1 Ứng dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học giải tập toán MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Ngày logic học ứng dụng rộng rãi, toán học khoa học tự nhiên, mà khoa học xã hội nhân văn Sự phát triển khoa học tự động hóa trí tuệ nhân tạo có đóng góp logic học Để hòa vào văn minh nhân loại, cần tập trung vào nghiên cứu khoa học bản, đặc biệt toán học logic học Quy nạp (Inductive) hay lập luận quy nạp, gọi logic quy nạp nội dung logic học, đặt tảng từ thời Aristoteles Quy nạp vấn đề lớn nằm logic học có ý nghĩa to lớn phát triển khoa học Đây phương pháp tư thiếu khoa học Từ sớm – từ thời cổ đại, logic quy nạp đời, nhiên phát triển chậm chạp khó khăn Mặc dù phát triển mạnh vào thời cận đại, mà khoa học thực nghiệm phát triển, logic quy nạp không khắc phục hoàn toàn bế tắc mà đặt nghiên cứu cách tích cực nước phương Tây nước thuộc Liên Xô trước Quy nạp khái niệm quan trọng, coi tuyệt chiêu toán học sử dụng rộng rãi số học, đại số lý thuyết số Vì nắm rõ chất mặt kiến thức, mặt phương pháp tư điều mong muốn hướng tới Thêm vào đó, quy nạp phương pháp tiếp cận toán độc đáo Nó có sức mạnh tuyệt vời giải toán chứng minh hình học Phép quy nạp ứng dụng việc tính toán đại lượng hình học đơn mà áp dụng việc chứng minh định lý hình học, giải toán dựng hình, quỹ tích mặt phẳng không gian, hình học sơ cấp cao cấp Trong nhiều lĩnh vực khác Toán học (số học, hình học, giải tích ) ta thường gặp toán với yêu cầu chứng minh mệnh đề chứa biến P ( n ) mệnh đề với giá trị nguyên dương biến n Do ta cần nghiên cứu phương pháp chứng minh để tìm phương pháp chứng minh chúng cách hợp lí Vì vậy, ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp Ngoài ra, ta gặp toán hình học giải phương pháp quy nạp, ứng dụng hình học vô lý thú hấp dẫn Một số tập ứng dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học đề cập đến tài liệu [1], [4], [6], [9], Nhưng tài liệu nghiên cứu phần nhỏ mà chưa có tài liệu nghiên cứu cách hệ thống, tài liệu đa số dừng lại việc giải số toán mà hạn chế việc khai thác lời giải toán Bên cạnh đó, có số công trình học giảng viên, sinh viên trường đại học, cao đẳng nghiên cứu phương pháp chứng minh quy nạp toán học Chẳng hạn như: Sáng kiến kinh nghiệm “Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học để giải số dạng toán” [12], đề tài “Phép quy nạp hình học” [4], Không mà có công trình thông qua quy nạp để rèn luyện phát triển lực suy luận như: “Rèn luyện phát triển lực suy luận quy nạp cho học sinh dạy toán trường phổ thông” [12] Do đó, phương pháp chứng minh quy nạp toán học vấn đề đáng quan tâm nghiên cứu Với mong muốn giúp bạn học sinh, sinh viên nghiên cứu lý thuyết phép quy nạp, tập sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp cách dễ dàng có hệ thống Đồng thời giúp cho thân hiểu sâu phương pháp hiệu việc giải toán tích lũy thêm kiến thức phục vụ cho việc học tập giảng dạy sau tốt nên mạnh dạn chọn đề tài: “Ứng dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học giải tập toán” cho khóa luận tốt nghiệp đại học Mục tiêu khóa luận Khóa luận nhằm nghiên cứu tổng quan phép quy nạp, phương pháp chứng minh quy nạp toán học ứng dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học số tập toán Đồng thời nghiên cứu, khai thác phân tích số tập sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp nhằm khắc sâu kiến thức phép quy nạp phương pháp chứng minh quy nạp toán học Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu lí luận phép quy nạp toán học phương pháp chứng minh quy nạp toán học Nghiên cứu ứng dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học số tập toán Nghiên cứu số tập có lời giải số tập vận dụng 4 Phương pháp nghiên cứu • Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc nghiên cứu tài liệu, giáo trình, sách giáo khoa có liên quan đến phép quy nạp