23/8/2016 Bất đẳng thức phụ ­ Bất đẳng thức và cực trị ­ Diễn đàn Toán học Diễn đàn Toán học →  Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →  Bất đẳng thức và cực trị Bất đẳng thức phụ Bắt đầu bởi vietfrog, 25­10­2011 ­ 20:51 Quyên góp,   Tổng hợp,   Trang 1 / 6 Đã gửi 25­10­2011 ­ 20:51 vietfrog BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ   Phổ biến Trong nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức ở cấp THPT, ta thường bắt gặp các Bất đẳng thức phụ , các Bổ đề nhỏ Có khi các Bất đẳng thức, Bổ đề đó ta có thể dễ dàng nghĩ tới để sử dụng. Nhưng cũng có khi ta băn khoăn không hiểu vì sao lại sử dụng bất đẳng thức phụ đó và đôi khi ta không biết về nó Chính vì vậy, mình mở topic này để cùng anh em VMF thảo luận, thu thập, tổng hợp các Bất đẳng thức phụ Biết càng nhiều Bất đẳng thức phụ xem như ta có thêm nhiều vũ khí, khi cần có thể đem ra dùng để đối phó với các bài toán Bất đẳng thức Rất mong được mọi người ủng hộ * Một số yêu cầu nhỏ: ­ Các Bất đẳng thức phụ đưa ra phải có hình thức ngắn gọn ­ Cách chứng minh các Bất đẳng thức phụ đó cần rõ ràng, mạch lạc, càng ngắn gọn càng tốt ­ Mọi người đưa BĐT phụ lên nếu có thể thì chứng minh luôn ­ Mọi người có thể post nhiều cách chứng minh bổ đề ­ Topic ứng dụng các BĐT phụ này sẽ được mở sau khi đã có số lượng BĐT phụ phong phú Hy vọng mọi người tham gia nhiệt tình để tổng hợp thành một tài liệu hay cho VMF Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 25­10­2011 ­ 22:25 Đã gửi 25­10­2011 ­ 21:06 vietfrog BĐT 1:   Chứng minh rằng: Với a, b, c > 0 và abc ≤ 1 thì ta luôn có: Phổ biến a b c + + ≥a+b+c c a b Chứng minh ≥ a  bc Theo BĐT AM­GM ta có: Ta có: abc ≤ ⇒ 2a c a a c + = + + ≥3 c b c c b √ a2 bc ≥3 √a2 a = 3a(1) Tương tự ta cũng có được: 2b a + a c ≥ 3b(2); 2c b + b a ≥ 3c(3) http://diendantoanhoc.net/topic/63996­b%E1%BA%A5t­%C4%91%E1%BA%B3ng­th%E1%BB%A9c­ph%E1%BB%A5/ 1/9 23/8/2016 Bất đẳng thức phụ ­ Bất đẳng thức và cực trị ­ Diễn đàn Toán học Từ (1); (2); (3) ta có đpcm.  Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 25­10­2011 ­ 21:07 Đã gửi 25­10­2011 ­ 21:11 vietfrog BĐT 2: Với ab ≥ 1 ta luôn có: + a2 1+ 1+ b2 + ab ≥ Chứng minh Biến đổi tương đương: 1+a ⇔ ⇔ + 1+b 1+a − ≥ 2 + ab + + ab 1+b (a − b) 2(ab − 1) − 1 + ab ≥0 ≥0 (1 + a 2)(1 + b 2)(1 + ab) Ta có đpcm.  Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 26­10­2011 ­ 00:37 Đã gửi 26­10­2011 ­ 00:46 vietfrog BĐT 3: Cho a, b ∈ R; n ∈ N ∗  Chứng minh rằng: an + b n ≥ ( ) a+b n Chứng minh: Trước tiên ta xét: f(x) = x n + (c − x) n ; c > 0, n ∈ N ∗ Ta có: f ′ (x) = nx n − − n(c − x) n − 1;f ′ (x) = ⇔ x = BBT → f(x) ≥ f c  Lập BBT.  () c ⇔ x n + (c − x) n ≥ () c n Chọn x = a; c = a + b ta có: an + b n ≥ ( ) a+b n ⇔ an + b n ≥ ( ) a+b n BĐT trên là BĐT tổng quát giúp ta dễ nhớ Từ BĐT trên ta có thể thay n=2,3,4 Sẽ được một số BĐT phụ khá hữu ích. ( cái mà ta muốn nói đến)  http://diendantoanhoc.net/topic/63996­b%E1%BA%A5t­%C4%91%E1%BA%B3ng­th%E1%BB%A9c­ph%E1%BB%A5/ 2/9 23/8/2016 Bất đẳng thức phụ ­ Bất đẳng thức và cực trị ­ Diễn đàn Toán học a3 + b ≥ ( ) a+b  ;  a4 + b ≥ ( ) a+b     Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 26­10­2011 ­ 00:51 Đã gửi 26­10­2011 ­ 02:03 alex_hoang BĐT4 Cho các số thức dương a, b.CMR  1 + ≥   a b a+b Chứng minh Ta thấy (a + b) ( 1 + a b ) ≥ 2√ab2 √ab = 4  Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 01­11­2011 ­ 20:42 Đã gửi 26­10­2011 ­ 19:34 hxthanh Bản thân Cauchy đặt tên bất đẳng thức: ¯ Với các số thực dương a i, i = 1, n  a1 + a2 + + an n ≥ n   1 + + + a1 a2 an là BĐT "Trung bình điều hoà" mà  Đã gửi 26­10­2011 ­ 19:51 Ispectorgadget BĐT trên có tên quốc tế là AM­HM "HM" viết tắt của chữ Hamonic means BĐT 5 Với a,b,c dương ta có: (a + b + c) (ab + bc + ac) ≥ 9abc  Chứng minh Áp dụng BĐT AM­GM cho 2 cái ngoặc ta có: (a + b + c)(ab + ac + bc) ≥ √abc.3 √a2b 2c2 = 9abc Ta có đpcm ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ BĐT 6: Cho a,b,c là số thực dương Ta luôn có a + b + c2 ≥ ab + bc + ac  Chứng minh: 2(a + b + c2) ≥ (2ab + 2bc + 2ac)  http://diendantoanhoc.net/topic/63996­b%E1%BA%A5t­%C4%91%E1%BA%B3ng­th%E1%BB%A9c­ph%E1%BB%A5/ 3/9 23/8/2016 Bất đẳng thức phụ ­ Bất đẳng thức và cực trị ­ Diễn đàn Toán học 2 (a − b) + (b − c) + (a − c) ≥ 0 (luôn đúng)  => BĐT ban đầu đúng ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ BĐT 7 Với a,b,c dương ta có: ab bc ac + + ≥ a + b + c  c a b Chứng minh BĐT tương đương: abc ⇔ ( a2 a2 + + b2 b2 + + c2 c2 ) ≥ ≥a+b+c 1 + + (1) ab bc ac Dễ thấy (1) luôn đúng với BĐT AM­GM ( hay chính là BĐT số 6 ) ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ BĐT 8: Cho a,b,c là số thực dương Ta luôn có:(a + b + c) ≥ 3(ab + bc + ac)  Chứng minh:  VT=a + b + c2 + 2ab + 2bc + 2ac Tới đây sử dụng BĐT 6 ta có  VT ≥ 3(ab + bc + ac)  Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 26­10­2011 ­ 23:56 Đã gửi 26­10­2011 ­ 20:12 vietfrog Vào lúc 26 Tháng 10 2011 ­ 18:34, hxthanh đã nói: Bản thân Cauchy đặt tên bất đẳng thức: ¯ Với các số thực dương a i, i = 1, n  a1 + a2 + + an n ≥ n 1 + + + a1 a2 an   là BĐT "Trung bình điều hoà" mà @hxthanh : Thưa thầy, ý bạn Hoàng muốn nói tới BĐT AG­HM