PHN NI DUNG CHNG MT S KIN THC CHUN B 1.1 MT S TNH CHT TRONG HèNH HC PHNG Bi 1.1.1 Cho tam giỏc ABC nhn ni tip ng trũn tõm O cú trc tõm H, tõm ng trũn ni tip I v J l tõm ng trũn bng tip gúc A Gi M, N, P ln lt l trung im ca cỏc cnh BC, CA, AB; D, E, F ln lt l chõn ng cao k t A, B, C; A, B, C ln lt l cỏc im i xng vi A, B, C qua O; A1;B1;C1 ln lt l giao im th hai ca cỏc ng thng AH, BH, CH vi ng trũn (O); K l giao im th hai ca AI vi ng trũn (O) a) Chng minh CHBA l hỡnh bỡnh hnh, AH POM , AH = 2OM Chng minh O, H, G thng hng v OH = 3OG (G l trng tõm tam giỏc ABC) b) Chng minh A1 i xng vi H qua BC; B1 i xng vi H qua AC; C1 i xng vi H qua AB t ú suy cỏc ng trũn ngoi tip cỏc tam giỏc HBC, HCA, HAB ln lt i xng vi ng trũn (O) qua BC, CA, AB c) Chng minh OA EF , OA B1C1 d) Chng minh H l tõm ng trũn ni tip tam giỏc DEF e) Chng minh O l trc tõm tam giỏc MNP f) Chng minh cỏc im M, N, P, D, E, F v trung im ca cỏc on HA, HB, HC cựng thuc mt ng trũn g) Chng minh K l trung im cung BC, cỏc tam giỏc KBI v KCI cõn h) K l trung im ca IJ Gii: ã a) Ta cú: CH AB,ABA ' = 90o ã CH PBA ' BH AC,ACA ' = 90o BH PCA ' CHBA l hỡnh bỡnh hnh M l trung im BC, suy M l trung im ca HA 1 OM BC OM PAH OM = AH Do GM = GA O,G,H thng hng 2 uuur uuur v OH = 3OG OH = 3OG ã ã ã b) HBC (cựng ph vi gúc ACB ) = HAC ã ã ã ã A1C ), suy HBC HBA1 DBA = DBA = HAC (cựng chn cung tam giỏc cõn ti H, suy H, A1 i xng vi qua BC Tng t, B1 i xng vi H qua AC v C1 i xng vi H qua AB Cỏc ng trũn ngoi tip cỏc tam giỏc HBC, HCA, HAB ln lt i xng vi ng trũn (O) qua BC, CA, AB c) Cỏch 1: Dng tip tuyn At ca ng trũn (O) ã ã ã ã T giỏc BCEF ni tip suy FBC = FEA FEA = EAt EF PAt EF OA EF l ng trung bỡnh ca tam giỏc B1HC1 B1C1 OA Cỏch 2: T giỏc BHCA l hỡnh bỡnh hnh suy M l trung im HA Gi Q l trung im AH, suy t giỏc AEHF ni tip ng trũn tõm Q T giỏc BCEF ni tip ng trũn tõm M, suy QM EF OA EF OA B1C1 ã ã ã d) ABE (cựng ph vi gúc BAC ) = ACF Hai t giỏc BDHF v CDHE ni tip, suy ã ã ã ã FDH = FBH;EDH = ECH ã ã hay DH l phõn giỏc FDH = EDH ã gúc EDF , tng t suy H l tõm ng trũn ni tip tam giỏc DEF e) OM BC,OP AB suy O l trc tõm ca tam giỏc MNP f) Gi s D nm gia B v M DM PPN, DP = MN = AB, suy DMNP l hỡnh thang cõn nờn t giỏc DMNP ni tip, tng t suy sỏu im D, E, F, M, N, P cựng thuc mt ng trũn Gi T l trung im HC Do t giỏc CDHE ni tip ng trũn ng kớnh HC, ã ã ã ã suy HNT = 2HCE = 2HDE = EDF t giỏc DTEF ni tip, tng t ta cú im D, E, F, M, N, P v ba trung im ca cỏc on HA, HB, HC cựng thuc mt ng trũn ã g) Do AK l phõn giỏc gúc BAC , suy K l trung im cung BC Gi S l giao im th hai ca ng thng BI vi ng trũn (O) Do S l trung im cung AC v K l trung ã ã im cung BC, suy BIK hay tam = KBI giỏc BKI cõn ti K Tng t ta cú tam giỏc KIC cõn ti K h) Do IB JB,IC JC suy t giỏc BICJ ni tip ng trũn ng kớnh IJ, K l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc BIC, suy K l trung im IJ Bi 1.1.2 Cho hỡnh ch nht ABCD, M l mt im trờn cnh AB (khỏc A v B) Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca B trờn ng thng DM Chng minh AH CH Gii: ã Do BHD = 90o H thuc ng trũn ng kớnh DB Suy H thuc ng trũn ngoi tip hỡnh ch nht ABCD Suy H thuc ng trũn ã ng kớnh AC hay AHC = 90o AH CH Bi 1.1.3 Cho hỡnh ch nht ABCD, M l trung im ca BC Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca D trờn AC, N l trung im on AH Chng minh ã DNM = 90o Gii: Cỏch 1: Gi E l trung im ca DH, suy NE PAD , NE = AD = MC t giỏc CMNE l hỡnh bỡnh hnh, CE PMN Do NE DC nờn E l trc tõm ca tam giỏc NDC, ta cú CE DN suy MN DN uuuur uuur uuur uuur uuur uuur Cỏch 2: Ta cú: 2MN = BA + CH,2DN = DA + DH uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 4MN.DN = BA + CH DA + DH = CH.DA + CD.DH Suy ( )( ) = CH.HA DH = MN DN Bi 1.1.4 Cho tam giỏc ABC cõn ti A, D l trung im ca