Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 10: Giải phương trình ඥ3ݔଶ + 2ݔ − 1 + √2ݔ − 1 = ඥ3ݔଶ + 4ݔ + 2 √3ݔ + 1 − √ݔ + 4 = 1 √1 − ݔ = √6 − ݔ—√−5 − 2ݔ ටݔ + √ݔ + 11 + ටݔ − √ݔ + 11 = 4 √12 − ݔయ+ √14 + ݔయ= 2 √ݔ − 1య+ √ݔ + 6య= 3√2ݔ − 3య Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm và biên soạn: Đào Duy Quang Trang 4 Phương pháp đưa về phương trình chứa dấu trị tuyệt đối Bài 1: Giải phương trình sau: ටݔ + 3 + 4√ݔ − 1 + ටݔ + 8 − 6√ݔ − 1 = 5 Bài 2: Giải phương trình sau: ටݔ + 2 + 3√2ݔ − 5 + ටݔ − 2 − √2ݔ − 5 = 2√2 Phân tích: Để thuận tiện cho việc dùng hằng đẳng thức ta nhân hai vế của phương trình với √2 Pháp phương nhân liên hợp Bài …: Giải phương trình √ݔ + 1 + √ݔ + 4 + √ݔ + 9 + √ݔ + 16 = √ݔ + 100 Ta thấy ݔ = 0 là một nghiệm của phương trình. Giải Điều kiện: ݔ ≥ −1 ܲܶ ⟺√ݔ + 1 − 1 + √ݔ + 4 − 2 + √ݔ + 9 − 3 + √ݔ + 16 − 4 = √ݔ + 100 − 10 ⟺ ݔ√ݔ + 1 + 1+ݔ√ݔ + 4 − 2+ݔ√ݔ + 9 + 3+ݔ√ݔ + 16 + 4=ݔ√ݔ + 100 + 10 ⟺ݔ = 01√ݔ + 1 + 1+1√ݔ + 4 − 2+1√ݔ + 9 + 3+1√ݔ + 16 + 4=1√ݔ + 100 + 10 Xét 1√ݔ + 1 + 1+1√ݔ + 4 − 2+1√ݔ + 9 + 3+1√ݔ + 16 + 4=1√ݔ +
BÀI TẬP ÔN TẬP HÈ BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Gmail: Quangthaobocon@gmail.com Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm biên soạn: Đào Duy Quang Trang Phương pháp lũy thừa Bài 1: Giải phương trình sau: √ √3 − − √ + = = √ +7−5 =− √ +8 −4 +3=4 − √2 + − = Bài: 2: Giải phương trình sau: )√2 − = ) √2 − 16 = + Bài 3: Giải phương trình sau: + + 10 − − + 10 = )√4 − )√3 − 15 = − ) √5 − = − ) = −1 +1= −1 −4=2 ) – +2 +4 = −2 Bài 4: Giải phương trình sau: )√ −1 = −7 ) + √3 − = 10 ) −1 = −1 ) √3 + + √6 − = ) √9 + = − √2 + Bài 5: Giải phương trình sau: ) − √2 + = ) √3 − + √ − = ℎ) √2 + − = √ − ) +√ +1 =1 ) √3 + − √2 − = ) −3 −5= −1 ) ) ) ) − + = √4 − ) − + = √2 − ) ) + − = √2 + −2 +4 =√ +2 ) √ + − √7 − ) √2 + + √ + = ) √2 − − 2√ − = −1 −4 +9 =3 −2 −3= +3 ℎ) √ + − √2 − = √3 − = √2 − ) √ + + √2 + = √3 + √2 − Bài 5: Giải phương trình sau 1+ Giải ĐIều kiện: 0≤ − = √ + √1 − ≤ Ta có ⟺ 1+ ⟺ − − 4 ⟺1+ ( − )+ − ( − )=0⟺ = √ + √1 − − = +1− +2 − − − 3−2 − =0⟺ − =0 = Bài 6: Giải phương trình √ + + √ + 10 = √ + + √ + Giải Điều kiện ≥ −1 ⟺ + 11 + ⟺2+ ⟺4+ ⟺4 Bài 7: Giải phương trình + 11 + 10 = + + + 11 + 10 = + 11 + 10 + + + 10 + 11 + 10 = + 11 + 10 = −4 − ⟺ + + 10 + + 10 + 11 + 10 = − − √ +1+ √ +2+ √ +3 = Giải Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm biên soạn: Đào Duy Quang Trang ⟺ +1+ ⟺ √ + + √ + = −√ + + + 3√ + √ + √ + + √ + = − − ⟹ √ + √ + √ + = + ⟺ ( + 1)( + 2)( + 3) = +3 ⟺ + + 11 + = + + 12 + ⟺ = −2 Thử lại = −2 nghiệm phương trình Bài 8: Giải phương trình + 12 + √ + + √3 + = 2√ + √2 + Giải Điều kiện: ≥0 ⟹ √ + − 2√ = √2 + − √3 + ⟺ +3−4 +3 = +1−2 +8 +2 ⟺ ⟺ −4 +2= 0⟺ =1 Thử lại: = nghiệm phương trình Bài 9: Giải phương trình +1 +√ +1= +3 Giải Điều kiện + 12 = +8 +2 − +1+√ +3 ≥ −1, ta có: ⟺ ⟺ ( + 1)( ( + 1)( − +3 − +3 + 1) + 1) +√ +1= −√ +3 = − − +1+√ +3 +1−√ +1 − + 1) + ( + 3) − ( + 1)( − + 1) +3 = − + + + − ( + 1)( − + 1) ( + 1)( − + 1) ⟺ + ( + 3) = − +1+ +1 +3 ⟺ + + + + = ( + 3)( + 2) ⟺ + + 10 = + + ⟺ − − = Bài 10: Giải phương trình ⟹ ( + 1)( + − + √2 − = + + √3 + − √ + = √1 − = √6 − — √−5 − + √ + 11 + − √ + 11 = √12 − + √14 + = √ − + √ + = 3√2 − Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm biên soạn: Đào Duy Quang Trang Phương pháp đưa phương trình chứa dấu trị tuyệt đối Bài 1: Giải phương trình sau: + + 4√ − + + − 6√ − = Bài 2: Giải phương trình sau: + + 3√2 − + − − √2 − = 2√2 Phân tích: Để thuận tiện cho việc dùng đẳng thức ta nhân hai vế phương trình với √2 Pháp phương nhân liên hợp Bài …: Giải phương trình √ + + √ + + √ + + √ + 16 = √ + 100 = nghiệm phương trình Ta thấy Giải Điều kiện: ≥ −1 ⟺ √ + − + √ + − + √ + − + √ + 16 − = √ + 100 − 10 ⟺ + = √ + + √ + 16 + √ + 100 + 10 =0 1 1 ⟺ + + + = √ + + √ + − √ + + √ + 16 + √ + 100 + 10 √ +1+1 + √ +4−2 + Xét √ +1+1 + 1 √ +9+3 + = √ + 16 + √ + 100 + 10 1 > √ + + < √ + 100 + 10 ⟹ √ + + √ + 100 + 10 1 1 ⟹ + + + > √ + + √ + − √ + + √ + 16 + √ + 100 + 10 Vậy phương trình có nghiệm = Bài …: Giải phương trình Phân tích Giải Điều kiện: √ +4−2 + √ +√ +3= = nghiệm phương trình ≥ −3 ⟺ √ −1+√ +3−2 =0 −1 ⟺ √ + √ +1 + −1 √ +3+2 =0⟺ √ +√ +1 =1 + √ +3+2 =0 Bài …: Giải phương trình √2 + + √ = Phân tích: Giải = nghiệm ⟺ √2 + − + √ = ⟺ √2 + + √2 + + =0 2√ ⟺ +√ =0 +1=0 √2 + + √2 + + Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm biên soạn: Đào Duy Quang Trang Bài …: Giải phương trình: √2 − + −3 +1 =0 = nghiệm Phân tích: ⟺ √2 − − + −3 +2=0⟺ ⟺ √2 − + −2 √2 − + =1 + ( − 1)( − 2) = + ( − 2) = + ( − 2) = ⟺ + ( − 2)(√2 − + 1) = √2 − + ⟺ + − + ( − 2)√2 − = ⟺ + ( − 2)√2 − = Tìm lượng liên hợp: ( ) = + =− +1 Phương hướng giải khác toán Ta tìm lượng liên hợp thích hợp từ đầu: √2 − − ( + ) + − + − ( + ) = −1− −2 − ⟺ + − ( + 3) + − = √2 − + ( + ) − + (2 − ) − − ⟺ + − ( + 3) + − = √2 − + ( + ) Tìm , cho: − + (2 − ) − − =0⟺ − ( + 3) + − = Hay: − (2 − ) + + =0⟺ − ( + 3) + − = =1 ⟹ ( )= −1 2−2 1+ = −1 = = ⟹ = −1 +3 1− ⟹ ( )=− =0 ⟺ √2 − − ( − 1) + − + − ( − 1) = −1− +2 −1 − +4 −2 ⟺ + −4 +2 =0⟺ + −4 +2 =0 √2 − + ( − 1) √2 − + ( − 1) −4 +2= −4 +2 =0 −1 ⟺ ⟺ +1 =0 √2 − = − √2 − + ( − 1) ≤1 ⟺ =1 √2 − = − ⟺ −4 +5=0 Giải ≥ , ta có: Điều kiện: ⟺ √2 − − ( − 1) + Với điều kiện √2 − + ( − 1) ≠ ta có − − + − ( − 1) = −4 +2= −4 +2=0 −1 −4 +2= 0⟺ ⟺ +1 =0 √2 − = − √2 − + ( − 1) ≤1 ⟺ =1 √2 − = − ⟺ −4 +5=0 +4 −2 ⟺ + √2 − + ( − 1) Bài …: Giải phương trình √2 + = −5 +1 Bài …: Giải phương trình 2√2 − = +7 +8 Bài …: Giải phương trình Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm biên soạn: Đào Duy Quang Trang + +3 =2 +1 Bài …: Giải phương trình −7 =3 − +3 +5 = −2 Bài …: Giải phương trình +3 Bài …: Giải phương trình − + 10 = + + Nhận xét: dạng phương trình √ + = + + √ + dùng phương pháp liên hợp thêm biểu thức + từ đồng thức tìm làm ngược lại chọn hệ số suy phương trình Bài …: Giải phương trình √4 + − √3 − = Phân tích: (4 + 1) − (3 − 2) = + + = + + ta , Cách đề +3 Giải Điều kiện: ≥ ⟺ ( + 3) = +3 √4 + + √3 − = −3 ⟺ = ⟺ √4 + + √3 − = √4 + + √3 − ⟺ − + (4 + 1)(3 − 2) = 81 ⟺ (4 + 1)(3 − 2) = 82 − Bài …: Giải phương trình √2 + − √ = +1 √3 − − √ − = − √4 + − √3 − = + 11 Bài …: Giải phương trình Phân tích: Nhẩm Giải + = ±1 nghiệm +8−2 = + 15 ⟺3 27( −3+ +8−3= + 15 − − 1) −1 −1 ⟺ + = + √ + √ + + √ + 15 + √ = ±1 27 1 ⟺ + = + √ + √ + + √ + 15 + √ 1 +8+3< + 15 + ⟹ > √ + + √ + 15 + 27 1 ⟹ + > + √ + √ + + √ + 15 + √ Vậy: Phương trình có nghiệm: = ±1 Bài …: Giải phương trình Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm biên soạn: Đào Duy Quang Trang Phân tích: Giải Điều kiện: = nghiệm − + 10 = + − 12 + 20 ≤ 2; ≥ 10 ⟺2 − + 10 − = − + − 12 + 20 − 2( − + 6) − 12 + 11 ⟺ = ( − 1) + √ − + 10 + √ − 12 + 20 + ( )( ) ( − 1)( − 11) −1 −6 ⟺ = ( − 1) + √ − + 10 + √ − 12 + 20 + =1 ( ) ( − 11) − ⟺ =1+ √ − + 10 + √ − 12 + 20 + 2( − 6) ( − 11) =1+ √ − + 10 + √ − 12 + 20 + Gặp khó khăn việc thực nhiệm vụ, ta tìm lượng liên hợp khác thích hợp Phân tích: +) Thêm vào √ − + 10 − ( + ) để liên hợp lượng −7 +6− −2 − −1 (1 − ) − (7 + ) + − − + 10 − ( + ) = = √ − + 10 + ( + ) √ − + 10 + ( + ) Quy (1 − ) − (7 + ) + − nhị thức bậc chứa ( − 1) Chọn = ⟹ = +) Thêm vào √ − 12 + 20 − ( + ) để lượng − − 12 + 20 − −2 − − 12 + 20 − ( + ) = √ − 12 + 20 + ( + ) (1 − ) − (12 + ) + 20 − = √ − 12 + 20 + ( + ) Quy (1 − ) − (12 + ) + 20 − nhị thức bậc chứa ( − 1) Chọn = 1, = Ta viết lại phương trình sau: 2 −9( − 1) √ + − 12 + 20 − + 10 − ( + 1) = ⟺2 ⟺ − + 10 = − + 10 + ( + 1) = −16( − 1) − + 10 + ( + 1) √ √ ⟺9 − 12 + 20 − ( + 2) =1 √ ⟺ − 12 + 20 − ( + 2) − + 10 + ( + 1) = √ Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm biên soạn: Đào Duy Quang √ − 12 + 20 − ( + 2) − 12 + 20 + ( + 2) − 12 + 20 + + 18 = ⟺9 − 12 + 20 − Kết hợp với phương trình ban đầu ta có = − + 