PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI §11 CÁC LƯỢC ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ  Đặt vấn đề I Hàm số y = f(x) 1) Điểm uốn Định nghĩa Điểm I(c ; f(c)) điểm uốn đồ thị hàm số y = f(x)  điểm phân chia phần lồi, lõm đồ thị hàm số Cách tìm Tìm (c ; f(c)) cho f’’(x) đổi dấu x biến thiên qua x = c 2) Tiệm cận Định nghĩa  x = x0 tiệm cận đứng đồ thị y = f(x)  lim f  x    x  x0  y = ax + b tiệm cận xiên đồ thị y = f(x)  lim (f(x), ax + b) = x  f (x ) , b  lim  f ( x )  ax  x  x x  Khi ta có a  lim Khi a = ta có tiệm cận ngang Ví dụ Tìm tiệm cận a) y  d) y  x2 x 1 xe x , 1 b) y  x4 x 4 ,  x2 ,  e) y   x   0, c) 1  y  x ln  e   ,  x x 1 x  1 Ví dụ Tìm tiệm cận đồ thị hàm số 3x2  a) y  (x =  2, y = 3x phải ; y = 3x trái) x 4 2x  b) y  (x =  1, y = 2x phải ; y = 2x trái) x2  x arccot x c) y  (x =  1, y = 1, y = x +  ) x 1 x arccot x d) y  (x = 1, y = 1, y = x   ) 1 x x arccot x x arccot x e) y  (y = 1, y = x + 1) f) y  (y = 1, y = x + 1) 1 x2 1 x4 g) 1) y  x  2arctan x (tc xiên bên phải y =x- , bên trái y = x + ) 27 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo 2) y  xe x  thao.nguyenxuan@hust.edu.vn (tc đứng bên phải x=0 ; y=x+2) Lược đồ khảo sát đồ thị a) Tập xác định b) Chiều biến thiên: tăng giảm, cực trị, lồi lõm, tiệm cận, bảng biến thiên c) Đồ thị Ví dụ y  Ví dụ y  4x3  x ex Ví dụ y   x Ví dụ y  ln 1  e  x  x  x  f (t ) II Đường cong cho dạng tham số  , t  [ ;  ]  y  g (t ) Tương tự y = f(x), khác khảo sát gián tiếp y theo x qua biến trung gian t, ý dy y   t  ;  dx x   t  d 2y dx  y   t  x   t   y   t  x   t   x  2t  t Ví dụ   y  3t  t  x  t  3 Ví dụ 2 x3  y3  a3 ,a>0 Ví dụ x3 + y3  3axy = 0, a > (lá Descarter)  x  3t  2t Ví dụ a) 1) Cho y  f ( x ) ,  , tính f ( x ), f ( x ) t2  y  te 2 et  et (f   , f   ) 2   2t  x  t  et 2et t  2) Cho y  f ( x ) ,  , tính f ( x ), f ( x ) ( f    e , f   ) t 2t  e  y  2t  e  x  t  t b) 1) Cho y  f ( x ) ,  , tính f ( x ), f ( x ) ( f   4t , f   ) t  y  t  t   x  t  3t  t  1 10t    2) Cho y  f ( x ) ,  , tính f ( x ), f ( x ) ( f  , f   )  t  1  y  t  5t Ví dụ Tìm tiệm cận 28 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo t  x  t   a)   y  2t  t3 1  x   1 t3 c) 1)   y  2t 1 t3   x   1 t3 3)  y  1 t  1 t3 2t   x   t d)   y   2t  1 t thao.nguyenxuan@hust.edu.vn ( y  2 x  ( y  2x  (y  x  t  x  t   b)  (y = 3x  1) t y   t3  1  x   1 t3 2)  (y = 3x + 1) t y  1 t3  ) ) 1 t  x   1 t3 4)  y   1 t3 ) (y = x + ) 3 (y   x  ) III Đường cong cho hệ toạ độ cực 1) Hệ toạ độ cực Hệ gồm điểm O, trục Ox gọi hệ toạ độ cực   M(r ; ), r  OM ,  r < ,  = Ox ; OM  ,    2 Ví dụ a)    b) r  cos  c) r  sin  d) r  cos  e) r  sin  Liên hệ với hệ toạ độ Descartes: (r ; )  (x ; y), x = rcos, y = rsin y (x ; y)  (r ; ), r  x  y ,   arctan , lấy : sin dấu với y x Chú ý Trong hệ toạ độ cực suy rộng ta có  < r < ,  <  < +, r1 < định nghĩa (r1 ; ) = (r1 ;  + ) Lược đồ khảo sát đường cong r = f() a) Tìm tập xác định b) Chiều biến thiên: Xét tính chẵn (thì đồ thị đối xứng qua trục cực), lẻ (thì đồ thị  đối xứng qua    ), tuần hoàn, chiều biến thiên, cực trị, bảng biến thiên,  r tanV  , V góc dương OM vectơ phương tiếp tuyến r với đồ thị điểm M c) Đồ thị Ví dụ r = a(1 + cos), a > Ví dụ r = a sin3, a > 29 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ r = a sin2, a > Ví dụ (x + y2)2 = a2(x2  y2), a > Ví dụ r = a(1 + 2cos), a > Ví dụ r = a sinn, n   , a > Ví dụ r = a cosn, n   , a > HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 30