BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SỰ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LÊ THỊ PHƯƠNG NGỌC ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHẤP ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG SỰ TỔN TẠI NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 01 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DÂN KHOA HỌC: PGS TS LÊ HOÀN HÓA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2007 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu Các kết số liệu luận án trung thực chƣa đƣợc công bố công trình khác Tác giả luận án Lê Thị Phƣơng Ngọc LỜI CÁM ƠN Tôi vô biết ơn PGS TS Lê Hoàn Hoa, Khoa Toán - Tin học, Trƣờng Đại học Sƣ phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Thầy giảng dạy, hƣớng dẫn tận tình giúp đỡ mặt học tập nghiên cứu khoa học Thầy thật Ngƣời Cha nghiêm khắc việc bảo rèn luyện cho đức tính cần có ngƣời làm khoa học Tôi biết ơn sâu sắc TS Nguyễn Thành Long, Khoa Toán - Tin học, Trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Tp HCM, giúp đỡ tận tình bảo vô quý báu nhƣ nghiêm khắc Thầy cho nghiên cứu khoa học Thầy cho hội để tham gia đề tài nghiên cứu Khoa học Cơ sinh hoạt học thuật theo hƣớng nghiên cứu mà Thầy chủ trì, tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành tốt luận án Tôi xin phép bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Nhà Khoa học thành viên Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Bộ môn cấp Nhà nƣớc, chuyên gia Phản biện độc lập thức luận án, cho nhận xét, đánh giá bình luận quý báu với bảo, đề nghị quan trọng tạo điều kiện để hoàn thành luận án cách tốt Tôi kính gửi đến Quý Thầy Cô Trƣờng Đại học Sƣ phạm Thành phố Hồ Chí Minh đồng kính gửi đến Ban Tổ chức hội nghị khoa học Toán học lời cám ơn trân trọng, suốt thời gian qua, nhận đƣợc giúp đỡ Quý Thầy Cô học tập, nghiên cứu nhƣ cho điều kiện thuận lợi để tìm kiếm tài liệu tham dự hội nghị khoa học Tôi kính gửi đến Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Tin học, Bộ môn Toán Giải tích Phòng Khoa học Công nghệ - Sau Đại học Trƣờng Đại học Sƣ phạm Thành phố Hồ Chí Minh, giúp đỡ nhiều trình học tập bảo vệ luận án, lời cám ơn chân thành trân trọng Tôi chân thành trân trọng cám ơn Quý Thầy Cô chuyên viên Vụ Đại học Sau Đại học Bộ Giáo dục Đào tạo tận tình giúp đỡ hoàn tất thủ tục quan trọng trình bảo vệ luận án Tôi kính gửi đến Ban Giám hiệu, Ban Chấp hành Công Đoàn Trƣờng, Ban Chủ nhiệm Khoa Tự nhiên Phòng Ban khác Trƣờng Cao đẳng Sƣ phạm Nha Trang, nơi giảng dạy, tạo nhiều điều kiện thuận lợi vật chất nhƣ tinh thần để hoàn thành tốt nhiệm vụ nghiên cứu sinh, lời cám ơn sâu sắc trân trọng Tôi thành thật cám ơn Anh Chị đồng nghiệp Ngƣời thân giúp đỡ mặt Gia đình nguồn động viên to lớn Tôi thật kính trọng biết ơn sâu sắc tất Ngƣời bảo, quan tâm động viên giúp đỡ mặt Nghiên cứu sinh Lê Thị Phƣơng Ngọc MỤC LỤC BẢNG CÁC KÝ HIỆU ĐÃ SỬ DỤNG MỞ ĐẦU CHƢƠNG 1:ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ KIỂU KRASNOSEL'SKII VÀO PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN 10 1.1 Giới thiệu 10 1.2 Định lý điểm bất động kiểu KrasnosePskii 11 1.3 Sự tồn nghiệm 14 1.4 Nghiệm ổn định tiệm cận 22 1.5 Tính compact, liên thông tập hợp nghiệm 28 1.6 Một trƣờng hợp tổng quát 35 Chƣơng 2: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ KIỂU LERAY-SCHAUDER VÀ NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO VÀO PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM CẤP HAI CÓ CHẬM 47 2.1 Giới thiệu 47 2.2 Các kiến thức chuẩn bị 48 2.3 Khảo sát toán giá trị biên điểm có đối số chậm (2.1.1)-(2.1.2) 49 2.4 Khảo sát