dạng đó. Ta sẽ xét những BĐT phụ thường dùng, nhiều ứng dụng, không nhất thiết phải là BĐT tổng quát Vào lúc 26 Tháng 10 2011 ­ 18:51, Ispectorgadget đã nói: BĐT trên có tên quốc tế là AM­HM "HM" viết tắt của chữ Hamonic means Với a,b,c dương ta có: (a + b + c) (ab + bc + ac) ≥ 9abc  ab bc ac + + ≥ a + b + c  c a b 2 BĐT này chỉ cần sử dụng BĐT AM­GM @spectorgadget : Bạn nên đánh số thứ tự BĐT nhé. Chứng minh 2 BĐT trên không dài dòng lắm nên bạn có thể chứng minh luôn nhé. Theo mình thì mỗi BĐT và cách chứng minh nó nên để ở 1 post. Cảm ơn bạn đã tham gia!  khanh3570883 http://diendantoanhoc.net/topic/63996­b%E1%BA%A5t­%C4%91%E1%BA%B3ng­th%E1%BB%A9c­ph%E1%BB%A5/ Đã gửi 26­10­2011 ­ 23:25 4/9 23/8/2016 Bất đẳng thức phụ ­ Bất đẳng thức và cực trị ­ Diễn đàn Toán học BĐT 8: bất đẳng thức này khá hay và rất nhiều ứng dụng, mọi người nghĩ ra trường hợp tổng quát hơn nữa nha! Cho a 1, a 2, , a n  là các số dương; m và k là các số nguyên dương, ta có bất đẳng thức sau:  +k +k +k am + am + + am ≥ am ak + am ak + + am a k  n 2 n Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức AM­GM cho (m+k) số: +k +k ma m + ka m ≥ (m + k)a m a k  2 Làm lại tương tự như vậy rồi cộng lại ta được đpcm.  Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 01­11­2011 ­ 20:36 Đã gửi 27­10­2011 ­ 00:01 vietfrog @Ispectorgadget : Bạn nên trình bày cho đẹp hơn chút, để cho nhưng bạn chưa biết có thể dễ dàng đọc được Các BĐT phụ được đưa ra đều là những BĐT đơn giản, dễ chứng minh nhưng bạn vẫn nên chứng minh ra nhé Mình đã chứng minh BĐT 5 và 7 phía trên cho bạn Mong rằng bạn sẽ tiếp tục đóng góp những BĐT phụ hay @khánh: Khánh có thể nêu một số dạng đơn giản để dễ áp dụng được không? Nêu ngay dưới bài post của Khánh cũng           Đã gửi 27­10­2011 ­ 12:19 HÀ QUỐC ĐẠT BĐT9, Với mọi a,b,c>0 ta có(a + b)(b + c)(c + a) ≥ (a + b + c)(ab + bc + ca)(1) Chứng minh: (a + b)(b + c)(c + a) = (ab + bc + ca)(a + b + c) − abc ≥ (ab + bc + ca)(a + b + c) − = 9 (ab + bc + ca)(a + b + c)  (ab + bc + ca)(a + b + c)  ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ BĐT10, Cho ab ≥ 0vàa, b, a + b ≥ − 1 ta có:  √1 + a + √1 + b ≥ + √1 + a + b(2)  Chứng minh: (2) ⇔ + a + b + 2√(1 + a)(1 + b) ≥ + a + b + 2√1 + a + b  ⇔ (1 + a)(1 + b) ≥ + a + b ⇔ ab ≥ 0(đúng)  Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 01­11­2011 ­ 20:43 Đã gửi 27­10­2011 ­ 14:55 Ispectorgadget BĐT 11: Cho x,y 2 là số thực dương ta có (x + y + z) x + y + z2 ≥   Chứng minh: Áp dụng BĐT Cauchy­schwarz x y z2 (x + y + z) + + ≥   1 BĐT 12: cho 2 số x,y thực dương ta có (x + y) ≥ (x + y) − (x − y) = 4xy  http://diendantoanhoc.net/topic/63996­b%E1%BA%A5t­%C4%91%E1%BA%B3ng­th%E1%BB%A9c­ph%E1%BB%A5/ 5/9 23/8/2016 Bất đẳng thức phụ ­ Bất đẳng thức và cực trị ­ Diễn đàn Toán học Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 01­11­2011 ­ 20:36 Đã gửi 27­10­2011 ­ 22:54 HÀ QUỐC ĐẠT BĐT12: Với mọi a,b,c >0 ta có: a 2b + b 2c2 + c2a ≥ (ab + bc + ca) ≥ abc(a + b + c)(*)  Chứng minh: (*) ⇔ (ab − bc) + (bc − ca) + (ca − ab) ≥ 0  Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 01­11­2011 ­ 20:37 Đã gửi 27­10­2011 ­ 23:17 Ispectorgadget BĐT 13: Với mọi số a,b thực ta có a + b ≥ a 3b + b 3a  Chứng minh: ⇔ a 3(a − b) − b 3(a − b) ≥ BĐT   (luôn đúng)  ⇔ (a − b) 2(a + b + ab) ≥ Suy ra BĐT ban đầu đúng *Các dạng kháca + b ≥ ab(a + b)  a + b ≥ a 2b 2(a + b)  Việc chứng minh hoàn toàn tương tự ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ BĐT 14:Cho a,b thực dương ta có √2a − ≤ 1  a Chứng minh: √2a − a ≤ 2a − + 2a Các dạng khác của BĐT này là    √3a − ≤ 1  a Cách chứng minh tương tự sử dụng AM­GM 3 số ta có √3a − 3a − + + ≤ = 1  a 3a Bổ đề này áp dụng cho một số bài toán khá thú vị do chủ topic không yêu cầu gửi những bài tập áp dụng nên mình không dám gửi  Mà sao không ai góp thêm vậy    Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 01­11­2011 ­ 20:41 Đã gửi 31­10­2011 ­ 00:47 vietfrog BĐT 15: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: a + b + c2 + 2abc + ≥ 2(ab + bc + ac)  Chứng minh Theo nguyên lý Diricle thì luôn tồn tại 2 trong 3 số :(a − 1); (b − 1); (c − 1)cùng dấu.  Giả sử: (a − 1)(b − 1) ≥ http://diendantoanhoc.net/topic/63996­b%E1%BA%A5t­%C4%91%E1%BA%B3ng­th%E1%BB%A9c­ph%E1%BB%A5/ 6/9 23/8/2016 Bất đẳng thức phụ ­ Bất đẳng thức và cực trị ­ Diễn đàn Toán học ⇔ ab + ≥ a + b ⇔ 2abc + 2ab + 2c ≥ 2(ab + bc + ca) Ta chứng minh: a + b + c2 + ≥ 2ab + 2c BĐT trên luôn đúng theo BĐT AM­GM.  Đã gửi 01­11­2011 ­ 23:46 Ispectorgadget BĐT 16: BĐT này cũng khá quen thuộc Cho a, b, c là 3 cạnh tam giác ta có abc ≥ (a + b − c)(b + c − a)(a + c − b)  Chứng minh a ≥ a − (b − c) = (a − b + c)(a + b − c)  Cmtt ta có b ≥ (b − a + c)(b + a − c)  c2 ≥ (c − a + b)(c + b − a)  Nhân lại lấy căn suy ra đpcm dấu bằng xảy ra khi a = b = c  @vietfrog: BĐT 16 vẫn đúng với a, b, c là các số dương.  Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 05­11­2011 ­ 22:30 Đã gửi 02­11­2011 ­ 00:03 perfectstrong Một số bổ đề mà mình gom được khi học bđt: BĐT 17 ∀x : 1+x ≥1− x Tổng quát hơn chút, ∀x : k+x ≥ k − x √k BĐT 18 (1 + a )(1 + b )(1 + c ) ≥ (1 + abc) (a + b + c3 )(m + n3 + p 3 )(x 3 ) + y + z ≥ (amn + bny + cpz) Ispectorgadget http://diendantoanhoc.net/topic/63996­b%E1%BA%A5t­%C4%91%E1%BA%B3ng­th%E1%BB%A9c­ph%E1%BB%A5/ Đã gửi 02­11­2011 ­ 00:15 7/9 23/8/2016 Bất đẳng thức phụ ­ Bất đẳng thức và cực trị ­ Diễn đàn Toán học BĐT 18 là holder thì phải. Bạn chứng minh luôn nhé   mình đang cần cái chứng minh của holder  Đã gửi 02­11­2011 ­ 13:09 Mai Duc Khai Vào lúc 01 Tháng 11 2011 ­ 23:15, Ispectorgadget đã nói: BĐT 18 là holder thì phải. Bạn chứng minh luôn nhé   mình đang cần cái chứng minh của holder Chứng minh BĐT 18 Sử dụng BĐT AM­GM ta có: a3 a3 + b3 + c3 + x3 x3 + y3 + z3 + m3 m3 + n3 + p3 ≥ 3axm √ (a3 + b + c3 )(x3 + y + z3 )(m3 + n3 + p3 )   Xây dựng tương tự 2 BĐT nữa với (b; y; n) và (c; z; p) rồi cộng vế theo vế lại ta có điều phải chứng minh.  Trích Quyển Sáng tạo bất đẳng thức.( Trang 27)  Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 05­11­2011 ­ 22:31 Đã gửi 08­11­2011 ­ 14:35 Ispectorgadget BĐT 19: Với a,b,c là 3 số thực dương ta có a b c2 a b c + + ≥ + +   b c a b c2 a Chứng minh: Áp dụng BĐT Cauchy­Schwarz ta có a b c2 a b c 3( + + ) ≥ ( + + ) 2  2 b c a b c a a b c2 Áp dụng BĐT AM­GM ta được ( + + ) ≥ 3  b c2 a a b c2 a b c 3( + + ) ≥ 3( + + ) 2  2 b c a b c a Từ đây ta có đpcm  Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 10­11­2011 ­ 23:16 Trở lại Bất đẳng thức và cực trị · Chủ đề chưa đọc tiếp theo → Trang 1 / 6 Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →  Tài liệu ­ đề thi THPT →  Thi TS ĐH →  [Ebook hay] Tổng hợp kiến thức thi THPT Quốc Gia môn toán (2015 về sau)  Bắt đầu bởi firing, 05­05­2015     ebook, tổng hợp, môn toán Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →  Tài liệu ­ đề thi THPT →  Tài liệu tham khảo khác →  Tổng hợp tài liệu TOÁN theo chuyên đề  Bắt đầu bởi A4 Productions, 11­03­2015     tài liệu, toán, tai lieu, toan và  1 Trả lời 1388 Views Hong Y 10­10­2015 1 Trả lời 5188 Views hshdhccjchjcjh 13­08­2015 5 Trả lời 2336 Views namcpnh 26­07­2014 Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →  Số học →  Các bài toán và vấn đề về Số học →  TỔNG HỢP CÁC BÀI SỐ HỌC VÀ TỔ HỢP TRONG CÁC KÌ OLYMPIC THI NĂM 2013­2014 Bắt đầu bởi namcpnh, 24­07­2014     tổng hợp Toán Trung học Cơ sở →  Hình học →   BÌNH CHỌN   Hình Học Tổng Hợp Lớp 7  Bắt đầu bởi Linda Johnson, 15­07­2014     hinh hoc, tổng hợp 2 Trả lời 569 Views http://diendantoanhoc.net/topic/63996­b%E1%BA%A5t­%C4%91%E1%BA%B3ng­th%E1%BB%A9c­ph%E1%BB%A5/ Linda Johnson 16­07­2014 8/9 23/8/2016 Bất đẳng thức phụ ­ Bất đẳng thức và cực trị ­ Diễn đàn Toán học ∡BAC Toán Trung học Cơ sở →  Đại số →