BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI —————————————- TRẦN BÍCH NGỌC CỰC TIỂU ĐỊA PHƯƠNG HÀM TOÀN PHƯƠNG TRÊN NÓN LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI —————————————- TRẦN BÍCH NGỌC CỰC TIỂU ĐỊA PHƯƠNG HÀM TOÀN PHƯƠNG TRÊN NÓN LỒI Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG Hà Nội - 2016 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo PGS TS Tạ Duy Phượng Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình, nghiêm túc thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng sau Đại học, thầy cô giáo nhà trường, gia đình bạn học viên giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ hoàn thành luận văn này! Hà Nội, tháng 07 năm 2016 Tác giả luận văn Trần Bích Ngọc LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn kết nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 07 năm 2016 Tác giả luận văn Trần Bích Ngọc Danh mục kí hiệu thường dùng R Tập hợp số thực R+ Tập số thực không âm Rn Không gian vectơ Euclid n-chiều ∅ Tập rỗng AT Ma trận chuyển vị ma trận A Ξ(Rn ) Tập tất nón lồi đóng Rn ||x|| Chuẩn Euclid vectơ x x, y Tích vô hướng x y Sym(n) Tập tất ma trận đối xứng Rn [a, b] Tập hợp x ∈ R với a ≤ x ≤ b riK Phần tương đối K ∀x, ∃x Với x, tồn x x ∈ M, y ∈ /M Phần tử x thuộc M , phần tử y không thuộc M M ⊂N M tập N intD, clD Phần trong, bao đóng tập D infD, supD Cận D, cận D A ∩ B, M ∪ N Giao tập M N , hợp tập M N spanK Không gian căng tập K affS Tập affin nhỏ chứa S coneD Hình nón sinh tập D cardD Lực lượng tập D 0+ C Nón lùi xa C B(x, ) Hình cầu mở tâm x, bán kính specE Phổ ma trận đối xứng E Mục lục Danh mục kí hiệu thường dùng Mở đầu Kiến thức 1.1 Một số kiến thức đại số tuyến tính 1.2 Một số kiến thức giải tích lồi 11 1.3 Bài toán tối ưu có hạn chế 13 1.4 Tối ưu hàm toàn phương 14 1.4.1 Bài toán tối ưu hàm toàn phương với ràng buộc tuyến tính 14 1.4.2 Tối ưu hàm toàn phương lồi 16 1.4.3 Tối ưu hàm toàn phương mặt cầu 16 1.4.4 Tối ưu hàm toàn phương nón 17 Bài toán tối ưu hàm toàn phương giao nón với mặt cầu 18 2.1 Điều kiện cần tối ưu 18 2.2 Bài toán đối ngẫu 21 2.3 Nghiệm địa phương nghiệm toàn cục 25 2.4 Số giá trị cực tiểu địa phương 27 2.5 Một số vấn đề khác 35 2.5.1 Quy tắc hai từ ba (The two-out-of-three rule) 35 2.5.2 Tiền tích cực (Pre-activity) giảm bớt cực tiểu địa phương 43 2.5.3 Kết cụ thể nón đối ngẫu cực tiểu 52 2.5.4 Sự chặt chẽ ràng buộc nón 60 Kết luận 67 Tài liệu tham khảo 67 Mở đầu Lý chọn đề tài Giả sử không gian Euclid Rn trang bị tích vô hướng x, y = xT y chuẩn tương ứng Kí hiệu Sn = {x ∈ Rn : x = 1} hình cầu đơn vị Rn Ξ(Rn ) tập nón lồi đóng Rn Cho A ∈ Rn×n ma trận, b ∈ Rn vectơ, r > số thực Bài toán miền tin cậy (the trust - region subproblem) ứng với ba {A, b, r} toán tối ưu toàn phương hình cầu (xem [1]) f (x) := xT