Khóa học TOÁN 10 – MOON.VN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 03 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP có website MOON.VN Ví dụ 1: [ĐVH] Giải phương trình: a) ( x − ) − ( x − 3) = 2 c) ( x + 3)( x − 1) = − x ( ) b) ( − x ) x − 25 = Lời giải: a) Phương trình tương đương: 4 x − = x = ( x − ) + ( x − 3)  ( x − ) − ( x − 3)  = ⇔ ( x − )( x − ) = ⇔  ⇔ 2 x − = x = Vậy tập hợp nghiệm S = {1; 2}  x= 3 x =  − x =   5 ⇔  25 ⇔  b) ( − x ) x − 25 = ⇔  V ậy S =  − ;   x =  3 x = ± 9 x − 25 =   ( ) c) ( x + 3)( x − 1) = − x ⇔ ( x + 3)( x − 1) = ( − x )( + x ) ⇔ ( x + 3)( x − − + x ) =  x = − 2 x + =  2 ⇔ ( x + 3)( x − ) = ⇔  ⇔ V ậy S =  − ;  x − =  3 x =   Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm nghiệm gần phương trình (chính xác đến hàng phần trăm) a) x − 5,60 x + 6, 41 = b) x + x − 2 = Lời giải: Sử dụng máy tính, ta tính nghiệm gần a) x ≈ 4,00; x ≈ 1,60 b) x ≈ 0,38; x ≈ −5, 28 Ví dụ 3: [ĐVH] Giải biện luận phương trình: a) x − x + m − = b) ( m − 1) x + x − = Lời giải: a) x − x + m − = có ∆ = − ( m − 3) = − m Biện luận: Nếu ∆ ' < ⇔ m > phương trình vô nghiệm Nếu ∆ ' = ⇔ m = phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = Nếu ∆ ' > ⇔ m < phương trình có hai nghiệm phân biệt x = ± − m b) – Khi m = phương trình: 3x − = ⇔ x = – Khi m ≠ phương trình bậc có ∆ = + ( m − 1) = 4m + 5 ∆ < : phương trình vô nghiệm −3 Nếu m = − ∆ = : phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = = ( m − 1) Nếu m < − Nếu m > − −3 ± 4m + ∆ > : phương trình có hai nghiệm phân biệt: x = ( m − 1) Ví dụ 4: [ĐVH] Giải biện luận phương trình: a) ( k + 1) x − 1 ( x − 1) = b) ( mx − )( 2mx − x + 1) = Lời giải: Tham gia khóa TOÁN 10 MOON.VN để tự tin hướng đến kì thi Trung học phổ thông Quốc gia! Khóa học TOÁN 10 – MOON.VN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 a) – Xét x = phương trình nghiệm – Xét x ≠ phương trình tương dương ( k + 1) x = Nếu k = −1 phương trình x = vô nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm phương trình x = 1 Nếu k ≠ phương trình x = Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 1; x = k +1 k +1 b) Phương trình: m ( 2m − 1) x − ( 3m − ) x − = - Với m = phương trình có nghiệm x = 1 - Với m = , phương trình có nghiệm x = - Với m ≠ m ≠ phương trình bậc hai có: 2 ∆ = ( 3m − ) + 8m ( 2m − 1) = 25m2 − 20m + = ( 5m − ) ≥ phương trình có nghiệm x = 2 −1 Xét m ≠ phương trình cóhai nghiệm phân biệt x = x = 2m + Xét m = Ví dụ 5: [ĐVH] Giải biện luận phương trình: a) mx − ( m + 3) x + m + = ( ) b) ( a = b ) x − a + b − 4ab x − 2ab ( a − b ) = Lời giải: a) mx − ( m + 3) x + m + = - Xét m = phương trình trở thành phương trình bậc nhất: −6 x + = ⇔ x = - Xét m ≠ ta có ∆ ' = ( m + 3) − m ( m + 1) = 5m + 9 m + ± 5m + phương trình có nghiệm phân biệt x1,2 = m m+3 Nếu m = − phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = =− m Nếu m < − phương trình vô nghiệm b) ( a = b ) x − a + b − 4ab x − 2ab ( a − b ) = Nếu m > − ( ) - Xét a = b