https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ HÀM SỐ fb Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn c VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN o Kiến thức bản: m 1) Khoảng cách hai điểm A, B: AB = ( x B − x A )2 + ( yB − y A )2 2) Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng ∆: ax + by + c = : d ( M , d ) = /g Đặc biệt: ax + by0 + c a2 + b2 + Nếu ∆: x = a d ( M , ∆) = x0 − a ro + Nếu ∆: y = b d ( M , ∆) = y0 − b + Tổng khoảng cách từ M đến trục toạ độ là: x0 + y0 u 1 AB AC.sin A = AB2 AC − ( AB AC ) 2  x + x = xI 4) Các điểm A, B đối xứng qua điểm I ⇔ IA + IB = ⇔  A B  y A + yB = yI 3) Diện tích tam giác ABC: S = T s/ p  5) Các điểm A, B đối xứng qua đường thẳng ∆ ⇔  AB ⊥ ∆ (I trung điểm AB) I ∈ ∆ iL a Đặc biệt: x = x A +) A, B đối xứng qua trục Ox ⇔  B y = − yA  B x = x ie A +) A, B đối xứng qua trục Ox ⇔  B y = − yA  B O u 6) Khoảng cách đường thẳng ∆ với đường cong (C) khoảng cách nhỏ điểm M ∈ ∆ điểm N ∈ (C) 7) Điểm M ( x; y) gọi có toạ độ nguyên x, y số nguyên x +1 ( C ) Tìm toạ độ điểm M thuộc ( C ) biết x−2 a) Tích khoảng cách từ điểm M đến trục Ox đến đường tiệm cận ngang b) Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang Lời giải: a +   Gọi M  a;  ( a ≠ ) TCĐ : x = TCN: y =  a−2 a +1 a +1 a) Ta có: d ( M ; Ox ) = −1 = = d2 = d1 ; d ( M ; TCN : y = 1) = a−2 a−2 a−2 Câu 1: Cho hàm số y = T n h iH a iD c o  a +1 =2  a = ⇒ M (1; −2 )  a −  2a − a + = ( ) ( a + 1)   Theo ta có: d1d = =6⇔ ⇔ ⇔ 7   a +1 a = ⇒ M  ;3  2a − a + = ( a − 2)  = −   2 2    ( a − ) 7  Vậy M (1; −2 ) M  ;3  điểm cần tìm 2  b) Ta có: d ( M ; TCN ) = , d ( M ; TCD ) = a − a−2 Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  a = ⇒ M ( 5; ) ⇔ ( a − 2) = ⇔  a−2  a = −1 ⇒ M ( −1; ) Theo ta có: a − = fb Vậy M ( 5; ) M ( −1; ) điểm cần tim .c Câu 2: Cho hàm số y = x3 − ( m + 1) x + mx + m + ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) A m o giao điểm (C) với trục tung biết điểm A với điểm B ( 2; −3) C ( 4;1) tạo thành tam giác ABC cân B Lời giải: Do A = ( C ) ∩ Oy nên điểm A ( 0; m + 1) Do ABC tam giác cân B nên ta có: AB = BC /g  m = ⇒ A ( 0;1) 2 hay AB = BC ⇔ + ( m + ) = 20 ⇔ ( m + ) = 16 ⇔   m = −8 ⇒ A ( 0; −7 ) +) Với m = 0; A ( 0;1) hàm số có dạng: y = x3 − 3x + ( C ) ⇒ y ' = 3x − x ro u Do phương trình tiếp tuyến A là: y = +) Với m = −8; A ( 0; −7 ) hàm số có dạng: y = x3 + 21x − x − ( C ) ⇒ y ' = 3x + 21x − p Do phương trình tiếp tuyến A là: y = −8 ( x − ) − hay y = −8 x − T s/ Câu 3: Cho hàm số y = x3 − 3x − x + ( C ) a) Tìm điểm A B đối xứng qua gốc toạ độ O b) Tìm toạ độ điểm A B đối xứng qua trục Oy Lời giải: a) Gọi A ( a; b ) B ( − a; −b ) điểm đối xứng qua gốc toạ độ O ( 0; ) iL a u