Đang tải... (xem toàn văn)
Tuyển tập bất đẳng thức hay và hữu ích Tuyển tập bất đẳng thức hay và hữu íchTuyển tập bất đẳng thức hay và hữu íchTuyển tập bất đẳng thức hay và hữu íchTuyển tập bất đẳng thức hay và hữu íchTuyển tập bất đẳng thức hay và hữu íchTuyển tập bất đẳng thức hay và hữu íchTuyển tập bất đẳng thức hay và hữu íchTuyển tập bất đẳng thức hay và hữu íchTuyển tập bất đẳng thức hay và hữu íchTuyển tập bất đẳng thức hay và hữu íchTuyển tập bất đẳng thức hay và hữu íchTuyển tập bất đẳng thức hay và hữu íchTuyển tập bất đẳng thức hay và hữu íchTuyển tập bất đẳng thức hay và hữu íchTuyển tập bất đẳng thức hay và hữu íchTuyển tập bất đẳng thức hay và hữu íchTuyển tập bất đẳng thức hay và hữu íchTuyển tập bất đẳng thức hay và hữu íchTuyển tập bất đẳng thức hay và hữu íchTuyển tập bất đẳng thức hay và hữu íchTuyển tập bất đẳng thức hay và hữu íchTuyển tập bất đẳng thức hay và hữu ích
on Quc Vit nth kie uc Baỏt ẹaỳng Thửực nfo vietnakata029059@gmail.com y.i a + a + a + + an n a 1a 2a an n kienthuchay.info nfo y.i uc nth kie kienthuchay.info Mc lc kie Li núi u Cỏc bt ng thc kinh in Bt ng thc gia trung bỡnh cng v trung bỡnh nhõn (AM-GM) 1.2 Bt ng thc gia trung bỡnh cng v trung bỡnh iu ho (AM-HM) 1.3 Bt ng thc Cauchy - Schwarz 1.4 Bt ng thc Holder 1.5 Bt ng thc Chebyshev 1.6 Bt ng thc Minkowski 1.7 Bt ng thc Schur 1.8 Bt ng thc Vornicu - Schur 1.9 Bt ng thc Bernoulli 1.10 Ba tiờu chun SOS thng gp uc nth 1.1 Mt s ỏnh giỏ quen thuc Tuyn bt ng thc 10 Bi 1.1 n bi 1.40 10 3.2 Bi 2.1 n bi 2.40 39 3.3 Bi 3.1 n bi 3.40 59 3.4 Bi 4.1 n bi 4.40 80 3.5 Bi 5.1 n bi 5.40 104 3.6 Bi 6.1 n bi 6.40 132 3.7 Bi 7.1 n bi 7.40 148 3.8 Bi 8.1 n bi 8.40 168 3.9 Bi 9.1 n bi 9.40 193 y.i 3.1 nfo 3.10 Bi 10.1 n bi 10.40 211 kienthuchay.info kie Li núi u Bt ng thc l mt nhng phn toỏn khỏ hay m ta c hc quỏ trỡnh hc nth THPT Khi lm cỏc dng bi v bt ng thc nú ũi hi trớ t sỏng to ca chỳng ta mi bi phc v cho vic nghiờn cu v hc Sau mt thi gian tỡm tũi v su tm, tụi ó tuyn chn c nhng bi toỏn hay v bt ng thc Mi bi toỏn u cú gi ý gii thun tin vic hc tham kho Tụi hy vng õy s l mt ti liu hu ớch i vi uc cỏc bn Xin chõn thnh cm n! nfo y.i kienthuchay.info nfo y.i uc nth kie kienthuchay.info Cỏc bt ng thc kinh in kie 1.1 Bt ng thc gia trung bỡnh cng v trung bỡnh nhõn (AMGM) Nu a1 , a2 , , an l cỏc s thc khụng õm, thỡ a1 + a2 + + an n n a1 a2 an ng thc xy v ch a1 = a2 = = an nth 1.2 Bt ng thc gia trung bỡnh cng v trung bỡnh iu ho (AMHM) Nu a1 , a2 , , an l cỏc s thc dng, thỡ a + a + + an n + a1 ng thc xy v ch a1 = a2 = = an a2 n + + an Vi n = 3, ta cú uc Thc cht õy l mt h qu trc tip ca bt ng thc Cauchy - Schwarz Hai trng hp thng c s dng nht ca bt ng thc ny l n = hay n = a+b+c 1 1, +b+c a 1 + + a b c a+b+c Vi n = 4, ta cú a+b+c+d 1 1, +b+c+d a 16 1 1 + + + a b c d a+b+c+d 1.3 Bt ng thc Cauchy - Schwarz y.i Dng s cp ca nú c phỏt biu nh sau: nfo Nu a1 , a2 , , an v b1 , b2 , , bn l cỏc s thc tu ý, thỡ (a1 b1 + a2 b2 + + an bn )2 (a21 + a22 + + a2n )(b1 + b2 + + b2n ) a2 an a1 = = = , ú ta s dng quy c: nu mu ng thc xy v ch b1 b2 bn bng thỡ t cng bng xi Trong ỏnh giỏ trờn, chn = ,bi = yi vi xi , yi R; yi > 0, ta thu c bt ng thc yi Cauchy - Schwarz dng phõn thc: Nu x1 , x2 , , xn l cỏc s thc v y1 , y2 , , yn , l cỏc s thc dng, thỡ x21 x22 x2 (x1 + x2 + + xn )2 + + + n y1 y2 yn y1 + y2 + + yn x1 x2 xn ng thc xy v ch = = = y1 y2 yn kienthuchay.info 1.4 Bt ng thc Holder kie Cho xij (i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n) l cỏc s thc khụng õm Khi ú ta cú m m n i=1 n m xij xijm j=1 j=1 i=1 Tng quỏt hn, nu p1 , p2 , , pn l cỏc s thc dng tho p1 + p2 + + pn = 1, thỡ m i=1 n m xpiji xij nth 1.5 pi n j=1 j=1 i=1 Bt ng thc Chebyshev Cho hai dóy s thc a1 a2 an v b1 , b2 , , bn Khi ú n n b i Nu b1 b2 bn thỡ n i=1 bi ; i=1 n Nu b1 b2 bn thỡ n i=1 n n b i i=1 bi i=1 uc 1.6 n i=1 Bt ng thc