TUYỂN TẬP ĐỀ THI ĐỀ XUẤT TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII NĂM 2016 MÔN TOÁN KHỐI 10 Có đáp án chi tiết

76 1.3K 1
TUYỂN TẬP ĐỀ THI ĐỀ XUẤT TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII NĂM 2016 MÔN TOÁN KHỐI 10 Có đáp án chi tiết

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

B GIO DC V O TO & TUYN TP THI XUT TRI Hẩ HNG VNG LN TH XII NM 2016 MễN TON KHI 10 Cú ỏp ỏn chi tit 2016 DANH MC: : thi ( xut) Tri hố Hựng Vng ln th XII nm 2016 toỏn 10 chuyờn H Giang 2: thi ( xut) Tri hố Hựng Vng ln th XII nm 2016 toỏn 10 chuyờn H Long 3: thi ( xut) Tri hố Hựng Vng ln th XII nm 2016 toỏn 10 chuyờn Hựng Vng Phỳ th 4: thi ( xut) Tri hố Hựng Vng ln th XII nm 2016 toỏn 10 chuyờn Lo Cai 5: thi ( xut) Tri hố Hựng Vng ln th XII nm 2016 toỏn 10 chuyờn Sn La 6: thi ( xut) Tri hố Hựng Vng ln th XII nm 2016 toỏn 10 chuyờn Thỏi NGuyờn 7: thi ( xut) Tri hố Hựng Vng ln th XII nm 2016 toỏn 10 chuyờn tuyờn quang 8: thi ( xut) Tri hố Hựng Vng ln th XII nm 2016 toỏn 10 chu an lng sn 9: thi ( xut) Tri hố Hựng Vng ln th XII nm 2016 toỏn 10 chuyờn vnh phỳc 10: thi ( xut) Tri hố Hựng Vng ln th XII nm 2016 toỏn 10 hong th hũa bỡnh 11: thi ( xut) Tri hố Hựng Vng ln th XII nm 2016 toỏn 10 Lờ Hng phong Nam nh 12: thi ( xut) Tri hố Hựng Vng ln th XII nm 2016 toỏn 10 Chuyờn Lờ Quý ụn in Biờn 13: thi ( xut) Tri hố Hựng Vng ln th XII nm 2016 toỏn 10 Lờ Quý ụn Lai Chõu 14: thi ( xut) Tri hố Hựng Vng ln th XII nm 2016 NGuyn Tt Thnh Yờn Bỏi 15: Toỏn 10 vựng cao Vit Bc TRI Hẩ HNG VNG LN TH XII THI MễN TON TRNG THPT CHUYấN TNH H GIANG THI ẩ XUT Cõu (04 im): Gii h phng trỡnh LP 10 ( ny cú 01 trang, gm 05 cõu) x + xy + x y y = y + y x + y = x Cõu (04 im): Cho tam giỏc ABC ( AB > AC ) cỏc ng cao BB v CC ct tai H Gi M , N ln lt l trung im ca cnh AB, AC v O l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc AH ct BC E , AO ct MN F Chng minh EF / /OH Cõu (04 im): Cho a, b, c l cỏc s thc tha ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) Chng minh rng: 2 4abc a b c a b c + + ữ + ữ + ữ + a + b b + c c + a ( a + b) ( b + c) ( c + a) a + b b + c c + a Cõu (04 im): Cho a giỏc u (H) cú 14 nh Chng minh rng nh bt kỡ ca (H) luụn cú nh l cỏc nh ca mt hỡnh thang Cõu (04 im): Gi x1 , x2 l nghim ca phng trỡnh x x + = Vi mi s nguyờn n, t S n = x1n + x2n , chng minh rng S n l mt s nguyờn khụng chia ht cho .HT Ngi T Toỏn-Tin HNG DN CHM MễN: TON- LP10 Lu ý: Cỏc cỏch gii khỏc hng dn chm, nu ỳng cho im ti a theo thang im ó nh Cõ u Ni dung x + xy + x y y = y + 4(1) y x + y = x 1(2) xy + x y y k: y x y Ta cú (1) x y + ( x y ) ( y + 1) 4( y + 1) = x y x y +3 = ( y + > 0) y +1 y +1 x y =1 y +1 i m 1,00 T ú cú x = y + , thay vo (2) ta c : y y + y = y y y ( y 1) + ( y 2) y2 y + y + ( 1,00 y2 =0 y +1 ( y 2) + y y + y y = ( vỡ ) y 1 = ữ= y +1 ữ y2 y + y + Vi y = thỡ x = (Tha K) Vy nghim (x;y) ca h PT l ( 5; ) 1,00 > 0y ) y +1 1,00 A I J M T K N F O E C' B' H B C T gi thit cú MN / / BC v t giỏc BCBC ni tip T ú suy t giỏc BC MN ni tip Gi T l giao im ca BC v MN ; I , J theo th t l trung im ca AO v AH Do t giỏc BC MN ni tip nờn suy TM TN = TC .TB Do ú AT l trc ng phng ca hai ng trũn ngoi tip t giỏc AMON v ABHC T ú : TA IJ (1) D thy OA BC (2) ã ã BH ( t giỏc ABHC ni tip) ; ãAMN = ãABC ( t Ta cú MAK =C giỏc BC MN ni tip) M Cã BA + Cã BB = 900 T ú suy ã ã KMA + KAM = 900 hay TF AE (3) T (2) v (3) suy F l trc tõm ca tam giỏc TAE Do vy EF TA (4) T (1) v (4) suy IJ / / EF , m I J l ng trung bỡnh ca tam giỏc AOH nờn OH // I J Do ú E F // OH 1,00 1,00 1,00 1,00 a b c ,y= ,z = a+b b+c c+a ( x ) ( y ) ( z ) = xyz t x = + xy + yz + zx = xyz + x + y + z 1,00 + ( x + y + z ) = xyz + ( x + y + z ) + x + y + z 2 1 xyz + ( x + y + z ) + x + y + z = ( x + y + z ) + x + y + z 4 1,00 1 xyz + ( x + y + z ) + x + y + z = ( x + y + z ) + ( x + y + z ) 4 x + y + z + xyz x + y + z a b 1,00 c 1,00 4abc a b c + + Vy ữ + ữ + ữ + a + b b + c c + a ( a + b) ( b + c) ( c + a) a + b b + c c + a Ta luụn chng minh c : Nu AB v CD l hai dõy cung bng 1,00 ca ng trũn tõm (O) thỡ A, B, C, D l nh ca mt hỡnh thang Gi A1 A2 A14 l a giỏc u 14 nh ni tip ng trũn (O) Suy cỏc ng chộo qua tõm ca a giỏc l A1 A8 , A2 A9 , , A7 A14 ( ta gi tm 1,00 l ng chộo chớnh) Cỏc ng chộo ca a giỏc xut phỏt t A1 v i xng qua A1 A8 thỡ bng Nh vy chỳng ch cú di bng Xột tng t cho cỏc ng chộo chớnh cũn li Do A1 A2 A14 l a giỏc u v t cỏc nhn xột trờn suy cỏc ng chộo cũn li khụng phi 1,00 ng chộo chớnh ca a giỏc u ny ch cú di ụi mt khỏc Vi im bt kỡ, khụng cú im no thng hng (l nh ca a giỏc u), cú (6.5) : = 15 on thng ni chỳng li vi nhau, 1,00 ú cú khụng quỏ on thng l cnh Do vy cú ớt nht 10 on thng l ng chộo M cỏc ng chộo ch cú di khỏc nờn tn ti ng chộo bng l dõy cung ca ng trũn ngoi tip a giỏc u v ú t nh thuc hai ng chộo ny s cho ta mt hỡnh thang Hin nhiờn x1 , x2 khỏc khụng v x1 + x2 = 6, x1 x2 = 1,00 Vi n l s nguyờn, ta cú cỏc trng hp sau: + n = 0, S = thuc Z v khụng chia ht cho + Vi n > , Ta cú: S1 = 6, S = x12 + x22 = 34 l cỏc s nguyờn v khụng chia ht cho Gi s S , S1 , S , , S n1 Z v khụng chia ht cho 5, vi n , ta chng minh S n l s nguyờn v khụng chia ht cho Ta cú: 1,00 n Sn = x + x = x + x + x x n n n 