phương pháp chứng minh quy nạp toán học ứng dụng quy nạp toán học đại số hình học phân hóa, hệ thống hóa kiến thức • Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu tham khảo tài liệu, giáo trình từ rút kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu • Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên trực tiếp hướng dẫn, giảng viên khác để hoàn thiện mặt nội dung hình thức khóa luận Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng: Phương pháp chứng minh quy nạp toán học • Phạm vi: Ứng dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học giải số tập toán Ý nghĩa khoa học thực tiễn Khóa luận hệ thống lại cách kiến thức quy nạp phương pháp chứng minh quy nạp toán học, đồng thời phân dạng giải số tập liên quan đến vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp Thông qua đó, khai thác lời giải từ toán cụ thể Khóa luận tài liệu tham khảo cho sinh viên, giáo viên có hứng thú nghiên cứu dạng tập ứng dụng phương pháp chứng minh quy nạp giải số tập toán Bố cục khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận chia thành chương Chương 1: Kiến thức sở Ở chương trình bày số vấn đề sau: Tìm hiểu sở logic toán (mệnh đề, phép toán logic mệnh đề, công thức logic mệnh đề, hệ logic số quy tắc suy luận thường vận dụng suy luận toán học); kiến thức sở phép quy nạp toán học; đặc biệt tìm hiểu lí luận phương pháp quy nạp toán học: tìm hiểu sở phương pháp chứng minh nguyên lý quy nạp toán học, số hình thức phương pháp quy nạp toán học Chương 2: Ứng dụng phương pháp chứng minh quy nạp giải tập toán Ở chương trình bày số ứng dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học không đại số, mà hình học Nó không ứng dụng việc tính toán đại lượng hình học đơn mà áp dụng việc chứng minh định lý hình học, giải toán dựng hình, quỹ tích hay mặt phẳng không gian Bên cạnh lời giải toán đưa nhận xét, phân tích hay hướng khai thác lời giải toán Chương 3: Bài tập Ở chương này, trình bày số tập có lời giải sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học để giải chúng Bên cạnh đó, trình bày số tập lời giải để khắc sâu kiến thức phương pháp chứng minh quy nạp toán học NỘI DUNG Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương trình bày số kiến thức sở phép quy nạp toán học phương pháp chứng minh quy nạp toán học Phương pháp quy nạp phương pháp vô quan trọng trình giải số tập toán 1.1 Cơ sở logic toán 1.1.1 Mệnh đề Trong logic mệnh đề, khái niệm mệnh đề toán học khái niệm nguyên thủy không định nghĩa mà mô tả Những câu phản ánh sai thực tế khách quan gọi mệnh đề Mỗi mệnh đề toán học (gọi tắt mệnh đề) câu phản ánh sai thực tế khách quan, mệnh đề không mà không sai, mệnh đề vừa vừa sai Giá trị chân lý mệnh đề: Các giá trị gọi giá trị chân lý mệnh đề Ta quy ước mệnh đề có giá trị chân lý đúng, mệnh đề có giá trị chân lý sai Mỗi mệnh đề có hai tính chất sai nên nhận hai giá trị chân lý Ví dụ 1.1 i “Số 123 chia hết cho 3” mệnh đề Suy giá trị chân lý ii “Thành phố Hồ Chí Minh thủ đô nước Việt Nam” mệnh đề sai Suy giá trị chân lý iii “Bạn có khỏe không?” mệnh đề toán học câu hỏi phản ánh điều hay diều sai 1.1.2 Các phép toán logic mệnh đề 1.1.2.1 Phép phủ định Phủ định mệnh đề p , ký hiệu p (đọc “không p ”) mệnh đề sai p p sai Bảng giá trị chân lý phép phủ định sau: p p 0 Phép phủ định logic mệnh đề phù hợp với phép phủ định ngôn ngữ thông thường, nghĩa phù hợp với ý nghĩa từ “không” (“không phải”) Ví dụ 1.2 i p : “10 số chẵn” (đúng), p : “ 10 không số chẵn” (sai) ii p : “ + = ” (sai), p : “ + ≠ ” (đúng) 1.1.2.2 Phép hội Hội hai mệnh đề p, q ký hiệu p ∧ q (đọc “ p q ”) mệnh đề p lẫn q sai trường hợp lại Bảng giá trị chân lý phép hội sau: p q p∧q 1 1 0 0 0 Phép hội phù hợp với ý nghĩa liên từ “và” ngôn ngữ thông thường Ví dụ 1.3 i “Số π lớn nhỏ ( < π < ) ” hội hai mệnh đề: “Số π lớn ( π > 3) ” “Số π nhỏ ( π < ) ” ii Mệnh đề “ −2 ∈¢ −2 ∉¥ ” hội mệnh đề “ −2 ∈ ¢ ” mệnh đề “ −2 ∉ ¥ ” 1.1.2.3 Phép tuyển Tuyển hai mệnh đề p, q ký hiệu p ∨ q (đọc “ p q ”) mệnh đề sai p lẫn q sai, trường hợp lại Do đó, theo định nghĩa mệnh đề tuyển p ∨ q hai mệnh đề p, q sai p q sai Phép tuyển ứng với liên từ “hoặc” ngôn ngữ thông thường Song từ “hoặc” ngôn ngữ thông thường có hai nghĩa: loại trừ không loại trừ “Hoặc” nghĩa loại trừ có nghĩa mệnh đề “ p q ” và mệnh đề hai mệnh đề p, q “Hoặc” nghĩa không loại trừ nghĩa mệnh đề “ p q ” hai mệnh đề p, q Phép tuyển định nghĩa phù hợp với liên từ “hoặc” theo nghĩa không loại trừ Bảng giá trị chân lý phép tuyển sau: p q p∧q 1 1 1 0 1.1.2.4 Phép kéo theo Cho hai mệnh đề p, q Mệnh đề kéo theo p ⇒ q (đọc “ p kéo theo q ” hay “nếu p q ”) mệnh đề sai p q sai, trường hợp lại Bảng giá trị chân lý phép kéo theo sau: p q p⇒q 1 1 0 1 0 Phép kéo theo logic mệnh đề phù hợp với ý nghĩa từ cụm từ sau: “Nếu … thì”, “kéo theo”, “Từ … suy ra” 1.1.2.5 Phép tương đương Cho hai mệnh đề p; q Mệnh đề tương đương p ⇔ q (đọc “ p tương đương q ”) mệnh đề hai mệnh đề p q , hoặc sai sai trường hợp lại Ta có bảng giá trị chân lý phép tương đương sau: p q p⇔q 1 1 0 0 Định nghĩa phép tương đương phù hợp với ý nghĩa cụm từ “khi khi” hay “nếu nếu” ngôn ngữ thông thường 1.1.3 Công thức logic mệnh đề Định nghĩa 1.1 [7] Giả sử p, q, r , s, mệnh đề đó, từ mệnh đề sử dụng các phép toán logic (phép phủ định, phép hội, phép tuyển, phép kéo theo, phép tương đương) tạo thành mệnh đề phức tạp Từ mệnh đề lập ta lại áp dụng phép toán logic ta lại mệnh đề mới, ta kiến thiết dãy kí hiệu gọi công thức logic mệnh đề Mỗi công thức đại số mệnh đề dãy kí hiệu thuộc bốn loại: + Các 1; (kí hiệu mệnh đề sai) + Các biến mệnh đề p, q, r , s, + Các kí hiệu phép toán logic −, ∧, ∨ , ⇒, ⇔ + Các dấu ngoặc ( ) thứ tự phép toán Một cách xác ta định nghĩa biến mệnh đề công thức Nếu p công thức p công thức Nếu p, q công thức ( p ∧ q) , ( p ∨ q) , ( p ⇒ q) , ( p ⇔ q) công thức Ví dụ 1.4 Xét dãy kí hiệu ( p ∧ p ) ⇒ r ta thấy: p, q công thức, p ∧ q công thức, p ∧ q r hai công thức Vì ( p ∧ p ) ⇒ r công thức Sự tương đương hai công thức: Cho hai công thức P Q Ta nói P tương đương logic với Q (hay P đồng Q ), kí hiệu P ≡ Q , chúng nhận giá trị chân lý với hệ giá trị chân lý có biến mệnh đề có mặt chúng 10 Hệ thức P ≡ Q gọi đẳng thức hay tương đương logic 1.1.4 Luật logic, hệ logic quy tắc suy luận Phân tích suy luận chứng minh toán học ta thấy chứng minh bao gồm số hữu hạn bước suy luận đơn giản Trong bước đó, ta ngầm vận dụng quy tắc suy luận tổng quát để từ mệnh đề thừa nhận rút mệnh đề Người ta gọi mệnh đề xuất phát thừa nhận tiên đề, mệnh đề rút gọi hệ logic tiên đề 1.1.4.1 Luật logic mệnh đề Định nghĩa 1.2 [7] Công thức A gọi A nhận giá trị với hệ giá trị chân lý có biến mệnh đề có mặt A , ta gọi A luật logic mệnh đề ký hiệu = A 1.1.4.2 Hệ logic, quy tắc suy luận Định nghĩa 1.3 [7] Giả sử A1 , A2 ,…, An , B công thức Nếu tất hệ giá trị chân lý biến mệnh đề có mặt công thức làm cho A1 , A2 ,…, An nhận giá trị 1, đồng thời làm cho B nhận giá trị 1, ta gọi B hệ logic A1 , A2 ,…, An Và ta nói có quy tắc suy luận từ tiền đề A1 , A2 ,…, An tới hệ logic B chúng Quy tắc suy luận kí hiệu là: A1 , A2 , , An Hay A1 , A2 , , An = B B Những suy luận có dùng quy tắc suy diễn gọi suy luận có sở Khi tất suy luận có sở dẫn đến kết luận Một suy luận có sở dẫn đến kết luận sai mệnh đề dùng suy diễn sai 1.1.4.3 Mối quan hệ luật quy tắc suy luận Giữa hai khái niệm luật quy tắc suy luận có mối quan hệ chặt chẽ Định lý phản ánh mối liên hệ quan trọng luật quy tắc suy luận Định lý 1.1 [7] Cho công thức A1 , A2 ,…, An , B 68 Bài tập 3.18 Có thể hay không chia đa giác 2n − giác thành hình thoi? Giải Hình 3.3 Ta chứng minh khẳng định tổng quát hơn: Bất kỳ đa giác 2n − giác, có cạnh đối song song, chia thành