Minkowski Cho hai dóy s dng a1 , a2 , , an v b1 , b2 , , bn Vi mi r 1, ta cú r n (ai + bi )r r n ari bri + i=1 i=1 r n i=1 Trng hp r = l trng hp thng c s dng nht ca bt ng thc Minkowski Khi ú ta cú n n a2i (ai + bi ) i=1 Bt ng thc Schur b2i + i=1 i=1 y.i 1.7 n Cho cỏc s thc khụng õm a, b, c Khi ú vi mi s thc dng r, ta cú ar (a b)(a c) + br (b a)(b c) + cr (c a)(c b) ng thc xy v ch a = b = c, hoc a = v b = c, hoc cỏc hoỏn v tng ng Hai trng hp thng c s dng nht ca bt ng thc Schur l r = v r = nfo Vi r = 1, ta cú bt ng thc Schur bc ba a3 + b3 + c3 + 3abc ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a), (a + b + c)3 + 9abc 4(a + b + c)(ab + bc + ca), (b c)2 (b + c a) + (c a)2 (c + a b) + (a b)2 (a + b c) 0, kienthuchay.info a2 + b2 + c2 + kie 9abc 2(ab + bc + ca), a+b+c b c 4abc a + + + b + c c + a a + b (a + b)(b + c)(c + a) Vi r = 2, ta thu c bt ng thc Schur bc bn nth a4 + b4 + c4 + abc(a + b + c) ab(a2 + b2 ) + bc(b2 + c2 ) + ca(c2 + a2 ) 1.8 Bt ng thc Vornicu - Schur Vi mi s thc a, b, c v x, y, z 0, bt ng thc x(a b)(a b) + y(b c)(b a) + z(c a)(c b) ỳng nu mt cỏc iu kin sau c tho uc a b c v x y; a b c v z y; a b c v x + z y; a b c v ax by; a b c v cz by; a b c v ax + cz by; x, y, z l di ba cnh ca mt tam giỏc; x, y, z l bỡnh phng di ba cnh ca mt tam giỏc; y.i ax, by, cz l di ba cnh ca mt tam giỏc; 10 ax, by, cz l bỡnh phng di ba cnh ca mt tam giỏc; 11 Tn ti mt hm li t : I R+ , ú I l xỏc nh ca a, b, c, cho x = t(a), y = t(b), z = t(c) Bt ng thc Bernoulli nfo 1.9 Nu hoc thỡ (1 + x) + x, x > Nu thỡ (1 + x) + x, x > kienthuchay.info 1.10 Ba tiờu chun SOS thng gp kie Gi s a b c v cú: Sa (b c)2 + Sb (c a)2 + Sc (a b)2 0(Sa , Sb , Sc l cỏc hm cha bin a, b, c) Khi ú bt ng thc ỳng nu tha mt cỏc tiờu chun 1.Sb 0, Sb + Sc 0, Sb + Sa 2.Vi a, b, c > tha Sb 0, Sc 0, a2 Sb + b2 Sa 3.Sb 0, Sc 0, Sa (b c) + Sb (a c) nth Mt s ỏnh giỏ quen thuc Vi mi s thc a, b, ta luụn cú 2(a2 + b2 ) (a + b)2 Chng minh ý rng uc 2(a2 + b2 ) (a + b)2 = (a b)2 0, ú ta cú iu phi chng minh ng thc xy v ch a = b Vi mi s thc a, b, c, ta luụn cú a2 + b2 + c2 ab + bc + ca Chng minh ý rng a2 + b2 + c2 (ab + bc + ca) = [(a b)2 + (b c)2 + (c a)2 ] 0, vy ta cú iu phi chng minh ng thc xy v ch a = b = c y.i Lu ý T ỏnh giỏ ny ta suy (a + b + c)2 3(ab + bc + ca), v 3(a2 + b2 + c2 ) (a + b + c)2 nfo Vi mi s thc dng a, b, c, ta luụn cú 1 + + a b c a+b+c Chng minh õy l mt kt qu ó c cp trờn Li gii cú th s dng bt ng thc AM-HM hoc Cauchy - Schwarz ng thc xy v ch a = b = c kienthuchay.info Tuyn bt ng thc kie 3.1 Bi 1.1 n bi 1.40 1.1 Cho x, y, z l cỏc s thc dng tha x + y + z = Chng minh rng: 8x + 8y + 8z 4x+1 + 4y+1 + 4z+1 Li gii t a = 2x , b = 2y , c = 2z Khi ú iu kin ó cho c vit li thnh a, b, c > 0; abc = 2x+y+z = 64, nth v ta cn chng minh a3 + b3 + c3 4(a2 + b2 + c2 ) ý rng ta cú ng thc a3 + 32 6a2 = (a 4)2 (a + 2), t ú s dng gi thit a > ta suy a3 + 32 6a2 Thit lp cỏc bt ng thc tng t cho b v c v cng v theo v cỏc bt ng thc thu c, ta cú uc a3 + b3 + c3 + 96 6(a2 + b2 + c2 ) Nh vy kt thỳc chng minh ta cn ch rng 6(a2 + b2 + c2 ) 4(a2 + b2 + c2 ) + 96, hay 2(a2 + b2 + c2 ) 96 Tuy nhiờn bt ng thc ny ỳng theo bt ng thc AM-GM cho ba s: 3 2(a2 + b2 + c2 ) 2.3 a2 b2 c2 = 4096 = 96 Nh vy phộp chng minh n õy hon tt. 1.2 Cho a, b, c l cỏc s thc tho a 4, b 5, c v a2 + b2 + c2 = 90 Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P =a+b+c y.i Li gii t a = m + 4, b = n + 5, c = p + 6, ú m, n, p v t gi thit a2 + b2 + c2 = 90 ta suy m2 + n2 + p2 + 8m + 10n + 12p = 13 ý rng ta cú ng thc sau n õy ta s dng cỏc gi thit ó cho cú nfo (m + n + p)2 + 12(m + n + p) = (m2 + n2 + p2 + 8m + 10n + 12p) + 2(mn + np + pm + 2m + n) (m + n + p)2 + 12(m + n + p) 13, t ú ta suy m + n + p Thay m = a 4, n = b 5, p = c ta suy a + b + c 10 hay P 16 kienthuchay.info 10 ng thc xy v ch a = b = c. kie 10.16 Cho ba s thc dng a, b, c Chng minh