PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI CHƯƠNG II PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN §1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH  Đặt vấn đề I Định nghĩa Định nghĩa f(x) (a ; b), F(x) nguyên hàm f(x)  F’(x) = f(x),  x  (a ; b) Ví dụ a) f(x) = 2010 d) f(x) = sinx g) f(x) = x2 lnx c) f(x) = x,    f) y = x2ex i) f(x) = x3 sinx b) f(x) = e) f(x) = lnx h) f(x) = x cosx Định lí F’(x) = f(x), x  (a ; b), tập tất nguyên hàm f(x) F(x) + C Định nghĩa  f  x  dx  F  x   C Tính chất a) f(x) liên tục (a ; b)    f  x  dx  f  x  dx ,   g  x  dx    f  x    g  x   dx    f  x  dx    g  x  dx , ,    Toán tử  có khả nghịch trái, khả nghịch phải d  d  c) f ( x ) dx  f ( x ) d)  f ( x )  dx  f ( x )  C   dx  dx  b) Tuyến tính  Bảng số tích phân thông dụng  x  1  C,   1  x  dx     ln x  C,   1     cos2 x x  sin2 x dx   cot x  C   tan x  C a   x dx  arctan x  C sin xdx   cos x  C dx 1 1 x dx  arcsin x  C x  a dx  ln a  C II Các phương pháp tính Đổi biến số Mệnh đề Nếu  g  t  dt  G t   C   g w  x  w   x  dx  G w  x    C 30 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Mệnh đề Nếu thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1   g   x   ’(x)dx = G(x) + C   g  t  dt  G( t )  C , t = (x) có hàm ngược x = 1(t) Ví dụ  a)  d) 12 x  x   dx sin3 x dx cos x  x2 g) dx 4x tan x   sin2 x dx 2x   h)  a2  x dx  f) x i)  ex  dx 1 x2 x 2dx 1 x2 2x  (x  ln x  C ) ln 2  2x  1dx n) e) 1 x2 ln2 x dx x ln x sin2 x ( ln C )  sin2 x cot x m)  dx c) cos2 x (  ln C)  cos2 x   cos2 x dx k) b) x 3dx Tích phân phần Các hàm u, v khả vi, có  udv  uv   vdu Ví dụ 2  5x   cos3 xdx x e)  dx cos2 x  ln xdx d)   arcsin x  dx a)  g)  k) x ln b) 1 x dx 1 x  h) x ln x   x 1 x   arcsin x dx 1 x  sin ln x  dx x cos x f)  dx sin3 x c) i)  a2  x dx dx Ví dụ a) xdx  e x  x  12 c 1) 2)  e x ( C ) x 1 arccot 2x  dx  arctan d 1)  2)  2x  dx x ln(1  x ) e2 x x ln(1  x ) e3 x dx dx b)  1  x  dx x 2e x e x ( C ) x ( 2 x arccot 2x   2x  1  C ) ( 2  x  1 arctan x   x  1  C ) (  e 2 x (2x  1)ln(1  x )  1  C ) (  e 3 x (3 x  1)ln(3 x  1)  1  C ) 31 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo e 1)  ln( x thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  x  3)dx ln( x  1) 2 x (  ln( x  2)  arctan  ln x   C ) x 1 3 2) ln( x  2)  ( x  1)2 dx ln( x  1) 2 (  ln( x  1)  arctan x  ln x   C ) x 2 5 Sử dụng lớp hàm có tính chất đặc biệt Ví dụ x  x e dx d)  x ne x dx a)  x cos xdx e)  x n cos xdx b) 10  x sin xdx f)  x n sin xdx c) Tích phân vài lớp hàm khác a) Hàm hữu tỉ R  x   Pm  x  , Pm(x), Qn(x) đa thức bậc m, n x Qn  x  (m