hình thoi + Với n = khẳng định (bởi tứ giác có cạnh hình thoi) + Giả sử khẳng định với n ≥ Giả sử cho trước ( n + 1) − giác A1 A2 … An+1B1 … Bn Bn +1 C1 = An+1 , C2 ,… , Cn Cn +1 = A1 kết việc tịnh tiến song song điểm B1 ,…, Bn Bn +1 uuuuuur theo vectơ Bn +1 A1 Khi có đẳng thức BiCi = Bn+1 A1 = Bi Bi +1 với i = 1, n Từ đẳng thức suy tất đường thẳng Bi Ci song song với nhau, nghĩa tứ giác C1Bi Bi +1Ci +1 hình thoi, đồng thời: AnC1 = C1C2 = … = Cn An CiCi +1 // Bi Bi +1 // Ai Ai +1 Do đa giác A1 A2 AnC1 Cn có dạng nêu phù hợp với nguyên lý quy nạp, nên phân chia thành hình thoi Từ khẳng định chia đa giác 2n − giác thành hình thoi Bài tập 3.19 Trên mặt phẳng cho đường tròn n điểm Hãy nội tiếp đường tròn n − giác có cạnh qua điểm cho 69 Nhận xét Đây toán khó Để giải ta phải dùng phương pháp quy nạp theo hướng đặc biệt quy nạp số n cạnh đa giác Do ta nghiên cứu toán tổng quát hơn: Dựng n − giác, có k cạnh liên tiếp qua k điểm cho trước n − k cạnh lại song song với đường thẳng cho trước (bài toán trở thành toán k = n ) sau ta quy nạp k Giải + Với k = , ta có toán sau: Nội tiếp đường tròn n − giác có cạnh A1 A2 qua điểm P cho trước n − giác có cạnh lại A1 A2 , A2 A3 , , An−1 An song song với đường thẳng cho trước l1 , l2 , , ln −1 Lúc cung A1B1 , A2 B2 , , An Bn Trên đường tròn cung A1B1 A2 B2 , A2 B2 A3 B3 , … có chiều ngược Do n chẵn cung A1B1 An Bn ngược chiều A1B1 An Bn hình thang cân có đáy A1 An , B1Bn (hình 3.4.a) Nên cạnh A1 An đa giác cần dựng song song với cạnh B1Bn n − giác B1B2 Bn Vậy trường hợp này, qua P ta phải vẽ đường thẳng song song với B1Bn Các đỉnh lại n − giác A1 A2 An dễ dàng suy Nếu n lẻ cung A1B1 , B1Bn chiều A1B1 An Bn hình thang cân đáy A1 An B1Bn (hình 3.4.b) Vì A1 An = B1Bn (đường chéo hình thang cân) nên Hình 3.4 qua P ta vẽ đường thẳng cắt đường tròn cho trước theo dây A1 An dây B1Bn 70 cho, đường thẳng tiếp xúc với đường tròn đồng tâm với đường tròn cho trước tiếp xúc với B1Bn + Giả sử toán dựng n − giác nội tiếp giải với k cạnh liên tiếp qua k điểm cho trước n − k cạnh lại song song với đường thẳng cho Bây đường tròn ta cần nội tiếp n − giác cho k + cạnh liên tiếp A1 A2 , A2 A3 , , Ak +1 Ak +2 qua k + điểm cho trước P1 , P2 , , Pk +1 n – k – cạnh lại song song với đường thẳng cho Giả sử toán giải xong ta dựng n − giác (hình 3.5) Xét hai cạnh A1 A2 , A2 A3 đa giác Qua A1 vẽ đường thẳng A1 A '2 song song với P1P2 Gọi A '2 giao điểm A1 A '2 với đường tròn P '2 giao điểm A '2 A3 với P1P2 Hai tam giác P1 A2 P2 ¼A A ' = ¼ ¼ P '2 P2 A3 đồng dạng (vì ¼ A2 P1 A2 = A A2 A3 P ' ¼ A2 P2 P1 = P '2 P2 A3 ) Nên 2 P1P2 AP A P A P = 2 , từ có P '2 P2 = 2 Vì tích A3 P2 A2 P2 không phụ thuộc vào A3 P2 P '2 P2 P1P2 cách lấy A2 , A3 , phị thuộc vào điểm P2 cho trước đường tròn Nên xác định được, tính chiều dài P '2 P2 dựng P '2 Như ta biết k điểm P '2 , P3 , , Pk +1 mà k cạnh liên tiếp A '2 A3 , A3 A4 , , Ak +1 Ak + n − giác 71 A1 A '2 A3 An (có n − k cạnh lại Ak + Ak +3 , , An A1 , A1 A '2 song song với đường thẳng cho trước) qua Nhờ giả thiết quy nạp ta dựng n − giác A1 A '2 A3 An từ dựng đa giác A1 A2 A3 An Bài tập 3.20 Cho n đoạn thẳng B1C1 , B2C2 , , BnCn đoạn nằm cạnh n − giác lồi A1 A2 An Tìm quỹ tích điểm M nằm đa giác cho tổng diện tích tam giác MB1C1 , MB2C2 , , MBnCn số (và tổng S∆M B1C1 + S∆M B2C2 + + S∆M BnCn , với M điểm xác định đa giác) Giải + Với n = (Hình 3.6.a) Trên cạnh A3 A2 A3 A1 tam giác A1 A2 A3 ta đặt A3 P = B2C2 A3Q = B3C3 thì: S∆M B1C1 + S∆M B3C3 = S∆M PA3 + S ∆M 0QA3 = S ∆PQA3 + S ∆M PQ ( ) Và đó: S ∆M B1C1 + S ∆M B2C2 + S ∆M B3C3 = S ∆PQA3 + S ∆M B1C1 + S ∆M PQ ( ) Tương tự: S∆M1B1C1 + S ∆M1B2C2 + S ∆M1B3C3 = S ∆PQA3 + S ∆MB1C1 + S ∆MPQ Ta thấy quỹ tích cần tìm xác định điều kiện sau đây: S∆MB1C1 + S ∆MPQ = S∆M B1C1 + S ∆M PQ a b Hình 3.6 Bây ta gọi N giao điểm A1 A2 PQ (nếu chúng song song rõ ràng quỹ tích đoạm thẳng đường thẳng song song với chúng) Trên hai cạnh góc ¼ A2 NP ta lấy NR = PQ, NS = B1C1 Khi đó: 72 S∆M B1C1 + S∆M PQ = S ∆M NS + S∆M NR = S∆NRS + S∆M RS Và tương tự: S ∆MB1C1 + S ∆MPQ = S ∆NRS + S ∆MRS Do quỹ tích cần tìm tập hợp điểm M nằm tam giác cho S∆MRS = S∆M RS , đoạn XY đường thẳng qua M (và song song với RS ) + Giả sử ta biết quỹ tích cần tìm n − giác đoạn thẳng qua M Xét ( n + 1) − giác A1 A2 An An +1 Gọi B1C1 , B2C2 , , BnCn đoạn thẳng cho nằm cạnh đa giác, M điểm nằm ( n + 1) − giác (hình 3.6.b) Trên hai cạnh góc ¼ A1 An+1 An , từ đỉnh An+1 ta lấy đoạn An+1P = BnCn , An+1Q = Bn +1Cn+1 , đó: S∆MBnCn + S ∆MBn +1Cn +1 = S ∆MAn +1P + S ∆MAn +1Q = S ∆An +1PQ + S ∆MPQ Do với điểm M quỹ tích cần tìm ta có: S∆MB1C1 + S∆MB2C2 + + S ∆MBn −1Cn −1 + S ∆MPQ = S∆M B1C1 + S∆M B2C2 + + S ∆M Bn−1Cn −1 + S ∆M PQ Nhờ giả thiết quy nạp, quỹ tích cần tìm đoạn thẳng qua M Cách giải toán gợi ý cho ta cách dựng quỹ tích Bài tập 3.21 n mặt phẳng chia không gian làm miền? Trong ba mặt phẳng cắt bốn mặt phẳng có điểm chung (ta gọi mặt phẳng mặt phẳng lệch) Xét liên tiếp toán sau: a) n điểm chia đường thẳng làm phần? Giải Ký hiệu phần chia đường thẳng F1 ( n ) Khi F1 ( n ) = n + b) n đường thẳng chia mặt phẳng làm miền? Cho biết n đường thẳng lệch Giải + Một đường thẳng chia mặt phẳng làm hai miền + Giả sử n đường thẳng lệch chia mặt phẳng làm F2 ( n ) miền Ta xét n + đường thẳng lệch n đường thẳng n + chia mặt phẳng làm F2(n) miền 73 Đường thẳng thứ n + l , theo giả thiết cắt đường n điểm khác Các điểm chia l làm F1 ( n ) = n + phần (theo a) Do đó, l chia n + miền số F2 ( n ) miền nhận trước cảu mặt phẳng từ thêm F1 ( n ) = n + miền vào F2 ( n ) miền Khi đó: F2 ( n + 1) = F2 ( n ) + F1 ( n ) = F2 ( n ) + ( n + 1) (3.1.7) Trong đẳng thức (3.1.7), thay n giá trị n − 1, n − 2, , 2,1 ta được: F2 ( n ) = F2 ( n − 1) + n F2 ( n − 1) = F2 ( n − ) + ( n − 1) F2 ( 3) = F2 ( ) + F2 ( ) = F2 ( 1) + Cộng đẳng thức với Với F2 ( 1) = ta được: F2 ( n ) = F2 ( 1) + n + ( n − 1) + …+  = +  n + ( n − 1) +…+  cuối F2 ( n ) = + n(n + 1) c) n mặt phẳng lệch chia không gian làm miền? Giải Giả sử n mặt phẳng lệch không gian làm F3 ( n ) miền Ta xét n + mặt phẳng chúng chia không gian làm F3(n) miền; n mặt phẳng cắt mặt phẳng α thứ n + theo n giao tuyến lệch chia α làm F2 ( n ) = n2 + n + miền Từ ta có hệ thức sau: n2 + n + (3.1.8) F3 ( n + 1) = F3 ( n ) + F2 ( n ) = F3 ( n ) + Từ đẳng thức (3.1.8) thay n ( n − 1) , ( n − ) , , 2,1 ta có: 74 (n − 1) + (n − 1) + 2 (n − 2) + ( n − 2) + F3 ( n − 1) = F3 ( n − ) + F3 ( n ) = F3 ( n − 1) + 22 + + F3 ( 3) = F3 ( ) + 2 +1+ F3 ( ) = F3 ( 1) + Cộng tất đẳng thức ta được: 1 F3 ( n ) = F3 ( 1) + ( n − 1) + ( n − ) + + 1 + (2 + + + 2) 2 44 43 n lÇn Và cuối với F3 ( 1) = ta được: F3 ( n ) = F3 ( 1) + 1 ( n − 1) + ( n − ) + + 1 + ( + + + 2) 2 44 43 n lÇn = 2+ n(n − 1)(2n − 1) (n − 1)n (n + 1)(n − n + 6) + + (n − 1) = 12 3.2 Bài tập vận dụng Bài 3.1 Chứng minh mệnh đề: “Phương trình x − + x − + x − = có nghiệm nhất” Bài 3.2 Chứng minh mệnh đề: “Phương trình ab( x − a )( x − b) + bc ( x − b)( x − c) + ca ( x − a )( x − c ) = có nghiệm” Bài 3.3 Chứng minh mệnh đề: “Phương trình ( x − a )( x − b) + ( x − b)( x − c ) + ( x − c)( x − a ) = có hai nghiệm phân biệt” Bài 3.4 Cho f ( x) = ax + bx + c Biết phương trình f ( x ) = x vô nghiệm Chứng minh phương trình af ( x ) + bf ( x ) + c = x vô nghiệm Bài 3.5 Giải biện luận phương trình x −m x −3 + = theo tham số m x−2 x Bài 3.6 Giải biện luận phương trình x − mx − m − = theo tham số m 2 Bài 3.7 Giải biện luận phương trình x + x + m = − x + x + theo tham số m 75 Bài 3.8 Tìm công thức tính tổng Sn = + + + + (2n − 1) Bài 3.9 Tìm công thức tính tổng S n = − + − + − + + ( −1) n n Bài 3.10 Tìm công thức tính tổng Sn = + + + + …+ 2n Bài 3.11 Tìm công thức tính tổng S n = 12 + 22 + 32 + + n