Toánnôngcao Tự LUẬN & TRẮC NGHIỆM ĐẠI ỉó «GIẢI TÍCH i l LÊ HỔNG ĐỨC - LÊ BÍCH NGỌC TOÁN NÂNG CAO Tự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM Đ A I S Ố & G IẢ I T ÍC H 11 NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI MỞ Đ Ẩ U Sự 1(11 việt phương pháp trắc nghiệm (1(7 (tang dưự( (hửng minh từ nước cỏ nên giáo (hu tiên tiến trớn thê giới hời ưu (liếm tính khái lì (/nan, tính han (/nút tính kinh tể Trong thời gian không xa, theo (hu trương (ủa BGD&DT trường (lọi lìọc, cao (lăng trung học (huyên nghiệp sè (huyên sang hình thức tuyên sinh plĩỉrơng pháp trắc nghiệm Va (lê ( ỏ (lược thời gian (huân bị tốt nhất, hùi kiêm tra kiến thức chương trình THCS ve) TỊỊPT sè có phân trắc nghiệm (lê em học sinh làm quen Tuy nhiên, việc biên soạn câu hỏi trắc nghiệm cần tuân thủ sô yêu t ầu vê mật lí luận sư phạm vù V nghĩa dich thực cúc sô liệu thống kê Ngoài ra, dề thi môn toán dược chấm hoàn toàn dựa kết (Ịiui trắc nghiệm chắn sè chưa phù hợp với trạng giáo due cùa nước ta hài nhiêu lí (lo, từ dó dan tới việc không ddm hảo dược tính khách quan việc (tánh giá kết học tập học sinh Để khắc phục nhược diêm Nhỏm Cự Môn chúng tỏi dề xuất lurớỉìg thực sau: Với mồi dề thi dề kiểm tra vần tuân tliít dúng cấu trúc chung diem trắc nghiệm không 3.5 (Item Trong câu hỏi cỏ phần trác nghiệm sè dược hiểu ' trắc nghiệm tự luận" Ở dây, thông thường em học sinh sè phai lựa chọn hôn dúp số vù cần biết sổ điểm a câu hỏi dược chìa lủm dôi: ■ Nếu lựa chọn dáng lời giai trắc nghiệm sè nhận dược diêm ■ Nếu thực lời giải tự luận cho cáu hỏi nhận dược — diểm cồn lại Dây yếu tô dê dâm háo tính khách quan bởi: Với học sinh chi mồ mẫm dap án hoậc nhận dược nỏ thông qua yếu to xung quanh sè chì nhận dược da — dient với xúc suất 25% Với học sinh hiến dược nội dung cáu hỏi từ dỏ dinh hướng dược phép thử tay máy tính f.x - 570MS chắn nhún dược — điểm Với nhữììg học sinh biển việc hiểu dược nội dung câu hói cỏ thể thực dược phẩn câu hỏi dạng tự luân sè nhân dươc khoảng a + - = — diêm ‘ 4 Cuối ( ùng với nlìtTng học sinh biết cách thực cáu hỏi dạng tự luận sè nhận dược a diểm Dựa tư tưởng này, Nhỏm Cự Môn phụ trách Lê Hồng Đức xin trân trọng giới thiệu tới hạn dọc hộ sách: TOÁN NÂNG CAO T ự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM THPT Bộ sách sể cung cấp cho hạn đọc ngán hàng hài tập tự luận trắc nghiệm môn toán THPT có chất lượng theo thứ tự chương trình Toán PTTH hởi vé hình thức hạn đọc nhận thấy hộ sách chỉnh sách giải hài tập hộ sách Học Ôn tập Toán (được viết