BC Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca D trờn cnh AC, M l trung im ca HD Chng minh BH AM Gii: Gi N l trung im ca HC MN PCD , DN PBH , MN AD M l trc tõm ca tam giỏc AND Suy AM DN AM BH Bi 1.1.5 Cho hỡnh vuụng ABCD cú M, N ln lt l trung im ca cỏc cnh BC, CD Chng minh AM BN Gii: Xột hai tam giỏc ABM v tam giỏc BCN cú: ã ã ABM = BCN,AB = BC,BM = CN ã ã ABM = BCN BAM = CBN ã ã ã ã Do BAM + AMB = 90o CBN + AMB = 90o AM BN Bi 1.1.6 Cho hỡnh vuụng ABCD tõm I, M l im i xng vi D qua C Gi H, K ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca C, D trờn AM Chng minh IK / /BH v D, K i xng qua ng thng HI Gii: ã Do AHC = 90o suy nm im A, B, H, C, D cựng thuc mt ng trũn tõm I nờn ã ã AHB = ADB = 45o v ã ã ã ã AHD = ABD = 45o T giỏc ADIK ni tip, suy IKH = ADI = 45o ã KI PBH , KI l phõn giỏc ca gúc vuụng DKH suy KI DH tam giỏc DKH cõn ti K nờn D, H i xng vi qua ng thng KI Bi 1.1.7 Cho tam giỏc ABC nhn, dng bờn ngoi tam giỏc ABC cỏc tam giỏc MAB v NAC vuụng cõn ti A Gi I l trung im ca BC Chng minh AI MN Gii: Cỏch 1: Dng hỡnh bỡnh hnh ABDC, ta cú ã ã ã (cựng bự vi gúc ABC ), ACD = NAM CD = AB = AM,AN = CA ã ã suy CD = NAM MNA = DAC Gi H l giao im ca AI v MN Do ã ã ã ã HAN + DAC = 90o MNA + HAN = 90o AI MN uur uuur uuur uuuur uuur uuuur ã ã Cỏch 2: Ta cú: MAC = NAB,2AI = AB + AC,MN = AN AM uur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur 2AI.MN = AB + AC AN AM = AB.AN AC.AM ( )( ) ã ã = AB.AN.cos NAB AC.AM.cos MAC = AI MN Bi 1.1.8 Cho ng trũn tõm O v mt im M nm bờn ngoi (O) Dng cỏc tip tuyn MA, MB ti (O) (A, B l cỏc tip im), C l im i xng vi A qua O Tip tuyn ca (O) ti C ct ng thng AB ti E Chng minh IE MC Gii: Cỏch 1: Dng hỡnh bỡnh hnh ADCE, suy ba im D, O,E thng hng OM AB,AC DM O l trc tõm ca tam giỏc MCD nờn DE AC Cỏch 2: Gi I = BC EO ã ã ã ã ã Ta cú: BCE = BAC = BMO,MBO = CBE = 90o BOM BEC BM BO ã BM = EBO ã ã ã = Li cú: C BEO BMC BEO = BCM BC BE ã ã ã ã OIC + BCM = BIO + BEI = 90o AC IE Bi 1.1.9 Cho hỡnh ch nht ABCD, H l hỡnh chiu vuụng gúc ca B trờn AC Trờn tia i ca tia BH ly im E cho ã BE = AC Chng minh ADE = 45o Gii: Gi K, I ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca E lờn cỏc ng thng AB, DC ã ã ã ã ã Ta cú: EBK v = ABH = ACB BEK = ABC BE = AC , suy ABC = EKB KE = AB = CD,BC = BK BKIC l hỡnh vuụng Suy tam giỏc DIE vuụng cõn ti I ã ã EDI = 45o ADE = 45o Bi 1.1.10 Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú ng cao AH (H thuc cnh BC) Gi D l im i xng vi B qua H; K l hỡnh chiu vuụng gúc ca C trờn ng thng AD Gi M l trung im ca AC, chng minh HM AK Gii: Do tam giỏc ABD cõn ti A v H l trung im ã ã ã ca BD, ta cú KDC = BDA = ABD ã ã BAH = KCD Do tam giỏc HMC cõn ti C v AH BC , suy ã ã ã MHD = MCH = BAH ã ã ã ã MHD + ADH = BAH + ABH = 90o HM AK 1.2 MT S BI TP T LUYN Bi 1.2.1 Cho ng trũn ( O;R ) , ng kớnh AB K tip tuyn Ax v ly trờn tip tuyn ú mt im P cho AP > R , t P k tip tuyn tip xỳc vi ( O ) ti M a) Chng minh rng t giỏc APMO l t giỏc ni tip b) Chng minh BM POP c) ng thng vuụng gúc vi AB O ct tia BM ti N Chng minh rng t giỏc OBNP l hỡnh bỡnh hnh d) Bit AN ct OP ti K, PM ct ON ti I; PN v OM kộo di ct ti J Chng minh I, J, K thng hng Bi 1.2.2 Cho na ng trũn tõm O ng kớnh AB v im M bt kỡ trờn na ng trũn (M khỏc A, B) Trờn na mt phng b AB cha na ng trũn k tip tuyn Ax Tia BM ct Ax ti I; tia phõn giỏc gúc IAM ct na ng trũn ti E, ct tia BM ti F; tia BE ct Ax ti H, ct AM ti K a) Chng minh rng t giỏ EFMK l t giỏc ni tip b) Chng minh rng AI = IM.IB c) Chng minh BAF l tam giỏc cõn d) Chng minh t giỏc AKFH l hỡnh thang cõn e) Xỏc nh v trớ ca M t giỏc AKFI ni tip c mt ng trũn Bi 1.2.3 Cho tam giỏc ABC vuụng A ( AB > AC ) , ng cao AH Trờn na mt phng b BC cha im A V na ng trũn ng kớnh BH ct AB ti E Na ng trũn ng kớnh HC ct AC ti F a) Chng minh