Bài 3.12 Tìm công thức tính tổng Sn = 13 + 33 + 53 + + (2n − 1)3 Bài 3.13 Chứng minh rằng: Với số nguyên dương n thì: (7 n + + 82 n +1 )M19 Bài 3.14 Chứng minh rằng: (10n + 18n − 1)M27 với ∀n ∈ ¥ * Bài 3.15 Chứng minh rằng: Sn = (n + 1)(n + 2)(n + 3) ( n + n) chia hết cho 2n , với số nguyên dương n Bài 3.16 Chứng minh rằng: 20 + 21 + 22 + 23 + + 25 n −3 + 25 n−2 + 25 n −1 chia hết cho 31 n số nguyên dương Bài 3.17 Chứng minh rằng: a) Nếu tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho b) Hiệu bình phương hai số lẻ chia hết cho 2n n+1 + + + + Bài 3.18 Chứng minh rằng: n = n +1 với + x + x2 + x4 + x2 x − 1 − x2 giá trị x ≠ Bài 3.19 Chứng minh với số nguyên dương n ta có: a) b) 1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ n ( n + 1) = 1.4 + 2.5 + 3.6 + + n ( n + 3) = n(n + 1)(n + 2) n ( n + 1) ( n + ) n(n + 1)(n + 2)(n + 3) Bài 3.20 Chứng minh với số tự nhiên n ta có: c) 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + n ( n + 1) ( n + ) =   1  1  1  1   − ÷.1 − ÷.1 − ÷.1 − ÷ 1 − ÷=          n +1 n +1 Bài 3.21 Chứng minh đẳng thức sau với n số tự nhiên: 76 a) 1 1 n + + + + = với n ≥ 1.3 1.5 5.7 (2n − 1)(2n + 1) 2n + 12 2 32 n2 n( n + 1) với n ≥ + + + + = b) 1.3 3.5 5.7 (2n − 1)(2n + 1) 2(2 n + 1) c) 1 1 ( n − 1)( n + 2) + + + + = với n ≥ 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( n − 1) n( n + 1) 4n( n + 1) Bài 3.22 Chứng minh với số nguyên dương n : 22 − 32 − 42 − n2 − n + a) + + + + = 22 n 2n 22 − 32 − − n2 − n+2 b) + + + + = − n với n ≥ 2! 3! 4! n! n  1 Bài 3.23 Chứng minh với số nguyên dương n ta có:  + ÷ <  n Bài 3.24 Chứng minh số có dạng n n ( n ∈ ¥ , n ≥ ) số trị lớn Bài 3.25 Chứng minh rằng: a) Với số nguyên dương n thì: + 1 1 n + + + + n > −1 1 1 + + + + < 22 32 42 n2 Bài 3.26 Chứng minh với số nguyên dương n : b) Với số tự nhiên n > thì: + + + + n ≤ n n +1 Bài 3.27 Chứng minh bất đẳng thức Cauchy với n số không âm: a1 + a2 + + an n ≥ a1a2 an với a1 , a2 , , an ≥ n Bài 3.28 Chứng minh với số nguyên dương n : a) 2n + + + + + < 36 144 n ( n + 1) b) < 1 1 + + + + < n +1 n + n + 3n + 3 có giá 77 c) 2 n −1 + + + + < 1, ∀n ≥ 2! 3! 4! n! 11 n2 + n − + + + + < d) 2! 3! 4! ( n + 1)! Bài 3.29 Trong n − giác A1 A2 An gọi O1 , O2 , , On trọng tâm ( n − 1) − giác A2 A3 An , A1 A3 An , A1 A2 An −1 Chứng minh hai n − giác O1 , O2 , , On A1 A2 An đồng dạng Bài 3.30 Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C ) , Gọi P điểm đường tròn Chứng minh chân đường vuông góc hạ từ P tới cạnh tam giác ABC thẳng hàng Bài 3.31 Chứng minh hợp thành n phép tịnh tiến phép tịnh tiến Bài 3.32 Cho n số tự nhiên lớn Chứng minh rằng: chia hình vuông thành n hình vuông nhỏ (các hình vuông sau chia không thiết phải nhau) Bài 3.33 Cho n hình vuông Chứng minh cắt chúng (bằng nhát cắt thẳng) làm số mảnh đa giác để từ ghép lại thành hình vuông Bài 3.34 Chứng minh đa giác lồi n, n ≥ cạnh chia thành số hữu hạn ngũ giác lồi Bài 3.35 Cho tam giác ABC , BC lấy thứ tự điểm M , M ,…, M n−1 Gọi r , r1 , r2 ,…, rn ; δ , δ1 , δ ,…, δ n ; R, R1, R2 ,…, Rn bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường tròn bàng tiếp góc A , bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , ABM , AM 1M , AM M ,…, AM n−1C Chứng minh rằng: a) r1 r2 rn r = δ1 δ δ n δ b) r1 + δ1 r2 + δ r + δn r + δ + + + n = R1 R2 Rn R Hướng dẫn a) Chứng minh: r B C = tg tg δ 2 78 b) Chứng minh: r +δ = cos B + cos C 2R Bài 3.36 Chứng minh: Trong ¡ giao họ hữu hạn tập lồi khác rỗng giao ba tập lồi chúng khác rỗng Bài 3.37 Tính cạnh a2n 2n − giác nội tiếp đường tròn bán kính R Bài 3.38 Tìm quy tắc tính P ( n ) số cách chia n − giác lồi làm tam giác đường chéo không cắt Bài 3.39 Trong n − giác lồi, đường chéo không ba đường đồng quy, chia làm miền Bài 3.40 Tìm qui tắc tính P ( n ) số cách chia n − giác lồi làm tam giác đường chéo không cắt Bài 3.41 Tính