PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI §2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH (TIẾP THEO) Các tính chất tích phân xác định b b a) Tuyến tính  f  x  dx ,   a b   g  x  dx a b b   f  x    g  x  dx =   f  x  dx    g  x  dx , a a ,    a b) Cộng tính f(x) khả tích khoảng có độ dài lớn từ [a ; b], [a ; c], [c ; b] b c b  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  f(x) khả tích khoảng lại có a a c c) Bảo toàn thứ tự b +) f(x) khả tích không âm [a ; b]   f  x  dx  a b  f  x  dx   g  x  dx +) f(x), g(x) khả tích [a ; b] f(x)  g(x)  a b +) f(x) khả tích [a ; b]  b a b  f  x  dx   f  x  dx a a b +) Nếu m  f(x)  M [a ; b]  m(b  a)   f  x  dx  M(b  a) a d) Các định lí trung bình - Định lí trung bình thứ b f(x) khả tích [a ; b], m  f(x)  M    [m ; M] để có  f  x  dx = (b  a) a b Nếu thêm f(x) liên tục [a ; b]  c  [a ; b]:  f  x  dx  f (c)(b  a) a - Định lí trung bình thứ hai f(x), g(x) khả tích [a ; b], m  f(x)  M có b g(x) không đổi dấu [a ; b]     [m ; M]: b  f  x  g  x  dx    g  x  dx a a b Nếu thêm f(x) liên tục [a ; b]  c  [a ; b]:  f  x  g  x  dx  f c   g  x  dx a e) Tính chất 1/ Tích phân hàm chẵn, lẻ 37 b a PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn a  2 f  x  dx , nÕu f  x  lµ hµm ch½n f  x  dx    a nÕu f  x  lµ hµm lÎ 0,  (n  1)!!   /2  /2  n !! , n ch½n n n 2/ sin xdx  cos xdx   (Warllis) ( n  )!!  0 , n lÎ  n !! III Công thức đạo hàm theo cận, công thức Newton – Leibnitz a     x Định lí f(x) khả tích [a ; b]  I  x   f  t  dt liên tục [a ; b]  a Nếu thêm f(t) liên tục t = x  [a ; b]  I’(x) = f(x) Hệ Cho ,  khả vi, f liên tục, ta có d dx  x    f t  dt  f   x    x   f   x   x   x Ví dụ x d a) e t dt dx d b) dx  1   t dt x x   d ) lim  cot x t sin t dt  ( ) x 0     x3  ln 1  2t  dt  tant dt g ) lim (1) x sin3 x x 0  sin t dt x2  x2 x3  /2   e ) lim  tan x   2t  cos t dt  (0) x 0    x   f ) lim d c) dx x 0 x ln(1  x ) ( ) a h ) Tìm a để tích phân đạt giá trị nhỏ x arctan 1  x  dx x arctan 1  x  dx e (a = 1) a i ) Tìm a để tích phân đạt giá trị lớn e (a = 1) x x  t sin k 1) lim t 2t dt  ln 1  2t x x 0  l) 1) lim cot x (  t ) tan t dt x  x (0)  ln 1  3t  dt  sin3 3t dt 2) lim (2) x 0 x  dt  /2 ( ) 3 2) lim tan x x 38   x (2t   )cot t dt ( ) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 2x  arccot t dt m) lim ( ) x x 0 sin x Công thức Newton – Leibnitz: f(x) liên tục [a ; b] có nguyên hàm F(x) b   f  x  dx = F(b)  F(a) a Ví dụ  n  1   1  2    sin  sin  sin  n  n  n n n  p p p   n e) lim ,p>0 n  n p 1 n k k f ) lim sin ( ) 2 n  n  k 1 n d) lim  /2 a)  x cos x dx ; b) x x e dx  c)  n  x dx k k  n2 cos 2n n  g ) lim ( 2  k 1 2 ) Ví dụ Cửa thẳng đứng đập có dạng hình vuông với cạnh 4ft ngập nước cách mặt nước 2ft Hãy tính áp lực nước tác động lên cửa đập Ví dụ Một thùng hình trụ có bán kính r, chiều cao h, chứa nước có chiều cao D Tính công sản bơm nước qua đáy thùng Ví dụ Trong buồng đốt xi lanh hình trụ chứa lượng khí định với áp suất ban đầu p = 101325N/m2 thể tích ban