1 = x1 ( x +x n n n n 1 ) + x2 ( x n 1 +xx +x n n x x n2 ) x1 x2 ( x n 1 xx + x2n2 ) = ( x1 + x2 )( x1n + x2n ) x1 x2 ( x1n2 + x2n2 ) = 6( x1n1 + x2n1 ) ( x1n2 + x2n2 ) T ú suy ra: S n = 6S n1 S n2 = 6(6S n2 S n3 ) S n2 = 35S n2 6S n3 Do S n2 , S n3 l cỏc s nguyờn nờn S n cng l s nguyờn Hn na, 35S n2 chia ht cho v S n3 khụng chia ht cho nờn S n khụng chia ht cho 1,00 + Vi n < , t n = m vi m l s nguyờn dng Khi ú: S n = x1n + x2n = x1m + x2m = x1m + x2m x1m + x2m 1 + = = = xm + xm x1m x2m x1m x2m ( x1 x2 ) m 1,00 Vi m l s nguyờn dng, tng t nh chng minh trờn x1m + x2m l s nguyờn v khụng chia ht cho Hay S n l s nguyờn v khụng chia ht cho Kt lun: S n l s nguyờn v khụng chia ht cho TRI Hẩ HNG VNG LN TH XII THI MễN TON TRNG THPT CHUYấN H LONG TNH QUANG NINH THI ẩ XUT cõu) LP 10 ( ny cú 01 trang, gm Cõu ( iờm) xy y y + = ( x y ) Gii h phng trỡnh: 3x a) 2x + y = Gii phng trỡnh sau trờn s thc x + + 2 x + = ( x 1)( x ) b) Cõu (3 iờm) Cho a,b,c l cỏc s thc dng Chng minh rng: a ab + b + b bc + c + c ca + a Cõu ( iờm ) Cho tam giỏc ABC khụng cõn ni tip ng trũn (O) B l im i xng vi B qua AC BM l trung tuyn ca tam giỏc ABC, BM ct (O) ti N Ly K cho AKCN l hỡnh bỡnh hnh HM ct (O) ti D Gi H l trc tõm ca tam giỏc ABC Chng minh rng a, BD, HK, AC ng quy b, KB ct AC ti P ng trũn ngoi tip tam giỏc BPC giao AB ti X khỏc B ng trũn ngoi tip tam giỏc ABP giao vi BC ti Y khỏc B Chng minh ng trũn (BXY) i qua im K Cõu (4 iờm) Tỡm p nguyờn t tha p + p | p + p Cõu (3 iờm) Cho 81 s nguyờn dng phõn bit cho cỏc c nguyờn t ca chỳng thuc {2,3,5} Chng minh rng tn ti s 81 s trờn m tớch ca chỳng l ly tha bc ca s nguyờn no ú HT Ngi Pham Vn Ninh 0977245380 ng Thu Hng 01634029724 HNG DN CHM MễN: Toỏn LP: 10 Cõ u Ni dung iờm 1,0 a) im + K: x ; y + Bin i (1) c: ( xy y ) + xy y + = ( x + y ) ( ) 2 xy y + = ( x + y ) y = x + Th vo (2) ta c: 2x + x = 3x 1,0 p dng BT Cauchy ta c: 2x = x3 = Suy ( x ) ( x 3) 2x + x 2x + 2x = 2 x 3+1 x = 2 3x Du ' = ' xy v ch x = Vy nghim ( x; y ) cn tỡm l ( 4;2 ) 1,0 b) im iu kin: x Nhn thy x = l mt nghim ca phng trỡnh Xột x > Khi ú phng trỡnh ó cho tng ng vi ( ) ( x +1 + ) x + = x x x 12 4( x 3) 4( x 3) + = ( x 3)( x + x + ) x +1 + 2x + + 4 ( x 3) + ( x + 1)2 ữ = (1) x + + 2 x + + 4 + < 3, vỡ vy Vỡ x > nờn x + > v x + > Suy x +1 + 2x + + 4 + ( x + 1)2 < x +1 + 2x + + Do ú phng trỡnh (1) x = x = Vy phng trỡnh ó cho cú nghim l x = hoc x = a b c a b c + + = b + c + a Ta cú 2 a b c ab + b bc + c ca + a +1 +1 +1 b c a 1,0 ổa b cữ ỗ ữ ỗ + + ữ ỗ ữ ỗ b c a ữ ố ứ (Bunhiacopski) a b c +1+ +1+ +1 b c a a b c t x = , y = , z = ị xyz = b