rng: 8abc a+b+c + (a + b)(b + c)(c + a) abc nth Li gii Bt ng thc cú th vit li nh sau a+b b+c c+a 8abc + + + 3 abc abc abc (a + b)(b + c)(c + a) Hin nhiờn ỳng theo bt ng thc AM-GM ng thc xy v ch a = b = c. 10.17 Cho ba s thc dng x, y, z Chng minh rng: 4xyz x+y+z + xyz x2 y + y z + z x + xyz uc Li gii Gi s z l s nm gia s x, y, z Khi ú ta cú: x(z x)(z y) xz + x2 y x2 z + xyz S dng ỏnh giỏ trờn v kt hp vi bt ng thc AM-GM, ta c: AM GM x+y 4(x + y + z)3 2 2 x y + y z + z x + xyz z(x + y) z + = 27 27 S dng kt qu trờn, v theo bt ng thc AM-GM, ta cú: x+y+z 4xyz x+y+z 27xyz AM GM + + xyz x2 y + y z + z x + xyz 3 xyz (x + y + z)3 Bi toỏn c chng minh xong ng thc xy v ch x = y = z. y.i 10.18 Cho ba s thc khụng õm a, b, c tha a + b + c = Chng minh rng: 25 a+1 b+1 c+1 + + b+1 c+1 a+1 4ab + 4bc + 4ca nfo Li gii S dng bt ng thc AM-GM, ta cú 3 4(ab + bc + ca) + + (ab + bc + ca) abc + ab + bc + ca + a + b + c + = (a + 1)(b + 1)(c + 1) Vy, ta cn chng minh c a+1 b+1 c+1 25 + + b+1 c+1 a+1 (a + 1)(b + 1)(c + 1) Hay l (a + 1)2 (c + 1) + (b + 1)2 (a + 1) + (c + 1)2 (b + 1) 25 ab2 + bc2 + ca2 + (a + b + c)2 + 3(a + b + c) + 25 ab2 + bc2 + ca2 Bõy gi ta gi s b l s nm gia s a, b, c Khi ú ta cú: kienthuchay.info 221 a(b a)(b c) kie ab2 + a2 c abc + a2 b S ng ỏnh giỏ trờn, kt hp vi bt ng thc AM-GM, ta c: ab2 + bc2 + ca2 a2 b + bc2 + abc = b(a2 + ac + c2 ) b(a + c)2 a+c b + 27 nth 4(a + b + c)3 = 27 = Phộp chng minh hon tt ng thc xy (a, b, c) l mt hoỏn v ca (0, 1, 2). 10.19 Cho ba s thc a, b, c tha a2 + b2 + c2 = Chng minh rng: |a3 + b3 + c3 abc| 2 Li gii uc a2 + b + c a2 + b2 =1 2 S dng bt ng thc Cauchy-Schwarz ta cú: 2 a3 + b3 + c(c2 ab) (a + b)2 + c2 (a2 ab + b2 ) + (c2 ab) t t = ab thỡ ta cú t = ab; |t| 2 = 2(1 + t) (c2 ab) + (2 c2 ab) = 2(1 + t) 2c4 + 2a2 b2 + 4c2 4ab = 4(1 + t) t2 2t + + c2 (c2 2) 4(t + 1)(t2 2t + 2) Do ú ta ch cn chng minh (t + 1)(t2 2t + 2) t2 (t 1) Bt ng thc cui luụn ỳng, phộp chng minh hon tt ng thc xy v ch a = b = 0, c = 2. y.i 10.20 Cho ba s thc dng a, b, c Chng minh rng: a4 + b + c 3abc + (a2 + b2 + c2 ) ab + bc + ca a + b + c nfo Li gii Trc ht, ta cú bt ng thc ph sau: Ta cú: a3 + b + c + (ab + bc + ca) (a2 + b2 + c2 ) a+b+c 3 3 3(a + b + c ) + (a + b + c)(ab + bc + ca) 2(a + b + c)(a2 + b2 + c2 ) a3 + b3 + c3 + 3abc ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) Luụn ỳng theo Schur bc kienthuchay.info 222 Ta cng cú: kie a4 + b + c + (ab + bc + ca) a2 + b2 + c2 ab + bc + ca 3(a4 + b4 + c4 ) + 2(ab + bc + ca)2 3(a2 + b2 + c2 )(ab + bc + ca) nth a4 + b4 + c4 + abc(a + b + c) ab(a2 + b2 ) + bc(b2 + c2 ) + ca(c2 + a2 ) Bt ng thc cui ỳng s dng Schur bc v vỡ a4 + b4 + 2a2 b2 = (a2 + b2 )2 2ab(a2 + b2 ) Tr li bi toỏn, bt ng thc ca bi toỏn m ta cn chng minh tng ng vi a3 + b + c a3 + b3 + c3 3abc 2 a4 + b + c + + (a + b2 + c2 ) ab + bc + ca a+b+c a+b+c 3 3 4 a +b +c a +b +c + + ab + bc + ca (a2 + b2 + c2 ) ab + bc + ca a+b+c Tht vt bt ng thc ny ỳng sau cng v theo v ca bt ng thc ph m ta ó chng minh trờn Phộp chng minh hon tt ng thc xy v ch a = b = c. uc 10.21 Cho ba s thc khụng õm a, b, c, d, e Chng minh rng: a6 b + b6 c + c6 d + d6 e + e6 a abcde(a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ) Li gii Nu abcde = thỡ bt ng thc hin nhiờn ỳng Vi abcde = ta cú bt ng thc tng ng vi b5 c5 d5 e5 a5 + + + + a2 + b + c + d + e cde dea eab abc bcd S dng bt ng thc AM-GM, ta cú a5 a5 a5 a5 2 + + c2 + d2 + e2 c d e = 5a2 cde cde cde cde Thc hin tng t cho cỏc hng t cũn li, sau ú cng v theo v ta cú iu phi chng minh ng thc xy v ch a = b = c = d y.i 10.22 Cho ba s thc dng a, b, c Chng minh rng: b c 3(a + b + c) a + + a2 + bc b2 + ac c2 + ab 2(ab + bc + ca) nfo Li gii Bt ng thc cn chng minh tng ng vi: a2 (b + c) b2 (c + a) c2 (a + b) 3(a + b + c) + + + abc 2 a + bc b + ca c + ab a + bc Ta nhn thy rng bt ng thc ny c suy trc tip t kt qu sau: a2 (b + c) b2 (c + a) c2 (a + b) 1) + + a+b+c a + bc b + ca c + ab 2 1 2) + + + + a + bc b + ca c + ab ab bc ca Chng minh 1): t (x; y; z) (a1 ; b1 ; c1 ) , ta chuyn bt ng thc thnh: x+y y+z z+x 1 + + + + z + xy x2 + yz y + zx x y z Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s x y z, ú ta cú: kienthuchay.info 223 1 x+y z+x y+z + + z z + xy x y + zx y x + yz 2 (z x)(z y) (y x )(y x)(zx + yz xy) = + z + xyz xy(x2 + yz)(y + zx) VP VT = kie nth Nh vy, bt ng thc 1) c chng minh Chng minh 2): p dng bt ng thc AM-GM: + a + bc ab ac a bc Cng v theo v cỏc bt ng thc tng t ta cú bt ng thc 2) c chng minh Phộp chng minh hon tt ng thc xy v ch a = b = c. 10.23 Cho ba s thc dng a, b, c tha a + b + c = Chng minh rng: 1 + + a2 + b + c 2 a b c uc Li gii Cỏch S dng hng ng thc quen thuc (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) Ta a bt ng thc v dng 1 + + + 2(ab + bc + ca) (a + b + c)2 a b c Theo bt ng thc AM-GM v gi thit ta cú 1 1 1 + + + 2(ab + bc + ca) + + + 3abc(a + b + c) a2 b c ab bc ca =3 + abc + abc abc = (a + b + c)2 nfo y.i Phộp chng minh hon tt ng thc xy v ch a = b = c = 1. Cỏch S dng bt ng thc AM-GM ta cú 1 a+b+c 1 1 + + = = + + a2 b c ab bc ca abc abc Vỡ th ta cn phi chng minh a2 + b + c abc Hay abc(a2 + b2 + c2 ) n õy ta cú hai hng tn cụng Hng Dn bin a+b Gi s c = min{a, b, c} thỡ = a + b + c 3c, tc c dn n t f (a, b, c) = abc(a2 + b2 + c2 ) Ta cú kienthuchay.info 224 (a + b)4 a+b a+b (bc + ca)2 , , c = c ab(a2 + b2 ) + abc2 2 M theo bt ng thc AM-GM thỡ (a + b)4 = (a2 + b2 + 2ab)2 8ab(a2 + b2 ) (bc + ca)2 4bc.ca = 4abc2 nờn ta cú a+b a+b f (a, b, c) f , ,c 2 cui cựng ta ch cũn chng minh a+b a+b f , ,c 2 a+b 1, t gii thit ta rỳt c c = 2x Xột t x = a+b a+b f , , c = (4x5 14x4 + 8x3 9x2 1) = (x 1)2 [2x(x 1)(2x 1) + 1] 2 T ú suy iu phi chng minh. Hng Dựng bt ng thc c in Ta vit bt ng thc cn chng minh li nh sau 27 3.abc(a + b + c)(a2 + b2 + c2 ) S dng bt ng thc quen thuc (ab + bc + ca)2 3abc(a + b + c) Ta a bt ng thc v chng minh 27 (a2 + b2 + c2 )(ab + bc + ca)2 Tht vy, theo bt ng thc AM-GM thỡ a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca + ab + bc + ca (a2 + b2 + c2 )(ab + bc + ca)2 = 27 Chng minh hon tt ng thc xy v ch a = b = c = Cỏch t x = ab + bc + ca Khi ú s dng cỏc bt ng thc quen thuc (a + b + c)2 3(ab + bc + ca), (ab + bc + ca)2 3abc(a + b + c) Ta cú x2 < x v abc Vỡ th 1 1 x2 1 1 + + + + = + + = 2 2 2 a b c a b c ab bc ca abc abc Ta s chng minh x2 6abc (9 2x)a2 b2 c2 Tht vy 2x2 x2 (9 2x) x2 (x 3)2 (2x + 3) VT VP x = 81 81 Bi toỏn c chng minh hon ton ng thc xy v ch a = b = c = 1. 10.24 Cho ba s thc dng a, b, c tha a2 + b2 + c2 = Chng minh rng: a + b + c a2 b + b c + c a2 f (a, b, c) f nfo y.i uc nth kie Li gii kienthuchay.info 225 = 27 uc nth kie Cỏch t x = a2 , y = b2 , z = c2 thỡ x + y + z = v bt ng thc tr thnh x + y + z xy + yz + zx Tng ng vi x + y + z + x2 + y + z (x + y + z)2 Theo bt ng thc AM-GM thỡ x + x + x2 3x Vỡ th m V T 3(x + y + z) = (x + y + z)2 Bi toỏn c chng minh xong ng thc xy v ch a = b = c = 1. Cỏch S dng bt ng thc Holder, ta cú x + y + z (x2 + y + z ) (x + y + z)3 = 27 Vy ta ch cn chng minh c (x2 + y + z ).(xy + yz + zx)2 27 Tht vy, theo bt ng thc AM-GM thỡ x2 + y + z + xy + yz + zx + xy + yz + zx (x2 + y + z )(xy + yz + zx)2 Chng minh hon tt ng thc xy v ch a = b = c = 10.25 Cho ba s thc dng a, b, c Chng minh rng: a2 + b2 + c2 + 2abc + 2(ab + bc + ca) y.i Li gii Trong s a, b, c thỡ luụn tn ti s nm cựng phớa so vi Gi s s ú l a v b Khi ú ta cú: c(a 1)(b 1) Mt khỏc, ta thy rng: a2 + b2 + c2 + 2abc + 2ab 2bc 2ca = (a b)2 + (c 1)2 + 2c(a 1)(b 1) ú chớnh l iu ta cn chng minh ng thc xy v ch a = b = c = 1. 