Ax + bT x : x n x = i=1 T r , x2i chuẩn Euclid vectơ x = (x1 , , xn )T ∈ Rn dấu chuyển vị Cho A ∈ Rn×n , D ∈ Rn×n ma trận cho, b ∈ Rn d ∈ Rm vectơ có số chiều tương ứng Bài toán tối ưu toàn phương với hạn chế tuyến tính (với tập hạn chế tập đa diện) toán tối ưu dạng (xem [2]) f (x) := xT Ax + bT x : Dx ≥ d Bài toán miền tin cậy toán tối ưu toàn phương với hạn chế đa diện nghiên cứu kĩ (xem, thí dụ, [1], [2], [5] tài liệu trích dẫn đó), nhiều câu hỏi mở Gần đây, Alberto Segger Mounir Torki viết hai báo, dài 28 trang, nghiên cứu toán tìm cực tiểu địa phương hàm toàn phương giao nón lồi mặt cầu, tức toán (xem [3], [4]) f (x) := xT Ax : x ∈ K ∩ Sn , (1) K nón lồi đóng Sn := {x ∈ Rn : x = 1} mặt cầu đơn vị Rn Ta nói x nghiệm địa phương toán (1) x ∈ K ∩ Sn , tồn lân cận N (x) x cho với x ∈ K ∩ Sn ∩ N (x) ta có f (x) ≤ f (x) Bài toán tối ưu phát biểu mô hình nhiều toán thực tế, xem, thí dụ, [3] Bài toán phát biểu nghiên cứu không gian Hilbert thay chuẩn Euclid chuẩn Frobenius x B = x, Bx , B ma trận xác định dương cho trước Bài báo [3] nghiên cứu chi tiết toán (1) Các kết báo liên quan soi sáng nhiều kết toán tối ưu hàm toàn phương, chắn phát triển nữa, thí dụ sử dụng cải tiến kết lý thuyết xây dựng dãy lặp tìm nghiệm [1], [2] [5] để giải toán (1) Đó lí để chọn đề tài Cực tiểu địa phương hàm toàn phương nón lồi làm đề tài luận văn cao học Mục đích nghiên cứu Mục đích Luận văn trình bày kết toán tìm cực tiểu địa phương hàm toàn phương giao nón lồi đóng với mặt cầu Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu trình bày kết toán tìm cực tiểu địa phương hàm toàn phương giao nón lồi đóng với mặt cầu Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Các toán tối ưu hàm toàn phương • Phạm vi nghiên cứu: Các toán tối ưu hàm toàn phương, đặc biệt toán tìm cực tiểu địa phương hàm toàn phương giao nón lồi đóng với mặt cầu Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp, phân tích, hệ thống kiến thức tài liệu toán tìm cực tiểu địa phương hàm toàn phương giao nón lồi đóng với mặt cầu Dự kiến đóng góp luận văn Luận văn trình bày cách có hệ thống toán tìm cực tiểu địa phương hàm toàn phương giao nón lồi đóng với mặt cầu x ∈ spanF Từ PF [F + ] ⊂ F + , suy x F -vectơ riêng AF Áp dụng Bổ đề 2.1 cho cặp (AF , F ), ta có x, Ax = x, AF x ≤ x, AF x = x, Ax Vậy mệnh đề hoàn toàn chứng minh Chú ý Trong Mệnh đề 2.8, thực chất không cần K phải đối ngẫu cực tiểu Chỉ cần yêu cầu mặt F (và thế, F ) có góc cực π đại nhỏ Quan sát hữu ích phải xử lí với nón lồi không đối ngẫu cực tiểu có mặt có số chiều lớn thỏa mãn góc hạn chế Một nhận xét tương tự áp dụng cho số kết lại mục Chú ý Mệnh đề 2.8 cung cấp đường thay Mệnh đề 2.3(b) Dưới trình bày đánh giá lực lượng σ(A, K) Hệ 2.5 Cho A ∈ Sym(n) Những mệnh đề sau đúng: (a) Nếu K ∈ Ξ(Rn ) đối ngẫu cực tiểu, mặt K sinh nhiều giá trị tới hạn (1) (b) Nếu K ∈ Ξ(Rn ) đa diện đối ngẫu cực tiểu, dimK card[σ(A, K)] ≤ fK (d) d=1 Các ràng buộc (b) tốt (16) tất nhiên yêu cầu tính đối xứng A đối ngẫu cực tiểu K Ta có định lý sau Định lý 2.7 ([3], Theorem 4) Cho A ∈ Sym(n) K ∈ Ξ(Rn ) đối ngẫu cực tiểu Cho x, x hai nghiệm địa phương khác (1) Nếu mặt tương ứng F, F "liên thông" theo nghĩa F ⊂F 54 F ⊂ F, (33) (a) x, Ax = x , Ax (b) x x vectơ riêng AF ∪F Nói riêng, số hạng chung (a) giá trị riêng bội AF ∪F Chứng minh Giả sử F ⊂ F Theo Định lý 2.1, x x K-vectơ riêng chuẩn hóa A Từ Mệnh đề 2.8 ta có bất đẳng thức x, Ax ≤ x , Ax Mặt khác Định lí 2.5 cho viết x , Ax = λmin (A, spanF ) = x∈spanF x, Ax (34) ||x||=1 Vì x ∈ ri(F ) F ⊂ F , ta thấy x ∈ spanF Vì thế, vectơ đơn vị x chấp nhận toán cực tiểu hóa (34) Điều chứng minh bất đẳng thức ngược lại x , Ax ≤ x, Ax Bây xét phần (b) Ta giả sử F ⊂ F F ∪ F = F Lấy λ biểu thị số hạng chung (a) Cực tiểu địa phương x ∈ ri(F ) AF x = λ x Tương tự chứng minh Mệnh đề 2.8, ta suy x F -vectơ riêng AF Áp dụng phần hai Bổ đề 2.1 với cặp (AF , F ), ta thu AF x = λ x Nói ngắn gọn, x x vectơ riêng AF tương ứng với giá trị riêng Giá trị riêng chung thiết phải nghiệm bội phương trình đặc trưng vectơ đơn vị x, x độc lập tuyến tính Các kết luận Định lý 2.7 vectơ xây dựng mặt nhỏ vectơ tới hạn Giả thiết cực tiểu địa phương quan trọng vectơ xây dựng theo mặt lớn Giả thiết liên thông (33) giả thiết cần thiết Định lý 2.7 55 Định nghĩa 2.2 Cho K ∈ Ξ(Rn ) đa diện F họ mặt khác rỗng K Ta nói rằng: (i) F cặp không liên thông hai mặt khác lấy từ F không liên thông (ii) F bắt (captures) K F ∈ F(K) liên thông với F ∈ F Một điều kiện ẩn định nghĩa 2.2(i) F tạo hai mặt Khi F hình thành mặt nhất, để thuận tiện, ta coi F không liên thông Mỗi nón đa diện K coi đồ thị hữu hạn GK có giao điểm mặt không tầm thường K Một cạnh nối hai đỉnh mặt tương ứng liên thông Ví dụ, đồ thị liên kết đến nón Pareto R3+ Hình 2.4 Sắc số đồ thị G hữu hạn số cực tiểu màu cần thiết để vẽ giao điểm G nên hai giao điểm kề có màu giống (xem trích dẫn [3]) Trong định nghĩa giới thiệu khái niệm đối ngẫu Định nghĩa 2.3 Sắc số bội đồ thị G hữu hạn số lớn màu mà sử dụng ta vẽ tất số giao điểm G cách hai giao điểm kề vẽ với màu giống nhau, trường hợp hai vẽ Sắc số bội nón đa diện K, kí hiệu ν(K), đơn giản sắc số bội đồ thị liên kết G(K) Có thể thấy ν(K) = max card[F] : F ∈ 2F∗ (K) cặp không liên thông (35) với 2S tập tập S Các số nguyên biểu diễn số cặp không liên thông nón đa diện K 56 Hình 2.4: Đồ thị liên kết nón Pareto R3+ Ta có hai bình luận định nghĩa ν(K) theo thứ tự: thứ nhất, họ F đạt cực đại (35) không cần thiết nhất; thứ hai, F đạt cực tiểu (35) F bắt (captures) K Mệnh đề 2.9 Cho K ∈ Ξ(Rn ) đa diện đối ngẫu cực tiểu Khi