theo lớp 10,11,12) NXB Đại học Quốc gia Hù Nội ấn hành Cuốn HẠI S Ố \ỉk GIẢI TÍCH 1 chia thành chương: Chương I: Dãy sô Chương II: Giới hạn hàm số Chương III: Hàm số liên tục Chương IV: Hàm số mũ - Hàm sô' logarit Chương V: Phương trình, bất phương trình hệ mũ Chương VI: Phương trình, bất phương trình hệ lôgarit Cuối cùng, cho dùdã cô' g ắ n ị Ị , hỏi hiểu hiệt vàkinh nghiệm hạn mong nhận dược ỷ kiến đóng góp quỷ háu hạn đọc gán Mọi ý kiến dóng góp liên hệ Địa chỉ: Nhóm tác giả Cự Môn Lê Hồng Đức phụ trách Số nhà 20 - Ngõ 86 - Đường Tô Ngọc Vân - Quận Tây Hồ - Hà Nội Điện thoại: (04) 7196671 hoậc 0893046689 E-mail: cumon(5)hn.vnn.vn lehongduc39(a)yalioo.coin Hà Nội, / tháng năm 2006 NHÓM C ự M ÔN - LÊ HỔNG ĐỨC CHƯƠNG I DẢY SỐ - C Ấ P SỐ CỘNG - C Â P s ố NHẰN CHỦ ĐỂ DÃY SỐ I TÓM TAT LÝ THUYẾT ĐINH NC.HĨA « Định nghĩa Dãy so (u j lủ nìột ánh xạ từN* vào R f : N' ->R Khi đó, ta có un = f(n) Kí hiệu (un) hay dạng khai triển Uj, u2, , un, CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT DÃY SỐ Một dãy số thường dược xác dinh bàng cách: Cái lì I Dày số xác định hởi công thức cho sô hạng tổng quát uir Cách 2: Dây số xác dinh hỏi công thức truy hồi, tức lủ: ■ Trước tiên, cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu) ■ Cho cồng thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước Cách 3: Dãy sô xúc dinh hởi mệnh dề mô tư số họng liên tiếp DÃY SỐ ĐƠN DIỆU Định nghĩa I (Dãy sô túng): Dãy số (u j dược gọi lủ tưng Vn e N*, un< Un+| Định nghía (Dây số giam): Dây số ịu j dược gọi giảm Vn N*,un> Un, ị DÃY SỐ BỊ C H Ặ N Định nghĩa (Dây sô hi chặn trên): Day sô (u„) dược gọi lừ hi chận nếu: 3M € R : un < M, Vn N\ Định nghĩa (Dãy sô bị chận dưới): Dãy sô (u j dược gọi bị chận nếu: 3m € R : Un > m, Vn e N* Định nghĩa (Dãy sô bị chặn): Dãy số (u j gọi lù hị chặn vừa hì chận vừa hi chặn dưới, tức là: 3m, M € R : m < un < M, Vn e N* II PHƯƠNG PHẤP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN VẢ BẢI TẬP PHƯƠNG PHÁP CHUNG Với giá thiết cho dãy số (un) dạng cóng thức tổng quát biểu thức truy hổi câu hỏi thường đặt là: ■ Hãy viết k số hạng đầu dãy sỏ hoậc tìm uk Câu hòi dược thực bàng phép ■ Xác định xem a số hạng thứ cùa dãy số Câu hỏi thực bầng việc giãi phương trình ấn n BÀI TẬP T ự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM Bàl táp Cho dãy số (u„) với u„ = — — 2n -1 a Viết số hạng dầu dãy , 3; - - ; 6; -7; 11 ♦ —y 13 □ * 11 11 15 19 23 — ♦ 13 * □ ^ í ^ 17 21 11 -1;6; — ; — y _ % 21 13 17 — - ; — ; • 11 15 19 b Tìm xem — số hạng thứ dãy sổ ? □ Us □ u7 Bài tập Cho dãy 5ÌỐ (u„) với u„ □ uy u u 11- n -1 / n 12 + 36 a Viết số hạng dầu dãy 1 •: □ □ ur> r'— / Ĩ ; /8 : / Ĩ ’ ; V4Õ; /5 ' /7 lõ ' /4 3 r□”ầ \• 1— % r~~—* □ n- Ị :1Õ; /136 /4 V45 V52 síẽĩ V ÌÕ; V52 b Tìm xem — số hạng thứ < dãy số ? 