số N đường chéo không cắt dùng để chia n − giác thành tam giác Bài 3.42 Trên mặt phẳng cho n điểm Hãy dựng n − giác có cạnh đáy tam giác cân, tam giác nhận n điểm làm đỉnh góc đỉnh có số đo cho trước α1 ,α , ,α n Bài 3.43 Cho hai đường thẳng song song l l1 Bằng thước dây chia đoạn AB l làm n phần Bài 3.44 (Định lý Newton) Chứng minh trung điểm hai đường chéo tứ giác ngoại tiếp đường tròn nằm đường thẳng qua tâm đường tròn Bài 3.45 (Định lý Gauss) Chứng minh đường thẳng nối trung điểm hai đường chéo tứ giác lồi (không phải hình bình hành hay hình thang) chia đôi đoạn thẳng nối giao điểm cạnh đối diện Bài 3.46 Cho n điểm A1 , A2 , , An n số a1 , a2 , , an (dương âm) Tìm quỹ tích điểm M để tổng a1 MA12 + a2 MA22 + + an MAn2 số Bài 3.47 n mặt cầu (trong hai mặt cầu giao ba mặt cầu chung điểm) chia không gian làm miền? Bài 3.48 Xét số hữu hạn nửa không gian lấp đầy không gian Chứng minh từ ta chọn bốn không gian để chúng lấp đầy 79 không gian (Một nửa không gian hiểu phần không gian nằm phía mặt phẳng) 80 KẾT LUẬN Trong khóa luận “Ứng dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học giải tập toán” nghiên cứu, tổng hợp, trình bày kiến thức quy nạp phương pháp chứng minh quy nạp toán học Đồng thời đưa hướng khai thác số ứng dụng quy nạp toán học giải số tập toán • Vận dụng quy nạp hoàn toán để chứng minh mệnh đề toán học • Vận dụng quy nạp toán học phát quy luật chứng minh quy luật • Vận dụng quy nạp toán học giải toán chia hết • Vận dụng quy nạp toán học chứng minh đẳng thức • Vận dụng quy nạp toán học chứng minh bất đẳng thức • Vận dụng quy nạp toán học chứng minh đẳng thức • Dạng toán mở rộng định nghĩa hình học nhờ quy nạp • Dạng toán chứng minh định lý, mệnh đề quy nạp • Phép quy nạp tính toán hình học • Dạng toán dựng hình tìm quỹ tích quy nạp • Một số toán không gian nhờ quy nạp Đại số hình học hai lĩnh vực lớn toán học, chúng nghiên cứu lớp toán mà áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học để giải toán Qua lời giải, nhận xét, phân tích hướng khai thác thấy rõ chất đối tượng nghiên cứu mối quan hệ mật thiết số toán với 81 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Văn Như Cương (2005), Hình học sơ cấp thực hành giải toán, Nhà xuất giáo dục [2] Văn Như Cương, Tạ Mân (1998), Hình học afin hình học ơclít, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Đỗ Thụy Đằng, Ngô Đồng, Triều Dương, Đôi chút quy nạp suy diễn [4] Nguyễn Huy Hùng (2011), Phép quy nạp hình học, Bài tập lớn, Khoa Toán Trường Đại học Vinh [5] Hoàng Kỳ (Chủ biên) – Hoàng Thanh Hà (2009), Đại số sơ cấp thực hành giải toán, Nhà xuất Đại học Sư Phạm [6] Hoàng Kỳ (2001), Đại số sơ cấp, Nhà xuất giáo dục [7] Nguyễn Văn Ngọc (1995), Nhập môn lý thuyết tập hợp logic toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội [8] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Đại số 10, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [9] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Đại số giải tích 11, Nhà xuất giáo dục [10] Nguyễn Gia Thơ (2005), Logic quy nạp vai trò nhận thức khoa học, Nhà xuất Khoa học xã hội [11] L.I.Golovina – I.M.Yaglom (Khổng Xuân Hiền dịch) (2008), Phép qui nạp hình học, NXB tổng hợp thành phố Hồ Chí Minh [12] Trang web: www.mathvn.com, www.tailieu.vn, www.luanvan.co 82 MỤC LỤC Trang phụ bìa……………………………………………………………………… i LỜI CẢM ƠN……………………………………………………………………….ii MỤC LỤC………………………………………………………………………….iii DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT……………………………………………….v [...]