ie b = a − 3a − 4a + Vì A,B thuộc đồ thị ( C ) nên ta có:  −b = ( − a ) − ( −a ) − ( −a ) + b = a − 3a − 4a + b = a − 3a − 4a +  a = 1; b = −3 ⇔ ⇔ ⇔ 2 −b = − a − 3a + 4a + 0 = −6a +  a = −1; b = O Vậy điểm A,B cần tìm là: A (1; −3) : B ( −1;3) ngược lại b) Gọi A ( a; b ) B ( − a; b ) điểm đối xứng qua trục Oy T n b = a − 3a − 4a + Vì A,B thuộc đồ thị ( C ) nên ta có:  b = ( − a ) − ( − a ) − ( − a ) +  a = b = ⇒ A ≡ B ( loai ) b = a − 3a − 4a + b = a − 3a − 4a +  ⇔ ⇔ ⇔  a = 2; b = −9 3 b = − a − 3a + 4a + 0 = 2a − 8a  a = −2; b = −9  h iH a iD Vậy điểm A, B cần tìm là: A ( 2; −9 ) : B ( −2; −9 ) ngược lại x +1 , có đồ thị ( C ) Tìm điểm M ∈ ( C ) cho: x −3 a) M cách hai đường tiệm cận b) Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng gấp lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang Đ/s: a) M ( 5;3) ; M (1; −1) ; b) M ( 7; ) ; M ( −1;0 ) Câu 4: Cho hàm số y =  a +1  G ọi M  a ;  ( a ≠ 3) TCĐ : x = TCN: y =  a −3 c o Lời giải: Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 a) Ta có: d ( M ; TCD : x = 3) = a − = d1 ; d ( M ; TCN : y = 1) = fb Theo ta có: d1 = d ⇒ a − = a +1 −1 = = d2 a−3 a−3 c  a = ⇒ M ( 5;3) a − = ⇒ ⇒ a −3  a − = −2  a = ⇒ M (1; −1) Vậy M ( 5;3) M (1; −1) điểm cần tìm o b) Theo ta có: d1 = 4d ⇒ a − = m  a = ⇒ M ( 7; ) ⇔ ( a − 3) = 16 ⇔  a −3  a = −1 ⇒ M ( −1;0 ) Vậy M ( 7; ) M ( −1; ) điểm cần tim /g 2x − , có đồ thị ( C ) Tìm điểm M ∈ ( C ) cho: x+5 a) Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ b) Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận 17 Đ/s: a) M ( −1; −2 ) ; M ( −9;6 ) ; b) M ( −4; −14 ) ; M (11;1) p u ro Câu 5: Cho hàm số y = Lời giải: T s/  2a −  G ọi M  a ;  ( a ≠ −5 ) TCĐ : x = −5 TCN: y =  a+5  a) Ta có: d ( M ; TCD : x = −5 ) = a + = d1 ; d ( M ; TCN : y = ) = iL a Ta có: d1 + d = a + + 2a − 16 −2 = = d2 a+5 a+5 16 16 ≥ a+5 =8 a+5 a+5  a = −1 ⇒ M ( −1; −2 ) a + = 16 ⇒ ⇒ a+5  a + = −4  a = −9 ⇒ M ( −9; −6 ) ie Dấu xảy a + = T n O u Vậy M ( −1; −2 ) ; M ( −9; −6 ) điểm thỏa mãn tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ b) Theo ta có:  a = −4 ⇒ M ( −4; −14 ) a + = 16 d1 + d = 17 ⇒ a + + = 17 ⇒ ( a + ) − 17 ( a + ) + 16 = ⇒  ⇒ a+5  a + = 16  a = 11 ⇒ M (11;1) Vậy M ( −4; −14 ) M (11;1) điểm cần tim x −1 , có đồ thị ( C ) Cho điểm M (1; ) ∈ ( C ) Tìm điểm N thuộc nhánh lại x+2 h Câu 6: Cho hàm số y = iD Lời giải:  a −1  Gọi N  a ;  ( a ≠ −2 ) TCĐ : x = −2 TCN: y =  a+2 c a −1 −1 = = d2 a+2 a+2 o a) Ta có: d ( N ; TCD : x = −2 ) = a + = d1 ; d ( N ; TCN : y = 1) = iH a đồ thị cho: a) Tổng khoảng cách từ N hai đường tiệm cận gấp lần độ dài OM b) Hình giới hạn đường thẳng MN hai đường tiệm cận tam giác vuông cân Đ/s: a) M ( −1; −2 ) ; b) M ( −3; ) Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Theo ta có: fb d1 + d = 4OM ⇒ a + +  a + =  a = −1 ⇒ N ( −1; −2 ) = ⇒ ( a + 2) − ( a + 2) + = ⇒  ⇒ a+2  a + =  a = ⇒ N (1;0 ) Vậy N ( −1; −2 ) điểm cần tìm .c b) Giả sử d1 ∩ d = P ( −2;1) /g m o Vì N thuộc nhánh lại đồ thị nên suy tam giác MNP vuông cân P   Ta có PM = ( 3; −1) ; PN =  a + 2;  a+2   =0 3( a + 2) −   PM ⊥ PN ( a + 2)   ⇒ ⇒ PM = PN  32 + 12 = ( a + )2 +   ( a + 2)   ( a + )2 − =0  ( a + )2 =  ( a + 2) a + =  ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ a = −3 ⇒ N ( −3; ) 2  ( a + ) + − 10 ( a + )  ( a + ) − 1 ( a + ) −  =  a + = −1 =0  a + ( )  T s/ p u ro Vậy N ( −3; ) điểm cần tim iL a u  y = − x + x + 0 A, B ∈ (C ) ⇔  − = − ( − − x )3 + 3(−2 − x0 ) + y  ie Câu 7: Cho hàm số y = − x + x + (C) Tìm điểm đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua tâm M(–1; 3) Lời giải: Gọi A ( x0 ; y0 ) , B điểm đối xứng với A qua điểm M(−1;3) ⇒ B ( −2 − x0 ;6 − y0 ) 3x − (C) x −2 Tìm điểm thuộc (C) cách tiệm cận h iD Lời giải: Gọi M ( x; y) ∈ (C) cách tiệm cận x = y = T Câu 8: Cho hàm số y = n Vậy điểm cần tìm là: (−1; 0) (−1;6) O ⇔ = − x 03 + x0 + − ( −2 − x0 ) + ( −2 − x0 ) + ⇔ x 02 + 12 x0 + = ⇔ x0 = −1 ⇒ y0 = Câu 9: Cho hàm số y = 2x + x +1 (C) x0 + 1 Gọi A, B hình chiếu M TCĐ TCN thì: MA = x0 + , MB = y0 − = c Tìm (C) điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận (C) nhỏ Lời giải: 2x + 1 Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ (C), ( x0 ≠ −1 ) y0 = = 2− x0 + x0 + o iH a 3x − x x x = −2 ⇔ x −2 = ⇔ = ±( x − 2) ⇔  x −2 x −2 x −2 x = Vậy có điểm thoả mãn đề : M1( 1; 1) M2(4; 6) Ta có: x − = y − ⇔ x − = Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Áp dụng BĐT Cô-si ta có: MA + MB ≥ MA.MB = x0 + fb =2 x0 + x = ⇔ x0 +  x0 = −2 Vậy ta có hai điểm cần tìm (0; 1) (–2; 3) ⇒ MA + MB nhỏ x0 + = o c m Câu 10: Cho hàm số ( C ) : y = x−2 x +1 /g Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số cho a) khoảng cách từ M đến Oy ba lần khoảng cách từ M đến Ox b) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang Lời giải: ro Gọi M ( xo ; yo ) ∈ ( C ) : y =  x −2 x−2  → M  xo ; o  x +1 xo +   u a) Khoảng cách từ M đến trục tọa độ lần d1 = xo ; d = yo T s/ p  3xo −  x + = xo  xo2 − xo + = ⇒ vno xo − o Theo ta có d1 = 3d ⇔ xo = yo ⇔ xo = ⇔ ⇔  3xo − xo + → xo = −2 ± 10  xo + xo − =  = − xo  + x  o iL a Vậy có hai điểm M với hoành độ xo = −2 ± 10 thỏa mãn yêu cầu toán b) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −1 tiệm cận ngang y = Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d1 = xo + Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d = yo − = ie Theo ta có d1 = 2d ⇔ xo + = xo − −1 = xo + xo + u ⇔ xo + = ±  → xo = −1 ± xo + Vậy có hai điểm M với hoành độ xo = −1 ± thỏa mãn yêu cầu toán O 2x + x −3 n Câu 11: Cho hàm số ( C ) : y = T Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số cho khoảng cách từ M đến điểm I ngắn nhất, với I giao điểm hai đường tiệm cận Lời giải: iD  2x + 7  =2+  → M  xo ;2 +  x−3 x−3 xo −   h Gọi M ( xo ; yo ) ∈ ( C ) : y = Đồ thị có tiệm cận đứng x = tiệm cận ngang y = nên giao điểm hai tiệm cận I(3 ; 2)   ( xo − 3)2 +   =  xo −  49 49 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có ( xo − 3) + 2 49 ( xo − 3) ≥2 ( xo − 3)2 ( xo − 3)2 2x + cho x +1 Câu 12: Tìm M thuộc đồ thị hàm số y = ( xo − 3)2 Vậy có hai điểm M với hoành độ xo = −3 ± thỏa mãn yêu cầu toán 49 = 14  → MI ≥ 14 ⇔ ( xo + 3) = ⇔ xo + = ±  → xo = −3 ± 2 ( xo − 3)2 + c ( xo + 3) o Vậy MI = 14 ⇔ ( xo + 3) = ( xo − 3) + ( yo − ) = 2 iH a Ta có MI = ( xM − xI ) + ( yM − yI ) = Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 fb a) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang b) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng ba lần khoảng cách từ M đến trục Oy c) tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận nhỏ Lời giải:  c Gọi M(x0; y0) điểm thuộc đồ thị ⇒ M  x0 ;  x0 +   x0 +  m o Đồ thị có tiệm cận đứng x + = tiệm cận ngang y − = Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d1 = |x0 + 1| Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang d2 = |y0 – 2|  y0 = x0 +  y0 = − x0 + Theo ta có d1 = 2d ⇔ x0 + = y0 − ⇔  /g Với y0 = x0 + ⇔ ro  x0 = ⇒ y0 = x0 + = x0 + ⇔ x02 + x0 = ⇔  x0 +  x0 = −2 ⇒ y0 = Với y0 = − x0 + ⇔ u x0 + = − x0 + ⇔ x02 + x0 + = 0, phương trình vô nghiệm x0 + p Vậy đồ thị có hai điểm M thỏa mãn đề M(0; 3) M(–2; 1) b) Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d1 = |x0 + 1| Khoảng cách từ M đến trục Oy d2 = |x0| T s/   x0 = ⇒ y0 = Theo ta có d1 = 3d ⇔ x0 + = x0 ⇔   x = − ⇒ y = 10  10 Vậy đồ thị có hai điểm M thỏa mãn M  ;  , M  − ;     3 2x + 2x + + 1 c) Ta có y = = =2+ x +1 x +1 x +1   Gọi M(x0; y0) điểm thuộc đồ thị ⇒ M  x0 ;2 +  x0 +   u ie iL a Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng h1 = |x0 + 1| x0 + n O Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang h2 = y0 − = Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận d = h1 + h2 = x0 + + T BDT Co-si ≥ x0 + =2⇒d ≥2 x0 + x0 + h  x0 + = ⇒ x0 = ⇒ y0 =  Dấu đạt x0 + = ⇔ ( x0 + 1) = ⇔  x0 + x + = − ⇒ x = − ⇒ y  0 =1 Vậy đồ thị có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu M  0;  , M ( −2;1)  3 a) M có tọa độ số nguyên b) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ Lời giải: x + = ⇔ x = −1 ⇒ y = −1 ⇒ M ( −1; −1)  x + = ±1  x + = ±2 Gọi M(x; y) thuộc đồ thị, để M có tọa độ số nguyên 2⋮( x + ) ⇔  c x