toán giá trị biên "hỗn hợp" có đối số chậm (2.1.1)-(2.1.3) 61 2.5 Khảo sát toán giá trị đầu có đối số chậm 67 Chƣơng 3: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO VÀO BÀI TOÁN HỖN HỢP CHO PHƢƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN CHỨA TOÁN TỬ KIRCHHOFF 75 3.1 Giới thiệu 75 3.2 Các không gian hàm kết chuẩn bị 78 3.3 Sự tồn nghiệm 81 3.4 Sự hội tụ cấp hai với f = f(r, u),B = B(z) 95 3.5 Khai triển tiệm cận nghiệm theo tham số bé 107 KẾT LUẬN 123 DANH MỤC CỒNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 126 Tài liệu tham khảo 127 BẢNG CÁC KÝ HIỆU ĐÃ SỬ DỤNG * + n ∂Ω ̅ coM A× B (X, |.|n) (X, d) (E, |.|) || ||x X C[a,b] C1[a,b] C0(Ω) ≡ C(Ω) Cm(Ω) Cm( ̅ ) C([a, b]; E) C( +; E) f : X → Y, f |A L1[a, b] Lp(0, T; X), ≤ ≤∞ u + f(t, ut, u (t)) = u(t) ≡ u(r, t) u (t) = ut(t) = ̇ (t) u (t) = utt(t) = ̈ (t) ur(t) = u(t) urr (t) □  Tập hợp số tự nhiên Tập hợp số tự nhiên khác Tập hợp số thực Tập hợp số thực không âm Không gian Euclide thực n-chiều Biên Ω Bao đóng Ω Bao lồi M Tích Đềcác hai tập hợp A B Không gian vectơ X với họ nửa chuẩn đếm đƣợc |.|n Không gian metric X với metric d Không gian Banach E với chuẩn |.| Chuẩn không gian Banach X Không gian đối ngẫu X Không gian hàm số thực liên tục đoạn [ a , b] Không gian hàm số thực khả vi liên tục đoạn [ a , b] Không gian gồm hàm số u : Ω → liên tục Ω n Ω tập mở Không gian hàm số u ∈ C0(Ω ) cho D α u ∈ C0(Ω ), với đa số α , | α | ≤ m Không gian hàm số u ∈ C m ( Ω ) cho D α u bị chặn liên tục Ω , với đa số α , | α | ≤ m Không gian hàm liên tục u : [ a , b ] → E Không gian hàm liên tục u : R+ → E Anh xạ thu hẹp ánh xạ f tập A ⊂ X Không gian hàm số thực x ( t ) cho |x(t)| khả tích Lebesgue [ a , b] Không gian hàm đo đƣợc u : (0, T ) → X cho ∞ với ≤ p < ∞ với p = ∞ Phƣơng trình vi phân hàm cấp hai đƣợc xét chƣơng 2, u ẩn hàm theo t, ut hàm có đối số chậm, u', u" lần lƣợt đạo hàm cấp 1, đạo hàm cấp u theo t Ham theo hai biến r , t xét chƣơng 3, Kết thúc chứng minh Kết luận chƣơng MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động lý thuyết quan trọng Giải tích, với nhiều thành tựu mà bật nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), Banach (1922) Schauder (1930) Nguyên lý điểm bất động Brouwer đƣợc Broirvver chứng minh dựa lý thuyết bậc tôpô ánh xạ liên tục không gian hữu hạn chiều Đây định lý đƣợc xem thành tựu sớm tôpô đại số làm móng cho hƣớng nghiên cứu nhiều nhà Toán học, dẫn đến kết khác Định lý điểm bất động Schauder mở rộng nguyên lý điểm bất động Brouwer cho không gian vô hạn chiều (áp dụng cho không gian Banach) Một mở rộng khác định lý Tychonoff (1935, áp dụng cho không gian vectơ tôpô lồi địa phƣơng),v.v Định lý điểm bất động Brouwer đƣợc mở rộng cho ánh xạ đa trị nhà Toán học nhƣ Kakutani (1941), Bohnenblust Karlin (1950), Ky Fan (1960/61) Năm 1929, ba nhà Toán học Knaster, Kuratowski Mazurkiewicz chứng minh kết quan trọng, Bổ đề KKM, đem đến cách chứng minh đơn giản nguyên lý điểm bất động Brouwer đặc biệt nữa, bổ đề KKM nguyên lý điểm bất động Brouwer hai kết tƣơng đƣơng Từ xuất bổ đề KKM, kết sâu sắc công trình nghiên cứu Ky Fan làm tảng, lý thuyết KKM hình thành, phát triển đƣợc sử dụng rộng rãi nhƣ công cụ hữu ích cho lý thuyết điểm bất động ánh xạ đa trị, lý thuyết biến phân, toán kinh tế v.v Với việc tồn điểm bất động ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ thiết lập đƣợc dãy lặp hội tụ điểm bất động đó, nguyên lý điểm bất động Banach hệ mở rộng đƣợc vận dụng phổ biến thành công chứng minh tồn nghiệm tính xấp xỉ nghiệm toán thuộc nhiều lĩnh vực giải tích Trên sở nghiên cứu ứng dụng định lý điểm bất động