10.26 Cho ba s thc a, b, c Chng minh rng: (2 + a2 )(2 + b2 )(2 + c2 ) 9(ab + bc + ca) Schur nfo Li gii Ta cú: (2 + a2 )(2 + b2 )(2 + c2 ) = (a2 + b2 + c2 ) + (a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) + + a2 b2 c2 ý rng ta cú cỏc bt ng thc sau: a2 + b2 + c2 + a2 b2 c2 + a2 + b2 + c2 + a2 b2 c2 9abc a2 + b + c + a+b+c (ab + bc + ca) kienthuchay.info 226 v: kie (a2 + b2 + c2 ) (ab + bc + ca) (a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 + 3) (2ab + 2bc + 2ca) Cng v theo v cỏc bt ng thc trờn ta thu iu phi chng minh ng thc xy v ch a = b = c. nth 10.27 Cho ba s thc dng x, y, z tha x + y + z = Chng minh rng: y z x + + 2 1+x 1+y 1+z 10 y.i uc Li gii Cỏch 1: S dng bt ng thc AM-GM ta cú: 1 1 1 1 x 10 x = 10 x2 + = x2 + + + + + + + + + 10 9 9 9 9 99 39 Thit lp biu thc tng t, sau ú cng v theo v, ta c: y z x + + (3x)4 + (3y)4 + (3z)4 2 1+x 1+y 1+z 10 Mt khỏc, cng theo bt ng thc AM-GM, ta nhn thy rng: 3x + 3x + 3x + 3x + 5 (3x)4 Tng t vi y, z, v chỳ ý x + y + z = 1, ta suy ra: (3x)4 + (3y)4 + (3z)4 T ú: y z x + + 2 1+x 1+y 1+z 10 Bi toỏn c chng minh xong ng thc xy v ch x = y = z = Cỏch 2: Ta cú: 72x x + 1+x 100 50 Tht vy, bt ng thc trờn tng ng vi bt ng thc luụn ỳng (vi mi x dng) sau: (4x + 3)(3x 1)2 Tng t vi y, z, sau ú cng v vi v, ta cú: x 9 y z 72 (x + y + z) + = + + + x2 + y + z 100 50 10 Phộp chng minh hon tt ng thc xy v ch x = y = z = Li gii Ta s chng minh rng: nfo 10.28 Cho ba s thc khụng õm a, b, c tha a2 + b2 + c2 = Chng minh rng: a b c + + + bc + ca + ab (a + b + c)2 2(1 + bc)2 kienthuchay.info 227 kie Tht vy, kt hp vi gi thit a2 + b2 + c2 = thỡ bt ng thc trờn s tng ng vi: 2(ab + bc + ca) + 4bc + 2b2 c2 2a(b + c) a2 + (b + c)2 + 2b2 c2 (b + c a)2 + 2b2 c2 Bt ng thc cui luụn ỳng T ú ta suy ra: nth a a + bc a+b+c Tng t biu thc cũn li v cng v theo v ta c: a b c a b c + + + + = + bc + ca + ab a+b+c a+b+c a+b+c ng thc xy v ch a = b = , c = hoc cỏc hoỏn v tng ng 10.29 Cho a, b, c l di cnh ca tam giỏc Chng minh rng: abc abc abc + + ab + bc + ca a+bc b+ca c+ab y.i uc Li gii Li gii t x = b + c a, y = c + a b, z = a + b c, bt ng thc ú tng ng vi 1 (x + y)(y + z)(z + x) ã + + x + y + z y x z Bỡnh phng hai v v quy ng, ta c (x + y)(y + z)(z + x) xy + yz + zx 8xyz(x + y + z)2 t tip m = x, n = y, p = z, bt ng thc tr thnh (m2 + n2 )(n2 + p2 )(p2 + m2 ) m2 + n2 + p2 8m2 n2 p2 mn + np + pm ý rng ta cú nhn xột sau: x+z x Vi x y > v z > thỡ ta cú y y+z T nhn xột suy m2 + n2 + p2 m2 + n2 2mn 2mn + p2 m2 + n2 + p2 m2 + p2 2mp 2mp + n2 m2 + n2 + p2 p2 + n2 2pn 2pn + m2 Vy ta ch cn chng minh (m2 + n2 + p2 )(mn + mp + np)2 (m2 + 2np)(n2 + 2mp)(p2 + 2mn) nfo (m n)2 (m p)2 (n p)2 Bt ng thc cui luụn ỳng, vy ta cú iu phi chng minh ng thc xy v ch a = b = c. Li gii Theo Bt ng thc Schur bc 4, ta cú abc(a + b + c) (a + b c)c3 Mt khỏc, theo Bt ng thc Holder ta cú: kienthuchay.info 228 c3 (a + b c)c3 = kie a+bc (a + b + c)3 a+bc Kt hp iu trờn, ta suy abc(a + b + c) (a + b + c)3 a+bc abc abc + + a+bc b+ca ú chớnh l iu cn chng minh ng thc xy v ch a = b = c. abc a+b+c c+ab nth 10.30 Cho k Chng minh rng: k k (k + 1)k1 uc Li gii Vỡ k = thỡ bt ng thc tr thnh ng thc nờn ta ch cn xột k > Ly Logarit Nepe hai v, ta c k ln k (k 1) ln(k + 1) Hay vit li di dng ln k ln(k + 1) k1 k n õy cú th thy l ta cn chng minh hm sau nghch bin ln x f (x) = vi x > x1 Ly o hm f (x) ta cú 1 ln x g(x) x f (x) = = (x 1) (x 1)2 Ly o hm g(x), ta cú 1 g (x) = < x x Suy g(x) < lim+ g(x) = y.i x1 Suy f (x) < T ú ta cú hm f (x) nghch bin trờn (1; +) T ú suy iu phi chng minh Li gii Vit bt ng thc li thnh nfo 10.31 Cho a, b, c l cỏc s thc dng tha abc = Chng minh rng: 1 + + a(a + b) b(b + c) c(c + a) bc ca ab + + a+b b+c c+a kienthuchay.info 229 kie Dựng bt ng thc hoỏn v, ta cú (hoc cng cú th chng minh bng phõn tớch dng M (a b)2 + N (a c)(b c) 0) ca ab ab bc ca bc + + + + a+b b+c c+a a+b b+c c+a Nh vy (bc cui dựng AM-GM) bc bc ab ca ab ca ab bc ca + + + + + + + a+b b+c c+a a+b b+c c+a a+b b+c c+a b(c + a) c(a + b) a(b + c) = + + a+b b+c c+a ã nth b(c + a) c(a + b) a(b + c) ã ã = a+b b+c c+a Ta cú iu phi chng minh ng thc xy v ch a = b = c = 1. 