đó, với A ∈ Sym(n), ta có: card[σlocmin (A, K)] ≤ ν(K) Chứng minh Cho Flocmin (A, K) biểu thị tập tất mặt tích cực Nếu Flocmin (A, K) cặp không liên thông, card[σlocmin (A, K)] ≤ card[Flocmin (A, K)] ≤ ν(K), bất đẳng thức theo Hệ 2.5(a) Nếu Flocmin (A, K) không cặp không liên thông, bỏ từ Flocmin (A, K) mặt mà liên thông đến mặt khác Flocmin (A, K) Hoạt động lặp lại kết thúc với họ F ⊂ Flocmin (A, K) cặp không liên thông Theo Định lí 2.7(a), F Flocmin (A, K) cho giá trị cực tiểu địa phương Vì vậy, card[σlocmin (A, K)] ≤ card[F] ≤ ν(K) 57 Ví dụ 2.3 Xét nón K sinh tập hữu hạn g , , g p vectơ đơn vị R3 Giả sử số phần tử sinh phần tử tổ hợp tuyến tính dương phần tử khác Sắc số bội nón ν(K) = p Nếu g i , g j ≥ ∀i, j ∈ {1, , p} , K đối ngẫu cực tiểu (infra-dual) Mệnh đề 2.9 cho giới hạn card[σlocmin (A, K)] ≤ p với A ∈ Sym(3) Giới hạn tốt (22), điều hiển nhiên K đối ngẫu cực tiểu Hệ 2.6 Cho A ∈ Sym(n) K ∈ Ξ(Rn ) nón lồi đối ngẫu cực tiểu tạo p vectơ đơn vị độc lập tuyến tính Rn Khi đó, lực lượng σlocmin (A, K) không vượt p! νp = p p !(p − )!, 2 r phần nguyên r Bảng νn (36) n 2n − νn 15 với 2n − 31 10 20 1.0 × 106 1.8 × 105 30 1.1 × 109 1.6 × 108 40 1.1 × 1012 1.4 × 1011 Chứng minh Với giả thiết độc lập tuyến tính, đồ thị liên kết với K tương tự đồ thị liên kết với nón Pareto Rp+ Hệ suy từ Mệnh đề 2.9 thực tế νp sắc số bội Rp+ Chú ý (36) tương ứng với lực lượng F ≡ mặt p − chiều Rp+ , 58 đạt cực đại định nghĩa ν(Rp+ ) Hệ 2.6 áp dụng trường hợp riêng với p = n, ta nói K nón đơn hình Rn Đối với số chiều lớn n ta có √ n thể sử dụng công thức xấp xỉ Stirling n! ≈ 2πn( )n để nhận e 2n √ π n νn ≈ Mặc dù νn tăng chậm 2n , thừa số giảm √ n không đủ lớn nên νn tăng theo tốc độ mũ 2n Kết đặc biệt thú vị mặt có số chiều nhỏ ngược lại số chiều gần dimK Hệ 2.7 Cho A ∈ Sym(n) K ∈ Ξ(Rn ) nón lồi đối ngẫu cực tiểu sinh p vectơ đơn vị độc lập tuyến tính Rn Nếu toán biến phân (1) nhận mặt tiền tích cực có số chiều d ∈ {1, , p}, card[σlocmin (A, K)] ≤ 2p − 2d − 2p−d + Chứng minh Cho F mặt tích cực Vì F d-chiều, nên 2d − = số mặt không tầm thường chứa F , 2p−d − = số mặt hoàn toàn chứa F Ở mặt (2d −2)+(2p−d −1) liên thông với F Nếu mặt cụ thể nhóm tích cực, F cho giá trị cực tiểu địa phương Vì vậy, nói đến đánh giá lực lượng σlocmin (A, K), loại bỏ phần dư giữ lại 2p − − [(2d − 2) + (2p−d − 1)] = 2p − 2d − 2p−d + mặt tất 59 2.5.4 Sự chặt chẽ ràng buộc nón Các điều kiện đủ với tối ưu địa phương toán tối ưu ràng buộc nón thường gọi giả thiết gọi bổ sung chặt chẽ Câu hỏi giải mục là: Dưới giả thiết nên ta suy luận K–vectơ riêng chuẩn hóa A nghiệm địa phương toán tối ưu (1)? Để trả lời câu hỏi ta cần phân biệt hai khả khác Đầu tiên đơn giản khả xảy K–vectơ riêng chuẩn hóa, kí hiệu x, x ∈ riK Trong trường hợp này, Theo Định lí 2.4 Chú ý ta có: x