rng t giỏc AFHE ni tip c b) Chng minh rng BEFC l t giỏc ni tip c) Chng minh rng AE.AB=AF.AC d) Chng minh EF l tip tuyn chung ca hai na ng trũn Bi 1.2.4 Cho tam giỏc ABC vuụng ti A Trờn cnh AC ly im M, dng ng trũn tõm O cú hỏn kớnh MC ng thng BM ct ng trũn O ti D ng thng AD ct ng trũn tõm O ti S a) Chng minh ABCD l t giỏc ni tip c ã b) Chng minh CA l tia phõn giỏc ca gúc SCB c) Gi E l giao im ca BC vi ng trũn tõm O Chng minh ng cỏc ng thng BA, EM, CD ng qui d) Chng minh im M l tõm ng trũn ni tip tam giỏc ADE Bi 1.2.5 Cho tam giỏc ABC vuụng A v mt im D nm gia A v B ng trũn ng kớnh BD ct BC ti E Cỏc ng thng CD, AE lõn lt ct ng trũn ng kớnh BD ti F, G Chng minh rng: a) Tam giỏc ABC ng dng tam giỏc EBD b) T giỏc ADEC v AFBC ni tip c) AC PFG d) Cỏc ng thng AC, DE, FB ng qui Bi 1.2.6 Cho tam giỏc u ABC cú ng cao AH Trờn cnh BC ly im M bt kỡ (M khụng trựng vi B, C) T M k MP, MQ ln lt vuụng gúc vi cỏc cnh AB, AC a) Chng minh t giỏc APMQ l t giỏc ni tip v hóy xỏc nh tõm O ca ng trũn ngoi tip t giỏc ú 10 b) Chng minh rng MP + MQ = AH c) Chng minh OH PQ Bi 1.2.7 Cho ng trũn (O) ng kớnh AB Trờn on thng OB ly im H bt kỡ (H khụng trựng O); trờn ng thng vuụng gúc vi OB ti H, ly mt im M ngoi ng trũn ng thng MA v MB theo th t ct ng trũn (O) ti C v D Gi I l giao im ca AD v BC a) Chng minh t giỏc MCID l t giỏc ni tip b) Chng minh cỏc ng thng AD, BC, MH ng qui ti I c) Gi K l tõm ng trũn ngoi tip t giỏc MCID Chng minh KCOH l t giỏc ni tip Bi 1.2.8 Cho ng trũn ( O ) ng kớnh AC Trờn bỏn kớnh OC ly im B tựy ý (B khỏc O v C) Gi M l trung im ca on AB Qua M k dõy cung DE vuụng gúc vi AB Ni CD, k BI vuụng gúc vi CD a) Chng minh rng t giỏc BMDI l t giỏc ni tip b) Chng minh ADBE l hỡnh thoi c) Chng minh BI PAD d) Chng minh I, E, B thng hng Bi 1.2.9 Cho tam giỏc ABC vuụng A Dng ngoi tam giỏc ABC cỏc hỡnh vuụng ABHK, ACDE a) Chng minh ba im H, A, D thng hng b) ng thng HD ct ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC ti F, chng minh FBC l tam giỏc vuụng cõn ã c) Cho ABC > 45o Gi M l giao im ca BF v ED Chng minh nm im B, K, E, M, C cựng nm trờn mt ng trũn d) Chng minh MC l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC ã Bi 1.2.10 Cho tam giỏc ABC nhn cú ABC = 45o V ng trũn ng kớnh AC cú tõm O, ng trũn ny ct BA v BC ti D v E a) Chng minh AE = EB 11 b) Gi H l giao im ca CD v AE Chng minh rng ng trung trc ca on HE i qua trung im I ca BH c) Chng minh OD l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip tam giỏc BDE Bi 1.2.11 Trong hỡnh ch nht ABCD im M l trung im ca cnh AD, N l trung im ca on thng BC Trờn phn kộo di ca on thng CD v phớa D ly im P Giao im ca cỏc ng thng PM v AC l Q Chng minh ã ã rng QNM = MNP Bi 1.2.12 Trờn cỏc cnh BC v CD ca hỡnh bỡnh hnh ABCD dng v phớa ngoi cỏc tam giỏc u BCK v DCL Chng minh rng tam giỏc AKL u Bi 1.2.13 Trờn cỏc cnh gúc vuụng CA v CB ca tam giỏc vuụng cõn ABC ly cỏc im D v E cho CD = CE Phn kộo di ca cỏc ng thng vuụng gúc h t cỏc im D v C xung ng thng AE ct cnh huyn AB tng ng ti cỏc im K v L Chng minh rng KL = LB ã ã Bi 1.2.14 Bờn tam giỏc ABC ly im P cho PAC T im = PBC P xung cỏc BC v CA h cỏc ng vuụng gúc PM v PK tng ng Gi s D l trung im ca cnh AB Chng minh rng DK = AM.BN Bi 1.2.15 Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD vi gúc nh A nhn Trờn cỏc tia AB v CB ly cỏc im H v K tng ng cho CH = BC v AK = AB Chng minh rng: a) DH = DK b) DKH ABK Bi 1.2.16 Qua mt im P bt kỡ trờn cnh AC ca tam giỏc ABC k cỏc ng thng song song vi cỏc trung tuyn AK v CL, ct cỏc cnh BC v AB ti E v F tng ng Chng minh rng cỏc trung tuyn AK v CL chia on thng EF thnh ba on bng Bi 1.2.17 Hai ng trũn ct ti cỏc im M v K Qua M v K k cỏc ng thng AB v CD tng ng, ct ng trũn th nht ti cỏc im A v C, ct ng trũn th hai ti cỏc im B v D Chng minh rng