phương trình 2abx = Nếu a = b = nghiệm x Nếu a = b ≠ phương trình có nghiệm x = - Xét a ≠ phương trình bậc có biệt thức ( ∆ = a + b − 4ab ) 2 + 8ab ( a − b ) = ( a − b ) − 2ab  + 8ab ( a − b )   2 2 = ( a + b ) + 4ab ( a − b ) + 4a b = ( a − b ) + 2ab  >   2 nên phương trình có nghiệm phân biệt x1 = a − b; x2 = − 2ab a −b Ví dụ 6: [ĐVH] Giải biện luận phương trình sau: a) mx + ( 3m + ) x + 8m + 34 = b) x − x + m = Lời giải: 17 a) Xét m = Phương trình x + 34 = ⇔ x = − 2 Xét m ≠ : ∆ = ( 3m + ) − 4m ( 8m + 34 ) = 9m + 24m + 16 − 32m − 136m = −23m − 112m + 16 Tham gia khóa TOÁN 10 MOON.VN để tự tin hướng đến kì thi Trung học phổ thông Quốc gia! Khóa học TOÁN 10 – MOON.VN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 −56 ± 3504 3m + phương trình có nghiệm kép x = − 23 2m 112m 16 56  3504 56 3504  - Nếu ∆ < ⇔ 23m + 112m − 16 > ⇔ m + > ⇔ m +  > ⇔ m+ > 23 23 23  529 23 23  - Nếu ∆ = ⇔ 23m + 112m − 16 = ⇔ m = −56 − 3504 −56 + 3504 m > Phương trình vô nghiệm 23 23 m ≠  - Nếu ∆ > ⇔ 23m + 112m − 16 < ⇔  −56 − 3504 −56 + 3504 (2) vô nghiệm nên (1) vô nghiệm 1 1 Nếu ∆ = ⇔ m = (2) có nghiệm kép t = ≥ nên (1) có nghiệm x = ⇔ x = ± 2 1 − − 4m + − 4m Nếu ∆ > ⇔ − 4m > ⇔ m < (2) có nghiệm t1 = , t2 = >0 2 Với m = t1 = 0, t2 = nên (1) có nghiệm x = 0, x = ±1  + − 4m  Với m < t1 < nên (1) có nghiệm x = ±       − − 4m   + − 4m  Với < m < t1 > nên (1) có nghiệm : x = ±  ; x = ±      2     Ví dụ 7: [ĐVH] Biện luận số giao điểm hai parabol: y = − x − x + y = x − m theo m Lời giải: Số giao điểm hai parabol số nghiệm hai phương trình hoành độ giao điểm − x2 − 2x + = x2 − m ⇔ x2 + x − m − = ∆ = 2m + Do đó: Nếu m < −3,5 phương trình vô nghiệm, suy hai parabol điểm chung Nếu m = −3,5 phương trình có nghiệm (kép), suy hai parabol có điểm chung Nếu m > −3,5 phương trình có hai nghiệm phân biệt, suy hai parabol có hai điểm chung Ví dụ 8: [ĐVH] Chứng minh phương trình a) ( x − a )( x − b ) + ( x − b )( x − c ) + ( x − c )( x − a ) = có nghiệm với a, b, c ( ) b) a x + a + b − c x + b = vô nghiệm với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Lời giải: a) ( x − a )( x − b ) + ( x − b )( x − c ) + ( x − c )( x − a ) = ⇔ 3x − ( a + b + c ) x + ( ab + bc + ca ) = ∆ ' = ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) = a + b + c − ab − bc − ca = =  2a + 2b + 2c − 2ab − 2ac − 2ca   2 1 ( a − b )2 + ( b − c )2 + ( c − a )2  ≥ 0, ∀ a, b c Vậy phương trình có nghiệm  ( b) Ta có: ∆ = a + b + c ) ( − 4a 2b = a + b + c ) ( )( − ( 2ab ) = a + 2ab + b − c a − 2ab + b − c 2 ) 2 = ( a + b ) − c  ( a − b ) − c  = ( a + b + c )( a + b − c )( a − b + c )( a − b − c )    Vì a, b, c cạnh tam giác nên: a + b + c > 0, b + b − c > 0, a − b + c > 0, a − b − c < Do ∆ < Vậy phương trình vô nghiệm Tham gia khóa TOÁN 10 MOON.VN để tự tin hướng đến kì thi Trung học phổ thông Quốc gia! Khóa học TOÁN 10 – MOON.VN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Ví dụ 9: [ĐVH] Tìm m để phương trình a) ( m + ) x + ( 3m − ) x + m + = có nghiệm