10 + + − + 10 = − − 10 Trang − 12 + 20 − Giải Điều kiện: − + 10 = − − 12 + 20 − − + 10 = − − 10 ⟹5 − 12 + 20 = − 10 ≤ 2; ≥ 10, ta có: 2 −9( − 1) − + 10 + ( + 1) √ + − 12 + 20 − + 10 − ( + 1) = ⟺2 ⟺ − + 10 = = −16( − 1) − 12 + 20 − ( + 2) =1 √ ⟺ − + 10 + ( + 1) √ − + 10 + ( + 1) √ ⟺9 − 12 + 20 − ( + 2) = − + 10 + + − + 10 = − − 10 − + 10 = − − 12 + 20 − − 12 + 20 − ( + 2) √ − 12 + 20 + + 18 = − 12 + 20 − − 12 + 20 + ( + 2) √ ⟺9 − 12 + 20 − Kết hợp với phương trình ban đầu ta có = − + 10 = − − 10 ⟹5 − 12 + 20 = − 10 Bài …: Giải phương trình 162 Phân tích: + − 27 −9 +1=1 = nghiệm (Lưu ý dấu hiệu chia hết cho 3) Giải ⟺ ⟺ √162 ⟺ ⟺ 162 +2−2− 162 −6 + + 2√162 6(27 − 1) 27 −9 +1−1 =0 − +2+4 − √162 + + 2√162 + + 6(3 − 1)(9 + + 1) √162 ⟺ √162 27 −9 √27 −9 +1+1 9(3 − ) √27 −9 +1+1 (3 − 1) − + + √27 −1 =0 6(9 + + 1) − + + 2√162 + + √27 + + 2√162 −9 +1+1 −9 +1+1 =0 =0 =0 =0 Xét phương trình 6(9 √162 ⟺ + + 1) − =0 −9 +1+1 − =0 + + √162 + + + 2√162 + + 6(9 + + 1) √162 + + 2√162 Đặt = √162 + ta phương trình 2(9 + + 1) 2(9 + + 1) − =0⟺ − +2 +4 Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm biên soạn: Đào Duy Quang √27 +2 +4 =0⟺2 + +1 = + +2 Trang 1 +1 = + +1 2 ( ) = ⟺ = ±1 ⟺3 + Xét ( ) = + + 1; ( )=1− +) ≥ ⟹ √162 +2 ⟹ = Đáp số: Phương trình có nghiệm ; ⟹ = √162 + ⟺ 216 = 162 +2⟺ = = Bài …: Giải phương trình + 12 + = + Phân tích: = la nghiệm, √ + 12 > √ +5 ⟺ √ +5 + 12 − √ +5 =3 −5 >0 ⟺ > Giải: Điều kiện: > ⟺ + 12 − = − + +5−3 −4 −4 ⟺ = 3( − 2) + √ + 12 + √ +5+3 =2 +2 +2 ⟺ =3+ √ + 12 + √ +5+3 Do √ + 12 > √ + + > nên +2 +2 0 Bài …: Giải phương trình −5 +1− Bài …: Giải phương trình −2= 3( − − 1) − −3 +4 − − = √ − 1( − − 2) Phân tích: − số phương = 2, = 5, = 10, = 17, … nghiệm phương trình có nhân tử ( − 2)( − 5) = − + 10 Chọn lượng liên hợp ta ⇔ − − − 2( − − 2) = (√ − − 2)( − − 2) Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm biên soạn: Đào Duy Quang = 2, = Trang −5 ( − − 2) √ −1+2 =5 − ⇔ − = ( − − 2) √ −1+2 ⇔− +5 = Chọn lượng liên hợp ta − − − ( − − 2) = √ − − ( − − 2) −2 =2 ( − − 2) ⇔ ⇔ −2= −4 −2 √ −1+1= √ −1+1 −4 −2⇔√ −1= −4 −3 ⇔ √ −1−2 = −4 −5 √ −1+1 = =5 −5 ⇔ = ( + 1)( − 5) ⇔ = +1 √ −1+2 √ −1+2 1 ≤ ; + ≥ 2; ≥ √ −1+2 ⇔ Giải Điều kiện: ≥1 − − − ( − − 2) = √ − − ( − − 2) −2 =2 ( − − 2) ⇔ ⇔ −2= −4 −2 √ −1+1= √ −1+1 −4 −2⇔√ −1= −4 −3 ⇔ √ −1−2 = −4 −5 √ −1+1 = =5 −5 ⇔ = ( + 1)( − 5) ⇔ = +1 √ −1+2 √ −1+2 1 ≤ ; + ≥ 2; ≥ √ −1+2 Bài …: Giải phương trình √ −3 = √2 − − √ + − √ − Giải: Điều kiện: ≥ ⇔ ⇔ − − + = √2 − − ⇔ = nghiệm phương trình ⇔ ⇔ − 25 √ −9+4 +5 − − − − − √2 − − − − 10 √2 − + √ − + √2 − + Ta phương trình: +5 − −1 =0 ⇔ + +3 Phân tích: − − (2 − 1) = − − √2 − − √ − = 0; +5 =0 +5 − ( − 5) = ⇔ −9+4 − = √2 − + + + + 15 − − − +4=0 − −5=0 √2 − + −4; −1=0 = √2 − > −3 − −3 =0 ⇔ 16 − = ⇔ = − − = ( + 2)( − 4) Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm biên soạn: Đào Duy Quang Trang 10 Phân tích: Lựa chọn cách đặt ẩn phụ hợp lý để trình làm đơn giản Giải Điều kiện: ≥ −2 ta có Đặt = 9( − 3) ( − 3) + −1= ⇔ 9( − 3) + ( − 3) Hay +5−1 =1 + + 45 =( Bài 20: Giải phương trình ⇔ + 45 = 9.2 ⇔ + +1⇔ + + 3) ⇔ ( + 3)(2 − 1)( √ +3 + 45 = +3 +3 + + 9) = √ =8 Giải ⇔5 +3 − = ⇔ ( − 1)(5 Đặt = √ ta được: + Bài 21: Giải phương trình − Giải Điều kiện: =√ + √ =0 ≠0 ⇔ Đặt =8 + + 8) = , − √ + √ =0⇔ −7 +6 =0 ≠ ta được: − + = ⇔ ( − 1)( + − 6) = Bài 21: Giải phương trình √4 − + −1=1 Giải Điều kiện ≥ ⇔ − = − √4 − ⇔ ≤ ⇔ √4 − = −2 So sánh điều kiện, phương trình có nghiệm Cách khác: +) Đặt = − 1, +2 + = ≥ 0; − = 2(2 − 1) + 1; − = − + + − = (2 − 1) + 2(2 − 1) Ta phương trình: √2 + + √ ⟺ √4 − ≤ − = − 2√4 − + − + + (2 + 1)( +2 = 1⟺ +1+ + + (2 + 1)( + ) = ⟺ (2 + 1)( Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm biên soạn: Đào Duy Quang + ) = −( +2 )=1 + ) Trang 28 Suy =0⟹ = ≥ 2; − = 2(2 + 1) − − = + + − − = (2 + 1) − 2(2 + 1) Ta phương trình: +) Đặt = + 1, √2 − + ⟺ (2 + 1)( Suy = Bài 22: Giải phương trình √2 − + Giải Điều kiện: − + (2 + 1)( −2 =1 ⟺ −3+ +2 ) =1 +2 )=4− −3 +1= ≥ ⟺ 4√2 − + − 12 + = ⟺ 4√2 − + (2 − 1) − 4(2 − 1) − = Đặt = √2 − 1, ≥ ta phương trình − + − = ⟺ ( − 1) ( + − 1) = Bài 23: Giải phương trình − − = √4 + Giải Điều kiện: −6 −1≥ 0⟺ − ≤ ≤ √ , ≥ √ ta có ⟺ 16 − 48 − = 8√4 + ⟺ 16 + 40 + 25 − 88 − 33 = 8√4 + ⟺ (4 + 5) − 22(4 + 5) + 77 = 8√4 + Đặt = √4 + ta − 22 − + 77 = 0……… Bài 24: Giải phương trình ( − 2)√ − − √2 + = Giải Điều kiện: ≥ 1, ta có: Đặt = √ − 1, ≥ ta phương trình ( − 1) − √2 − √2 + = ⟺ − √2 − + − √2 = Bài 25: Giải phương trình −3 Giải Điều kiện: + ( + 2) − = ≥ −2 ⟺ +6 + 12 + − ⟺ ( + 2) − 9( − 18 − + ( + 2) = + + 4) + 18 + 28 + ( + 2) = ⟺ ( + 2) − 9( + 2) + 18( + 2) − + ( + 2) = Đặt = √ + ta phương trình: − + + 18 − = ⟺ ( + 1) ( − 2) ( + − 2) = Bài 26: Giải phương trình − 11 + 21 − 3√4 − = Giải ⇔ 16 Đặt − 88 + 168 − 24√4 − = ⟺ 16 − 32 + 16 − 56 + 152 − 24√4 − = ⟺ (4 − 4) − 14(4 − 4) + 96 − 24√4 − = = √4 − ta được: Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm biên soạn: Đào Duy Quang Trang 29 − 14 − 24 + 96 = ⟺ ( − 2) ( Đặt ẩn phụ đưa phương trình đẳng cấp Bài 27: Giải phương trình 2( Giải Điều kiện: +4 + 2) = + 12 + 18 + 24) = +1 ≥ −1 ta có: + = ( + 1)( ⟺2 − + 1) Ta tìm , cho ( + 1) + ( +4 =2 =2 +( − ) + + =2 +4 ⟹ ⟺ = =2 + =4 ⟺ 2( + 1) + 2( − + 1) = ( + 1)( − + 1) ⟺ Đặt Do = √ + 1, − + 1) = =√ − + ta phương trình: +2 −5 > ta chia hai vế phương trình cho ta được: =0 =2 −5 +2 =0 ⟺ = Bài 28: Giải phương trình √2( Giải: Điều kiện: Ta tìm , + 8) = ( + 2)( ≥ −2 cho: + 16 = (2 + 4)( − + 4) − + 4) = + 16 ⟺2 (2 + 4) + ( + (2 ⟺ −2 ) +4 ⟺ 2(2 + 4) + 2( Đặt = − + 4) (2 + 4), = ( +4 =2 + 16 ⟹ − + 4) = (2 + 4)( =2 =2 − + 4) − + 4) ta phương trình: +2 −5 =0 Bài 29: Giải phương trình 2( − + 2) = +5 −1 =7 +8 −1 Bài 30: Giải phương trình Giải Điều kiện: + 14 + − − − 20 = 5√ + ≥ 5, ta có: ⟺ ⟺5 + 14 + = 5√ + + + 14 + = 25 + 25 + − − − 20 − 20 + 10 ( + 1)( ⟺2 − + = ( + 1)( − 5)( + 4) ⟺2 −5 +2=5 ( ⟺ 3( + 4) + 2( Bài 31: Giải phương trình − − 5)( + 4) − − 5) − ( Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm biên soạn: Đào Duy Quang − − 20) − − 5)( + 4) = Trang 30 + − + 3√ − − − + 19 = + − + √ − − 11 + 25 + 19 − + 25 + = − − 35 = 7√ + Bài 32: Giải phương trình −2 −2 = +3 √30 +4 +2 Giải Điều kiện: ≥ √ , ta có ⟺3 −2 −2 = ⟺ −4( + 1) + 3( √30 + + 2) = ( + 1)( √30 + + 2) ( + 1)( + + 2) Bài 33: Giải phương trình ( Giải Điều kiện − + 11) − + = 2( − + 7)√ − ≥ 2, ta có: − + 11 = ( − + 1) − 5( − 2) − + = ( − + 1) − 3( − 2) Đặt =√ − + 1, ≥ ( √ , = √ − 2, ≥ ta phương trình ) − 2( −5 ⟺6 −5 −3 −2 ) =0⟺ +1 =0⟺ −5 −1 −2 +6 + =0 −1 =0 Bài 34: Giải phương trình 1+ Giải Điều kiện ≤ − = √ + √1 − ≤ 1, ta có Đặt = √ + √1 − ⟹ = + 2√ − ⟹ 2√ − = − ta phương trình 1 + ( − 1) = ⟺ − + = Bài 35: Giải phương trình 1+ − = √ + √1 − Nhận xét: √ + √1 − =1 Ta đặt = √1 − ta 1+ √ = √ + Từ ta có phương trình: −3 + =1⟺4 −3 Bài 37: Giải phương trình − 12 1+ ⟹√ = + 14 − Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm biên soạn: Đào Duy Quang −1 −1 = −3 −3 − = ⟺ ( − 1)(2 − + 3) = = √ + √1 − Trang 31 Nhận xét: √ + √1 − =1 + =1 ( + ) −2 =2 =√ ta hệ phương trình ⟺ 1+ = + + = 3( + ) = √1 − Bài 38: Giải phương trình 1+ − = √ + √1 − Nhận xét: √ + √1 − = 1, đặt =√ , = √1 − ta có phương trình 1 ) − −( 1+ = + ⟺1+ ( + + 3 ) − 3( )+2 = ⟺( + + Đặt Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm biên soạn: Đào Duy Quang )=0 Trang 32 Phương pháp hàm số (http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Chuyen-De/109419/ung-dung-tinh-don-dieu-cua-ham-so-degiai-phuong-trinh-vo-ti) Định lý 1: Nếu hàm số phương trình Định lý 2: Nếu hàm số phương trình ( ) = ( Định lý 3: Nếu hàm số (hoặc < ) Bài 1: Giải phương trình = ( ) đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục thi số nghiệm ( ) = nhiều ∀ , ∈ : ( ) = ( ) ⟺ = ( ) ( ) đơn điệu nghược