AC PBD 12 gii c cỏc bi toỏn hỡnh hc gii tớch mt phng, trc tiờn hc sinh cn phi nm c cỏc tớnh cht hỡnh hc phng, bit cỏch chng minh cỏc tớnh cht hỡnh hc phng nh chng minh vuụng gúc, song song, tam giỏc ng dng, tớnh s o gúc Trong phn ny tụi xin a mt s vớ d thy thy rừ c tm quan trng ca vic cn phi nm chc cỏc tớnh cht hỡnh hc phng gii cỏc bi toỏn hỡnh gii tớch mt phng Bi 2.1.1 Cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A, cú trng tõm G Gi E, H ln lt l trung im ca cỏc cnh AB, BC; D l im i xng vi H qua A, I l giao im ca ng thng AB v ng thng CD Bit im D ( 1; 1) , ng thng IG cú phng trỡnh 6x 3y = v im E cú honh bng Tỡm ta cỏc nh ca tam giỏc ABC (Trớch thi HSG lp 12 tnh Vnh Phỳc nm hc 2015-2016) Trong vớ d ny, gii c thỡ iu quan trng nht l hc sinh cn phi chng minh c DE CE, DE PIG Chớnh vỡ vy tụi xin a mt s cỏch chng minh nh sau: y Cỏch 1: Xột bi toỏn ph, chn h trc ta Axy nh hỡnh v v gi s AB = AC = thỡ ta cú: A ( 0;0 ) ,B ( 0;2 ) ,C ( 2;0 ) , suy H ( 1;1) ,D ( 1; 1) , x 2 E ( 0;1) , G ; ữ 3 uuur uuur DE ( 1;2 ) ,CE ( 2;1) , uur uuur uur uuur uuur I 0; ữ IG ; ữ DE.CE = 0,IG.CE = DE CE,IG CE 3 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Cỏch 2: DE = DA + AE = AB + AC + AB = AB + AC 2 ( ) 16 uuur uuur uuur uuur uuur CE = AB AC Suy DE.CE = DE CE , t giỏc CDEH ni tip suy ã ã ã ã ECD = EHD = 45o ECD = ABH = 45o t giỏc AGCI ni tip nờn IG CE Vy DE CE,IG CE Gii: Gi K l trung im ca BI, suy HK PCD A l trung im ca KI, 1 HK = DI = IC ; AK = BK 2 GK PAC GK AB GB = GI = GC hay G l tõm ng trũn i qua ba im C, I, B ã ã CGI = 2IBC = 90o , ID = IC DE PIG Phng trỡnh ng thng DE: 2x y + = E ( 1;3) CE IG , suy phng trỡnh CE :x + 2y = Ta ca G l nghim ca x = x + 2y = 7 G ; ữ C ( 5;1) h phng trỡnh 3 6x 3y = y = uuur uuur DG = AG A ( 1;1) B ( 1;5 ) Vy, A ( 1;1) ,B ( 1;5 ) v C ( 5;1) Bi 2.1.2 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC cú trc tõm H ( 3;0 ) , I ( 6;1) l trung im ca BC v ng thng AH cú phng trỡnh x + 2y = Gi D, E ln lt l chõn ng cao k t B v C ca tam giỏc ABC Xỏc nh ta cỏc nh tam giỏc ABC, bit ng thng DE cú phng trỡnh x = v im D cú tung dng 17 Gii: Gi K l trung im ca AH T giỏc ADHE ni tip ng trũn tõm K v BCDE ni tip ng trũn tõm I Suy IK DE phng trỡnh IK :y = Ta K ( 1;1) A ( 1;2 ) D ( 2;a ) DE Ta cú a = KA = KD = + ( a 1) D ( 2;3) a = 1( loaùi) Phng trỡnh AC :x 3y + = Phng trỡnh BC :2x y 11 = Ta C ( 8;5 ) B ( 4; 3) Vy, A ( 1;2 ) , B ( 4; 3) v C ( 8;5 ) Bi 2.1.3 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc nhn ABC cú trc tõm H thuc ng thng d : 2x y = v cú honh nh hn Gi M l im trờn cung nh BC ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC, gi D l im i xng ca M qua AB ng trũn i qua ba im A, B, D cú phng trỡnh 2 14 65 x + + y ữ ữ = Tỡm ta cỏc nh B, C bit A ( 2;5 ) , ng thng 3 BC i qua im E ( 9;0 ) v B, C cú ta nguyờn Gii: Vỡ M v D i xng vi ã ã qua AB nờn ADB = AMB ã ã Mt khỏc ACB , = AMB ã ã ACB + AHB = 1800 18 ã ã nờn ADB + AHB = 1800 Do ú t giỏc AHBD l t giỏc ni tip A,D,B,H cựng thuc mt ng trũn a = 10 14 65 H ( a;2a ) a + ữ + 2a ữ = H ; ữ 3 a = ( loaùi ) 2 Phng trỡnh ng thng BC : x + 5y = B ( 5b + 9;b ) b = 2 29 14 65 B ( 1;2 ) M B ( C ) nờn 5b + ữ + b ữ = 27 b = loaù i ( ) 3 13 Phng trỡnh ng thng AC : 2x + y = C ( 4;1) Vy B ( 1;2 ) , C ( 4;1) Bi 2.1.4 Trong mt phng ta Oxy cho hỡnh thang ABCD vuụng ti A v D cú CD = 2AB Gi H ( 1;0 ) l hỡnh chiu vuụng gúc ca D trờn AC v N l trung im ca HC Tỡm ta cỏc im A, C, D bit phng trỡnh ng thng DN l x 2y = v im B ( 1;2 ) Gii: Gi K l trung im DH Ta cú ABNK l hỡnh bỡnh hnh nờn KN AD K l trc tõm tam giỏc AND AK DN BN DN Phng trỡnh ng thng BN l 2x + y = ta N ( 2;0 ) C ( 5;0 ) Phng trỡnh t AC l y = nờn phng trỡnh ng thng DH l x + = Ta uuur uuur im D 1; ữ Ta cú CD = 2BA A 2; ữ Bi 2.1.5 Trong mt phng vi hờ ta Oxy, cho hỡnh ch nht ABCD cú im E, F ln lt nm trờn cỏc cnh AB, AD cho EB = 2EA, FA = 2FD 19 Bit F ( 2;1) v phng trỡnh ng thng CE : x 3y = ,tam giỏc CEF vuụng ti F Tỡm ta im C bit C cú honh dng Gii: ã ã Ta cú t giỏc CBEF l t giỏc ni tip FCE = FBE ã ã ã FEA = FCB = CFD t AB = y , AD = x ( x, y > ) AF = 2x x y 2y ;DF = ;AE = ;BE = 3 3 Ta cú: ã ã tan CFD = tan FEA y2 = x uuur r Gi s C ( 3a + 9;a ) FC = ( 3a + 7;a 1) ( a > ) Vtcp ca CE l u = ( 3;1) ã cos FCE = 10a + 20 10 10a + 40a + 50 = a+2 a + 4a + a+2 2 15 15 ã = Vi y = x ta cú: cos FCE = 5 a + 4a + + a = ( loại ) a = + + C ; Vy ta ữ 2 Bi 2.1.6 Trong mt phng vi h ta Oxy cho hỡnh ch nht ABCD cú im C thuc ( d ) : x + 3y + = v A ( 1; ) Gi M l im thuc tia i ca tia BC cho MC = 2BC , N l hỡnh chiu vuụng gúc ca B trờn MD Tỡm B,C bit N ; ữ 2 20 Gii: Ta cú ng giỏc ADCBN ni tip ng trũn ng kớnh BD Ng giỏc cng ni tip ng trũn ng kớnh AC AN NC Vỡ AN NC ( NC ) : 7x + 9y + 13 = ( NC ) ( d ) = C C ( 2; 3) Gi B ( a;b ) M ( 2a 2;2b + 3) a = b = 219 uuur uuur 2 22 AB BC 4a + 11a + 4b + 3b = Ta cú: uuuur uuur a 3a + b 2b 13 = NM NB a = 421 b = 55 219 421 Kt lun: Vy C ( 2; 3) ,B ; ữ hoc C ( 2; 3) ,B ; ữ 22 55 2.2 BI TP THAM KHO Bi 2.2.1 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC cú nh B(0; 2) , trng tõm v trc tõm ca tam giỏc ln lt l cỏc im G ; ữ v 3 H(1; 3) Tỡm ta nh C, bit C cú honh ln hn Bi 2.2.2 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC cú A(1; 1) , 7 trng tõm l im G ; ữ v ng trũn ngoi tip (C) cú phng trỡnh 3 2x + 2y 9x 9y + 14 = Vit phng trỡnh cnh BC Bi 2.2.3 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC cú B(0; 2), C(3; 2) v ng trũn ngoi tip tam giỏc cú phng trỡnh l 21 (C) :x + y 3x 5y + = Tỡm ta trc tõm H ca tam giỏc ABC, bit rng im H nm trờn ng thng d :x y + = Bi 2.2.4 Trong mt phng vi h ta Oxy, Cho tam giỏc ABC cú A ( 3; ) , trc tõm H ( 3; 1) , tõm ng trũn ngoi tip l I ( 2;0 ) Xỏc nh ta nh C bit C cú honh dng Bi 2.2.5 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC cú nh A ( 0;3) , trc tõm H ( 0;1) v trung im M ( 1;0 ) ca cnh BC Tỡm ta im B, bit B cú honh õm Bi 2.2.6 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho nh A ( 2;6 ) , tõm ng trũn ni tip D ( 2;1) v tõm ng trũn ngoi tip E ;1ữ Tỡm ta cỏc nh B v C, bit rng nh C cú honh dng Bi 2.2.7 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC cú nh A ( 2;6 ) , chõn ng phõn giỏc k t nh A l im D 2; ữ v tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC l im I ;1ữ Tỡm ta cỏc nh B, C ca tam giỏc ó cho Bi 2.2.8 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC cú cỏc im 18 D ; ữ;E ( 3;0 ) ;F ( 2;2 ) ln lt l chõn ng cao h t cỏc nh A, B, C ca 5 tam giỏc ABC Vit phng trỡnh cỏc cnh ca tam giỏc ABC 22 Bi 2.2.9 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC cú nh A(2; 3) , ta tõm ng trũn ngoi tip l I(6; 6) , ta tõm ng trũn ni tip l K(4; 5) Vit phng trỡnh cỏc cnh ca tam giỏc ABC Bi 2.2.10 Trong mt phng ta Oxy, cho tam giỏc ABC cú nh A(1; 3) , trc tõm H(1; 1) v tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc I(2; 2) Tỡm ta cỏc nh B, C ca tam giỏc ABC Bi 2.2.11 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC cú trc tõm H(2; 1) v tõm ng trũn ngoi tip I(1; 0) Trung im BC nm trờn ng thng x 2y = Tỡm ta cỏc nh B, C; bit rng ng trũn ngoi tip tam giỏc HBC i qua im E(6; 1) v honh ca B nh hn Bi 2.2.12 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC cú A(2; 1) , trc tõm H(2; 1) v BC = 20 Gi B, C ln lt l chõn ng cao k t cỏc nh B, C Lp phng trỡnh ng thng BC, bit rng trung im M ca cnh BC nm trờn ng thng cú phng trỡnh x 2y = , tung ca M dng v ng thng BC i qua im E(3; 4) Bi 2.2.13 Cho ng trũn (T) tõm I, bỏn kớnh R = T im K ( 3;2 ) ngoi ng trũn (T) k cỏc tip tuyn KA, KB ti (T) (A, B l cỏc