10 □ Uv □ Uk L) u7 □ u,IU- Bài tãp Cho dãy sô (u„) với u„ = - ^ — n+1 Tim u.„ U|J, u2)„ u2lltl □ 1; 1; 1; 1' —— □ 11 2n -1 n n +1 □ -1 ; _ ; - -I ; -□ 9; 12; 2n; 2n + 13 2n +1 n +1 b Tim □ c Tim u Bài tập xem số hạng thứ dãy u2(l □ u2m □ xem số hạng thứ dãy Uíu U||)| □ Cho dãy sò (un) xác định sau: số ? u2n+l số ? U2(K)7 □ U, 2n- U| = un = ub_, +1, n > a Hây viết sổ hạng đầu dãy số u 1; 7; 31; 127;511;2047 □ 1; 2; 4; 8;16; 32 □ 1; 3; 15; 63;127; 511 □ 1; 3; 7; 15;31; 63 b Tìm xem 511 số hạng thứ dãy số ? □ Un □ u, □ lift □ U| Bài tập Cho dãy số (un) xác định sau: u ị =2, u2 =3 u„ = 3un.j - 2u„ a Tim u □ b Tim □ n>3' u4, ux 0; “ 180 □ 3; 63 9; 549 u 2;18 xem 11 số hạng thứ dãy số ? u4 □ Uv □ U|K □ Không có Bài toán 2: Sừ dung phương pháp quy nạp chứng minh dày số (un) thoá tính chất K PHI ONG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: Bước ì (Bước rơ sớ): Chứng minh ràng số hạng đầu thoà mãn tính chất K Bướr 2: (Bước íỊỉty nạp): Gia sử số hạng uk thoả mãn tính chất K Ta di chửng minh sò hạng ukt| củng thoá mãn tính chất K Bước Kết luân dãy sỏ (u„) thoá mãn tính chất K BÀI TẬP T ự LUẬN Bài tập Cho dãy sô (un) với un = 13" ~ Chứng minh ràng số hạng dãy sỏ đểu chia hết cho 12 Bài tập Cho dãy số (un) xác dịnh sau: Uị = u = u = u(1_2 + un_t, n > Chứng minh sỏ hạng dãy số sỏ le Bài tập Cho dãy số(u„) với u„ = "'.Chứng minh u,, > 2n + inưtTm: i: uav so - l a p so com: - l a p so nnan Bài tập Cho dãy sô (un) xác dinh sau: u, = 1, u2 = ,u„ = u„-2+2un_1, n > ' Chứng minh un < , Vn e N \ v> / Bài tập 10 * Cho dãy số (un) xác định sau: Uị = a, u2 = b , với cd * ,un = c.un I +d.u„_2,n > Chứng minh ràng un = (eI + ne2)rn với e,, e2 sò phụ thuộc a, b r nghiệm kép phương trình X2 ~ cx - d = Áp dụng: Cho dẫy số: a, = 1, a2 = -3 a„ = 6an_! - a n_2, n > Chứng minh a„ = 3" - 2n.3"~ \ Vn e N* Hướng dần: Vì r nghiệm kép phương trình X2 - cx ” d = nên c = 2r d = - r \ un có dạng un = 2ru„ _ ị - ru„ - Bàỉ tập 11 * Cho dãy số (u„) xác định sau: Uị = a, u2 = b , với cd * “n =c.un_,+d.un 2, n > Chứng minh u„ = e,^" + e2r2n với e,, e2 số phụ thuộc a, b r,, r2 hai nghiệm phân biệt phương trình X2- cx - d = Áp dụng' Cho dãy số: a, = a = a „ = a n - i + a n-2> n - l+x/5 V’ Ị ^ v Chứng minh a„ = ■ ■ " Hướng dần:Chứng