10.32 Cho a, b, c l cỏc s thc dng tha 1 + + a+b+1 b+c+1 c+a+1 uc Chng minh rng: a + b + c ab + bc + ca Li gii Cỏch 1: S dng bt ng thc Cauchy-Schwarz ta cú: (a + b + 1)(a + b + c2 ) (a + b + c)2 Suy ra: a + b + c2 a+b+1 (a + b + c)2 (a + b + c)2 2(a + b + c) + a2 + b2 + c2 nfo y.i ab + bc + ca a + b + c hay ta cú iu phi chng minh ng thc xy v ch a = b = c = 1. Cỏch 2: S dng bt ng thc Cauchy-Schwarz ta cú: a+b (1 )= a+b+1 a+b+1 (a + b + b + c + c + a)2 (a + b)(a + b + 1) + (b + c)(b + c + 1) + (c + a)(c + a + 1) a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca + a + b + c (a + b + c)2 ab + bc + ca a + b + c hay ta cú iu phi chng minh ng thc xy v ch a = b = c = Cỏch 3: Gi s tn ti cỏc s dng a,b,c cho: kienthuchay.info 230 kie v a + b + c < ab + bc + ca a+b+1 Khi ú ta cú: Suy ra: ab + bc + ca ab + bc + ca a+b+c < = ab + bc + ca a+b+1 (a + b)(a + b + c) + ab + bc + ca a+b+c+ a+b+c uc nth ab + bc + ca >1 (a + b)(a + b + c) + ab + bc + ca 2(ab + bc + ca) 1> (a + b)(a + b + c) + ab + bc + ca a2 + ab + b2 1> (a + b)(a + b + c) + ab + bc + ca (a + b)2 (a + b)(a + b + c) + ab + bc + ca 3(a + b + c)2 [(a + b)(a + b + c) + ab + bc + ca] 3(a + b + c)2 = 2(a + b + c)2 + 3(ab + bc + ca) iu cui cựng l vụ lớ, ú bi toỏn ca ta ỳng Phộp chng minh hon tt ng thc xy v ch a = b = c = 10.33 Cho a, b, c l cỏc s thc dng Chng minh rng: a+b+c (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 + abc 12(a + b + c) nfo y.i Li gii Cỏch 1: Ta cú bt ng thc cn chng minh tng ng vi 2(a + b + c)2 a2 + b2 + c2 ab bc ca abc 6(a + b + c) 6(a + b + c) Hay: (a + b + c)2 + 3(ab + bc + ca) abc(a + b + c) Chun húa cho a + b + c = 3, bt ng thc tr thnh + ab + bc + ca abc S ỏnh giỏ ab + bc + ca 3abc(a + b + c) = abc ta a bi toỏn v chng minh + abc abc t t = abc 1, ta cú bt ng thc trờn tng ng vi t3 + 2t2 hay l (1 t)(1 + x x2 ) Bi toỏn c chng minh xong Cỏch 2: kienthuchay.info 231 kie Nhõn 12(a + b + c) cho hai v, ta s c bt ng thc tng ng l a2 + b2 + c2 + 5(ab + bc + ca) abc(a + b + c) Hay vit li l (a + b + c)2 + 3(ab + bc + ca) abc(a + b + c) p dng AM-GM hai ln ta s cú iu phi chng minh (a + b + c)2 + 3ab + bc + ca) 2(a + b + c) 3(ab + bc + ca) abc(a + b + c) ng thc xy v ch a = b = c nth 10.34 Cho cỏc s thc dng x; y; z tha xy + yz + zx = Chng minh rng: y + 2z z + 2x x + 2y + + 2x + 4y + 3z 2y + 4z + 3x2 2z + 4x + 3y Li gii Vỡ uc x + 2y z2 = 2x + 4y + 3z 3(2x + 4y + 3z ) Nờn bt ng thc trờn tng ng vi y2 z2 x2 + + 2y + 4z + 3x2 2z + 4x + 3y 2x + 4y + 3z S dng bt ng thc Cauchy-Schwarz, ta cú 3+ 3+ x y z3 z 2x + 4y + 3z 3(x3 + y + z ) + 6(xy + yz + zx) Vy, ta cn ch rng x3 + y + z 3(x3 + y + z ) + 6(xy + yz + zx) hay l (xy)3 + (yz)3 + (zx)3 xy + yz + zx Tht vy, s dng bt ng thc AM-GM, ta cú: (xy)3 + = (yz)3 + (xy)3 + (zx)3 xy + yz + xy + yz + zx (xy + yz + zx) + (xy + yz + zx) zx xy + yz + zx (xy + yz + zx) = (xy + yz + zx) + = (xy + yz + zx) Bi toỏn c chng minh xong ng thc xy v ch x = y = z = nfo 10.35 Cho cỏc s thc dng a, b, c Chng minh rng: a2 b2 + + 4a2 + ab + 4b2 4b2 + bc + 4c2 Li gii Cỏch 1: (zx)3 + y.i (xy + yz + zx) (yz)3 + c2 4c2 + ca + 4a2 kienthuchay.info 232 kie S dng bt ng thc Cauchy-Schwarz, ta cú : a2 [ (4a2 + ac + 4c2 )] 4a2 + ab + 4b2 Do ú ta i chng minh: [ (4a2 + ac + 4c2 )] a2 (4a2 + ab + 4b2 )(4a2 + ac + c2 ) a2 (4a2 + ab + 4b2 )(4a2 + ac + c2 ) uc nth iu ny tng ng vi: (8 a2 + ab) [8 a2 b2 + abc(a + b + c)] (4a2 + ab + 4b2 ) Hay: 66a2 b2 c2 8abc(a3 + b3 + c3 ) + 8(a3 b3 + b3 c3 + c3 a3 ) + 3abc [a2 (b + c) + b2 (a + c) + c2 (a + b)] iu ny ỳng theo AM-GM Vy bi toỏn c chng minh xong ng thc xy v ch x = y = z = Cỏch 2: ý rng: (x + 1)2 (4x2 + x + 4) 4(x2 + x + 1) = x(x 1)2 Nờn ta cú: x+1 ã 2 x +x+1 4x + x + Thit lp biu thc tng t, ri cng v theo v, ta c: y+1 z+1 1 1 x+1 + + + + 2 2 x +x+1 y +y+1 z +z+1 4x + x + 4z + z + 4y + y + Nh vy ta cn chng minh x+1 y+1 z+1 + + 2 