Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÍNH LỒI LÕM TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ fb Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN c VẤN ĐỀ ĐIỂM UỐN, TÍNH LỒI LÕM o Quy tắc xét tính lồi lõm, tìm điểm uốn: /g m Tính đạo hàm y ' tính tiếp y '' Giải phương trình y '' = , từ tìm tọa độ điểm uốn Xét dấu y '' để kết luận: + y '' > đồ thị hàm số lõm + y '' < đồ thị hàm số lồi ro Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm tọa độ điểm uốn khoảng lồi, lõm đồ thị hàm số sau: b) y = x3 + 6x – x4 x2 d) y = + − p u a) y = 2x3 – 6x2 + 2x c) y = x − 3x + 2 T s/ Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm a, b để hàm số y = ax3 + bx2 + x + nhận điểm U(1; –1) làm điểm uốn Ví dụ 3: [ĐVH] Tìm m để hàm số y = x + 3x + nhận điểm U(–1; 3) làm điểm uốn m iL a BÀI TẬP TỰ LUYỆN : Bài 1: [ĐVH] Tìm m để tiếp tuyến điểm uốn đồ thị hàm số a) y = x3 + 3x2 – mx + song song với đường thẳng d: y = 3x – b) y = x3 + 3mx2 – 2mx + vuông góc với đường thẳng ∆: y = x – ie Bài 2: [ĐVH] Tìm m, n để đồ thị hàm số x3 − x + mx + có điểm uốn nằm đường thẳng d : y = x + 3 O b) y = − u a) y = x − x3 − x + mx + 2m − có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1; –2) n Bài 3: [ĐVH] Tìm m, n để đồ thị hàm số a) y = x3 – 3mx2 + 9x + có điểm uốn thuộc đường thẳng d: y = x + T b) y = 3x3 – 9x2 + 6x + m – có điểm uốn nằm trục hoành h c) y = x3 – 3mx2 + (3 + 2m2)x + m2 + có điểm uốn cách hai trục tọa độ Ox, Oy 1) Nhắc lại số giới hạn quan trọng  +∞ a >   −∞ a < c o iH a   b c  lim ( ax n + bx n −1 + cx n − ) = lim  x n  a + + +   = x  →∞ x  →∞ x x    1  lim =  → lim n =  x  x  →∞ x →∞ x    lim + = +∞   x  →0 x  lim = ∞  →  x → x  lim = −∞   x → 0− x  iD VẤN ĐỀ TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 c fb   0; m > n a n x n + an −1 x n −1 + + a1 x + a0  lim =  ∞; m < n m m −1 x  →∞ b x + b + + b1 x + b0  m m −1 x  an ; m = n  bm 2) Tiệm cận đứng đồ thị hàm số o Định nghĩa: Đường thẳng x = a gọi tiệm cận đứng (TCĐ) đồ thị y = f(x) lim f ( x) = ∞ x  →a m + lim f ( x) = +∞ x = a tiệm cận đứng bên phải x  →a + lim f ( x) = −∞ x = a tiệm cận đứng bên trái x  →a /g ro Cách tìm tiệm cân đứng: Đồ thị hàm phân thức thường có tiệm cận đứng, giá trị x = a thường nghiệm mẫu số, x = a hàm số cho không xác định u Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm tiệm cận đứng đồ thị hàm số sau x+2 x a) y = b) y = 2 x + 4x − x −9 p Hướng dẫn giải : T s/  x  a) Ta có lim  → x = ±3 tiệm cận đứng đồ thị hàm số  = ∞  x  →±3  x −    x =1 b) Xét phương trình x + x − = ⇔   x = −5   x+2   =∞  x lim  →   x + 4x −  Ta có   → x = 1; x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số + x    lim  =∞  x →−5  x + x −  x−2 Ví dụ 2: [ĐVH] Biện luận theo m số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = x + 3x + m Hướng dẫn giải : Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho số nghiệm khác phương trình x2 + 3x + m = O u ie iL a T n Đồ thị hàm số tiệm cận đứng x2 + 3x + m = vô nghiệm ⇔ ∆ < ⇔ − 4m < ⇔ m > Đồ thị hàm số có tiệm cận phương trình x2 + 3x + m = có nghiệm kép khác 2, có hai nghiệm phân biệt, nghiệm x =   ∆ = ⇔ − 4m = ⇔ m =   →m =  x = − b ≠ ⇔ − ≠  2a Điều xảy     ∆ > ⇔ − 4m > ⇔ m <  → m = −10   2 + + m = ⇔ m = −10 h c o iH a iD Đồ thị hàm số có hai tiệm cận phương trình x2 + 3x + m = có hai