minh quy nạp Vn e N* Bàỉ toán 3: Xác định công thức dãy số (un) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta lựa chọn cách sau: Cách I : Sử dụng biến đổi dại số đế thu gọn đơn giản biểu thức un Cúch 2: Sử dụng phương pháp quy nạp việc thực theo bước: Bước ỉ: Viết vài số hạng đầu dãy, từ dự đoán công thức cho un Bước 2: Chứng minh công thúc dự đoán phương phápquy nạp BÀI TẬP T ự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM Bài tập 12 Cho dãy số (u„) xác định sau: Ju,=4 |u n = 2un_ị, n > Xác định công thức tính un theo n □ u„ = 2'wl □ un = 22n~' □ Bài tập 13 Cho dãy số (un) xác định sau: h ~ ị - ub = 4"*' □ u„ = 4'" [u„ = V + Un - l - n S Xác định công thức tính un theo n □ - n _ lL=2ảì— □ 11 2n+l ^ 7Ĩ _ n U=2ũCK-— - □ IL=XTK—- ^ ọ n+1 ^ 2" „ □ n \ị=m— 2n Bài tâp 14 Cho dây số (u„) với u„ = —-—— với n N dãy sỏ n + 4n + (S„) xác dinh sau: Ịs, =u, t Sn = s n_, + UM, n > Xác dịnh công thức tính Sn theo n n2 + 4n + (n + l)(n + 3) S,,= (n + 2)(n + 3) □ s„ = 5n2 +13n (n t- 2)(n + 3) □ Bài tập 15 Cho dãy số (u„) xác dịnh sau: u, =5 “ n = Ỷ “ n-| □ 5" u„ = - - □ u„ = ( m ịm Xác định công thức tính u„ theo n a u« = p r • a u n = p r • nì Bài tập 16 Cho dãy số (u„) xác định sau: u, = n >2 'n-l Xác định công thức tính u„ theo n □ u„= 1 n lẻ □ u„ = khinchẩn □ u„ = □ u„ = n lẻ n chẩn X Bài toán 4: Xét tính đơn điệu dãy số (u„) PHƯONt; PIIẢPCHtỉNCỈ Ta có thê lựa chọn cách sau: Củcìì I : Thực theo hước: Bước I : " Lập hiệu I ỉ = u„ +1 - UIPtừ dó xác dinh dấu H Bước 2: Khi đỏ: ■ Nếu H > với Vn c N dãy số (u„) tăng ■ Nếu H < với Vn e N dày sô (u„) giam Cách 2: Nếu u„ > với Vn e N" ta thực theo bước: Bước I : Lập ti sô p = -1“ “ , từ so sánh p với Uu Khi đó: ■ Nếu p > với V ne N dày sổ (u„) tảng Bước 2: ■ Nếu p < với Vn € N dãy sỏ (un) giảm BÀI TẬP Tự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM Bài tập 17 Xét tính đơn điệu cùa dãy số (u„), biết u„ = 4" □ Tăng □ Giảm u Không tăng, không giám Bài tập 18 Xét tính đơn diệu cúa dãy sổ (u„), biết u„ = n + sin n □ Tảng u Giảm □ Không tang, không giám \n Bài tập 19 Xct tính dơn diệu dãy số (u„), biết u„ = □ Không tăng, không giám □ Tăng □ Giảm 1- n Bài tập 20 Xét tính dơn điệu cùa dãy sỏ (u„), biết u„ Tăng □ Giám □ Không tăng, không giảm Bài tâp 21 Xét tính dơn điêu cúa dãy số (u„), biết u„ = n +1 □ Giảm □ Không tăng, không giám L) Tăng (1 ) Bài tãp 22 Xét tính dơn diêu cùa dãy sô (u„), bit't u„ = -— — n+1 □ Tâng □ Giảm □ Không tăng, không giảm Bài tập 23 Xét tính đơn diệu dãy số (u„), biết: |u , = u„ = 2u„ I - 1, n > □ Tăng 10 □ Giảm □ Khôr.g tăng, không giảm Bài tập 18 Giải hệ phương trình: log2Vsin X+ = log,(3cosy) log2-y/cosy + = log,(3sinx) 71 u ( _ + 2k7T, 21n (n ) -,2 n í 12 J l □ k í z, 16 □ □ tt J > ^ ' ì — ,2 n í 5* [2 J t ' y- - Ị ^ -ỉ ly V Vậy, hệ phương trình có cập nghiệm ( 1, 3) b Kí hiệu phương trình cùa hệ theo thứ tự (1) (2) Điểu kiện : X + 1> ' - X > < X < X> Từ phương trình (2) ta được: y = I - log,x y = 3' = - (3) Thay (3) vào (1) ta dược: ( V x T r ĩ - 1).— X o V4 X o V x - = > A - X > /*T f I = x~2 X- > Ị4 - X - (X - V c-> X> o X2 - x - Vậy, hệ phương trình có cập nghiệm (3, 0) 242 =J~4 - X + X X= -> y = Bài tập Điều kiện: 2x > X + 3y > (*) xy + > y + 2y - 2x + > x/y > Biến đổi hệ phương trình dạng: 4(x2 + y ) = X + 3y 2x xy + y + 2y - 2x { (I) X 4y X2 -3 x y + 2y2 = xy + 2y - 2x = X2 - =y Jx = 2y o IX - [(X - y ) ( x - y ) = (x -y )(x -2 ) = x=y X Từ (I), điều kiện (*) trớ thành X, y > Vậy hệ phương trình có nghiệm (2, 1) (a, a) với a € R Bài tập Điều kiện X > 0, < y * Lấy logarit sỏ hai vế phương trình thứ nhát, ta dưa hệ dạng: logi log-) X = log-) y log2 X - log-) y = m !og-> X log2 y o a X = log-) y , ii_2m log2 y 2log, y -lo g , y = - ; log-) y 4m lo g y ílog-> X = 4m X=2 { o { o -í [log2 y = 2m [log2y = 2m y = 2m [log, X= Với m = 1, ta được: jx = 16 ly-4 ■ Vậy, với m = hệ phương trình có cặp nghiệm (16, 4) b Đê hệ có cặp nghiệm (x, y) thoả mãn X > y < s 24m > 22m o < m < [2m < > Vậy, với < m < thoả mãn điều kiện dầu 243 Bài tập Điểu kiện: ịX *c (*) |y > ' Biến đối tương đương hệ dạng: —log-Ị X2 - lo g i y = 2 IXI +y - my = , _ f log^ I X 1= log-Ị V < = II>X ]I +, y, ' n -m y = I X 1= y f(y) = y2 + y - m = (1) a Với m = 2, ta được: I X 1= y hệ cho có nghiệm -m < o m > Bài tập a Điều kiện X, y > Lấy logarit sô 10 hai vế hai phương trình, ta được: lg3.1gx - Ig4.lgy = í l g l l g x = Ig4.lgy ị ( l g + Igx).lg4 - (Ig3 + Igy).lg3 o Ig4.IgX - Ig3.lgy = lg2 - lg2 Đặt: j u = Igx Ịv = Igy Khi dó, hệ có dạng: ulg3-v|g4 = u l g - v | g = lg2 - lg2 Ta có: D= D„ = D= 244 lg3 lg4 —lg = lg24 - lg23 * 0, hệ phương trình có nghiệm -Ig3 -Ig4 lg2 - lg2 - lg3 lg3 Ig4 lg^ —lg34 = (lg23 - lg24).lg4, = (lg23 - lg24).lg3 Suy hệ có nghiệm: * = - lg4 D u ílgx = - I g ^ \ Ị^ 11 Ị l g y = -Ig3 l\ = -Ig3 D X= — 4 Điều kiện: X- y > +y >0 X x.y * Biến đối hệ phương trình dạng: í — + —ì = ly xj = (1) s ụ c=> < U ' X) >gr(x2 - y 2) = X - y = Giải (1) cách đặt t = — => — = - y X t Khi dó (1) có dạng: t =2 2(t + - ) = o 2t2 - 5t + = _ị_ t ~2 Với X X = 2y y = 2x = 2y th ì: (2) 4y2 - y = => X = y = - =>X = - (1) ■ Với y = 2x thì: (2) X2 - x2= vô nghiệm Vậy, hệ phương trình có cập nghiệm (2 1) i tập Kí hiệu phương trình hệ theo thứ tự (1) (2) Điều kiện: < 1+ X * < 1- y * y * 1+ 2x > o - — < X *0 „ ■!