nghiệm địa phương (1) ⇐⇒ x, Ax = λmin (A, spanK) ⇐⇒ x nghiệm toàn cục (1) Khả thứ hai K–vectơ riêng vectơ đơn vị nằm biên tương đối K Xét qua hệ tắc sau ∆K : F(K) → F(K + ) F → ∆K (F ) = [spanF ]⊥ ∩ K + (37) mặt K K + Bổ đề 2.2 Nếu K ∈ Ξ(Rn ) đa diện, span[∆K (F )] = [spanF ]⊥ với F ∈ F(K) Chứng minh Nhận xét ∆K (F ) = (K + spanF )+ Vì K đa diện nên bao đóng K + spanF Dễ dàng kiểm tra K + spanF = TK (x) ∀x ∈ ri(F ), (38) TK (x) = R+ (K − x) Mặt khác, ta có TK (x) ∩ −TK (x) = spanF 60 ∀x ∈ ri(F ) (39) Chúng ta chứng minh TK (x) ∩ −TK (x) ⊂ spanF , kết luận ngược lại tầm thường Lấy vectơ h khác không TK (x) ∩ −TK (x), h = α1 (u1 − x) −h = α2 (u2 − x) với α1 , α2 > u1 , u2 ∈ K Điều đưa cụ thể α1 u1 + α1 + α2 x= α2 u2 α1 + α2 Khi F mặt K, suy u1 , u2 ∈ F Vì thế, h ∈ spanF Cuối cùng, việc kết hợp (38) (39), ta thu được: span[∆K (F )] = (K + spanF )+ − (K + spanF )+ = (TK (x))+ − (TK (x))+ = [TK (x) ∩ −TK (x)]⊥ = [spanF ]⊥ Bổ đề chứng minh hoàn toàn Với x ∈ K ∩ Sn K-vectơ riêng A biểu diễn dạng Ax − x, Ax x ∈ ∆K (F ) (40) với F mặt tương ứng với x Từ giả thiết suy Ax − x, Ax x thuộc phần tương đối ∆K (F ) Những cần thêm vào (40) để kết luận x nghiệm địa phương (1)? Định lý trả lời câu hỏi kích thước hình cầu Bn (x, r) = {u ∈ Rn : ||u − x|| ≤ r} quanh x mà cực tiểu địa phương tồn 61 Định lý 2.8 Giả sử A ∈ Sym(n) không bội ma trận đồng nhất, mà K ∈ Ξ(Rn ) đa diện x vectơ đơn vị K tương ứng với mặt F mà không trùng với K Dưới giả thiết sau đây: (i) Ax − x, Ax x ∈ ri[∆K (F )], (ii) x, Ax = λmin (A, spanF ), ta suy x nghiệm địa phương (1) Chính xác x, Ax ≤ x, Ax ∀x ∈ K ∩ Sn ∩ Bn (x, r) Ở bán kính r cho r= 2γ 4α2 + β , (41) γ= v∈[spanF ]⊥ ∩[∆K (F )]+ Ax − x, Ax x, v (42) ||v||=1 số thực dương đo “bậc chặt chẽ” x, α = max ||(A − x, Ax I)h||, h∈spanF (43) ||h||=1 β= max h∈[spanF ]⊥ ||(A − x, Ax I)h||, (44) ||h||=1 chuẩn toán tử hạn chế A− x, Ax I không gian tuyến tính spanF [spanF ]⊥ tương ứng Chứng minh Vì F khác K, ta có ∆K (F ) = {0} Theo Bổ đề 2.2, hệ tính đa diện K giả thiết chặt chẽ (i) tương đương điều kiện phần Ax − x, Ax x ∈ int[spanF ]⊥ [∆K (F )] (45) với int[spanF ]⊥ [∆K (F )] phần ∆K (F ) [spanF ]⊥ Để thuận tiện ta giới thiệu kí hiệu L = spanF, M = [spanF ]⊥ , λ = x, Ax , 62 Ax = A − x, Ax I Xét vectơ x ∈ K ∩ Sn ∩ Br (x, r) khác với x Ta viết x − x = d = dL + dM với dL dM biểu thị ảnh d qua phép chiếu trực giao tương ứng lên L M Nếu dM = x nằm spanF theo giả thiết (ii), ta có λ = λmin (A, spanF ) ≤ x, Ax Vì vậy, không tính tổng quát giả sử dM = Ta có x, Ax = x, Ax + Ax, d + d, Ad = λ + Ax, dL + Ax, dM + d, Ad (46) Nhưng Ax, dL = Ax − λx, dL + λ x, dL = λ x, dL = λ x, d (47) inM Thay (47) vào (46) ta x, Ax = λ + 2λ x, d + Ax, dM + d, Ad = λ||x + d||2 + Ax, dM + d, (A − λI)d = λ + Ax, dM + d, Ax d Ta kiểm tra riêng