tìm cách mở rộng chúng để giải toán lớp không gian khác nhau, lý thuyết điểm bất động đƣợc phát triển không ngừng thành lý thuyết đa dạng, phong phú bao gồm nhiều định lý điểm bất động ánh xạ nhƣ ánh xạ co, nén, ánh xạ không giãn, ánh xạ tăng, v.v., nhiều mở rộng nguyên lý điểm bất động cho ánh xạ đa trị, mối liên hệ chặt chẽ với nguyên lý biến phân Ekland, nguyên lý min-max, lý thuyết KKM, lý thuyết bậc tôpô, V.V., tổng quan vấn đề tìm thấy tài liệu nhƣ [12, 17, 18, 44] nhiều công trình nghiên cứu nhà Toán học mà tiêu biểu s Park [48, 50, 54], s Park, Đ H Tân [51, 52], s Park , B.G Rang [49], L.A.Dung, D H Tân [15] Chính từ phát triển đó, với tác động tích cực lý thuyết khác, mà lý thuyết điểm bất động đƣợc xem công cụ quan trọng việc nghiên cứu định lƣợng định tính nhiều lớp phƣơng trình xuất phát từ vật lý học, hoa học, sinh học, học Việc ứng dụng lý thuyết điểm bất động để chứng minh tồn nghiệm phƣơng trình vi phân tích phân đƣợc mở đầu kết tiếng Picard Peano vào cuối kỷ 19, xét toán Cauchy cho phƣơng trình vi phân với vế phải thoa mãn điều kiện Lipschitz (định lý Picard) điều kiện liên tục (định lý Peano) Ứng với hai toán này, hai định lý điểm bất động Banach Schauder thật công cụ hữu hiệu Nguyên lý ánh xạ co Banach: [17] Cho (M, ρ) không gian metric đầy đủ T : M → M ánh xạ co, nghĩa là: Tồn k ∈ [0,1) cho ρ(Tx, Ty) ≤ k ρ (x, y), ∀x, y ∈ M Khi T có điểm bất động x* ∈ M Hơn với x0 ∈ M cho trước, dãy lặp {Tnx0} hội tụ x* Định lý Schauder: [25] Cho K tập khấc rỗng, lồi, đóng không gian Banach E T : K → K ánh xạ liên tục cho bao đóng ̅̅̅̅̅̅ T(K) tập compact Khi T có điểm bất động Kết hợp hai định lý đó, Krasnosel'skii chứng minh đƣợc: Định lý Krasnosel'skii: [61] Cho M tập khác rỗng, lồi, đóng bị chặn không gian Banach X Giả sử U : M → X ánh xạ co C : M → X toán tử compact, nghĩa là: c liên tục C(M) chứa tập compact, cho U(x) + C(y) ∈ M, ∀x, y ∈ M Khi U + C có điểm bất động Sau xuất định lý Krasnosel'skii, ngƣời ta xét đến tồn nghiệm phƣơng trình tích phân chứa tổng hai số hạng với hàm dƣới dấu tích phân tƣơng ứng thoa điều kiện Lipschitz điều kiện liên tục, mở nhiều công trình nghiên cứu định lý điểm bất động kiểu Krasnosel'skii ứng dụng, chẳng hạn nhƣ [3, 4, 7, 8, 13, 21, 53] Áp dụng định lý Schauder, lý thuyết bậc lý thuyết dựa ánh xạ cốt yếu "Topological Transversality", Leray Schauder chứng minh định lý điểm bất động kiểu Leray-Schauder, nguyên lý loại tuyến cho ánh xạ compact "Nonlinear alternative" công cụ quan trọng để thiết lập nguyên lý tồn nghiệm số toán giá trị biên [46] Các ứng dụng cụ thể khác định lý điểm bất động việc nghiên cứu tính giải đƣợc lớp phƣơng trình nhƣ phƣơng trình vi phân, tích phân, đạo hàm riêng đƣợc trình bày nhiều tài liệu, chẳng hạn nhƣ [12, 17, 18, 25, 46, 61], công trình khoa học công bố nhiều tạp chí nhiều tác giả, nhƣ: Abdou [1], Avramescu [3, 4], Burton [7, 8], Henriquez [20], Liu, Naito, N.v Minh [28], Pavlakos, Stratis [55], Raffoul [13], tìm thấy nhiều công trình khác đăng tạp chí Toán học nƣớc sử dụng phƣơng pháp điểm bất động để chứng minh tồn nghiệm Để dễ truy cập, xin nêu số 06/2000, 24/2001, 71/2002, 04/2003, 22/2004, 79/2005, hay 3, 8, 13, 19, 21, 22, 24, 34, 36, 57 thuộc Voi 2006, v.v., "Electronic J Differential Equations" làm ví dụ, định lý ánh xạ co, định lý Schauder, định lý Krasnosel'skii nón, định lý Darbo, V.V., đƣợc áp dụng Ngoài ra, có tạp chí chuyên lĩnh vực đƣợc xuất gần đây, chẳng hạn nhƣ 'Tixed Point Theory and Applications" năm 2004 nhà xuất Hindawi, "Journal of Fixed Point Theory and Applications" năm 2007 nhà xuất Springer Chính vậy, đề tài luận án nghiên cứu