tip im) Ly C i xng vi A qua I Tip tuyn ca (T) ti C ct AB ti E, bit C thuc ng thng d :2x + y = 0,IE :x 3y = Vit phng trỡnh ng trũn (T) Bi 2.2.14 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC khụng l tam giỏc vuụng v ni tip ng trũn (I) (ng trũn (I) cú tõm l I); im H ( 2;2 ) l trc tõm tam giỏc ABC K cỏc ng kớnh AM, BN ca ng trũn (I) Tỡm ta cỏc nh ca tam giỏc ABC bit M ( 5;3) , N ( 1;3) v ng thng BC i qua im P ( 4;2 ) 23 Bi 2.2.15 Trong mt phng vi h to Oxy, cho ABC cú A ( 2;3) , ng phõn giỏc gúc A cú phng trỡnh x y + = v tõm ng trũn ngoi tip ABC l I ( 6;6 ) Vit phng trỡnh cnh BC, bit SABC = 3SIBC Bi 2.2.16 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC cú chõn ng phõn giỏc ca gúc A l im D ( 1; 1) ng thng AB cú phng trỡnh 3x + 2y = , tip tuyn ti A ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC cú phng trỡnh x + 2y = Vit phng trỡnh ng thng BC Bi 2.2.17 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC cõn ti A ni tip ng trũn tõm I ( 0;5 ) ng thng AI ct ng trũn ti M ( 5;0 ) ( M 17 khỏc A) ng cao i qua C ct ng trũn I ti N ; ữ, N C Tỡm ta 5 cỏc nh A,B,C bit honh im B ln hn O Bi 2.2.18 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD cú im B thuc ng thng 5x + 3y 10 = Gi M l im i xng vi D qua C; H, K ln lt l hỡnh chiu ca D, C trờn AM Bit K ( 1;1) , phng trỡnh ng thng i qua im H v tõm hỡnh vuụng ABCD l 3x + y + = Tỡm ta cỏc nh B, D Bi 2.2.19 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh thang ABCD vi hai ỏy AB, CD Bit din tớch l 14, nh A ( 1;1) , trung im ca BC l H ;0 ữ Vit phng trỡnh ng thng AB bit D cú honh dng v D thuc ng thng d :5x y + = Bi 2.2.20 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh thang ABCD cú =D = 90o , CD = 2AB Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca im D trờn ng A 22 14 chộo AC Bit M ; ữ l trung im ca HC, nh D ( 2;2 ) , nh B thuc 5 24 ng thng x 2y + = , ng thng BC qua E ( 5;3) Tỡm ta cỏc nh A, B, C Bi 2.2.21 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC cõn ti A ng thng AC cú phng trỡnh 3x y = Gi H l trung im ca BC, D l hỡnh chiu vuụng gúc ca H trờn AC v M l trung im ca HD ng thng BD i qua E ( 8; ) v phng trỡnh ng thng AM :11x 7y = Tỡm ta cỏc nh ca tam giỏc ABC Bi 2.2.22 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD Gi M l mt im trờn on BD; E, F ln lt l hỡnh chiu ca M trờn AB v AD; 48 H ; ữ l giao im ca CM v ED Xỏc nh ta cỏc nh ca hỡnh 13 13 vuụng ABCD, bit cỏc ng thng FC :x + y + = ; EF :6x 7y + 109 =0 Bi 2.2.23 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC cú chõn ng cao h t B, C xung cnh i din ln lt l K ( 2;2 ) ,E ( 2;2 ) im 16 P ; ữ l hỡnh chiu vuụng gúc ca E xung BC Tỡm ta cỏc nh ca tam giỏc ABC Bi 2.2.24 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn ( C ) :( x ) 2 + ( y + ) = v hai im A ( 2; 1) , B ( 2; ) Mt ng kớnh MN thay i cho cỏc ng thng AM, AN ct tip tuyn ca (C) ti B ln lt ti P v Q Tỡm ta trc tõm H ca tam giỏc MPQ bit im H nm trờn ng thng d :x y + = Bi 2.2.25 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC ni tip ng trũn cú A ( 2;9 ) Trung im ca BC l D ; ữ Bit BC vuụng gúc vi 2 ng thng 3x y + 2015 = Gi M l im tỳy ý thuc cung nh BC im 25 P, Q tng ng i xng vi M qua AC v AB Bit phng trỡnh ng thng cha PQ l y = Tỡm ta cỏc nh B, C ca tam giỏc ABC Bi 2.2.26 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh thang ABCD vuụng ti A v B, cú AD = AB = BC im A ( 2;3) , im E ;3 ữ l giao im ca hai ng chộo AC v BD, im D nm trờn ng thng d :3x + y = Tỡm ta nh B, C, D ca hỡnh thang ABCD Bi 2.2.27 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (I) : ( x 1) + ( y ) = T mt im A nm ngoi (I) k hai tip tuyn AB, 2 AC n (I) vi B,C l cỏc tip im Gi E, F ln lt l trung im AB, AC 17 Tỡm to cỏc nh A, B, C bit im M ;4 ữ nm trờn ng thng EF, im