x +x+1 y +y+1 z +z+1 Tng ng vi y2 z2 x2 + + x2 + x + y + y + z + z + Bt ng thc ny luụn ỳng theo Vasile Cirtoaje Bi toỏn c chng minh xong ng thc xy v ch x = y = z = y.i 10.36 Cho a, b, c l cỏc s thc khụng õm tha a2 + b2 + c2 = Chng minh rng: (a b)(b c)(c a) + (ab + bc + ca) nfo Li gii Ta s chng minh bt ng thc mnh hn l nh sau 2 (ab + bc + ca) |(a b)(b c)(c a)| n õy, ta cú th gi s a b c ý rng (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 (ab + bc + ca) = 3 Nờn ta cn chng minh (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 |(a b)(b c)(c a)| p dng bt ng thc AM-GM, ta cú kienthuchay.info 233 kie (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 Nh vy ta cn ch rng (a b)2 (b c)2 (c a)2 (a b)2 (b c)2 (c a)2 |(a b)(b c)(c a)| Hay tc l (sau ó xột trng hp hai bin bng nhau) |(a b)(b c)(c a)| Bt ng thc ny ỳng vỡ theo AM-GM v iu gi s ta cú |(a b)(b c)(c a)| = (a b)(a c)(b c) ab ã ab ã (a b)2 ab(a b) = nth ab + ab + (a b)2 = a2 + b 3 Nh vy, ta cú iu phi chng minh uc 10.37 Cho a, b, c l cỏc s thc dng Chng minh rng: (a3 + b3 + c3 )2 (a4 + b4 + c4 )(ab + bc + ca) Li gii Ta cú ng thc (a3 + b3 + c3 )2 (a4 + b4 + c4 )(ab + bc + ca) = [(a2 b2 )2 + c4 ](a b)2 T ú suy iu phi chng minh ng thc xy v ch a = b = c 10.38 Cho a, b, c, d l cỏc s thc dng Chng minh rng: 32a(a + b)(a + b + c) 24bcd + 4 16 3(a + b + c + d) (a + b)(a + b + c)(a + b + c + d) = 16 16 y.i Li gii S dng bt ng thc AM-GM ta cú: 32a(a + b)(a + b + c) 16 16 3(a + b + c + d)3 2a 3(a + b) 3(a + b) 4(a + b + c) 4(a + b + c) 4(a + b + c) a + b 2(a + b + c) 2(a + b + c) 3(a + b + c + d) 3(a + b + c + d) 3(a + b + c + d) nfo 2a 3(a + b) 4(a + b + c) + + + 10 a+b 2(a + b + c) 3(a + b + c + d) 2a 3(a + b) 4(a + b + c) = + + + 10 (1) a+b a+b+c a+b+c+d Mt khỏc, cng theo bt ng thc AM-GM thỡ: kienthuchay.info 234 3c 4d 24bcd 2b = , (a + b)(a + b + c)(a + b + c + d) a+b a+b+c a+b+c+d kie 4 2b 3c 4d + + + (2) a+b a+b+c a+b+c+d Cng v theo v (1) v (2) suy iu phi chng minh ng thc xy v ch a = b = c = d 10.39 Cho x, y, z, t l cỏc s thc khụng õm Chng minh rng: 3(x2 + y + z + t2 ) + xyzt (x + y + z + t)2 nth uc Li gii Ta chng minh bt ng thc tng ng (Tukervici): x4 + y + z + t4 + 2xyzt x2 y + y z + z x2 + t2 x2 + t2 y + z t2 Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s t = {x; y; z; t} Nu t = thỡ ta cú: x4 + y + z x2 y + y z + z x2 (x2 y )2 + (y z )2 + (z x2 )2 Nu t > ,chun hoỏ t = Ta cn chng minh: x4 + y + z + 2xyz + x2 y + y z + z x2 + x2 + y + z Mt khỏc, ta cú bt ng thc vi bin dng: x2 + y + z + 2xyz + 2(xy + yz + zx) nờn ta cn ch rng x4 + y + z x2 y y z z x2 2(x2 + y + z xy yz zx) (x y)2 [(x + y)2 2] + (y z)2 [(y + z)2 2] + (z x)2 [(z + x)2 2] Nh vy, phộp chng minh hon tt Cú trng hp ca ng thc :x = y = z = t hoc x = y = z; t = 0. 10.40 Cho a, b, c l cỏc s thc dng Chng minh rng: (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 1 + + (a + b + c) + a b c (a + b + c)2 y.i Li gii Bt ng thc cn chng minh tng ng vi: (b c)2 (c a)2 (a b)2 (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 + + bc ca ab (a + b + c)2 (b c)2 a(a + b + c)2 8abc nfo Khụng mt tớnh tng quỏt gi s a b c Ta cú: Sb + Sa = (a + b)(a + b + c)2 16abc 4c(a + b)2 16abc Sb + Sc = (b + c)(a + b + c)2 16abc 4a(b + c)2 16abc 2Sb Sb + Sc Sb Nờn theo nh lớ S.O.S ta cú iu phi chng minh ng thc xy v ch a = b = c. kienthuchay.info 235 [...]... này với bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta suy ra được các bất đẳng thức sau: ab + ac + ad + bc + bd + cd ≤ kienthuchay.info 19 72 1 ≥ 4ab a2 + b2 + c2 + d2 + kie 1 + 2 2 a + b + c2 + d2 1 2 7 1 ≥ 4ab = 7.62 ≥ 4ab 4ab 49 ≥ (a + b + c + d)2 + 2 ab 49 = 28, 1 + 2 38 7.36 = 168 4 83 Mặt khác áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho bốn số ta lại có nth a ≥4 bcd 1 ≥4 4abcd 1 = 64 1 256 Kết hợp ba bất đẳng thức vừa... 2b + 2c)2 ≥ 24 + 2a2 + bc Bất đẳng thức này được suy ra bằng cách cộng hai bất đẳng thức y.i a2 b2 c2 + + ≤ 1, 2a2 + bc 2b2 + ca 2c2 + ab (a + 2b + 2c)2 (b + 2c + 2a)2 (c + 2c + 2b)2 + + ≥ 25 2a2 + bc 2b2 + ca 2c2 + ab 1 bc a2 Do 2 = − nên bất đẳng thức thứ nhất tương đương với 2a + bc 2 2(2a2 + bc) nfo bc ca ab + 2 + 2 ≥ 1, + bc 2b + ca 2c + ab 2a2 đúng vì theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 2 bc... được chứng minh, dẫn đến bất đẳng thức ban đầu đúng Phép chứng minh hoàn tất.