c a Ta cú ổa b cữ ỗ ữ ỗ ỗ b + c + aữ ữ x + y + z ữ ỗ ố ứ = a b c x +1+ y +1+ z +1 +1+ +1+ +1 b c a ( ( x + y + z) + 2( xy + yz + 3( x + y + z + 3) Suy a zx ) ) x +y +z +6 3( x + y + z + 3) S +3 ( S = x + y + z + 6) 3S ab + b bc + c ca + a S ổ S 3ữ 3 ỗ ữ = +ỗ + + = Ta cú S + ữ ỗ ữ 2 ữ ỗ S Sứ 2 ố Suy b + S +3 + c 1,0 Bt ng thc c chng minh 3S Du bng xy a = b = c 1,0 Cú th chia im thnh tng phn nhng khụng di 0,25 im v phi thng nht c t chm im ton bi l tng s im cỏc phn ó chm, khụng lm trũn im Ht TRI Hẩ HNG VNG LN TH XII TRNG THPT CHUYấN Lấ QUí ễN - TNH LAI CHU THI XUT THI MễN TON LP 10 ( ny cú 01 trang gm cõu) Cõu (5,0 im): Gii h phng trỡnh x + 3xy y + ( x + xy y ) = x xy y ( x, y Ă 2 x + 10 xy + 34 y = 47 ) Cõu (5,0 im): Cho tam giỏc nhn ABC, gi H l trc tõm ca tam giỏc, M l ã ã trung im ca BC, I l giao im cỏc phõn giỏc ca ABH v ACH Chng minh MI i qua trung im ca AH Cõu (4,0 im): Cho ba s dng a, b, c v a + b + c = Chng minh rng: a b c + + 2 1+ b 1+ c 1+ a Cõu (4,0 im): Tỡm b ba s nguyờn t liờn tip (lin k) cho tng bỡnh phng ca chỳng cng l mt s nguyờn t Cõu (2,0 im): Mt hỡnh trũn c chia thnh 10 ụ hỡnh qut, trờn mi ụ ngi ta t mt viờn bi Nu ta c di chuyn cỏc viờn bi theo quy lut: mi ln ly ụ bt k mi ụ viờn bi, chuyn sang ụ lin k theo chiu ngc thỡ cú th chuyn tt c cỏc viờn bi v cựng ụ hay khụng ? .HT Ngi Lờ Th L Quyờn (S in thoi: 0986722886) HNG DN CHM MễN TON - LP 10 Lu ý: cỏc cỏch gii khỏc hng dn chm, nu ỳng cho im ti a theo thang im ó quy nh Cõu Ni dung chớnh cn t iờm x xy y K: 2 x + xy y 0,5 Chuyn v nhõn liờn hp phng trỡnh (1), ta c 2 x + xy y + ữ= ( ) 2 2 ữ x + xy y + 3x xy y x = y +4>0 2 2 x = y x + xy y + x xy y 2,0 x =1 y =1 Vi x = y, thay vo (2), ta c: x = x = y = 1,0 Vi x = -6y thay vo (2) ta c 47 x = y = 82 82 y = 47 47 x=6 y = 82 1,0 47 82 47 82 47 47 47 47 ; ; KL: S = ( 1;1) , ( 1; 1) , ữ, ữ 82 82 82 82 0,5 Do H l trc tõm ca ABC BH AC, CH AB AEH, ADH l cỏc tam giỏc cú cnh huyn AH 0,5 Gi N l trung im ca AH, ta cú EN = DN = M BEC, BDC l cỏc tam giỏc vuụng nờn AH 0,5 0,5 EM = DM = BC E v D i xng qua MN ã ECB ã Ta li cú DBC = 90 C, = 90 B 1,0 ( ) ã ã = 45 A ABI = IBD = 90 A 2 1à ã ã = ICH = 450 A Tng t ta cú ACI 1à ã ã ã IBC = IBD + DBC = 135 A C 1à ã = 1350 A B Chng minh tng t ta cú IBC ã ã BIC = 180 2IBC = 90 IM = BC MI = ME = MD v ã ã ã ã = 90 A IME = IMB EMB = 180 2IBC 180 2B ( ã Chng minh tng t ta cú IMD = 90 A 1,0 EMI = DMI ( c.g.c ) IE = ID I thuc ng trung trc ca ED M, I, N thng hng 0,5 a ab ab ab Ta cú = a a = a + b2 + b2 2b b bc c ca Tng t ta cú b ; c 2 1+ c 1+ a 1,0 T ú suy ) 1,0 a b c ab + bc + ca ab + bc + ca ( *) + + a + b + c = 2 1+ b 1+ c 1+ a 2 ( a + b + c ) = ( ** ) Mt khỏc, ta bit ab + bc + ca T ( * ) v ( ** ) ta cú iu phi chng minh Gi s nguyờn t liờn tip l p, q, r vi p < q < r 2 B ba s nguyờn t liờn tip u tiờn l 2,3,5 + + = 38 khụng 0,5 1,0 1,0 0,5 1,0 l s nguyờn t nờn khụng tha bi 2 1,0 B ba s nguyờn t liờn tip tip theo l 3,5,7 + + = 83 l s nguyờn t nờn tha bi Xột p > thỡ hin nhiờn q, r > , nhn thy rng cỏc s nguyờn t ny u cú dng ( mod ) vỡ khụng chia ht cho v 3, vỡ th nờn tng bỡnh 2,0 phng ca chỳng luụn chia ht cho nờn khụng phi l s nguyờn t.Vy b ba s nguyờn t liờn tip ( 3,5,7 ) l b s nguyờn t liờn tip nht tha bi Trc tiờn, ta tụ mu xen k cỏc ụ hỡnh qut, nh vy s cú ụ c tụ mu (ụ mu) v ụ khụng c tụ mu (ụ trng) Ta cú nhn xột: Nu di chuyn bi ụ mu v bi ụ trng thỡ tng s bi ụ mu khụng i Nu di chuyn ụ mu, mi ụ bi thỡ tng s bi ụ mu gim i Nu di chuyn ụ trng, mi ụ bi thỡ tng s bi ụ mu tng lờn Vy tng s ụ mu hoc khụng i, hoc gim i 2, hoc tng lờn Núi cỏch khỏc, tng s bi ụ mu s khụng thay i tớnh chn l so vi ban u Ban u tng s bi ụ mu l viờn (s l) nờn sau hu hn ln di chuyn bi theo quy lut trờn thỡ tng s bi ụ mu luụn khỏc v khỏc 10, ú khụng th chuyn cỏc viờn bi v cựng ụ TRI Hẩ HNG VNG LN TH XII TRNG THPT CHUYấN NGUYN TT THNH TNH YấN BI THI MễN TON LP 10 THI ẩ XUT ( ny cú 01 trang, gm cõu) 0,5 0,5 0,5 0,5 Cõu (4 im) Gii phng trỡnh: x = x x + x x + x x Cõu (4 im) Cho tam giỏc nhn ABC v im P nm tam giỏc ABC Gi D, E, F ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca P trờn cỏc cnh BC, CD, AB Ly im Q nm tam ã ã ã ã giỏc ABC cho ãACP = BCQ Chng minh rng nu DEF ; BAQ = CAQ = 900 thỡ Q l trng tõm ca tam giỏc BDF Cõu (4 im) 2 Cho s thc khụng õm tha mó iu kin: x + y + z = tỡm giỏ tr ln nht ca x2 y+z + yz + biu thc: P = x + yz + x + x + y + z + Cõu (4 im) Cho 2016 hp m mi ny u cha ỳng 40 phn t Bit rng hai tựy ý cỏc ny u cú ỳng phn t chung Chng minh rng tn ti mt phn t thuc tt c 2016 ó cho Cõu (4 im) 2 Tỡm cỏc nghim nguyờn dng ca phng trỡnh: x y + z = 16 vi ( y < x < 10 ) .HT Ngi Nguyn Trung Ngha - 0985820747 HNG DN CHM MễN: TON, LP: 10 Lu ý: Cỏc cỏch gii khỏc hng dn chm, nu ỳng cho im ti a theo thang im ó nh Cõu Ni dung iờm Gii phng trỡnh: x = x x + x x + x x 4,0 K x t u = x u = x ( u 0) v = x v2 = x ( v 0) w = x w2 = x Suy 1,0 ( w 0) x = u = uv + wv + wu 1,0 x = v = uv + wv + wu x = w = uv + wv + wu u + v = ( u + v ) ( u + w ) = Ta cú h: ( u + v ) ( v + w ) = v + w = v + w u + w = ( ) ( ) u + w = 30 239 Suy ra: u = x = u2 = 60 120 Vy phng trỡnh cú nghim x = 30 30 30 239 120 Cho tam giỏc nhn ABC v im P nm tam giỏc ABC