... sở về phương pháp chứng minh quy nạp toán học, chương này trình bày ứng dụng của phương pháp chứng minh quy nạp toán học trong giải một số bài tập toán Bên cạnh lời giải của các bài toán còn đưa ra nhận xét, phân tích hay hướng khai thác lời giải của bài toán đó 2.1 Ứng dụng quy nạp toán học trong một số bài toán đại số 2.1.1 Vận dụng quy nạp để chứng minh một mệnh đề toán học Bài toán 2.1 Chứng minh. .. trình chứng minh, và quá trình này được thực thi như thế nào thì được gọi là phương pháp chứng minh Các phương pháp chứng minh là rất quan trọng, đặc biệt là trong toán học, trong các phương pháp chứng minh đó có phương pháp chứng minh quy nạp toán học Vậy trên đây là một số kiến thức cơ sở của logic toán, nó chính là những tiền đề, là cơ sở và để nghiên cứu phương pháp chứng minh quy nạp toán học 1.2... cách giải bài toán trên ta thấy: giải bài toán bằng phương pháp chứng minh quy nạp toán tuy dài nhưng ta có thể giải quy t chặt chẽ, còn theo cách hai tuy ngắn nhưng không phải lúc nào ta cũng có thể giải được bài toán Nhận xét Ngoài chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học, thì có thể chứng minh bằng một phương pháp nào đó có thể sẽ ngắn gọn hơn Tuy nhiên, phương pháp quy nạp toán học là phương pháp. .. điểm nổi trội vì nó giải được một lớp các bài toán thuộc các dạng khác nhau Đặc biệt nó có thể giúp ta giải quy t một số bài tập mà sử dụng phương pháp thông thường thì khó có thể giải được 2.1.5 Vận dụng quy nạp toán học trong chứng minh bất đẳng thức Phương pháp chứng minh quy nạp thường sử dụng để chứng minh một bất đẳng thức phụ thuộc vào số nguyên dương n Bài toán 2.9 Chứng minh rằng: 2n > 2n... tức là theo nguyên lý quy nạp toán học ta có : S n = (n 4 + 6n3 + 11n 2 + 6n)M24, ∀n ∈ ¥ * Khai thác Ta thay đổi dữ kiện của bài toán ta được bài toán tương tự Chẳng hạn: 4 3 2 Chứng minh rằng: S n = (25n + 50n − n − 2n) chia hết cho 24 nếu n là một số nguyên dương tùy ý 2.1.4 Vận dụng quy nạp toán học trong chứng minh đẳng thức Phương pháp chứng minh quy nạp thường dùng để chứng minh một đẳng thức phụ... chứng minh chặt chẽ như thế là quy nạp hoàn toàn, mà từ nay ta sẽ gọi là phương pháp chứng minh quy nạp toán học 19 1.3 Phương pháp chứng minh quy nạp toán học Trong cuộc sống cũng như trong khoa học chúng ta cần có một phương pháp làm cho quan niệm của chúng ta gần với kinh nghiệm ở mức độ có thể được Đó là Phương pháp quy nạp toán học Nó đòi hỏi sự ưa thích nhất định đối với cái gì thực tế tồn tại,... phương pháp quen thuộc như: phương pháp chứng minh trực tiếp, chứng minh phản chứng, phương pháp quy nạp là một công cụ mạnh, sắc bén trong giải toán, nhất là những bài toán rối rắm vô cùng Cách đây gần 4 thế kỷ, bằng những cây thước, cái bàn, Pascal đã xây dựng nên lý thuyết quy nạp Từ đó trở đi, quy nạp đã trở thành một phương tiện giúp cho những người học toán trong công cuộc đi tìm những lời giải. .. thể của ε và khi đó quy nạp của ta vô giá trị khi biến n thuộc ¡ Trên thực tế, để chứng minh các bài toán đã nêu chỉ cần vận dụng các biến đổi đại số hoặc các bất đẳng thức quen thuộc Quy nạp vẫn giúp ta giải quy t một số bài toán bất đẳng thức nhưng chỉ trong một số trường hợp nào đó mà thôi 2.2 Ứng dụng quy nạp toán học trong một số bài toán hình học 2.2.1 Mở rộng định nghĩa nhờ quy nạp Những áp dụng. .. rằng quy nạp thực chất cũng chỉ là đi theo một mô hình quen thuộc cho nên bỏ qua vài bước trong đó Ta nên cẩn thận mà hiểu rằng đó là làm trái với tiên đề và như vậy tất nhiên sẽ không có cơ sở gì nói lên rằng chứng minh của ta là đúng Do đó, ta cần trình bày đầy đủ các bước cho một chứng minh quy nạp, điều này rất cần thiết 24 Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUY NẠP TRONG GIẢI BÀI TẬP TOÁN... tự Chẳng hạn: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 , ta có: (10n + 18n − 28)M27 4 3 2 Bài toán 2.5 Chứng minh rằng: Sn = (n + 6n + 11n + 6n)M24 (2.1.4) với ∀n ∈ ¥ * Nhận xét Ở dạng bài toán này, khi chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 , ta biến đổi thông qua giả thiết quy nạp có thể chưa suy ra được điều phải chứng minh Vì vậy, ta tiếp tục áp dụng quy nạp toán học để chứng minh Giải ( ) 4 3