- —< y < (*) y*0 + 2y > Giải (1) ( l ) o l o g , „ ( l - y ) + log|.y(l + x) = (3) Đặt t = log,„( - y) => log,.y( + x) = - 245 v , n m m i ¿ VI r n m m u u t i m , IMI p n u i m u U m i l V.1 n v i w ^ a m Khi đó: (3) o t + - = o t 2-2 t+ l= < = > t= l< = > logi+x( - y) = o l - y = l + x o x = -y Khi đó, hệ CÓ dạng : fX= -y _ [x = -y ị o { [log|+x(l-2x) + log|+x(l + 2x) = log ị +x(l 4\ ) - — x = -y X = -y I-4 x =(l + x)2 X = -y 5x2 + 2x = Vậy, hệ phương trình có cặp nghiệm O < X = (1) X= - — y=? 2 Bài tập Điẻu kiện X, y>0 Đặt: ju = Igx Ịv = Igy Khi đó, hệ ban đầu (kí hiệu (I)) biến đổi vẻ dạng: 4u - mv = -m - (m + 6)u + 2v = m + Í Ta có: D = m2+ 6m + 8; Du= m2+ m - 2; m * -2 Nếu D * « m 2+6m + * o I m * -4 Hệ (II) có nghiệm là: m -1 ĩY, m -1 u = ^ = -lgx = D m + m + Dv m + m+9 V= Igy = m +4 D m+4 Nếu D = o m 2+6m + = o (II) D = m2+ 1lm + 18 m-l X F -4 m+9 y = 10— m = -2 m = “4 Với m = -2 => D = Du= Dv= Khi dó (II) có vô số nghiệm cặp (u, v) thoả mãn4u + 2v = « hệ (I) vô số nghiệm cặp (X, y) không àrr thoả mãn: 41gx + 21gy = o lgx4+ lgy’= » lg(x‘.y2) = x4.y2= 10 246 VỚI m = “4 => Du* Khi dó (II) vô nghiệm hệ (I) vô nghiệm Kết luận: Với m * -2 m * -4 hệ có nghiệm là: m X = m+4 m+ ỵ = 10m+4 Với m = -2 hộ có vô số nghiệm cặp (x, y) thoả mãn: x,y > x4y =10 Với m = “4 hệ vô nghiêm Bài tảp Điều kiện X, y > Đặt: Ị u = ỉn X Ị V = lny Khi đó, hệ ban đầu (kí hiệu (I)) biến đổi dạng: = V - v+m v = u - u +m u Trừ vế hệ phương trình, ta được: u ~ v = —(u - V2) + (u - v) o u2 - V2 = Khi đó, hộ phương trình tương đương với: u = ~V u = V (I) ir - 2u + m = (1) uz + m = a u=v u = -V (2 ) (II) Với m = 1, ta được: u=V (I)co c=> u = V = o lnx = lny = X = y = e u - 2u + 1= Vậy, với m = hệ có nghiệm nhát (e, e) b Hệ có nghiện' k h i: A(1)>0 (l)co nghiêm o (2) co nghiêm A(2) > 1- m > c=> m < - m>0 Vậy, hệ có nghiệm m < 247 Bài tập Điều kiện: Ịx >0 Ịy>0' Biến đổi hệ dạng: Vx + Ig y = 3m X - lg y = Đặt: •u = , diều kiện u > v = !gy Khi đó, hệ có dạng: fu + 2v = 3m 2v = 3m-u 2v = 3m - u \ » ' , < [u2 -6v = u¿ -3(3m -u) = i f(u) = u2 + u -9 m -l = (1) 2v = -u u =2 u = -5 (1) o • 1« V=— u =2 [lgy li 2v = -u u22 +3u-10 = NJ a Với m = 1, ta dược: 2' >/ĨÕ' Vậy, với m = hệ có cặp nghiệm (4, -J\0 h Với X > suy Vx > U > Đê hệ có cặp