chiều liên tục D số nghiệm D ) không nhiều = ( ) đồng biền (luôn nghịch biến) D ( ) > ( ) ⟺ > √3 + + + √7 + = Giải ≥− , Điều kiện: ≥− , ≥0⟺ ≥ √7 + = nghiệm Nhận xét ( ) = √3 + + ( )= Vậy hàm số + √7 + = 1+ √7 + + >0 √3 + + √7 + = ( ) đồng biến, ( ) = có nghiệm = Bài 2: Giải phương trình (∗), > − = √ + Nhận xét: Ta tìm hàm ( ) đơn điệu chiều sử dụng tính chất ( ) = ( ) ⟺ VT bậc cao bậc 3, VP bậc cao Do ta tìm hàm ( ) = + VT chứa tương ứng với ta suy = 1, VP chứa √ + tương ứng = Do ta phân tích (∗) dạng ( − ) + ( − )=( + )+ √ + ⟺ Ta tìm Giải cho: Xét ( ) = + −3 −3 +3 − + − − − = √ ⟺ −3 +3 − − − = √ + ⟺ −3 +3 − − − = √ + +3 − − − = =0⟺ − =0⟹ − = √ + ⟺ + = + + √ đồng biến với ta có: ( )= √ + ⟺ =√ + ta suy + =0 + Bài 3: Giải phương trình: − = 3√3 + Nhận xét: chứa , VP chứa nên ta định hướng tìm hàm ( ) = Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm biên soạn: Đào Duy Quang + hay ( ) = +3 Trang 33 ⟺( − ⟺ Ta tìm Giải cho: −3 ⟺ −3 ) + 3( − +3 −3 +3 − ) = + + 3√3 + +3 −3 − − = 3√3 + +3 − − − = 3√3 + − −3 −2=0⟺ −2 =0 ⟹ =0 ⟺ + = + + 3√3 + Xét ( ) = + đồng biến với ta có: ( ) = √3 + ⟺ = √3 + ⟺ −3 −2=0⟺⋯ Bài 4: Giải phương trình − + − = 2√ + + , ta phân tích phương trình cho dạng: Nhận xét: Ta tìm hàm ( ) = ( − ⟺ −3 ) + 2( − +3 )= + + 2√ + − + − − − = 2√ + + (3 + 1) − − − = 2√ + + 1) − −2 −5 =0 ⟺ −3 +4 −8=0 ⟺ −3 Ta tìm cho: − + (3 −3 = −3 Suy ra: ⟺ =1 +1 =4 − − − = −8 Giải ⟺ ( − 1) + 2( − 1) = ( + 5) + 2√ + ( ) Xét hàm = + đồng biến với nên ta có: ( − 1) = √ + ⟺ − = √ + Bài 5: Giải phương trình − 12 + − = 3√3 − nên có hai lựa chọn hàm ( ) = + tìm hàm ( ) = Nhận xét: Vì hệ số TH1: ( ) = + Ta phân tích phương trình dạng: 8( − ⟺8 − 24 + 24 ) + 3( − −8 +3 ) = (3 − 2) + 3√3 − +3 −3 − + = 3√3 − ⟺ − 24 + 24 −8 − + = 3√3 − Ta tìm cho − 24 + 24 −8 − + = ⟺ − 12 + − = 24 = 12 Suy vô nghiệm 24 =9 −8 − + = −2 TH2: ( ) = + Ta phân tích phương trình dạng (2 − ) + 3(2 − ) = (3 − 2) + 3√3 − ⟺8 − 12 +6 − + − − + = 3√3 − + (6 + 3) − − + = 3√3 − + 3) − − + = ⟺ − 12 + − = ⟺ − 12 Ta tìm cho − 12 + (6 12 = 12 Suy ⟺ =1 +3 =9 − − + = −2 Giải ⟺ (2 − 1) + 3(2 − 1) = (3 − 2) + 3√3 − Xét ( ) = + đồng biến với ta có (2 − 1) = √3 − ⟺ − = √3 − Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm biên soạn: Đào Duy Quang Trang 34 Bài 6: Giải phương trình 24 = 24( Nhận xét: Ta phân tích: 24 TH1: ( ) = 24 + 36 + 19 − = 5√3 + ) = 3(8 ) có hai hướng tìm hàm ( ) = 24 + ( )=3 +5 + ta phân tích phương trình dạng 24( − ) + 5( − ) = 24(3 + 4) + 5√3 + ⟺ 24 − 72 + 48 − 24 + − − 72 − 96 = 5√3 + ⟺ 24 − 72 + (48 − 67) − 24 − − 96 = 23 − 72 Ta tìm cho 24 − 72 + (48 − 67) − 24 − − 96 = ⟺ 24 + 36 + 19 − = −72 = 36 ( 48 − 67) = 17 Suy vô nghiệm −24 − − 96 = −7 TH2: ( ) = + ta phân tích phương trình dạng 3(2 − ) + 5(2 − ) = 3(3 + 4) + 5√3 + 3(8 − 12 ⟺ 24 +6 − + (18 − 36 ) + 10 − − − 12 = 5√3 + + 1) − − − 12 = 5√3 + Ta tìm cho 24 − 36 + (18 + 1) − − − 12 = ⟺ 24 + 36 + 17 − = −26 = 36 Suy ⟺ = −1 18 + = 19 −3 − − 12 = −4 Giải ⟺ 3(2 + 1) + 5(2 + 1) = 3(3 + 4) + 5√3 + Xét ( ) = + đồng biến nên ta có: (2 + 1) = √3 + ⟺ + = √3 + Bài 7: Giải phương trình − + − = (2 − 3)√2 − Nhận xét: Ta tìm hàm ( ) = + + + Ta phân tích phương trình dạng ( + ) + ( + ) + ( + ) + = (2 − 4)√2 − + (2 − 4) + √2 − + ⟺ +3 +3 + Từ vế trái ta tìm = Ta phương trình: +3 +3 + + + +2 +2 + + + + + + −2 + = (2 − + )√2 − + = (2 − 3)√2 − + + = (2 − 3)√2 − −2 + (3 + ) + (3 +2 +1−2 ) + + cho: + (3 + ) + (3 +2 +1−2 ) + + + +4 =0 ⟺ −5 +7 −2 =0 = −5 − 3 + = −5 ( ) + − 2(−5 − ) = + −5 − Suy ra: ⟺ +2 +1−2 =7 + + + = −2 + + + = −2 ⟺ Ta tìm Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm biên soạn: Đào Duy Quang Trang 35 −3 + ⎧ = −5 − −4 +4=0 + + = −2 ⎨ ⎩ = −2; = 1; −8 + − + = −2 (đú ) 6.4 = ; = −6; − + − 24 ≠ −2 27 + + + = −2 Giải ⟺ ( − 2) + ( − 2) + ( − 2) = (2 − 4)√2 − + (2 − 4) + √2 − Xét hàm ( ) = + + , ( ) = + + đồng biến với Ta có: ( − 2) = √2 − ⟺ − = √2 − ⟹ −6 +8 =0 Bài 8: Giải phương trình : − + − = ( + 4)√ + Nhận xét: Ta tìm ( ) = + + Ta phân tích phương trình dạng: ( + ) + ( + ) + ( + ) = ( + 2)√ + + ( + 2) + √ + ⟺ + (3 + ) + (3 +2 +2− ) + Ta tìm , , cho + (3 + ) + (3 +2 +2− ) + ⟺ −4 + +2 − = ( + + )√ + + + − = ( + + )√ + + − = ( + 4)√ + Suy ra: = −2, = 2, = Giải Điều kiện: ≥ −2 ⟺ ( − 2) + 2( − 2) + 2( − 2) = ( + 2)√ + + 2( + 2) + 2√ + Xét ( ) = + + , đồng biến với ta có: ( − 2) = ( + 2) ⟺ −2 =√ +2 Bài 9: Giải phương trình ( + 4) √ + + = ( + 1) −2 +3 Phân tích: ⟺ ( + 4) √ + + = ( + 1)( ⟺ − − + 3) − − = ( + 4)√ + Ta tìm hàm ( ) = + + Ta phân tích phương trình cho dạng ( + ) + ( + ) + ( + ) = ( + 2)√ + + ( + 2) + √ + ⟺ + (3 + ) + (3 +2 + − ) + +2 + − = ( + + 2)√ + Ta tìm , , cho + (3 + ) + (3 +2 + − ) + +2 + − = ( + + 2)√ + ⟺ − − − = ( + 4)√ + + = −1 =2 +2 + − = −1 Suy ra: ⟺ =2 +2 + − = −5 = −1 +2 =4 Giải Điều kiện: ≥ −2 ⟺ ( − 1) + 2( − 1) + 2( − 1) = ( + 2)√ + + 2( + 2) + 2√ + Xét ( ) = + + đồng biến với ta có: Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm biên soạn: Đào Duy Quang Trang 36 ( − 1) = √ +2 ⟺ −1 =√ +2 Bài 9: Giải phương trình − 36 + 18 + 53 − 25 = √3 − Bài 10: Giải phương trình = 4( Phân tích: + 27 + 14 = √4 + ) = (2 ) Do ta có hai lựa chọn hàm ( ) TH1: ( ) = + Ta phân tích phương trình dạng 4( + ) + ( + ) = (4 + 5) + √4 + không tìm TH2: ( ) = + Ta phân tích phương trình dạng (2 + ⟺4 cho Ta tìm +6 ) = (4 + 5) + √4 + 5 +3 + + − = √4 + 2 + + − = √4 + ) + (2 + +6 +3 ⟺4 + 18 + 27 + 14 = √4 + ⟹ =3 Giải 1 (2 + 3) + (2 + 3) = (4 + 5) + √4 + 2 + , đồng biến với ⟺ Xét ( ) = (2 + 3) = √4 + ⟺ + = √4 + Bài 11: Giải phương trình Phân tích: VT có bậc − 28 + 21 = √ − 2, VP có bậc Ta tìm hàm ( ) = + Vì = 9( ) = (3 ) nên ta có hai lựa chọn TH 1: ( ) = + Ta phân tích phương trình dạng (3 + ) + (3 + ) = ( − 1) + √ − ⟺9 +6 + +3 + − +1 =√ −1 ⟺ + (6 + 2) + + +1= √ −1 Ta tìm Suy cho + (6 − 1) + + = −28 ⟺ = −5 + + = 21 Giải Điều kiện: Xét ( ) = + +1= √ −1 ⟺ − 28 + 21 = √ − ≥1 + , ⟺ (3 − 5) + (3 − 5) = ( − 1) + √ − ( )=2 +1 Hàm ( ) đồng biến ≥ − ; TH1: Với 1 √ −1≥ 0>− ; −5 ≥− ⟺ ≥ 2 ≥ Xét hàm ( ) = + đồng biến với ≥ − ta có Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm biên soạn: Đào Duy Quang Trang 37 (3 − 5) = TH2: Với ≤ ≤ ta xét = √ −1 ⟺ −5 =√ −1 −3 Ta phân tích phương trình dạng: ( −3 ) +( − ) = ( − 1) + √ − ⟺ −6 + + − − + = √ − ⟺ − (6 + 4) + + +1 =√ −1 Ta tìm cho − (6 + 4) + + + = √ − ⟺ − 28 + 21 = √ − + = 28 ⟹ ⟺ =4 + + = 21 Vậy ta có : ⟺ (4 − ) + (4 − ) = ( − 1) + √ − Xét ( ) = + đồng biến với ≥ − 1 √ − ≥ > − ;4−3 ≥ − ⟺ ≤ 2 Ta có (4 − 3) = √ − ⟺ − = √ − Bài 11: Giải phương trình ≤ 3 − − − 17 = 9(−3 + 21 + 5) Phân tích: Ta hoàn toàn sử dụng hàm ( ) = + (trường hợp không tìm ⟺ 27 − 54 − 27 − 153 = 27 9(−3 Trong trường hợp ta sử dụng hàm ( ) = + 27 Ta biến đổi phương trình dạng (3 + ⟺ 27 + (−27 Ta tìm = Giải ) + 27(3 + + 27) ) = 9(−3 + (9 + 21 + 5) + 21 + 5) + 27 9(−3 − 108) + (− − 27 + 21 + 5) − 45) = 27 9(−3 ⟺ (3 + 3) + 27(3 + 3) = 9(−3 + 21 + 5) + 27 9(−3 Xét hàm ( ) = + 27 đồng biến với , ta có: (3 + 3) = 9(−3 + 21 + 5) ⟺ + = ) 9(−3 + 21 + 5) + 21 + 5) + 21 + 5) Bài 12: Giải phương trình +3 + + = (3 + 2)√3 + Bài 13: Giải phương trình 2+ + + (4 + 2) + +1+1 =0 Giải ⟺ (4 + 2) + + + = −3 2+ +3 Ta phân tích biểu thức phức tạp theo biểu thức đơn giản −3 Ta dự đoán hàm ( ) = (4 + 2) + 2+ 2+√ + = (−3 ) + (−3 ) + + Dự đoán vế lại phân tích + + = (4 + 2) Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm biên soạn: Đào Duy Quang + + + = (2 + 1) (2 + 1) + + Trang 38 Vậy đến ta có: (2 + 1) = (−3 ) với ( ) = 2+√ +3 , ( )=2+√ +3+√ >0 với đo hàm ( ) đồng biến nên ta có + = −3 Bài 14: Giải phương trình: − + −3 +1 = +1+ +2 Phân tích: ⟺2 Bài 15: Giải phương trình −3 +1+ Điều kiện: ≤ Nhẩm = nghiệm ( )= (2 + ) + (2 + −3 +1 = +2+ +2 − + √2 − = − − + √2 − + − 4, ( )= 15 + 2√5 − 3√2 − Do hàm ( )đồng biến, suy phương trình có nghiệm = Bài 16: Giải phương trình (8 + 2) + ( − 6)√5 − = Phân tích: Điều kiện ≤ ⟺ + = (6 − )√5 − Ta tìm hàm ( ) = + + Ta phân tích phương trình dạng ⟺ + 12 ⟺ + (12 ) + (2 + +1>0 ) = (5 − )√5 − + (5 − ) + √5 − +6 + +4 +4 + +2 + −5 − = (5 + − )√5 − + ) + (6 +4 +2 − ) + + + − = (5 + − )√5 − =1 12 + = = =0 ⟹ ⟺ +4 +2 − =2 =1 + + −5 =0 ⟺ (2 ) + = (5 − )√5 − + √5 − ⟺ = √5 − Bài 17: Giải phương trình −2 = ( − 1) Giải ⟺2 −2 Bài 18: Giải phương trình = − − +1⟺2 √6 − = + ( − 1) = +( − ) −4 +1 Phân tích: Tìm hàm ( ) = + Ta phân tích phương trình dạng (2 + ) + (2 + ) = (6 − 1) + √6 − ⟺ + 12 +6 + − + + = √6 − ⟹ ⟺ (2 ) + (2 ) = (6 − 1) + √6 − Bài 19: Giải phương trình Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm biên soạn: Đào Duy Quang =0 Trang 39 +6 +1= | | − |3 + | ?????????????????????????? |3 + | Bài 20: Giải phương trình +2 −8 = ( + 1) √ + − −2 +3 = nghiệm Phân tích: Nhẩm Giải Điều kiện ≥ −2 ( + 4)( − 2) ⇔ √ + + = ( + 1) √ + − √ + + −2 +3 =2 ( + 4)( − 2) ( ) +4 ⇔ √ + + = ( + 1)( − 2) ⇔ √ + + = ( + 1) −2 +3 −2 +3 Xét phương trình ( + 4) √ + + = ( + 1) ⇔ ( + 4) √ + + = ( + 1)( − + 3) −2 +3 ⇔ ( + + 2) √ + + = ( − + 2)( − + + 2) √ + + = (( − 1) + 2) ( − 1) + ⇔ √ +2 +2 Xét ( ) = ( + 2)( + 2) = +2 + + 4, ( )=3 √ +2= + + > 0, ∀ suy −1 ⟺ Sử dụng bất đẳng thức Bài 1: Giải phương trình √ + Giải Điều kiện: ≥ 0, −1+√ −2= ( + + ) ≥ 1, ≥ + Sử dụng bất đẳng thức ≥ 2√ , ≥ 0, ≥ +1 ; =1 ( − 1) + − = ( − 1) ≤ ; −1=1 ( − 2) + ; −2=1 √ − = ( − 2) ≤ √ = √ ≤ Suy ( + + ) = 2, = suy nghiệm phương trình (1; 2; 3) √ + Dấu xảy Bài 2: Giải phương trình ( −1+√ −2= = 1, + 1)( + 2)( + 8) = 32 ; > 0, > 0, > Giải Sử dụng bất đẳng thức + ⇔ ( + 1)( + 2)( ≥ 2√ , ≥ 0, ≥ ( ( + 1) ≥ + 2) ≥ Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm biên soạn: Đào Duy Quang + 3) = 32 = = √2 Trang 40 ( + 8) ≥ = √8 = √2 Suy ra: ( + 1)( + 2)( + 3) ≥ 32 = 1, = √2, = 2√2 Dấu xảy Phương trình có nghiệm là: 1; √2; 2√2 Bài 3: Giải phương trình + 2− Điều kiện: −√2 ≤ =4 +4 +3 ≤ √2 Áp dụng bất đẳng thức: ( ) ≤( + + 2− = ⇒ )( + ); = 1+ 2− ≤( + + 2− ≤ 2; = +2− 2− ⇒ + + = (2 + 1) + ≥ 2; + 2− =4 )(1 + ) ≤ =1 =− =1 =− +4 +3⇔ Nghiệm phương trình là: 1; − Bài 4: Giải phương trình 16 √ −3 Giải Điều kiện: + −1 + 1225 √ − 665 = 82 − √ − − − − √ − 665 > 3, > 1, > 665 16 1225 ⇔ +√ −3+ + −1+ + √ − 665 = 82 √ −3 −1 √ − 665 Áp dụng bất đẳng thức + ≥2 , = 16 + √ − ≥ 2√16 = √ −3 + − ≥ 2√4 = −1 1225 + √ − 665 ≥ 70 √ − 665 Suy 16 1225 +√ −3+ + −1+ + √ − 665 ≥ 82 √ −3 −1 √ − 665 √ − = 16 Dấu xảy = 19 =5 = 1890 ⇔ −1 =4 √ − 665 = 1225 Bài 5: Giải phương trình sau +1 √ Điều kiện: > 0, + 4( − 1) −1+4 ( − 1) = 10 ≠1 Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm biên soạn: Đào Duy Quang Trang 41 ⇔√ + + Áp dụng bất đẳng thức ≥2 , √ = + ( − 1) + √ + ( − 1) ≥2 √ 4 ( − 1) + = 10 ≥8 ( − 1) Suy √ + + ( − 1) + ( − 1) √ =1 Dấu bẳng xảy = 2, = Phương trình có nghiệm (1; 2), (1; 0) Bài 6: Giải phương trình √ −1+ ≥ 10 2( − 3) + − −3 = ≥1 Điều kiện Áp dụng bất đẳng thức ( + ) ≤( )( + − = √ − 1 + ( − 3) √ −1+ Suy √ − + − + + Áp dụng bất đẳng thức + 1) ≤ − −3 ⇔ = 5, =2 + +1= − + +1 2 + ≥ ⇔ (2 + 1)( − + 1) ≥ ⇔ ≥ − ⇔ (2 + 1)( ≤ ( − + ( − 3) )(1 + ) = 2( − 1) + 2( − 3) 2( − 3) + − −3 = Dấu xẩy √ − = Phương trình có nghiệm = 5, = Bài 7: Giải phương trình Điều kiện: ); = + + ≥ 2√ +1+ − (2 + 1)( +1 = +1 = + − + 1) + 1; + = − +1 ⇔ = 0, = Phương trình có nghiệm = 0, = Bài 8: Giải phương trình + + Áp dụng bất đẳng thức + −1= − ( −1+ − +1 = − +2 ≥ 2√ + −1+1 = ( + ); + − = ⇔ = 1, = −2 2 − + 1) ≤ ( − + 2); − + + = ⇔ = 1, = +1 ≤ +1 + ≤ + ⇔ ( − 1) ≤ ⇔ = =1 + − 1) ≤ +1 = ( Suy √ + − + √ − Từ phương trình suy − Vậy phương trình có nghiệm + Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm biên soạn: Đào Duy Quang +2 =2 Trang 42 [...]