   cot xdx    ln sin x   3  sin x 4 Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)   4 Email: Loinguyen1310@gmail.com      ln  36 2   xdx I      xd  cot x   sin x   x dx cos x Bài 2: Tính tích phân sau I   Giải: u  x du  dx  Đặt  dx   v  tan x dv  cos x Áp dụng công thức tính tích phân phần:      3 x  sin x  3 d  cos x  I dx  x tan x   tan xdx   dx   cos x cos x cos x 0 0      ln cos x   ln 3 Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)  I  x dx   xd  tan x  cos x Bài tập tự giải có hướng dẫn: Bài 1: (HVNH HCM – 2000) Tính tích phân sau I   www.MATHVN.com x  sin x dx cos x Giáo viên: Nguyễn Thành Long www.MATHVN.com DĐ: 01694 013 498 HD: u  x  sin x  du  1  cos x  dx Đặt   dv  cos x dx v  tan x Email: Loinguyen1310@gmail.com Hoặc  - Tách thành tổng hai tích phân I     x  sin x xdx sin x dx    dx 2 cos x cos x cos x     I1 I2 Tính I1 TPTP tính I đổi biến số 1 x  sin x - Sử dụng trực tiếp công thức (2) ta có I   dx    x  sin x  d  tan x  cos x  x  dx   ln  cos x Bài 2: (ĐHDB – A 2003) Tính tích phân sau: I   HD: Sử dụng công thức nhân đôi  cos x   2cos x   2cos x  u  x du  dx 14 x  Khi I   dx Đặt  dx   cos x v  tan x dv  cos x Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)      4 x 1 1   Ta có I   dx   xd (tan x)  x tan x   tan xdx )    ln    ln 2 20 2 0 cos x 0 Bài 3: (HVKTMM 2000) Tính tích phân sau: I   x tan xdx  tan1  ln  cos1  0,5 HD: 1 x dx   xdx cos x 0 Phân tích I   u  x du  dx  Đặt  dx   v  tan x dv  cos x Chú ý: Công thức  tan x  cos x  xdx  sin x Bài 4: Tính tích phân sau: I   HD: www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com www.MATHVN.com DĐ: 01694 013 498     Biến đổi  sin x   cos  x    2cos  x   TPTP 2 4   Loại 2: Khi Q  x   sin x;cos x Chú ý: Đối với dạng ta sử dụng phương pháp hệ số bất định Nếu bậc P  x  lớn ta nên giải theo phương pháp sau: Bước 1: Ta có I   p ( x ) cos xdx  A( x ) sin  x  B( x) cos  x  C , (1) (A(x) B(x) bậc với P  x  ) Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế (1) : p( x) cos x   A '( x)  B ( x)  sin    A( x)  B '( x )  cos  Sử dụng phương pháp hệ số bất định tìm A(x) B(x) Bước 3: Thay A(x) B(x) vào (1) kết luận (Có thể áp dụng cách cho dạng  e ax cos bxdx ;  e ax sin bxdx ) Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tính tích phân sau I   x sin 2 x.dx Giải: 1 1  cos2 x 1 I   x sin  xdx   x dx   x dx   x cos  2 x  dx 20 20 0 Sử dụng công thức (2) ta x3  2  1 2 1  x d (sin2 x)   x sin2 x  2 xsin2 x.dx  4 4  1  1 1  1 1    xd (cos2 x )    x cos2 x   cos2 xdx     sin(2 x)   0 4 4  4 8  4  Bài 2: (ĐHDB – 2006) Tính tích phân sau I   ( x  1) sin xdx Giải: du  dx u  x   Đặt   dv  sin xdx v   cos x    x 1   1  Khi I   cos x   cos xdx       sin x   20  2 0 Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2) www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498  Email: Loinguyen1310@gmail.com  I   ( x  1)sin xdx    x  1 d  cos x  0 2 Bài 3: Tính tích phân sau I   cos xdx Giải: Đặt t  x  x  t  dx  2tdt 2  Đổi cận x   t  0, x  t  Sử dụng công thức (2)     Khi I   t cos tdt   td  sin t   2t sin t   sin xdx    0 0 Vậy I    Bài 4: Tính nguyên hàm I   ( x3  x  x  3) sin xdx Giải: I   ( x3  x  x  3) sin xdx  (ax  bx  cx  d ) cos x  (a'x3  b ' x  c ' x  d ') sin x  C (1) Lấy đạo hàm hai vế (1): ( x  x  x  3) sin x  [a ' x  (3a  b ') x  (2b  c ') x  c  d ']cos x  [ax  (3a ' b) x  (2b ' c ) x  c ' d ]sin x Đồng đẳng thức ta hệ : a '  a '  3a  b '  3a ' b  1     2b  c '  2b ' c  c  d '  c ' d  3 Giải hệ tìm : a  1; b  1; c  4; d  1; (2) a '  0; b '  3; c '  2; d '  4 Vậy I  ( x  x  x  1) cos x  (3x  x  4) s in x  C Hoặc: u  x  x  x  du   x  x   dx Đặt   dv  sin xdx  v   cos x Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2) I   ( x3  x  x  3) sin xdx    ( x  x  x  3)d  cos x  Bài tập tự giải có hướng dẫn: Bài 2: (ĐHM ĐC – 1998) Tính nguyên hàm sau: I   x sin xdx  2 x cos x  x sin x  12 x cos x  12 sin x  C www.MATHVN.com 10