cần thiết có ý nghĩa mặt lý thuyết áp dụng Trong luận án này, áp dụng phƣơng pháp điểm bất động kết hợp với lý luận tính compact thông dụng để khảo sát tồn nghiệm vấn đề liên quan đến nghiệm cho ba toán thuộc lý thuyết phƣơng trình tích phân, vi phân đạo hàm riêng sau đây: Phƣơng trình tích phân phi tuyến dạng Volterra; Bài toán giá trị biên giá trị đầu cho phƣơng trình vi phân hàm cấp hai có đối số chậm; Bài toán hỗn hợp cho phƣơng trình sóng phi tuyến chứa toán Lử Kirchhoff trẽn màng tròn đơn vị Sau phần giới thiệu tổng quát ba toán nói Bài toán thứ đề cập đến phƣơng trình tích phân phi tuyến dạng Volterra: (0.0.1) E không gian Banach với chuẩn |.|,R+ = [0, ∞), q : R+ → E; f : R+ E → E;G, V : ∆ = {(t,s) ∈R+ E → E đƣợc giả sử hàm liên tục R+,s≤ t} Trƣờng hợp E = Rd hàm V(t, s, x) tuyến tính theo biến thứ ba, phƣơng trình (0.0.1) đƣợc nghiên cứu Avramescu Vladimirescu [4] Các tác giả áp dụng định lý điểm bất động kiểu Krasnosel'skii [3, Định lý K'"] để chứng minh tồn nghiệm ổn định tiệm cận phƣơng trình tích phân: (0.0.2) q : R+ → Rd; f : R+ ∆ = {(t, s) ∈ R+ Rd → Rd; V : ∆ → Md(M), G:∆ Rd→Rd đƣợc giả sử liên tục, R+,s ≤ t} Md(R) tập hợp ma trận thực cấp d d Trƣờng hợp (0.0.1) có f = V(t, s, x(s)) = V(s, x(s)), tồn nghiệm phƣơng trình đƣợc nghiên cứu Hóa Schmitt [21], cách sử dụng định lý điểm bất động kiểu Krasnosel'skii Phƣơng trình (0.0.1) có tính tổng quát cho lớp phƣơng trình tích phân phi tuyến dạng Volterra đƣợc xét [4, 21] Để thu đƣợc tồn nghiệm tồn nghiệm ổn định tiệm cận, chứng minh định lý kiểu Krasnosel'skii làm công cụ kết hợp với việc sử dụng định lý Banach không gian Préchet giải bất phƣơng trình tích phân Volterra phi tuyến Kết chứa kết tƣơng ứng [4, 21] nhƣ trƣờng hợp riêng đƣợc công bố [N4] Một ví dụ minh hoa tồn nghiệm tồn nghiệm ổn định tiệm cận (0.0.1) không gian Banach E — C[0,1], f ≠ V(t,s,x) không tuyến tính theo biến thứ ba, cho thấy kết đạt đƣợc mạnh kết trƣớc 118 (3.5.52) Kết hợp (3.5.12)- (3.5.17), (3.5.23), (3.5.43), (3.5.44), (3.5.51)và (3.5.52), ta nhận đƣợc (3.5.53) Do hàm ui, uir, ui, i = 0, 1, , N bị chặn không gian L∞(0, T; V1) nên từ (3.5.41), (3.5.42), (3.5.44), (3.5.47), (3.5.48),(3.5.50), (3.5.52)và (3.5.53) ta có (3.5.54) K số phụ thuộc vào M, T, N số ̃ i(M, T, B), ̅ i(M,T,f), i = 1, 2,…, N +1, ̃ i(M, T,B1), ̅ i(M, T, f1), i = 1, 2, ,N Chứng minh bổ đề 3.5.3 hoàn thành □ Xét dãy hàm {vm} đƣợc định nghĩa (3.5.55) 119 Với m = 1, ta có toán (3.5.56) Nhân hai vế (3.5.56) với v1, sau kết hợp với (3.5.38) ta suy (3.5.57) Ta có (3.5.58) nên (3.5.59) 120 Bởi (3.5.57), (3.5.59), ta có (3.5.60) Sử dụng bổ đề Gronwall, ta thu đƣợc (3.5.61) Ta chứng minh tồn số CT, không phụ thuộc m ε, cho với m (3.5.62) Nhân hai vế (3.5.55) với vm sau lấy tích phân theo t, ta đƣợc (3.5.63) 121 Suy (3.5.64) Từ (3.5.63) (3.5.64), sau biến đổi, ta chứng minh đƣợc bất đẳng thức sau (3.5.65) Giả sử ζ < 1, (3.5.66) với số T > thích hợp Để tiếp tục, ta cần đến bổ đề sau mà chứng minh kết không khó khăn Bổ đề 3.5.4 Cho dãy {δm} thoa mãn với m ≥ 1, δ0 — 0, ≤ ζ ≤ 1, δ > số cho trƣớc Khi với m ≥ (3.5.67) (3.5.68) 122 Áp dụng bổ đề 3.5.4 với ta suy từ (3.5.65) (3.5.69) với m ≥ 1, Mặt khác dãy quy nạp {vm} định nghĩa (3.5.55) hội tụ mạnh không gian W1{T) nghiệm v toán (3.5.22) Vì vậy, qua giới hạn m → +∞ (3.5.69), ta có hay (3.5.70) Từ ta có định lý sau Định lý 3.5.5 Giả sử giả thiết (H1), (H2), (H8) (H9) Khi tồn số M > T > cho với ε mà |ε| ≤ 1, toán (Pε) có nghiệm yếu uε ∈ W1(M,T), thỏa mãn đánh giá tiệm cận đến cấp N + nhƣ (3.5.70), u0, U1 ,… ,UN lần lƣợt nghiệm yếu toán (P0), (Q1), (QN), tƣơng ứng Nhƣ vậy, sử dụng nguyên