số hạng Ax, dM d, Ax d Ta chứng minh tổng chúng không âm Đầu tiên chứng minh dM ∈ M ∩ [∆K (F )]+ Để thấy dM ∈ [∆K (F )]+ , lấy ω ∈ ∆K (F ) = M ∩ K + viết ω, dM = ω, d − dL = ω, d = ω, x − ω, x = ω, x ≥ Vì thế, Ax, dM = Ax − λx, dM ≥ γ||dM || 63 (48) với γ định nghĩa (42) Ta khẳng định γ > Ta xem ∆K (F ) M ∩ [∆K (F )]+ nón đối ngẫu tương hỗ không gian Hillbert (M, ·, · ) Chú ý Ax − λx thuộc phần ∆K (F ) (tương không gian M ) Đặc biệt, Ax − λx = Ax − λx, v > với vectơ đơn vị v M ∩ [∆K (F )]+ Do tính compact, cận (42) đạt γ > Cuối cùng, ta kiểm tra số hạng d, Ax d = dL , Ax dL + dM , Ax dL + dM , Ax dM Như hệ giả thiết (ii), ma trận Ax xác định không âm không gian L, nghĩa dL , Ax dL ≥ Nói cách khác, |2 dM , Ax dL + dM , Ax dM | ≤ 2| dM , Ax dL | + | dM , Ax dM | ≤ (2||Ax dL || + ||Ax dM ||)||dM || ≤ (2α||dL || + β||dM ||)||dM || ≤ ( 4α2 + β ||d||)||dM || ≤ 2γ||dM || (49) Kết hợp (48) (49) cho ta Ax, dM + d, Ax d ≥ hoàn thành chứng minh Chú ý Định lí 2.8 phát biểu cho nón đa diện ta phải xét (45) định nghĩa chặt chẽ Ta quan tâm trường hợp đa diện giả thiết phần (45) có thay đổi nhỏ thực giới hạn K có vài dạng “uốn cong” Cách tốt để hiểu điểm xét nón Lorentz K = x ∈ Rn : xn ≥ [x21 + · · · + x2n−q ] 64 (50) nguyên mẫu nón lồi không đa diện Nón tự đối ngẫu Ngoại trừ {0} thân nón K, mặt F khác (50) chiều Chú ý ∆K (F ) nửa đường thẳng có phần tương đối rỗng siêu phẳng [spanF ]⊥ Điều kiện chặt đưa Định lý 2.8 mang tính kỹ thuật cao khó kiểm chứng thực tế Tuy nhiên, luôn Ví dụ, trường hợp minimize = x, Ax (51) x≥0,||x||=1 điều kiện chặt chẽ đưa dạng đơn giản hệ số chặt chẽ γ dễ dàng tính toán Ràng buộc x ≥ (51) biểu diễn thực tế thành phần vectơ x không âm Hệ tổng kết biết trường hợp Hệ 2.8 đạt kết hợp Định lý 2.1 Định lý 2.8 Xét tập số J ⊂ {1, , n} khác rỗng, kí hiệu AJ thay cho ma trận A có dạng hàng cột A xếp theo J Hệ 2.8 Cho A ∈ Sym(n) Để x ∈ Rn nghiệm địa phương toán biến phân (51), cần thiết (tương ứng đủ)   zj , j ∈ J; xj =  0, j ∈ /J (52) với số tập số J ⊂ {1, , n} khác rỗng vectơ đơn vị z ∈ RcardJ thỏa mãn toán giá trị riêng Perron AJ z = λ1 (AJ )z, zj > ∀j ∈ J (53) Aij zj ≥ ∀i ∈ /J j∈J 65 (54) (tương ứng, Aij zj > ∀i ∈ / J) (55) j∈J Ngoài ra, giá trị cực tiểu địa phương tương ứng cho x, Ax = z, AJ z = λ1 (AJ ) Chứng minh Cho {e1 , , en } sở tắc không gian Rn Tập số J đồng với mặt F = cone {ej : j ∈ J} nón Pareto n-chiều Như vậy, ta thấy (52) tương ứng phương trình chuyển (28), toán giá trị riêng Perron (53) tiền tích cực, (54) phần điều kiện tới hạn (2) Điều dẫn tới điều kiện cần tối ưu địa phương Để chứng minh điều kiện đủ, ta nhận xét (55) tương ứng điều kiện chặt chẽ đưa Định lý 2.8 Chú ý Nếu J = {1, , n}, (55) kéo theo nghiệm toàn cục Trường hợp đáng quan tâm xảy J = {1, , n} Trong trường hợp này, hệ số chặt