đầu V1 = 0,4m3 Tính công sản pittông chuyển động đến vị trí cho buồng đốt tích V2 = 0,8m3 (coi nhiệt độ không khí không thay đổi) IV Các phương pháp tính b a) Đổi biến số Xét  f  x  dx , f(x) liên tục [a ; b] a Định lí Xét x = (t) thoả mãn: +)  (t) liên tục [ ; ] +) () = a, () = b +) Khi t biến thiên [ ; ] (t) biến thiên [a ; b] b Khi ta có   f  x  dx   f  t   t  dt a  Định lí Xét t = (x) thoả mãn: +) (x) biến thiên đơn điệu [a ; b] có đạo hàm liên tục +) f(x)dx trở thành g(t)dt, g(t) liên tục [(a) ; (b)] 39 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  b  b  f  x  dx    g t  dt Khi ta có a  a Ví dụ 1 ex  ex ln  c) dx  / 2/ x 1 dx x e x x e  29 1/ 3 l) x e 1  x  2 dx  1  x e)  f) e dx , n    g)  arctan x dx   cos2 x dx q 1)  ln  2x  x e3 x  ex  r) dx x  2x  10 ( x  2)dx (  ln ) x  2x  10 xdx   x  2x   xdx   x  2x  22 1  p) (0) (   ) ( x2 1 x4  x2  dx (  )  ) 2 ( ) x3 (  ln ) 1   cos3 x  ln   dx   sin3 x  x sin x ( x  2)dx o) (  ln ) dx 2 n) sin x  sin x  cos x  dx (1)  sin 2x x  x  1  m) 2/   x  sin x   /2 h) x2  n  1   x  22/3  dx d)  k)  b)  i) ex  a)  /2 dx 2) ( 2  )  2 ( ln x3  2x  x dx (  2 )  ) b) Tích phân phần b Cho hàm u, v khả vi liên tục [a ; b], ta có b  u dv  uv b a a Ví dụ a)  1 e x arctan x dx b)   /3 ln x dx 1/ e c)  40 x sin x cos x dx   v du a PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  d) e g)  1 i) 2x sin x dx e dx f) h)  arccos  (  )  arcsin 2) arccos x dx x 1  3x  2 sin  (1) 4) x dx () 6) (arctan  x )2 dx (  (arccot  arctan x  1) dx  xdx 1   1) x dx (2)     ln ) 2  (   ln ) 2 3) ( 1 2) 2 (  2) x 1 dx x    5x  sin    arcsin  2 m 1) x dx 0  5)  1 2x  dx (   1 ) 12 2x dx  x  cos x 2 2   (1     ln  )   x 1  arctan x  dx l 1)  arccos x  dx  x arcsin x 2 (1   2  ln ) 1 3)  1  (  1) 2 x 1  arctan x  dx  2x 1 k) x e) x 1 arcsin dx x   (  1) 4)  arccot x  dx (1) 5) Cho f ( n 1) khả tích [a, b], n  CMR : b n ( f (b )   k o f ( k ) (a) (b  a )k  f ( n 1) (t )(b  t ) n dt ) k! n!  a §3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG Đặt vấn đề I Tích phân suy rộng với cận vô tận  Định nghĩa A f  x  dx  f  x  dx  Alim   a a Ta nói tích phân suy rộng hội tụ vế phải tồn (hữu hạn) phân kì trường hợp ngược lại 41 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn a Tương tự ta định nghĩa a f  x  dx  f  x  dx  Blim   B  a    f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx Ta định nghĩa  a  Tích phân hội tụ  hai tích phân vế phải hội tụ Ví dụ Tính  a)  1 x2  d)  ,    e   2x dx dx  n)   arctan x  x 3e  x dx x2 dx dx  1  x 2 f)    x 2  x  l)   4x c) x 22x 1dx  e)  dx   2x  0 i) b) dx x  g)  dx arctan x dx   x   (1) ( h)  x 1 dx (2) 1 ln2 )  k) x 32x 1dx   ( ln ) ( e m) dx  x 1  x  ( ( 3 ln2 ) ln2 ) ln2 ) 2 Các dấu hiệu hội tụ a) Khi f(x)  khả tích [a ; A],  A > a A  Định lí  f  x  dx hội tụ   f  x  dx  L,  A a a Định lí f, g khả tích [a ; A],  A > a;  f(x)  g(x),  x  a  Nếu  g  x  dx hội tụ   f  x  dx hội tụ a  Nếu  a   f  x  dx phân kì   g  x  dx phân kì a a Have a good understanding! 42