Gi D, E, F ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca P trờn cỏc cnh BC, CD, AB Ly im ã ã ã Q nm tam giỏc ABC cho ãACP = BCQ Chng minh ; BAQ = CAQ ã rng nu DEF = 900 thỡ Q l trng tõm ca tam giỏc BDF 1,0 1,0 5,0 Gi giao im ca AQ vi PF v EF ln lt l H, K, giao im ca CQ vi PD ln lt l M, N Ta cú: PE AC ; PF AB nờn t giỏc PEAF ni tip 1,0 ã ã ã ã ã ã Suy PFE theo gi thit BAQ ú PFE suy = PAE = BAQ = PAE AQ EF ti K, Chng minh tng t ta cú CQ DE Ti N ã ã T giỏc QKEN cú QKE = QNE = 900 ã Ta thy DEF = 900 ãAQC = 900 1,0 ã ã Do ãACP = BCQ ãACQ = BCP QCA : QCA Suy ra: DC QC ã ã DCQ : PCQ = v CAP = BCQ CP CA ã ã ã ã (do AFPE ni tip) DQC = PAC PAE = PFE ã ã Suy ra: DQC = PFE PF / / DQ DQ AB ,0 Tng t ta chng minh c: FQ BC 1,0 Suy Q l trc tõm ca tam giỏc BDF 2 Cho s thc khụng õm tha mó iu kin: x + y + z = tỡm giỏ tr ln x2 y+z + yz + nht ca biu thc: P = x + yz + x + x + y + z + Ta cú: 2 ( yz + 1) = x + ( y + z ) x ( y + z ) 5,0 yz + x ( y + z ) x2 + ( y + z ) V yz + = 1,0 Suy ra: x2 + ( y + z ) x2 y + z + yz x2 y+ z P= + + x + yz + x + x + y + x + x + x( y + z) x + y + z + x2 + ( y + z ) x y+ z P + x+ y + z +1 x+ y + z +1 18 x2 + ( y + z ) x+ y+ z P x+ y + z +1 18 2 1,0 x2 + ( y + z ) P x+ y + z +1 18 ( x 0) x2 + ( y + z) +1 Mt khỏc: x v y + z 2 2 2 x +1 ( y + z) +1 x + ( y + z) + Suy ra: x + y + z + = 2 2 x + ( y + z) P 18 x + ( y + z) + +1 2 x2 + ( y + z ) P 18 x + ( y + z) + 2 x2 + ( y + z ) + P 1+ + 18 x + ( y + z ) + 18 x2 + ( y + z ) + 2 + P Mt khỏc: 2 18 x + ( y + z) + 1,0 1,0 Vy GTLN ca P l 5 t c x = y = 1, z = Cho 2016 hp m mi ny u cha ỳng 40 phn t Bit rng hai tựy ý cỏc ny u cú ỳng phn t chung Chng minh rng tn ti mt phn t thuc tt c 2016 ó cho Xột A tựy ý 2016 ó cho Vỡ A cú phn t chung vi tng 2015 cũn li nờn A phi tn ti phn t a no ú thuc ớt nht 51 cũn li (Do nu ta gi s 40 phn t ca A ch thuc 50 cũn li, thỡ s ó cho khỏc A s l 50.40=2000 < 2016 vụ lý) Nh vy phn t a thuc 52 gi s 52 ú l A, A1 , A2 , A51 Ta s chng minh phn t a thuc bt k B 2015 cũn li Do hai bt k ch cú nht phn t chung nờn cỏc A, A1 , A2 , A51 khụng th cú phn t chung no khỏc a Gi s phn t a khụng thuc B Khi ú vi mi Ai (1 i 51) B phi cú phn t chung b v cỏc phn t ny cng phi khỏc (vỡ nu = a j thỡ Ai , Aj ( i; j 51) s cú ớt nht hai phn t chung l a v ) Do ú B cha khụng it hn 52 phn t Vụ lý Do ú a thuc B m B l bt k 1964 cũn li Vy a thuc tt c 2016 ó cho 2 Tỡm cỏc nghim nguyờn dng ca phng trỡnh: x y + z = 16 vi ( y < x < 10 ) Phng trỡnh ó cho tng ng vi: ( x ) z = x y (1) Do < y < x v x nguyờn dng nờn x Ta thy phng trỡnh ó cho cú nghim ( x; y; z ) = ( 2;1;1) 