lý ánh xạ co công cụ khác giải tích hàm, chƣơng nghiên cứu tính giải đƣợc đồng thời cách xây dựng dãy lặp hội tụ đến nghiệm khai triển tiệm cận nghiệm toán hỗn hợp cho phƣơng trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff Ta có lƣu ý rằng, phƣơng pháp điểm bất động thƣờng đƣợc áp dụng để tìm nghiệm xấp xỉ Galerkin toán biên phi tuyến theo dạng cụ thể yếu tố phi tuyến xuất toán mà định lý điểm bất động Brouwer, Banach, Schauder, v.v đƣợc lựa chọn thích hợp Bằng phƣơng pháp này, việc xét tồn nghiệm nhƣ chƣơng 3, ta xét cấu trúc tập nghiệm toán Chăng hạn, áp dụng định lý Schauder định lý Krasnosel'skii - Perov, chứng minh đƣợc tập nghiệm toán giá trị biên-ban đâu cho phƣơng trình sóng [N3, N9] tập khác rỗng, compact liên thông 123 KẾT LUẬN Trong luận án này, sử dụng phƣơng pháp điểm bất động kết hợp với lý luận tính compact thông dụng để khảo sát toán thuộc lý thuyết phƣơng trình vi phân, tích phân đạo hàm riêng Đó phƣơng trình tích phân phi tuyến dạng Volterra chƣơng 1, toán giá trị biên giá trị đầu cho phƣơng trình vi phân hàm cấp hai có đối số chậm chƣơng chƣơng toán hỗn hợp cho phƣơng trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff màng tròn đơn vị Những kết thu đƣợc luận án bao gồm: - Chứng minh định lý điểm bất động kiểu Krasnosel'skii - Áp dụng định lý điểm bất động kiểu Krasnosel'skii để chứng minh tồn nghiệm tồn nghiệm ổn định tiệm cận phƣơng trình tích phân phi tuyến dạng Volterra sau - Chứng tỏ tập nghiệm phƣơng trình tích phân xét tập com-pact, liên thông - Minh họa kết thu đƣợc qua ví dụ - Cho điều kiện để nhận đƣợc tồn nghiệm, tồn nghiệm ổn định tiệm cận tính compact, liên thông tập nghiệm phƣơng trình tích phân phi tuyến dạng Volterra trƣờng hợp tổng quát nhƣ sau - Chứng minh tồn nghiệm, nghiệm phụ thuộc liên tục nghiệm toán ba điểm biên sau cho phƣơng trình vi phân hàm cấp hai có đối số chậm 124 ϕ ∈ C,0 < ε < - Chứng minh tồn nghiệm toán giá trị biên với điều kiện biên hỗn hợp cho phƣơng trình vi phân hàm cấp hai có đối số chậm thuộc dạng với ϕ ∈ C,0 < ε < 1, α ∈ R - Chứng minh tồn nghiệm, nghiệm phụ thuộc liên tục nghiệm toán giá trị đầu sau cho phƣơng trình vi phân hàm cấp hai có đối số chậm ϕ ∈ C - Chỉ cấu trúc tập nghiệm toán giá trị đầu Đó tập hợp khác rỗng, compact liên thông - Chứng minh tồn nghiệm, nghiệm toán hỗn hợp cho phƣơng trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff có dạng - Cho điều kiện để có đƣợc thuật giải lặp cấp hai hội tụ trƣờng hợp đặc biệt f = f(r, u),B = B(z) - Đặt giả thiết để thu đƣợc khai triển tiệm cận theo £ (đủ nhỏ) đến cấp N +1 nghiệm yếu uε(r, t) toán nêu trên, f đƣợc thay f + εf1 B đƣợc thay B + εB1 Các kết luận án đƣợc công bố [N2-N6] gửi công bố [N7, N8] Ngoài ra, nội dung phƣơng pháp nghiên cứu luận án đƣợc thể hiện, vận dụng cho phƣơng trình dạng khác đƣợc công bố [N1, N9, N10] Một phần kết luận án kết liên quan đƣợc báo cáo 125 hội nghị: - Hội nghị khoa học khoa Toán-Tin học ĐHSP Tp HCM 22/12/2002 - The International Conference on Differential Equations and Applications HOM City 2225/08/2004 - Hội nghị toàn quốc lần thứ hai ứng dụng Toán học, Hà Nội 23-25/12/2005 Trên sở kết thu đƣợc luận án, xin nêu vấn đề nghiên cứu, phát triển tiếp nhƣ sau: Nghiên cứu vấn đề tƣơng tự chƣơng cho phƣơng trình tích phân VolterraHammerstein đoạn vô hạn có dạng: Nghiên cứu vấn đề tƣơng tự chƣơng cho phƣơng trình vi phân hàm cấp hai có chậm với dạng tổng quát với điều kiện biên dạng khác Cho điều kiện để thu đƣợc thuật giải lặp cấp hai hội tụ nhƣ chƣơng với toán tử f, B có dạng tổng quát 126 DANH MỤC CỒNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ [N1] L.H Hoa, L.T.P Ngọc (2004), Một ghi tính compact, liên thông tập hợp nghiệm toán tiến hoa, Tạp chí khoa học Khoa học Tự nhiên Trƣờng ĐHSP Tp HCM, Số 4(38), 3-13 [N2] L.H Hoa, L.T.P Ngọc (2006), Boundary and initial value problems for second order neutral functional differential equations, Electronic J Diff Equat., No.62, 1-19 [N3] L.H Hóa, L.T.P Ngọc (2006), The connectivity and compactness of so-lution set of an integral equation and weak solution set of an initial-boundary value problem, Demonstratio Math Voi.39, No.2 , 357- 376 [N4] L.T.P Ngọc, N.T Long (2006), On a fixed point theorem of Kras-nosel’skii type and applications to integral equations, Fixed Point Theory and Applications, Hindawi Publishing Corporation, Article ID 30847, 1-24 [N5] N.T Long, L.T.P Ngọc (2006), Bài toán hỗn hợp cho phƣơng trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff, Tạp chí khoa học Khoa học Tự nhiên Trƣờng ĐHSP Tp HCM, Số 8(42), 44-61 [N6] N.T Long, L.T.P Ngọc (2007), On a nonlinear Kirchhoff-Camer wave equation in the unit membrane: The quadratic convergence and asymptotic expansion of solutions, Demonstratio Math Voi.40, No.2 , 365- 392 [N7] N.T Long, L.T.P Ngọc, On a nonlinear Kirchhoff-Carrier wave equa-tion in the unit membrane I, (Bài gửi công bố) [N8] L.T.P Ngọc, N.T Long, The Hukuhara-Kneser Property for ã nonỉinear integral equation, (Bài gửi công bố) [N9] N.T Long L.T.P Ngọc (2007), A wave equation associated with mixed nonhomogeneous conditions: The compactness and connectivity of weak so-lution set, Abstract and Applied Analysis, Hindawi Publishing Corporation, Article ID-20295, 1-17 [N10] L.T.P Ngọc (2007), Applying fixed point theory to the initiaỉ value prob-lemfor the functional differential equation with finite delay, Vietnam Journal of Mathematics, 35:1, 4360 127 Tài liệu tham khảo [1] M A Abdou, w G El-Sayed and E.I Deebs (2005), "A solution of a nonlinear integral equation", App Math Comp., 160, pp 1-14 [2] R.A Adams (1975), Sobolev Spaces, Academic Press, NewYork [3] c Avramescu (2003), "Some remarks on a fixed point theorem of Kras-nosel’skii", Electronic J Qualitative Theory of Diff Equat, 5, pp 1-15 [4] c Avramescu and c Vladimirescu (2005), Asymptotic stability results for certain integral equations, Electronic J Diff Equat., 126, pp 1-10 [5] M E Ballotti (1985), "Aronszajn's theorem for a Parabolic partial dif-ferential equation", Nonlinear Anal Theory, Methods and Applications, 9, li , pp 1183-1187 [6] D.T.T Binh, A.P.N Dinh and N.T Long (2001), "Linear recursive schemes associated with the nonlinear wave equation involving Bessel's operator", Math Comp Modelling, 34, pp 541-556 [7] T.A Burton (1998), "A fixed-point theorem of Krasnosel'skii", Appl Math Letters, 11(1), pp 85 - 88 [8] T.A Burton and c Kirk (1998), " A fixed-point theorem of Krasnosel'skii type", 'Math Nach., 189, pp 23 - 31 [9] G.F Carrier (1945), " On the nonlinear vibrations problern of elastic string", Quan J Appl Math., 3, pp 157-165 [10] C Corduneanu (1991), Integral equations and applications, Cambridge University Press, New York 128 [11] K Czarnowski (1996), "Structure of the set of solutions of an initial-boundary value problem for a Parabolic partial differential equation in an unbounded domain", Nonlinear Anal Theory, Methods and Applications, 27, 6, pp 723-729 [12] K Deimling (1985), Nonlinear Functional Analysis, Springer, New York [13] Y M Dib, M R Maroun, Y N Raffoul (2005), "Periodicity and sta¬bility in neutral nonlinear differential equations with functional delay", Electronic J Diff Equal, No 142 , pp 1-11 [14] A.P.N Dinh and N.T Long (1986), "Linear approximation and asymp- totic expansion associated to the nonlinear wave equation in one dimen- sion", Demonstratio Math., 19, pp 45-63 [15] L A Dung and D H Tan (2007), "Some applications of the KKM-mapping principle in hyperconvex metric spaces", Nonlinear Anal, 66, pp 170-178 [16] Y Ebihara, L.A Medeiros and M.M Miranda (1986), "Local solutions for a nonlinear degenerate hyperbolic equation", Nonlinear Anal, 10, pp 27-40 [17] K Goebel and W A Kirk (1990), Topics in metric fixed point theory, Cambridge University Press, New York [18] J Hale (1998), Asymptotic behavior of dissipatwe systems, Mathemati- cal Surveys and Monographs, 25, American Mathematical Society, Prov- idence, RI [19] J Henderson (1995), Boundary Value Problems for Functional Differen-tial Equations, World Scientific Publishing, USA [20] H R Henriquez (1994), "Periodic Solutions of Quasi-Linear Partial Functional Differential Equations with Unbounded Delay", Funkcialaj Ek-vacioj, 37, pp 329-343 [21] L.H Hoa and K Schmitt (1994), " Fixed point theorem of Krasnosel'skii type in locally convex spaces and applications to integral equations", Re-sults in Math., 25, pp 290-314 129 [22] L.H Hoa and K Schmitt (1995), "Periodic solutions of functional differ-ential equations of retarded and neutral types in Banach spaces", Bound -ary Value Problems for Functional Differential Equations, pp 177-185 [23] M Hosoya and Y Yamada (1991), " On some nonlinear wave equation I: Local existence and regularity of solutions", J Fac Sci Univ Tokyo Sect IA, Math., 38, pp 225238 [24] G.R Kirchhoff (1876), Vorlesungen ̈ ber Mathematische Physik: Mechanik, Teuber, Leipzig [25] M A Krasnosel'skii and P.P Zabreiko (1984), Geometrical Methods of Nonlinear Analysis, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York Tokyo [26] S Lang (1969), Analysis II, Addison - Wesley, Reading, Mass., California London [27] J.L Lions (1969), Quelques methodes de resolution des problemes aux liraites nonlinéaires, Dunod, Gauthier -Villars, Paris [28] J.Liu, T.Naito, N.V.Minh (2003), "Bounded and periodic solutions of infinite delay evolution equations", J Math Anal Appl 286, 705 -712 [29] N.T Long and A.P.N Dinh (1992), "On the quasilinear wave equation: utt - Au + f{u,ut) = associated with a mixed nonhomogeneous condi-tion", Nonlinear Anal, 19, pp 613-623 [30] N.T Long, et al (1993), "On the nonlinear vibrations equation with a coefficient containing an integral", Comp Maths Math Phys., 33, pp 1171-1178 [31] N.T Long and A.P.N Dinh (1995), "Periodic solutions of a nonlinear parabolic equation associated with the penetration of a magnetic field into a substance", Comp Math Appl, 30, pp 63-78 [32] N.T Long and A.P.N Dinh (1995), "A semilinear wave equation asso-ciated with a linear differential equation with Cauchy data", Nonlinear Anal, 24, pp 1261-1279 130 [33] N.T Long and T.N Diem (1997), "On the nonlinear wave equation utt - uxx = f(x, t, u, ux, ut) associated with the mixed homogeneous - ditions", Nonlinear Anal, 29, pp 1217-1230 [34] N.T Long, A.P.N Dinh and D.T.T Binh (1999), "Mixed problem for some semilinear wave equation involving Bessel's operator", Demonstratio Math., 32, pp 77-94 [35] N.T Long and T.M Thuyet (1999), "On the existence, uniqueness of solution of the nonlinear vibrations equation", Demonstratio Math., 32, pp 749-758 [36] N.T Long, A.P.N Dinh and T.N Diem (2002), "Linear recursive schemes and asymptotic expansion associated with the Kirchhoff-Carrier operator", J Math Anal Appl, 267, pp 116-134 [37] N.T Long (2002), "On the