... + 8)(5 + ) − 3√ + 8 = 0 ) (4 − 8)(4 + 5 ) + 2√4 − 8 = 0 ) √2 + 8 + 5 (3 + )( + 4) = 0 Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm và biên so n: Đào Duy Quang Trang 23 Phương pháp ẩn phụ (http://www.tuituhoc.com/2014/01/dat-an-phu -giai- phuong-trinh -chua- can. html) Bài 1: Giải phương trình sau −4 +3 =4 − Phân tích: Đại lượng chung Giải Điều kiện −4 +3 ≥0 −4 ⇔ −4 +3 =4 − −4... phương trình 2 1 1 ) − −( 1+ = + ⟺1+ ( + + 3 3 3 ) − 3( )+2 = 0 ⟺( + + Đặt Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm và biên so n: Đào Duy Quang )=0 Trang 32 Phương pháp hàm số (http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Chuyen-De/109419/ung-dung-tinh-don-dieu-cua-ham -so- degiai-phuong-trinh-vo-ti) Định lý 1: Nếu hàm số trên của phương trình Định lý 2: Nếu hàm số phương trình (... = −2 So sánh điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất Cách khác: +) Đặt = 2 − 1, +2 + 1 2 = ≥ 0; 4 − 1 = 2(2 − 1) + 1; 4 − 1 = 4 − 4 + 1 + 4 − 2 = (2 − 1) + 2(2 − 1) Ta được phương trình: √2 + 1 + √ ⟺ 4 √4 − 1 ≤ 1 − 1 = 1 − 2√4 − 1 + 4 − 1 + 4 + 2 (2 + 1)( +2 = 1⟺ 2 +1+ + 2 + 2 (2 + 1)( + 2 ) = 0 ⟺ 2 (2 + 1)( Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm và biên so n:... − 1 + 4 √ − 3 √ + 1 + 2 +3 1 1 2 +5 + + +1+ > 0, ∀ > 3 −6 √ − 1 + 2√ − 1 + 4 √ − 3 √ + 1 + 2 Bài …: Giải phương trình √ − 1 + 2√ −1+4 √2 − 1 + Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm và biên so n: Đào Duy Quang −3 +1 =0 Trang 14 3 2+√ −2 =2 +√ +6 1− = 2 + 1+ 9 √4 + 1 − √3 − 2 = √ − 2 + √4 − +3 =2 −5 −1 +3 √4 + 1 − √3 − 2 = 5 2 + 16 + 18 + −1=2 +4 Bài 1: Giải phương... trình 3 +2 +3 +3= 3 +1 Phân tích: = 1 là nghiệm, phương trình có nhân tử chung ( − 1) Giải Điều kiện: > − vì 3 ⟺ +2 +3 >0 +3−2= 3 +2 +3 −2⟺ 3 +1 √ Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm và biên so n: Đào Duy Quang −1 +3+2 = ( − 1)(3 − 1) 3 +1 Trang 15 =1 +1 ⟺ = (3 − 1) 3 +1 √ +3+2 (3 − 1) ( + 1)(3 + 1) +1 3 −2 +3 = ⟺ = +3+2 ⟺ +3 = 3 +1 3 −1 3 −1 √ +3+2 ( − 1)(3 − 5)... 2 + 14 ⇔ −14 = √ + 3( + 7) vô nghiệm vì ≥ −3 Bài 4: Giải phương trình ( + 3) + Phân tích: Nhẩm được phương trình có nghiệm chung là + − 2 Giải Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm và biên so n: Đào Duy Quang +2= +3 +4 = 1, = −2 nên hai vế của phương trình có nhân tử Trang 16 Điều kiện: Vì + 3 + 4 > 0 nên > −3 ⇔ ( + 3) + ⇔ ( + 3) ⇔ ( + 3)( + − 2) = ( + 3 + 4 − 2(... 1+√ =− =− +1 √ ⇔ +1 =0 Bài 8: Giải phương trình + +1 1 + = +2 +4 2 √ +1 Phân tích: Phương trình có nghiệm = ±√3, phương trình có nhân tử chung Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm và biên so n: Đào Duy Quang −3 Trang 17 Giải Điều kiện: > −4 + +1 3 1 1 −1+ − = − +4 2 2 √ +1 2 ( − 3) −3 1 + ( − 3) = − 1 1 2 + +1 2( + 1) +2 + 1 √ +1 +4 −3=0 1 1 1 + =− 1 1 ⇔ = ±√3... liên hợp làm xuất hiện nhân tử chung ở hai vế của phương trình Tìm lượng liên hợp +1 +1 ( + 1) −2 +3 = +1 ⟺ −2 +3= ⟺ −2 +3− = − +1 +1 Suy ra = 2 Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm và biên so n: Đào Duy Quang Trang 18 Giải Điều kiện: + 1 ≥ 0 ⇔ Với điều kiện trên, ta có: ≥ −1 ⇔ ( + 1) ⇔ ( + 1) ⇔ ( + 1)( −2 +3−2 = − 2 − 1) = ( −2 −1 − 2 − 1) −2 −1 =0 −2 +3 = −1( ⇔... −3 − 3 − 8 + 40 − 8√4 + 4 = 0 = 3 là một nghiệm của phương trình ⇔ − 3 − 8 + 40 = 8√4 + 4 − 8 + 40 − 3 − 8 + 40 = √4 + 4 ⇔ − 2 = √4 + 4 − 2 8 8 Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm và biên so n: Đào Duy Quang Trang 19 ⇔ ( − 3)( − 8) − 8 + 24 √4 + 4 − 4 4 − 12 = ⇔ = 8 8 √4 + 4 + 2 √4 + 4 + 2 √4 + 4 + 4 =3 −8 4 ⇔ = 8 √4 + 4 + 2 √4 + 4 + 4 −3 Xét phương trình −8 4... +2 = 2 +4 − 2 + 4) −4 2 +4 − 10 − 12 2 +4 − 10 − 12 = 0 ⇔ ( − 2 + 4) 5⇔ +2= 2 +4 2 = 5 + √37 = 5 − √37 Bài 14: Giải phương trình 2( − 3 + 2) = 3 Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu Sưu tầm và biên so n: Đào Duy Quang +8 Trang 20 =2 Phân tích: Tìm được lượng liên hợp Bài 15: Giải phương trình Phân tích: Tìm được lượng liên hợp Bài 16: Giải phương trình 2 +5 −1 =7 =3 −1 +