kép Tìm nghiệm kép b) x − ( m + 3) x + m − = có nghiệm tìm nghiệm Lời giải: a) Điều kiện m + ≠ ⇔ m ≠ −2 Phương trình ( m + ) x + ( 3m − ) x + m + = có nghiệm kép ∆ ' = m = ⇔ ( 3m − ) − ( m + )( m + ) = ⇔ 8m − 16m = ⇔  m = − ( 3m − ) Ta có x1 = x2 = Khi m = x1 = x2 = 1; m = x1 = x2 = −1 m+2 b) Thế x = vào phương trình : − ( m + 3) + m − = ⇔ 3m = −9 ⇔ m = −3 Với m = −3 phương trình x − = ⇔ x = ±2 Vậy nghiệm x = −2 Ví dụ 10: [ĐVH] Cho hai phương trình bậc hai: x + p1 x + q1 = 0; x + p2 x + q2 = có hệ số thỏa mãn điều kiện p1 p2 ≥ ( q1 + q2 ) Chứng minh hai phương trình có phương trình có nghiệm Lời giải: Ta dùng phương pháp phản chứng ∆1 = p12 − 4q1 < ⇒ p12 + p22 < ( q1 + q2 ) Giả sử hai phương trình vô nghiệm Suy :  ∆ = p2 − 4q2 < ⇒ ( q1 + q2 ) > p12 + p22 ≥ p1 p2 ≥ 2.2 ( q1 + q2 ) = ( q1 + q2 ) ⇒ ( q1 + q2 ) > ( q1 + q2 ) : Điều vô lí Vậy hai phương trình phải có nghiệm Ví dụ 11: [ĐVH] Cho hai phương trình x + x + m + = x + ( m + 1) x + = Tìm m để hai phương trình : a) có nghiệm chung b) tương đương Lời giải:  x02 + x0 + m + = (1) a) Giả sử phương trình có nghiệm chung x0 ta có hệ phương trình:  (2)  x0 + ( m + 1) x0 + = m = Trừ phương trình (2) với (1) vế với vế ta có: mx0 − m = ⇔ m ( x0 − 1) = ⇔   x0 = Khi m = hai phương trình vô nghiệm (loại) Khi x0 = m = −3 Lúc phương trình (1) trở thành x + x − = có nghiệm : x1 = 1; x2 = −2 phương trình (2) trở thành x − x + = có nghiệm kép x1 = x2 = Vậy m = −3 hai phương trình có nghiệm chung b) Theo kết hai phương trình tương đương chúng vô nghiệm :  ∆1 < 4m > −3 1 − 4m − < 4m > −3 m > − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − < m ( m + 1) − < ( m + 1) < m + < −2 hay m + > BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Giải biện luận phương trình sau: a) x + x + 3m − = b) x + 12 x − 15m = Bài 2: [ĐVH] Giải biện luận phương trình sau: a) x − 2(m − 1) x + m = b) (m + 1) x − 2(m − 1) x + m − = Tham gia khóa TOÁN 10 MOON.VN để tự tin hướng đến kì thi Trung học phổ thông Quốc gia! Khóa học TOÁN 10 – MOON.VN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Bài 3: [ĐVH] Giải biện luận phương trình sau: a) (m − 1) x + (2 − m) x − = b) mx − 2(m + 3) x + m + = Bài 4: [ĐVH] Cho biết nghiệm phương trình, tìm nghiệm lại? a) x − mx + m + = 0; x = − b) x − 3m x + m = 0; x = Bài 5: [ĐVH] Cho biết nghiệm phương trình, tìm nghiệm lại? a) (m + 1) x − 2(m − 1) x + m − = 0; x = b) x − 2(m − 1) x + m − 3m = 0; x = Bài 6: [ĐVH] Cho phương trình (m + 1) x − 2(m − 1) x + m − = 0, (*) Xác định m để: a) (*) có hai nghiệm phân biệt b) (*) có nghiệm Tính nghiệm c) Tổng bình phương nghiệm Bài 7: [ĐVH] Tìm m để phương trình x − x + m = có hai nghiệm phân biệt? Bài 8: [ĐVH] Cho phương trình mx − 2(m + 4m) x + m (m + 4) = Xác định m để: a) Phương trình có nghiệm kép Tính giá trị nghiệm kép b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu có trị tuyệt đối Tham gia khóa TOÁN 10 MOON.VN để tự tin hướng đến kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!