nonlinear wave equation utt -B(t, ||ux||2 )uxx = f(x, t, u, ux, ut) associated with the mixed homogeneous conditions", J Math Anal Appl, 274, pp 102-123 [38] N.T Long (2005), "Nonlinear Kirchhoff-Carrier wave equation in a unit membrane with mixed homogeneous boundary conditions", Electronic J Diff Equal, 138, pp 1-18 [39] R Ma (1998), "Positive solutions of a nonlinear three-point boundary value problem", Electronic J Diff Equal, 34, pp 1-8 [40] L.A Medeiros (1994), "On some nonlinear perturbation of Kirchhoff-Carrier operator", Comp Appl Math., 13, pp 225-233 [41] LA Medeiros, J Limaco and S.B Menezes (2002), " Vibrations of elastic strings: Mathematical aspects, Part one", J Comput Anal Appl, 4(2), pp 91-127 [42] LA Medeiros, J Limaco and S.B Menezes (2002), "Vibrations of elastic strings: Mathematical aspects, Part two", J Comput Anal Appl, 4(3) pp 211-263 [43] Juan Nieto (1987), "Hukuhara-Kneser Property for a Nonlinear Dinchlet Problem", J Math Anal Appl, 128, pp 57-63 131 [44] L Nirenberg (1974), Topics in Nonlinear Functional Analysis., New York [45] S K Ntouyas (1995), "Boundary value problems for neutral functional differential equations", Boundary Value Problems for Functional Differ- ential Equations, pp 239 - 249 [46] Donal O'Regan (1994), Theory of singular boundary problems, World Scientific Publishing, USA [47] E.L Ortiz and A.P.N Dinh (1987), "Linear recursive schemes associated with some nonlinear partial differential equations in one dimension and the Tau method", SIAM J Math Anal, 18, pp 452-464 [48] S Park (1994), "Foundations of the KKM theory via coincidences of composites of upper semicontinuous maps", J Korean Math Soc, 31(3), pp 493-519 [49] S Park and B G Kang (1998), " Generalized variational inequalities and fixed point theorems", Nonlinear Anal Theory, Methods and Appli- cations, 31, pp 207-216 [50] S Park (2000), " On generalizations of the Ekeland-type variational principles", Nonlinear Anal, 39, pp 881-889 [51] S Park and D H Tan (2000), " Remarks on the Schauder - Tychonoff fixed point theorem ", Vietnam J Math., 28 (2), pp 127-132 [52] S Park and D H Tan (2000), " Remarks on Himmelberg-Idzik's fixed point theorem ", Acta Math Vietnam., 25 (3), pp 285-289 [53] S Park (2006), " Generalizations of the Krasnoselskii fixed point theo- rem", Nonlinear Anal, doi:10.1016/j.na.2006.10.024 [54] S Park (2007), " Fixed point theorems for better admissible multimaps on almost convex sets", J Math Anal Appl, 329, pp 690-702 [55] P.K Pavlakos and I G Stratis (1994), " Periodic solutions to retarded partial functional differential equations", Portugaliae Math ,51, Fasc.-2 pp 271-281 132 [56] R.E Showalter (1994), Hilbert space methods for partial differential equa-tions, Electronic J Diff Equat., Monograph 01 [57] Yong-Ping Sun (2004), "Nontrivial solution for a three-point boundary value problem", Electronic J Diff Equat., Ill, pp 1-10 [58] Paul C Talaga (1981), "The Hukuhara-Kneser Property for Parabolic System with Nonlinear boundary Conditions", J Math Anal Appl, 79, pp 461-488 [59] Paul C Talaga (1988), "The Hukuhara-Kneser Property for Quasilinear Parabolic Equations", Nonlinear Anal, 12, 3, pp 231-245 [60] K Yosida (1965),Functional Analysis, Springer-Verlag, New York Berlin G ̈ ttingen Heidelberg [61] E Zeidler (1986), Nonlinear Functional Analysis and its Applications, Part I, SpringerVerlag, New York Berlin Heidelberg Tokyo [62] Bo Zhang (1995), "Boundary value problems of second order functional differential equations", Boundary Value Problems for Functional Differ-ential Equations, pp 301- 306