TRI Hẩ HNG VNG LN TH XII THI MễN TOAN TRNG THPT CHUYấN H LONG TNH QUANG NINH LP 10 THI ẩ XUT ( ny cú 01 trang, gm cõu) Cõu ( iờm) xy y y + = ( x y ) a) Gii h phng trỡnh: 3x 2x + y = b) Gii phng trỡnh sau trờn s thc x + + 2 x + = ( x 1)( x ) Cõu (3 iờm) Cho a,b,c l cỏc s thc dng Chng minh rng: a ab + b + b bc + c + c ca + a Cõu ( iờm ) Cho tam giỏc ABC khụng cõn ni tip ng trũn (O) B l im i xng vi B qua AC BM l trung tuyn ca tam giỏc ABC, BM ct (O) ti N Ly K cho AKCN l hỡnh bỡnh hnh HM ct (O) ti D Gi H l trc tõm ca tam giỏc ABC Chng minh rng a, BD, HK, AC ng quy b, KB ct AC ti P ng trũn ngoi tip tam giỏc BPC giao AB ti X khỏc B ng trũn ngoi tip tam giỏc ABP giao vi BC ti Y khỏc B Chng minh ng trũn (BXY) i qua im K Cõu (4 iờm) Tỡm p nguyờn t tha p + p | p + p Cõu (3 iờm) Cho 81 s nguyờn dng phõn bit cho cỏc c nguyờn t ca chỳng thuc {2,3,5} Chng minh rng tn ti s 81 s trờn m tớch ca chỳng l ly tha bc ca s nguyờn no ú HT Ngi Pham Vn Ninh 0977245380 ng Thu Hng 01634029724 HNG DN CHM MễN: Toỏn LP: 10 Cõ u Ni dung a) iờm 1,0 im + K: x ; y + Bin i (1) c: ( xy y ) + xy y + = ( x + y ) ( ) 2 xy y + = ( x + y ) y = x + Th vo (2) ta c: 2x + x = 3x 1,0 p dng BT Cauchy ta c: 2x = x3 = Suy ( x ) ( x 3) 2x + x 2x + 2x = 2 x +1 x = 2 3x Du ' = ' xy v ch x = Vy nghim ( x; y ) cn tỡm l ( 4;2 ) b) im 1,0 iu kin: x Nhn thy x = l mt nghim ca phng trỡnh Xột x > Khi ú phng trỡnh ó cho tng ng vi ( ) ( x +1 + ) x + = x x x 12 4( x 3) 4( x 3) + = ( x 3)( x + x + 4) x +1 + 2x + + 4 ( x 3) + ( x + 1)2 ữ = (1) 2x + + x +1 + 4 + < 3, vỡ vy Vỡ x > nờn x + > v x + > Suy x +1 + 2x + + 4 + ( x + 1)2 < x +1 + 2x + + Do ú phng trỡnh (1) x = x = Vy phng trỡnh ó cho cú nghim l x = hoc a b a b c + + = b + c + Ta cú 2 a b ab + b bc + c ca + a +1 +1 b c x = c a c +1 a 1,0 ổa b cử ữ ỗ ữ ỗ ỗ b + c + aữ ữ ữ ỗ ố ứ (Bunhiacopski) a b c +1+ +1+ +1 b c a t x = Ta cú 1,0 a b c , y = , z = ị xyz = b c a ổa b cữ ỗ ữ ỗ + + ữ ỗ ữ ỗ b c a ữ ố ứ a b c +1+ +1 + +1 b c a = ( x + y + z) + 2( xy + yz + 3( x + y + z + 3) ( x+ y+ z ) x +1+ y +1+ z +1 zx ) x +y +z +6 3( x + y + z + 3) Suy S +3 ( S = x + y + z + 6) 3S ab + b bc + c ca + a S ổ S 3ữ 3 ỗ ữ = +ỗ + + = Ta cú S + ữ ỗ ữ 2 ữ ỗ S S 2 ố ứ a Suy b + S +3 3S + c 1,0 Bt ng thc c chng minh Du bng xy a = b = c a) dim 1,0 ã K BO ct (O) ti B D chng minh c H, M , B thng hng Suy BDH = 900 Cú ãAKC = ãANC = 1800 ãABC = ãAHC Suy A, H, K , C ni tip mt ng trũn, gi l (I) ã ã ã ã ã Ta li cú BKH = 1800 HKC + NKC = HAC + BNA = 900 Suy K thuc ng trũn ng kớnh BH, gi l (J) 1,0 Xột ng trũn (O), (I), (J) cú trc ng phng l AC, BD, HK Vy ta cú iu phi 1,0 chng minh.