x+2−2 = =1− x+2 x+2 x+2 o a) Ta có y = iH a x , ( C ) Tìm điểm M thuộc đồ thị cho x+2 iD Câu 13: Cho hàm số y = Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 x + = −1 ⇔ x = −3 ⇒ y = ⇒ M ( −3;3) x + = ⇔ x = ⇒ y = ⇒ M ( 0;0 ) fb x + = −2 ⇔ x = −4 ⇒ y = ⇒ M ( −4;2 ) Vậy đồ thị hàm số có điểm M có tọa độ số nguyên   a   c b) Giả sử M  a;  ∈ ( C ) điểm cần tìm a+2 d2 = m o Đồ thị có tiệm cận đứng x + = tiệm cận ngang y – = Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d1 = a + , khoảng cách đến tiệm cận ngang a −1 = a+2 a+2 /g Khi đó, tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận d = d1 + d = a + + ro Vậy d = 2 ⇔ a + = ⇔ a + = ± ⇔ a = −2 ± a+2 u  p Từ ta hai điểm M thỏa mãn M1  −2 + 2;   −2 +  2+   , M  −2 − 2;     2x + , ( C ) Tìm điểm M thuộc đồ thị cho x−3 T s/ Câu 14: Cho hàm số y = 2 ≥2 a+2 =2 a+2 a+2 Ta có y = iL a a) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ b) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận Lời giải: x + 2( x − 3) + 7   = =2+ Giả sử M  a; +  ∈ ( C ) điểm cần tìm x−3 x−3 x−3 a −3  Đồ thị có tiệm cận đứng x − = tiệm cận ngang y – = u ie Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d1 = a − , khoảng cách đến tiệm cận ngang d = a) Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận d = d1 + d = a − + 7 ≥ a −3 =2 a −3 a −3 ⇔ a −3= ± ⇔ a = 3± a −3 Từ ta hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán n O Vậy d = ⇔ a − = 7 = a−3 a−3 T a = a =  a − =1 b) Theo ta có d = d1 + d = a − + = ⇔ ( a − 3) − a − + = ⇔  ⇔  a = 10 a−3  a − =   a = −4 Tương ứng đồ thị có điểm M thỏa mãn M1 ( 4;9 ) , M ( 2; −5 ) , M (10;3) , M ( −4;1) h iD 2x + m , ( C ) Gọi M điểm thuộc đồ thị hàm số x −1 iH a Câu 15: Cho hàm số y = Tìm m để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ 10 Lời giải:  2a + m  2a + m m+2 −2 = a −1 a −1 c d2 = o Giả sử M  a;  ∈ ( C ) điểm cần tìm a −1   Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x – = tiệm cận ngang y – = Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d1 = a − khoảng cách đến tiệm cận ngang Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Khi đó, tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận d = d1 + d = a − + m+2 m+2 ≥ a −1 =2 m+2 a −1 a −1 c fb  m = 23 ⇒ d = m + = 10 ⇔ m + = 25 ⇔   m = −27 Với m = 23 ta có điều kiện cho dmin: a − =  a = ⇒ M ( 6;7 ) 25 ⇔ a −1 = ⇔  a −1  a = −4 ⇒ M ( −4; −3) o m Với m = −27 ta có điều kiện cho dmin: a − =  a = ⇒ M ( 6; −3) 25 ⇔ a −1 = ⇔  a −1  a = −4 ⇒ M ( −4;7 ) Vậy có hai giá trị m thỏa mãn tương ứng có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán /g T s/ p u ro iL a Thầy Đặng Việt Hùng T n O u ie h c o iH a iD Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01