PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI 12 CHƯƠNG III HÀM SỐ NHIỀU BIẾN §1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN  Đặt vấn đề I Các khái niệm Định nghĩa  n = {(x1, x2, , xn)}, xi   }, x = (x1, x2, , xn) gọi điểm hay vectơ Phép toán: x + y = (x1 + y1, x2 + y2, , xn + yn) x = (x1, x2, , xn),    n Khoảng cách: (x, y) =   xi  y i 2 i 1 Định nghĩa M0   n , lân cận M0 Sr(M0) = {M   n : (M, M0) < r, < r   } Định nghĩa A   n , M   n điểm A  Sr(M)  A M điểm biên A  Sr  A  , Sr  CA  ,  Sr(M) Định nghĩa A   n mở  A chứa điểm (Khi kí hiệu Ao) A đóng  A chứa điểm biên (Khi kí hiệu A ) A bị chặn (giới nội)   Sr(M)  A A compact  A đóng giới nội A liên thông   x, y  A nối với đường cong liên tục  A A   n miền  A mở liên thông A   n miền đóng  A liên thông đóng Miền D đơn liên  D giới hạn mặt kín Miền D đa liên  D giới hạn nhiều mặt kín rời đôi II Hàm nhiều biến Định nghĩa Ánh xạ f: D     : gọi hàm hai biến số Ánh xạ f: D     : gọi hàm ba biến số Khi D gọi TXĐ hàm số, tập giá trị = {f(M), M  D} Ví dụ a) z   x  y d) z   x  y x2 y b) z     e) z  53  x  y  a2  4a2  x  y  PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn c) u  x ln 1  x  y  z  f) z  cos  x  y  g) u  arcsin x  arcsin y  arcsin z Ý nghĩa hình học: Vận dụng vào đồ trắc địa, nhờ sử dụng đường mức: f(x, y) = c Việc vẽ đồ thị hàm hai biến số có khác biệt đột phá so với hàm biến số (đã nghiên cứu tỉ mỉ chương I) Khi n = vẽ đồ thị kết hợp với sử dụng đường mức sử dụng phần mềm có để nhận đồ thị cách trực tiếp Khi n  3, mô tả đồ thị hàm số thông qua mặt mức không gian chiều Bản đồ địa hình đồi Đồ thị hàm số z = xy Giới hạn hàm nhiều biến Ví dụ xy   a) lim  lim  y 0  x 0 x  y  xy   b) lim  lim  x 0  y 0 x  y  c) lim y  kx x 0 xy x2  y Định nghĩa Ta bảo Mn(xn ; yn)  M0(x0 ; y0)  lim x n  x0 lim y n  y n  n  Định nghĩa Cho f(x, y) xác định D,  x0 ; y  D Ta bảo lim f  x, y   l   Mn(xn ; yn)  M0(x0 ; y0)  lim f  xn , y n   l n   x , y    x0 , y  hoặc:   > bé tuỳ ý,  () > 0: d(M0 ; M) <   |f(M)  l| < , M(x ; y)  D Ví dụ xy 2 a) lim d) lim x  y cos  x ; y   ;  x  y  x ; y   ;  xy b) xy lim  x ; y   ;  x  y x2  y c) lim  x ; y   ;  x  y g) x3 lim (không có)  x ; y   ;  x y  y 54  2 2 x y e) lim x y  x ; y   ;  f) x  2y lim  x ; y   ;  x  y  (không có) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Các phép toán Tương tự hàm biến số Hàm liên tục Định nghĩa Hàm f(M) xác định D, M0  D, ta bảo hàm f(M) liên tục M0  lim f  M   f  M0  D M M0 Hàm f(M) gọi liên tục D  f(M) liên tục điểm D Ví dụ Xét tính liên tục điểm (0 ; 0)  xy  , x2  y  2 e x  y ,  2  x ; y    ;  b) z   x  y a) z   0,   x ; y   0 ; 0 x2  y   0,  x 2y  x4  y ,  x ; y   0 ; 0 ,  x ; y   0 ; 0   c) z   x  y d) z   x  y    x ; y   0 ; 0  x ; y   0 ; 0 0, 0,  x2  x2  y  ,  x ; y   0 ; 0  e 1) z   x  y (không liên tục, a)   x ; y   0 ; 0 a,  xy  y ,  x ; y   0 ; 0 cos 2) z   (không liên tục, a) x  y2   x ; y   0 ; 0 a,  x arcsin2 y  y arcsin2 x ,  x ; y   0 ; 0  f 1) z   x4  y   x ; y   0 ; 0 a, (a = 0, liên tục; a  0, không liên tục)  y arctan2 x  x arctan2 y ,  2) z   x4  y   x ; y   0 ; 0 a,  x ; y   0 ; 0 (a = 0, liên tục; a  0, không liên tục) g) Tìm a để (0 ; 0) điểm liên tục hàm số  2x 2y  xy , x2  y   2 1) z   x  y (0)  x2  y  a,  x 2y  2xy , x2  y   2 2) z   x  y  x2  y  a, (0) 55 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn h) Tìm a để (0 ; 0) điểm liên tục hàm số  x (e2 y  1)  2y (e x  1) , ( x, y )  (0, 0)  1) z   x2  y  ( x, y )  (0, 0) a,  y (e3 x  1)  x (e y  1) , ( x, y )  (0, 0)  2) z   x2  y  ( x, y )  (0, 0) a, (0) (0) Định nghĩa Hàm f(M) liên tục D    > bé tuỳ ý,  () > 0:  M’, M’’  D: d(M’ ; M’’) <   |f(M’)  f(M’’)| <  Ví dụ Xét tính liên tục hàm f = x + y + Chú ý f liên tục  f liên tục §2 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN Đạo hàm riêng Định nghĩa u = f(x , y) xác định D   , ta định nghĩa đạo hàm riêng f  x0   x, y   f  x0, y   fx  x0 ; y   f  x0 ; y   lim  x 0 x x f  x0, y  y   f  x0, y   fy  x0 ; y   f  x0 ; y   lim  y 0 y y Chú ý d d 1/ fx  x0 , y   f  x, y  ; fy  x0, y   f  x0, y  dx dy x  x0 y y 2/ Tương tự có định nghĩa fx  x0 , y 0, z0   fy  x0, y 0, z0   d f  x, y 0, z0  ; dx x  x0 d d f  x0, y , z0  ; fz  x0, y 0, z0   f  x0 , y , z  dz dy z  z0 y y Ví dụ z a) u  x y , tính u’x(1 ; ; 3), u’y(1 ; ; 3), u’z(1 ; ; 3) z b) u  , tính u’x(3 ; ; 5), u’y(3 ; ; 5), u’z(3 ; ; 5) 2 x y c) u  arctan x y , tính u’x, u’y d) z  1  logy x  , tính z’x, z’y  x tan y ,  e) f  x, y    x  y 0,   x, y    0,  , tính f’x(0, 0), f’y(0, 0)  x, y    0,  56 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn ( fx  ;   , fy  ;   )  x sin y ,  f) f  x, y    x  y 0,   x, y    0,  , tính f’x(0, 0), f’y(0, 0)  x, y    0,  ( fx  ;   , fy  ;   ) y2 x z z g) z   arctan , tính A = x  xy  y2 3x y x y x2 y z z h) z   arctan , tính A = y  xy  x2 3y x y x ( 2x y x2  y ( ) 2xy x2  y ) i) Tính đạo hàm riêng cấp : 1 u  e x  2y 2 z , A(1,1,-1) ( e6 ) 18 , A(1,-1,1) ( e6 ) u  e x 2 2 y 3 z Have a good understanding! 57