A cú honh nguyờn thuc ng thng x + y 10 = Bi 2.2.28 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh ch nht ABCD cú E AB;F(2;1) AD cho EB = 2EA ; FA = 3FD v tam giỏc CEF vuụng ti F Bit rng phng trỡnh CE : x 3y = v x C > Tỡm ta cỏc nh ca tam giỏc ABC Bi 2.2.29 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC vuụng ti A ( AB < AC ) cú ta nh B ( 2;1) ng cao AH cú phng trỡnh x + 2y 10 = Trờn cnh AC ly im D cho AB = CD K MD vuụng ã gúc vi AH ti M ng phõn giỏc gúc CBM ct ng thng AH ti N Tỡm ta im N Bi 2.2.30 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC cú I ; ữ 16 v E ( 1;0 ) ln lt l tõm ng ngoi tip v ni tip tam giỏc ng 26 trũn (T) bng tip gúc A ca tam giỏc ABC cú tõm F ( 2; ) Xỏc nh ta cỏc nh ca tam giỏc ABC bit B cú honh õm KT LUN ti ny, tụi ó trỡnh by c mt s sau: a mt s vớ d v cỏc tớnh cht hỡnh hc phng a h thng bi rốn luyn cỏc tớnh cht hỡnh hc phng Vn dng cỏc tớnh cht hỡnh hc phng vo lm cỏc bi hỡnh hc gii tớch mt phng a h thng bi tham kho v hỡnh hc gii tớch mt phng ti ny nhm cung cp cho giỏo viờn v cỏc em hc sinh mt ti liu tham kho v ch i hỡnh hc gii tớch mt phng Vi vic a cỏc tớch cht quan trng hỡnh hc phng ỏp dng vo gii cỏc bi toỏn hỡnh hc gii tớch mt phng ti s giỳp hc sinh cú cỏi nhỡn sõu sc hn v ch ny, giỳp cho vic hc ch hỡnh hc gii tớch mt phng, l mt ch khú tr nờn d dng i vi trng trung hc ph thụng Trn Phỳ, ti ó, ang v s gúp phn nõng cao cht lng ging dy mụn Toỏn, nõng cao cht lng thi hc sinh gii v cht lng thi tuyn sinh i hc, cao ng 27 KIN NGH i vi giỏo viờn: Khụng ngng u t vo chuyờn mụn, nghip v s phm Khụng ngng nghiờn cu i mi v nõng cao cht lng ging dy Cn cú s quan tõm chỳ ý n kh nng nhn thc ca cỏc i tng hc sinh a cỏc phng phỏp dy hc phự hp vi tng i tng ú Giỳp hc sinh cú hng thỳ hc b mụn Toỏn núi riờng v cỏc mụn hc nh trng núi chung i vi nh trng v t chuyờn mụn: Trong cỏc bui hp t nờn t chc giao lu cỏc chuyờn gia cỏc giỏo viờn t, giỳp gii quyt cỏc bi toỏn khú, cỏc ny sinh quỏ trỡnh ging dy Xa hn na, cú th t chc cỏc bui giao lu chuyờn vi mt s trng cú cht lng ging dy tt tnh cng nh cỏc tnh bn giỳp cho cỏc giỏo viờn t cú c hi hc hi cỏc kinh nghim ca cỏc ng nghip, giỳp nõng cao cht lng dy v hc ca trng trung hc ph thụng Trn Phỳ Trờn õy l mt s kinh nghim ca bn thõn tụi ó ỳc kt c quỏ trỡnh ging dy, chc chn cũn mang tớnh ch quan ca bn thõn v khụng th trỏnh cỏc sai sút Cỏc tụi a rt mong c s gúp ý nhit tỡnh ca cỏc quý thy cụ, c bit l ca cỏc em hc sinh ti ca tụi ngy cng hon thin hn v ỏp dng thit thc hn na vo quỏ trỡnh dy hc Vnh Yờn, ngy thỏng 11 nm 2015 Ngi vit Trng Minh Hựng 28 TI LIU THAM KHO [1] Vn Nh Cng, Phm V Khuờ, Trn Hu Nam Bi hỡnh hc nõng cao 10, Nh xut bn Giỏo dc, 2008 [2] Trn Vn Ho, Nguyn Mng Hy, Nguyn Vn onh, Trn Dc Huyờn Hỡnh hc 10 , Nh xut bn Giỏo dc, 2008 [3] Nguyn Bỏ Kim Phng phỏp dy hc mụn Toỏn, Nh xut bn HSP, 2008 [4] Hong Vn Minh Tuyn thi th i hc ba bc trung nam mụn Toỏn, Nh xut bn HSP, 2012 [5] ng Thnh Nam K thut gii nhanh hỡnh phng Oxy, Nh xut bn i hc Quc gia H Ni, 2015 [6] Bựi Vn Ngh Phng phỏp dy hc nhng ni dung c th mụn Toỏn, Nh xut bn HSP, 2008 [7] Bựi Vn Ngh Vn dng lớ lun vo thc tin dy hc mụn Toỏn trng ph thụng, Nh xut bn HSP, 2009 [8] Lu Xuõn Tỡnh, Phm Ngc Anh, Bựi Anh Tun Tuyn 36 ụn luyn thi mụn Toỏn, Nh xut bn HSP, 2010 [9] Ti liu bi dng giỏo viờn thc hin chng trỡnh SGK lp 11 mụn Toỏn, Nh xut bn Giỏo dc, 2007 29 30 [...]