(do tam giỏc ABC khụng cõn) b, im Gi AY I CX = {K} Ta i chng minh K K 1,0 ã ã ã ã Ta cú BXC Suy K thuc (BXY) = BPC = 1800 BPA = 1800 BYA ã ã Li cú YKC dn n K thuc (YPC) = ãABC = YPC 1,0 ã ã ã Cú KPC = KYB = BPA = ãAPB ' suy K , P, B thng hng ã ã Hn na ãAK ' C = ãXK ' Y = 1800 ABC = AHC K ' ( AHC ) 1,0 T ú ta cú K K V cú iu phi chng minh 1,0 Gi s tn ti p nguyờn t tha p + p | p + p p + p ( mod n ) p p ( mod n ) t n = + p , suy p + p ( mod n ) D thy n > Gi q l c nguyờn t bt k ca n p 1,0 p p Suy ( mod q ) D thy q 2, q Suy gcd ( 2, q ) = Do ú theo tớnh cht h thng d y , tn ti x  cho x 1( mod q ) ( x ) 1( mod q ) p 1,0 t h = ord q ( 3x ) , suy h | p h = 1, h = p + Nu h = 3x 1( mod q ) ( 3x ) ( x ) ( mod q ) ( mod q ) (vụ lý) q Vy h = p Theo nh lý Fecma cú ( 3x ) 1( mod q ) h | q 1,0 Hay q 1( mod p ) Do ú ta cú n = qi 1( mod p ) i p Li cú n = + p ( mod p ) Suy ( mod p ) (vụ lý) Vy khụng tn ti p nguyờn t tha p + p | p + p Ta cú mi s nguyờn dng ca bi cú th biu din di dng ì3 ì5 Xột ng d i i i 1,0 i , i , i modulo Ta cú mi i , i , i cú th cú s d khỏc modulo 2, ú cú th cú ì2 ì2 = dng khỏc ca cỏc ly tha ny 81 > Theo nguyờn lý Dirichle, cú s cú cựng dng s m, vỡ Ta xột tớch ca s ny a1 v t tớch ú l xúa s trờn i Ta tip tc lm nh vy thu c tng t cho 1,0 81 = 36 n ch cũn dng khỏc Khi ú ta thu c b nh vy Ta thy cỏc s - l s t nhiờn vỡ l s chớnh phng ( V ta li thy s m ca 1,0 cỏc s cú cựng dng s m theo modulo Theo nguyờn lý Dirichle, cú s am v an 36 > tha cỏc thnh phn ca chỳng cú cựng s d modulo ca s m, vỡ am an Xột tớch ca v v ta c ly tha bc 4, vỡ chỳng cựng l s chớnh phng v cựng d modulo ca s m,pcm Chỳ ý chm: Hng dn chm ny ch trỡnh by s lc bi gii Bi lm ca hc sinh phi chi tit, lp lun cht ch, tớnh toỏn chớnh xỏc mi c im ti a Cỏc cỏch gii khỏc nu ỳng cho im T chm trao i v thng nht chi tit nhng khụng c quỏ s im dnh cho cõu, phn ú Mi phỏt sinh quỏ trỡnh chm phi c trao i thng nht t chm v ghi vo biờn bn TRNG THPT CHUYấN H LONG Ht