chẽ (42) biểu diễn dạng γ = i∈J / Aij zj = min(Ax)i i∈J / j∈J Các chuẩn toán tử (43) (44) dễ dàng tính toán Vì thế, đánh giá bán kính (41) hình cầu chứa cực tiểu địa phương 66 Kết luận Cơ dựa báo [3] dài 28 trang có tham khảo thêm báo [4] dài 27 trang, luận văn trình bày cách có hệ thống toán tìm cực tiểu địa phương hàm toàn phương tập hạn chế giao nón lồi với hình cầu Các chứng minh Định lí, Hệ Mệnh đề chi tiết hóa giải thích rõ ràng, đầy đủ nhiều so với [3] Các ví dụ tính toán chi tiết tường minh Ngoài ra, đôi chỗ, bổ sung thêm số lời bình làm sáng tỏ ý nghĩa Định lý Hy vọng luận văn tài liệu tham khảo bổ ích cho muốn tìm hiểu vấn đề Tài liệu tham khảo [1] A R Conn, N I M Gould, and P L Toint (2000) Trust-Region Methods, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadenlphia [2] G M Lee, N N Tam, N D Yen (2005), Quadratic Programming and Affine Variational Inequalities: A Qualitative Study, in Serie Nonconvex Optimization and Its Applications, Vol 78, Springer Verlag, New York [3] Alberto Seeger, Mounir Torki (2009), Local minima of quadratic form on convex cones, J Glob Optim, 44:1-28 [4] Alberto Seeger, Mounir Torki (2003), On eigenvalues induced by a cone constraint, Linear Algebra Appl, 372:181-206 [5] Hoang Ngoc Tuan (2015) DC Algorithms and Applications in Nonconvex Quadratic Programming (Ph D Thesis), Hanoi Institute of Mathematics [...]... bài toán tối ưu hàm toàn phương trên nón 17 Chương 2 Bài toán tối ưu hàm toàn phương trên giao của nón với mặt cầu Dựa chủ yếu theo tài liệu [3] và [4], có tham khảo thêm một số tài liệu khác, Chương 2 trình bày bài toán tối ưu toàn phương trên giao của nón với mặt cầu 2.1 Điều kiện cần tối ưu Xét bài toán tìm cực tiểu địa phương hàm toàn phương trên nón, tức là bài toán tìm nghiệm địa phương của bài... có thể xem trong [2], trang 46-52 1.4.2 Tối ưu hàm toàn phương lồi Bài toán tối ưu hàm toàn phương (P ) min{f (x) : x ∈ ∆}, trong đó f là hàm toàn phương với tập hạn chế ∆ = {x : x ∈ Rn , Ax ≥ b}, là tập đa diện Nếu f là lồi thì (P) được gọi là bài toán tối ưu hàm toàn phương lồi 1.4.3 Tối ưu hàm toàn phương trên mặt cầu Bài toán tối ưu hàm toàn phương trên mặt cầu là bài toán min f (x) : ||x||2 = r2... thực dương 16 1.4.4 Tối ưu hàm toàn phương trên nón Bài toán tối ưu hàm toàn phương trên nón giao với mặt cầu là bài toán 1 min f (x) := xT Ax : x ∈ K ∩ Sn , 2 trong đó A ∈ Rn×n là ma trận đối xứng, K là một nón lồi đóng và Sn := {x ∈ Rn : ||x|| = 1} là mặt cầu đơn vị trong Rn Trong luận văn này, để ngắn gọn, ta gọi bài toán trên là bài toán tối ưu hàm toàn phương trên nón Nội dung của chương sau... là tập các nón lồi đóng trên Rn Định nghĩa 1.11 Nón đa diện Nếu một nón là tập đa diện thì ta nói nón đó là nón đa diện Định nghĩa 1.12 Nón nhọn Nón C ∈ Rn được