nghiệm (x, y) thoả mãn X > (1) có nghiệm U > (chỉ có thê có nghiệm thoà mãn điều kiện U| + u,= -3 < 0) o a.f( l)< c :> -9 m < < = > m > - Vậy, với m > - thoả mãn diếu kiện dầu Bài tập 10 Bạn dọc tự giải Bài tập 11 Điều kiện: Í X > —I ịy>0 ' Từ hệ suy ra: log,(x + 1) + X = log2y + y - O log3(x + 1) + X + = log:y + y Xét hàm sô f(t) = logjt + t hàm biến với t > 0, phương trình có dạng: f(x + 1) = f(y) o X + = y 248 Khi đỏ, hệ chuyển thành: íy = X+ fy = X + ị ị logn(x + 1) = { X [X + —2 x y = X+ Bemoulli < X= X 0& \ X 1& y = ' - X= I k - Vậy, hệ có hai cặp nghiệm (0, 1) (1,2) Bài lạp 12 Điều kiện X, y > Biến đổi tương đương hệ dạng: (logỢ x+ 3) = 2(1 + jlog2(x + 3) = 2(1 + log,y) [2(1 + log^x) = log2(y t- 3) lo g ^ y ) I l o g ( y + ) = 2( + l o g , x ) => log,(x + ) + 21og,x = log2(y + ) + 21og,y Hàm s ố f(t) = log:(t + ) + 21og,t hàm dồng biến tập D = Vậy, phương trình (1) dược viết dạng: (1) ( , + 20 ) f(x) = f(y) o X = y Khi dó hệ (I) trớ thành: (II) |log2(x + 3) = 2(l + log1x) (2) ■ Giải (2) (2) X + = 2[...]... bng 20 v tng bỡnh phng cựa chỳng bng 120 3; 5; 7; 15 hoc 15; 7; 5; 3 5; 5; 5; 5 -1; 3; 7; 11 hoc 11; 7; 3; -1 2; 4; 6; 8 hoc 8; 6; 4; 2 Bi tõp 14 Tỡm nóm s hng liờn tip cựa mt cp sụ cng, bit tng ca chỳng bng 25 v tng bỡnh phng cựa chỳng bng 165 5; 5; 5; 5; 5 -5; 0; 5; 10; 15 hoc 15; 10; 5; 0; - 5 3; 4; 5; 6; 7 hoc 7; 6; 5; 4; 3 1; 3; 5; 7; 9 hoc 9; 7; 5; 3; 1 Bi toỏn 5: Tớnh tng PHNG PHP CHNG... m ờ cỏc phng trỡnh sau cú cỏc nghim lp thnh mt cp s cng: m = 0 m tu ý m > 4 * m < -4 m = 4 hoc m = m = 2 hoc m = - 9 rn = 2 hoc rn = mx4 - 2(m - 1)x2+ m - 1 = 0 9 9 m =- m == u m 16 16 m < 0 3 II 1 1 o^ D 11 Io 2x4+ mx2+ 2 = 0 c b x' - 3x2 + mx + 2 - m = 0 m < 3 m > 3 3 a 3 c X4 - 2(m + 1)x2 + 2m + 1 = 0 2 m = 4 hoc m = 3 d 26 3 _ 4 4 9' 2 3' m > 0 Bi toỏn 4: Tỡm cỏc phn t ca... ba nghim phõn bit lp thnh cp s nhõn 10 m = 2 hoc m = - m = - 27 2 m = 1 hoc m = - 6 m = 0 hoc m = -6 Bi toỏn 4: Tỡm cỏc phn t ca mt cp s nhõn (un) PHNG PHP CHNG Thụng thng bi toỏn c chuyn v xỏc nh u, v cụng bi q BI TP T LUN V TRC NGHIM Bi tp 11 Tim s hng dỏu tiờn v cụng bi cựa cp sụ nhõn (un) tho món u, = 15 v uô, = 135 U| = v q = 3 ^ U| 5 3 va q V 3 3 / u, = v q = 5 U| = 1 v q = VI5... fi NO coni; - c a o so nnan b Tớnh tng sụ' ca 10 s hng u tiờn 6204 4620 462 2046 6480 4068 c Tớnh tng S = u, + u6 + + ul2 4680 8460 Bi tp 13 Tỡm sụ' hng u tiờn v cụng bi cựa cp s nhõn (u) tho món u, + UA= 244 v u, + u4 = 36 = 3 hoc v q = = 243 v q = ^ U, = 1 U| u, = U| = 3 v q = 2 hoc U| = 241 v