... trong hc tp b mụn Toỏn núi riờng v cỏc mụn hc trong nh trng núi chung i vi nh trng v t chuyờn mụn: Trong cỏc bui hp t nờn t chc giao lu cỏc chuyờn gia cỏc giỏo viờn trong t, giỳp gii quyt cỏc bi toỏn khú, cỏc vn ny sinh trong quỏ trỡnh ging dy Xa hn na, cú th t chc cỏc bui giao lu chuyờn vi mt s trng cú cht lng ging dy tt trong tnh cng nh cỏc tnh bn giỳp cho cỏc giỏo viờn trong t cú c hi hc hi cỏc... hon thin hn v ỏp dng thit thc hn na vo quỏ trỡnh dy hc Vnh Yờn, ngy 5 thỏng 11 nm 2015 Ngi vit Trng Minh Hựng 28 TI LIU THAM KHO [1] Vn Nh Cng, Phm V Khuờ, Trn Hu Nam Bi tp hỡnh hc nõng cao 10, Nh xut bn Giỏo dc, 2008 [2] Trn Vn Ho, Nguyn Mng Hy, Nguyn Vn onh, Trn Dc Huyờn Hỡnh hc 10 , Nh xut bn Giỏo dc, 2008 [3] Nguyn Bỏ Kim Phng phỏp dy hc mụn Toỏn, Nh xut bn HSP, 2008 [4] Hong Vn Minh Tuyn tp thi. .. cho vic hc ch hỡnh hc gii tớch trong mt phng, vn l mt ch khú tr nờn d dng i vi trng trung hc ph thụng Trn Phỳ, ti ó, ang v s gúp phn nõng cao cht lng ging dy mụn Toỏn, nõng cao cht lng thi hc sinh gii v cht lng thi tuyn sinh i hc, cao ng 27 KIN NGH i vi giỏo viờn: Khụng ngng u t vo chuyờn mụn, nghip v s phm Khụng ngng nghiờn cu i mi v nõng cao cht lng ging dy Cn cú s quan tõm chỳ ý n kh nng nhn thc... nhau BD, AC v G l giao im ca ng thng qua E vuụng gúc vi AD v ng thng qua F vuụng gúc vi BC Chng minh rng GD = GC Bi 1.2.30 Cho hỡnh thang cõn ABCD, AB l ỏy nh di dng cao BH bng di ng trung bỡnh ca hỡnh thang ABCD Chng minh rng BD AC Bi 1.2.31 Cho hỡnh thang cõn ABCD ỏy nh AB, AH l ng cao (H thuc DC), E l trung im ca cnh bờn BC Gi M, N ln lt l trung im ca cỏc on thng AE v DE, gi I l giao im ca Dm v... 2.1.1 Cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A, cú trng tõm G Gi E, H ln lt l trung im ca cỏc cnh AB, BC; D l im i xng vi H qua A, I l giao im ca ng thng AB v ng thng CD Bit im D ( 1; 1) , ng thng IG cú phng trỡnh 6x 3y 7 = 0 v im E cú honh bng 1 Tỡm ta cỏc nh ca tam giỏc ABC (Trớch thi HSG lp 12 tnh Vnh Phỳc nm hc 2015-2016) Trong vớ d ny, gii c thỡ iu quan trng nht l hc sinh cn phi chng minh c DE CE,... HSP, 2012 [5] ng Thnh Nam K thut gii nhanh hỡnh phng Oxy, Nh xut bn i hc Quc gia H Ni, 2015 [6] Bựi Vn Ngh Phng phỏp dy hc nhng ni dung c th mụn Toỏn, Nh xut bn HSP, 2008 [7] Bựi Vn Ngh Vn dng lớ lun vo thc tin dy hc mụn Toỏn trng ph thụng, Nh xut bn HSP, 2009 [8] Lu Xuõn Tỡnh, Phm Ngc Anh, Bựi Anh Tun Tuyn tp 36 ụn luyn thi mụn Toỏn, Nh xut bn HSP, 2010 [9] Ti liu bi dng giỏo viờn thc hin chng trỡnh... Bit phng trỡnh ng thng cha PQ l y = 6 Tỡm ta cỏc nh B, C ca tam giỏc ABC Bi 2.2.26 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh thang ABCD vuụng 1 1 ti A v B, cú AD = AB = BC im A ( 2;3) , im E ;3 ữ l giao im 2 3 ca hai ng chộo AC v BD, im D nm trờn ng thng d :3x + y 4 = 0 Tỡm ta nh B, C, D ca hỡnh thang ABCD Bi 2.2.27 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (I) : ( x 1) + ( y 2 ) = 4 T mt im... ng vuụng gúc MP v MQ xung cỏc cnh ca gúc T im A h ng vuụng gúc ã ã AK xung on thng PQ Chng minh rng PAK = MAQ Bi 1.2.19 ng trũn ni tip xỳc vi cỏc cnh AB v AC ca tam giỏc ABC ti cỏc im M v N Gi s P l giao im ca ng thng MN v ng phõn ã giỏc gúc B (hay kộo di ca nú) Chng minh rng BPC vuụng Bi 1.2.20 Cho tam giỏc cõn ABC ti B v gúc nh B l gúc nhn CD l ng phõn giỏc ca gúc C Qua im D k ng thng vuụng gúc... M, cỏc phõn giỏc trong ca gúc B, C ct nhau ti N Chng minh t giỏc DMNC l hỡnh thang cõn Bi 1.2.36 Cho hỡnh ch nht BACD ( AB > BC ) Ly im E trờn cnh AD, ly cỏc im F, K trờn cnh CD, sao cho DF = CK (F nm gia D v H) V ng ã thng vuụng gúc vi EK ti K, ct BC ti M Chng minh rng EFM = 90o Bi 1.2.37 Cho hỡnh ch nht ABCD V BH vuụng gúc vi AC (H thuc AC) Trờn tia i ca tia BH ly im E sao cho BE = AC Chng minh... trong tam giỏc ACK k ng phõn giỏc CE Chng minh rng CB = BE Bi 1.2.22 Trong tam giỏc vuụng ABC k ng cao CK t nh ca gúc vuụng C, cũn trong tam giỏc ACK k ng phõn giỏc CE, D l trung im ca on thng AC, F l giao im ca cỏc ng thng DE v CK Chng minh rng BF PCE Bi 1.2.23 Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, ng cao AH Ly im D thuc cnh AC, im E thuc tia i ca HA sao cho AD HE 1 = = Chng minh AC HA 3 ã rng BED = 90o