✷ 1.24 Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi bất kì Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c a+c a+b 2 kienthuchay.info 29 Lời giải 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz, ta có kie b2 c2 (a + b + c)2 a+b+c a2 + + ≥ = b+c a+c a+b 2(a + b + c) 2 ✷ Phép chứng minh hoàn tất Lời giải 2 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số... suy ra bất đẳng thức sau là tương đương với bất đẳng thức cần chứng minh 5(a + b + c)2 ≥ 7(a + b + c) + 8(ab + bc + ca) kienthuchay.info 18 Để ý rằng ta có đánh giá cơ bản sau: kie (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca), do vậy để có kết luận cho bài toán ta cần chỉ ra rằng 5(a + b + c)2 ≥ 7(a + b + c) + 8(a + b + c)2 , 3 hay a + b + c ≥ 3, là một đánh giá đúng do ta đã chứng minh ở trên Do vậy bất đẳng thức. .. ≤ 2 c2 + 3 a2 + 3 b2 + 3 uc từ đó với lưu ý a + b + c = 3 ta suy ra bất đẳng thức đã cho là đúng Phép chứng minh hoàn tất.✷ 1.9 Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi bất kì Chứng minh rằng: 2 1 1 b+c c+a a+b 1 + 2+ 2 ≥ 4(ab + bc + ca) + + 2 a b c a b c ha Lời giải 1 Dễ thấy rằng bất đẳng thức ban đầu tương đương với mỗi bất đẳng thức trong dãy sau [ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)]2 ≥ 4(a + b +... bằng AM-GM: 1 Biểu diễn A = X + Y , với X và Y là hai đại lượng thích hợp, sau đó áp dụng bất đẳng thức AM-GM để có A2 ≥ 4XY , từ đó đi chứng minh XY ≥ BC; hoặc kienthuchay.info 15 B CD, với D là một đại lượng thích hợp, sau đó áp dụng bất đẳng thức D 2 B B + CD , từ đó đi chứng minh A ≥ + CD AM-GM để có 4BC ≤ D D 2 Biểu diễn BC = kie nth Ở đây ta hiểu cụm từ "thích hợp" là như thế nào? Lưu ý rằng một... + (b + c) bc + (c + a) ca] 2 nth Lời giải Trước hết ta áp dụng bất đẳng thức AM-GM như sau: 2(a + b)2 + 2ab = 8 (a + b)2 (a + b)2 (a + b)2 (a + b)2 5 ab(a + b) + + + + 2ab ≥ 5 2 2 2 2 8 và √ √ (a + b)3 ≥ (2 ab)3 = 8( ab)3 , từ đó kết hợp hai bất đẳng thức này để có uc √ 2(a + b)2 + 2ab ≥ 5(a + b) ab Thiết lập hai bất đẳng thức tương tự và cộng lại, ta suy ra √ √ √ 5[(a + b) ab + (b + c) bc + (c + a)... giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a2 b2 c2 + + ≥ 1 2 + a2 2 + b 2 2 + c 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có uc b2 c2 (a + b + c)2 a2 + + ≥ 2 + a2 2 + b 2 2 + c 2 a2 + b 2 + c 2 + 6 Như vậy để kết thúc chứng minh ta cần chỉ ra rằng (a + b + c)2 ≥ 1 a2 + b 2 + c 2 + 6 ha Thực hiện phép khai triển tương đương ta được ab + bc + ca ≥ 3 Tuy nhiên bất đẳng thức này đúng nhờ vào... = và a(a + b)(a + c)] − 4 abc[ ab(a + b)] a2 b2 (a − b)2 ≥ 0 y.i a2 b2 (a + b)2 − 4( 2abc[ a3 b3 + abc[ a(a + b)(a + c)] ≥ 4 ab(a + b)] = 2abc[a3 + b3 + c3 + 3abc − ab(a + b)] ≥ 0, do đó bất đẳng thức ban đầu là đúng Phép chứng minh đến đây hoàn tất.✷ nfo Lời giải 2 Bất đẳng thức ban đầu mang tính hoán vị giữa các biến, nên không mất tính tổng quát, ta giả sử b = max {a, b, c} Ta áp dụng bất đẳng thức. .. đánh giá tương tự và cộng lại ta có ngay điều phải chứng minh 2 Chứng minh (1 − 4ab)2 + (1 − 4bc)2 + (1 − 4ca)2 ≥ 25 27 uc Dễ thấy bất đẳng thức trên tương đương với mỗi bất đẳng thức trong dãy sau: 3 − 8(ab + bc + ca) + 16(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) ≥ ab + bc + ca − 2(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) ≤ 25 , 27 7 27 Để ý rằng ta có đẳng thức sau 5 ab − 2a b − 9 do đó ta suy ra ab − 2a2 b2 ≤ và cộng lại để có