gọi là nón nhọn nếu lC := C ∩ −C = {0} Định nghĩa 1.13 Ma trận đối xứng E được gọi là K- đồng dương (đồng dương trên nón K) nếu u, Eu ≥ 0 với mọi u ∈ K Kí hiệu: PK là tập tất cả các ma trận đồng dương trên nón K Nhận xét: PK là nón lồi đóng... của giải tích lồi Định nghĩa 1.7 Tập lồi Một tập K ⊆ Rn được gọi là một tập lồi, nếu K chứa một đoạn thẳng đi qua hai điểm bất kì của nó, tức là K lồi khi và chỉ khi ∀ x, y ∈ K, ∀ λ ∈ [0; 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ K Định nghĩa 1.8 Nón Một tập K ⊂ Rn được gọi là nón nếu ∀ x ∈ K và ∀ λ ≥ 0 ta có λx ∈ K Định nghĩa 1.9 Nón lồi Một nón được gọi là nón lồi nếu nón đó là một tập lồi Một tập K là nón lồi khi và chỉ... ma trận đối xứng E 2.4 Số giá trị cực tiểu địa phương Mục này trình bày các đánh giá số giá trị cực tiểu địa phương của Bài toán (1) khi K ∈ Ξ(Rn ) là nón đa diện, tương ứng với các trang 7-11 của [3] Trong phần này chúng ta quan tâm tới việc đánh giá số phần tử của σlocmin (A, K) với giả thiết rằng K là nón lồi đa diện trong Rn Một nón lồi đóng K được gọi là một nón đa diện nên nó có thể biểu diễn... chất trên của ψ chứng tỏ bài toán đối ngẫu (5) β(A, K) = sup{λ ∈ R : A − λI ∈ PK } nhận λ = λmin (A, K) là nghiệm toàn cục duy nhất và β(A, K) = λmin (A, K) Cuối cùng, nếu x là nghiệm toàn cục của (1) thì cặp (x, λmin (A, K)) là điểm yên ngựa của L trên K × R 2.3 Nghiệm địa phương và nghiệm toàn cục Thực chất khó khăn khi giải bài toán (1) là do cấu trúc của nón Với một số nón K cụ thể, nghiệm địa phương. .. giả sử C là một nón lồi Do C là một nón nên ta có (i) Do 1 C là một tập lồi nên ∀x, y ∈ C thì (x + y) ∈ C Vậy theo (i) ta có 2 x + y ∈ C Ngược lại, giả sử rằng có (i) và (ii) Từ (i) suy ra ngay C là một nón 11 Giả sử x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1] Từ (i) suy ra λx ∈ C và (1 − λ)y ∈ C Theo (ii) ta có λx + (1 − λ)y ∈ C Vậy C là một nón lồi Định nghĩa 1.10 Nón đóng Một nón được gọi là nón đóng nếu nón đó là một... phương Định nghĩa 1.17 Hàm toàn phương Hàm f : Rn → R gọi là hàm toàn phương nếu có dạng 1 1 f (x) = xT Ax + bT x + α = x, Ax + b, x + α 2 2 n n n 1 aij xi xj + bi xi + α, = 2 i=1 j=1 i=1 trong đó A là ma trận cấp n × n, b là một vectơ n chiều, α là một số Vì 1 xT Ax = xT (A + AT )x, ∀x ∈ Rn 2 nên ta có thể giả thiết ma trận A là ma trận đối xứng (A = AT ) 1.4.1 Bài toán tối ưu hàm toàn phương với ràng buộc... nghiệm địa phương của (1) và F là mặt tương ứng của nó Khi đó, x, Ax = λmin (A, spanF ) = λ1 (VFT AVF ) (8) với VF là ma trận bất kì kích thước n × dimF có các cột tạo thành cơ sở trực chuẩn của spanF Chứng minh Vì x là nghiệm địa phương của (1), tức là minimize = x, Ax x∈F ∩Sn Nếu coi dạng toàn phương qA như một hàm trên không gian tuyến tính được căng bởi F , khi đó theo Định lý 2.4, trong đó nón lồi