q = 2 v q u, = = U| 5 = hoc U( = 242 v q 2 2 = 3 3 2 U, = 4 v q = hoc U| = 240 v q = 2... sũ sau cú phai l cng khụng ? a (an -f p), vi p l s thc tu ý L cap s cng Khụng l cp s cng b (p.an), vi P l s thc tu ý L cp sụ cng Khụng l.cp s cng // \\ , vi p l sụ thc tu ý c L cp sụ cng L Khụng l cp sụ cng Bi toỏn 2: Chng minh ha s lp thnh mt cp s cng PHNG PHP CIIUNG ố chng minh ba sụ a, b, c lp thnh cp s cng, ta di chng minh: a + c = 2b hoc a b = b ~ c BI TP T LUN Bi tp 5 Cho ba s a \ b2,... Khi ú, ta cn cú iu kin ờ phng trỡnh (**) cú hai nghim o A' > 0 o 1 + 2 - m > O o m < 3 Vy, vi m < 3 tho món iu kin ỏu bi c m = 4 hoc m = - 9 d m = - 16 Bi tỏp II u, = 1 v d = 3 Bi tp 12 u, = 3 hoc U| = - 17 v d = 3 Bi tp 13 2; 4; 6; 8 hoc 8; 6; 4; 2 Bi tp 14 1; 3; 5; 7; 9 hoc 9; 7; 5; 3; 1 Bi tp 15 s = 73255 a s = 73255 Bi tp 16 s = 20100 30 b s = 166833 CH 4 CP S NHN I TểM TT Lí THUYT 1 INH NGHA... q 2 2 = 3 3 2 U, = 4 v q = hoc U| = 240 v q = 2 3 Bi tp 14 Cho cp s nhõn (u) tho món U2 + u4 = 10 v Tỡm s hng u tiờn v cụng bi u, = -16 v q = -2 hoc uI = 1 v q = - - u, = -1 6 v q = U| = 16 v q = - hoc u, = 16 v q = -2 hoc u, = 1 v q = - - hoc U| = U| U| + U, + Us = -21 -1 v q = -2 = 1 v q = -2 Bi tp 15 Cho ba s' khỏc nhau lp thnh mt cp sụ cng, bỡnh phng ca cỏc sụ' y lp thnh mt cp s nhõn... sin n) > 0 Bi tõp 19 Khụng tang, khng giỏm Bi tp 20 l a cú(u) giam bng cỏch lp tớ s hoc lp hiu Bi lp 21 Ta cú (uj giõm bng cỏch lp tớ s lp ti s Bi tõp 22 Khụnô tang, khng gim Bi tõp 23 Ta c (u) tng v cú th trỡnh by theo hai cỏch sau: 0/(7/ /: Xột hiu: H = u I - II, = (2u - D - u = u - l Ta s i chng minh u > 1, Vn G N bang quy np - Do dú 11> 0, l dú suv ra dóy (u) lng Cỏch 2:Trc ticn, ta di chirng minh... (a,,) vự (b) cú lỡ nh lớ 6: (Nguyờn lớ kp gia) : Cho ha dõy sdy^x (bn) v (cn) sao cho a,, < bn< cn Vn > N,h Nug N 'v lim an = limc.n = A thỡ lim bM= A n-*ao n ô? n ~+rĂ 3 CC GII HN c S N Ta cú: I lim c = c, vi c l hng sụ n-*Q0 2 lim a = 0, vi a > 0 n >oop 3 limq" = 0, vi Iq 1 < 1 nằ00 AI HC QUC GIA H Nl TRUNG TM THễNG TIN TH VIấN L.C / A6 2 r 17 um m ii L av so - la p Sừ yoniLr uằp M> HMn 4 DY S DN... minh rng (un) b chn di bi 1 un = 11 III HNG DN - GII - P s n : 5 7 9 II 13 _ 19 Rai tõp 1 6 s hng õu ca dóy l 3; ; ; ; *; - Va u.) = 17 3 5 : 7 : 9 II Bi tp 2 5 s hang du cựa dóy l 0; 1 2 2 3 4 ; ; J= ; - 7 =.- V Un= 10 V40 V45 V52 V61 p_ 4 n Bi tp 3 Ta cú u = u,, = 1 U, = 1, u,,, = U| = 0 v u, = 1 5 ' n +1 Bi tp 4 6 sũ hng dỏu ca dóy l 1; 3; 7; 15: 31: 63 V u., = 511 Bi tp 5 Ta cú u , = 9; u =