nghiệm phân biệt khác 9    ∆ > ⇔ − 4m > ⇔ m < m < Khi ta có  →   22 + + m ≠ ⇔ m ≠ −10  m ≠ −10  3) Tiệm cận ngang đồ thị hàm số x  →∞ Cách tìm tiệm cân ngang: Định nghĩa: Đường thẳng y = b gọi tiệm cận ngang (TCN) đồ thị y = f(x) lim f ( x) = b Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Đồ thị hàm phân thức có tiệm cận ngang bậc tử số không lớn bậc mẫu số Thông thường, với hàm phân thức ta thường chia tử mẫu số cho lũy thừa mũ cao x để tìm tiệm cận ngang fb Chú ý: Với giới hạn mà hàm số có chứa thực theo quy tắc sau: A+ B C + = x x2 B C + x  → +∞ x x2 −x A + m o c B C  Ax + Bx + C = x  A + +  = x x x   x A+ B C + → −∞ x  x x2 Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số sau x2 + x −3 b) y = ro d) y = x +1 2x − /g a) y = e) y = − 2x x +1 c) y = x +1 x − 2x + x +1 u 2x2 + Hướng dẫn giải : T s/ p x +1 = +∞  → x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số x  → 2x − a) Ta có lim n O u ie iL a 1+ x +1 x =  Mặt khác, lim = lim → y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số x  →∞ x − x  →∞ 2− x − 2x b) Ta có lim = +∞  → x = −1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số x  →−1 x + −2 − 2x Mặt khác, lim = lim x = −2  → y = −2 tiệm cận ngang đồ thị hàm số x  →∞ x + x  →∞ 1+ x x +1 c) Ta có lim = +∞  → x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số x  →1 x − x + 1 + x +1 Mặt khác, lim = lim x x =  → y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số x  →∞ x − x + x  →∞ 1− + x x x  →3 x2 + = +∞  → x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số x−3 T d) Ta có lim h c o iH a iD   x 1 +  x 1+ x +2  x  x Xét lim = lim = lim x  →∞ x − x  →∞ x  →∞ x −3 x−3 2 1+ x 1+ x = lim x =  Khi x  → +∞ |x| = x nên ta lim → y = tiệm cận ngang x  →+∞ x  →+∞ x −3 1− x 2 −x 1+ − 1+ x = lim x = −1  Khi x  → −∞ |x| = −x nên ta lim → y = −1 tiệm cận ngang x  →−∞ x  →−∞ x −3 1− x x +1 x +1 x +1 e) Xét lim = lim = lim x  →∞ x + x  →∞ x  →∞ 3   x 2+ x2  +  x x   Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khi x  → +∞ |x| = x nên ta lim x  →+∞ x +1 = lim x +1 x  →+∞ fb x 2+ x x 2+ x x = 2+ x 1+ = lim x  →+∞ tiệm cận ngang o c ⇒y= Khi x  → −∞ |x| = −x nên ta lim x +1 m x  →−∞ x 2+ x2 x +1 = lim x  →−∞ −x + x2 = lim −1 tiệm cận ngang 4) Tiệm cận xiên đồ thị hàm số Định nghĩa: Đường thẳng y = ax +b gọi tiệm cận xiên (TCX) đồ thị y = f(x) lim x  →−∞ x − 2+ x2 = −1 /g ⇒ y= 1+ ro x  →∞ [ f ( x) − (ax + b)] = x  →∞ Cách 2: T s/ p u Cách tìm tiệm cân xiên: Đồ thị hàm phân thức có tiệm cận xiên bậc tử số phải lớn bậc mẫu số bậc Cách 1: f ( x) + Tìm hệ số a = lim x x  →∞ + Tìm b = lim [ f ( x) − ax ] Từ suy đường tiệm cận xiên y = ax + b Suy lim x  →∞ g ( x) r ( x) r ( x) = ax + b + ⇒ f ( x) − (ax + b) = h( x ) h( x ) h( x) lim [ f ( x) − (ax + b)] = x  →∞ iL a Thực phép chia đa thức f ( x) = r ( x) = r(x) có bậc nhỏ h(x) h( x ) ie Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm tiệm cận đồ thị hàm số sau x2 + x + x−2 b) y = −2 x + x + 2x + Hướng dẫn giải : c) y = T n x2 + x + x−2 +) Ta dễ dàng nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng x = x2 + x + 7 +) Ta có y = f ( x) = = x −3+ ⇒ f ( x) − ( x − 3) = x−2 x−2 x−2 Suy lim [ f ( x) − ( x − 3) ] = lim = ⇒ y = x − tiệm cận xiên đồ thị hàm số x  →∞ x  →∞ x − −2 x + x + b) y = 2x + 1 +) Ta dễ dàng nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng x = − 2 −2 x + x + 2 +) Ta có y = f ( x) = = x +1+ ⇒ f ( x) − ( x + 1) = 2x + 2x + 2x + Suy lim [ f ( x) − ( x + 1)] = lim = ⇒ y = x + tiệm cận xiên đồ thị hàm số x  →∞ x  →∞ x + 3x + x + c) y = x+2 +) Ta dễ dàng nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng x = −2 3x + x + 13 13 +) Ta có y = f ( x) = = 3x − + ⇒ f ( x) − (3 x − 5) = x+2 x+2 x+2 a) y = 3x + x + x+2 O u a) y = h c o iH a iD Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Suy lim x  →∞ lim [ f ( x) − (3x − 5)] = x  →∞ 13 = ⇒ y = 3x − tiệm cận xiên đồ thị hàm số x+2 fb Ví dụ 3: [ĐVH] Tìm m để đồ thị hàm số y = x + mx − có tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa độ tam giác có x +1 diện tích .c Hướng dẫn giải : x + mx − m = 2x + m − − x +1 x +1 Đồ thị có tiệm cận xiên m ≠ Với m ≠ tiệm cận xiên đồ thị hàm số y = 2x + m – 2, (d) 2−m  +) Giả sử A = d ∩ Ox, B = d ∩ Oy uy A  ;0  , B (0; m − 2)   2−m ; OB = − m Tam giác OAB vuông O nên SOAB = OA.OB ⇒ OA.OB = Ta dẽ dàng tính OA = 2 2−m m = − m = ⇔ (2 − m) = 16 ⇔  ⇔  m = −2 Vậy m = m = –2 giá trị cần tìm /g m o +) Ta có y = p u ro m2 + Tìm m biết x +1 a) tiệm cận xiên đồ thị vuông góc với đường thẳng y = 3x – b) tiệm cận xiên đồ thị cách gốc tọa độ O khoảng 17 T s/ Ví dụ 4: [ĐVH] Cho hàm số y = 2mx + m + − iL a BÀI TẬP LUYỆN TẬP: x2 −3x e) y = x2 + O x +4 17) y = x − x − x + 20) y = 3x − x + 12) y = 15) y = x x + x +1 2x2 + 2x −1 18*) y = 4x2 − 5x + x −1 Bài 3: [ĐVH] Biện luận theo tham số m số tiệm cận đồ thị hàm số sau x + mx − x+m c) y = mx + x+m d) y = mx3 − x − 3x + b) y = c o 19) y = x − + x + x + 9) y = x2 + x + iH a 14) y = x + + x − x + x + 3x + x2 + − 3x 6) y = − x2 iD 13) y = x − x2 − x + x2 + x + x2 + x −1 h 11) y = −2 x − T x2 10) y = x − x + 16) y = − x2 3) y = n Bài 2: [ĐVH] Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau : x2 x + 3x + 1) y = 2) y = x−2 1− x x +2 2x 4) y = 5) y = x −1 x + 11x − 10 −1 7) y = 8) y = ( x − 3) x + 5x + c) y = f) y = u d) y = + ie Bài 1: [ĐVH] Tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số sau : 2x + a) y = b) y = 1− x x −1 Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Bài 4: [ĐVH] Tim m để đồ thị hàm số y = fb Bài 5: [ĐVH] Cho hàm số y = x + 2mx + m − có tiệm cận xiên qua điểm M(1; 2) x +1 x + (m + 1) x − x+m c a) Tìm m để đồ thị có tiệm cận xiên đồ thị hàm số qua điểm A(1; 1) o b) Tìm m để giao hai tiệm cận thuộc (P): y = x + m Bài 6: [ĐVH] Tìm m để tiệm cận xiên đồ thị hàm số x + (m − 2) x + −2 tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích x −1 b) y = x + mx − tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích x −1 c) y = x + 3mx − m + tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích x −1 /g a) y = u ro 2x + m Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang tiệm cận mx − T s/ p Bài 7: [ĐVH] Cho hàm số y = với hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có diện tích Bài 8: [ĐVH] Cho hàm số y = iL a mx + (3m + 1) x − m + x +1 Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên ∆ biết ∆ tiếp xúc với đường tròn tâm I(1; 2), bán kính R = Bài 9: [ĐVH] Chứng minh tích khoảng cách từ điểm đồ thị hàm số sau đến hai tiệm a) y = b) y = x2 + x − x+3 c) y = x2 + x − x −3 T n O u x2 − x + x −1 ie cận số h c o iH a iD Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01