2 Nu x {3;4;5} thỡ x > y > nờn x y > v z > nờn z Suy ra: ( x ) z trng hp ny phng trỡnh ó cho khụng cú nghim nguyờn dng 2 2 Xột x  y < x nờn x y = 11 T phng trỡnh (1) suy ra: 2 ( x ) z 11 ( x ) > 11 x < 10 x {8;9} Vi x = thay vo (1) ta c 16 z = 64 y ( y z ) ( y + z ) = 48 (2) T (2) suy ra: y > z > y + z = y = Kt hp vi y < x = ta suy y z = z = 4,0 1,0 1,0 1,0 1,0 4,0 2 Vi x = thay vo phng trỡnh (1) t c 25 z = 81 y (3) Vỡ 25 z < nờn 81 y < y > mt khỏc y < x = nờn y 1,0 1,0 1,0 1,0 Suy y = thay vo (3) ta cú z = (loi) Vy phng trỡnh ó cho cú nghim: ( x; y; z ) = ( 2;1;1) , ( 8;7;1) TRI Hẩ HNG VNG LN TH XII TRNG PT VNG CAO VIT BC THI XUT - THI MễN TON - KHI 10 Nm hc 2015 - 2016 Thi gian lm bi: 180 phỳt ( ny cú trang, gm cõu) Cõu (4 im) Gii phng trỡnh 2x2 - 6x - 1= 4x - Cõu (4 im) Cho tam giỏc ABC cõn ( AB = AC ) Gi M l trung im ca BC , D l im trờn ng thng AM cho DB ^ AB, P l im bt k thuc cnh ỏy BC Qua P k ng thng ct AB, AC ln lt ti E ,F Chng minh rng DP ^ EF v ch DE = DF Cõu (4 im) Cho hai s thc dng x,y tha iu kin: x + 2y - xy = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P= x2 y2 + + 8y 1+ x Cõu (4 im) Trờn bng cho a thc f ( x) = x + 5x + Thc hin trũ chi sau, nu trờn bng ó cú a thc P ( x) thỡ c phộp vit thờm lờn bng mt hai a thc sau ổ1 ữ ữ Q ( x) = x2.f ỗ + , R ( x) = f ( x + 2016) ỗ ữ ữ ỗ ốx ứ Hi sau mt s bc ta cú th vit c a thc g( x) = 31x + 7x - 16 hay khụng? Cõu (4 im) Tỡm phn d chia 32k cho 2k+3 , ú k l s nguyờn dng HT Ngi H tờn: - in thoai: TRI Hẩ HNG VNG LN TH XII TRNG PT VNG CAO VIT BC HNG DN CHM - HNG DN CHM MễN TON - KHI 10 Nm hc 2015 - 2016 Lu ý: Cỏc cỏch gii khỏc hng dn chm, nu ỳng cho im ti a theo thang im ó nh Cõu Ni dung KX 4x + x + PT (2x - 3)2 = 4x + + 11 (1) iờm 0,5 ỡù (2x - 3)2 = 4y + ù t 2y - = 4x - ta cú h ùớù (2y - 3)2 = 4x + ùùợ ộy = x ị ờy = - x - 0,5 0,5 0,5 Vi ta cú pt ỡù 4x + = (2x - 3)2 4x + = 2x - ùớ ùù 2x - ùợ 0,5 x = + (tmk) 0,5 0,5 Vi ta cú pt 4x + = - 2x - ỡù 4x + = (2x + 5)2 ùớ (VN) ùù - 2x - 0,5 ùợ Vy PT ban u cú mt nghim A E M B P C D F Chỳ ý rng nu E thuc on AB thỡ F nm ngoi on AC v ngc li *) Nu DP EF ã ã +) t giỏc BDPE ni tip (vỡ DBE + DPE = 1800 ) ã ã ằ ) (1) (cựng chn DP DBP = DEP +) D AM DB = DC tam giỏc DBC cõn ti D ã ã (2) DBP = DCP +) ABD = ACD (c.c.c) ãACD = ãABD = 900 , ú t giỏc ã ã CPDF ni tip (vỡ DPF = DCF = 900 ) ã ã ằ ) (3) (cựng chn DP DFP = DCP 1 ã ã T (1), (2), (3) ta cú DEP = DFP DE = DF *) Nu DE = DF +) Hai ng trũn ngoi tip hai tam giỏc vuụng DBE , DCF bng Gi P l im chung th hai ca hai ng trũn ny, DP l trc ng phng ca hai ng trũn, d thy EF DP v E , P, F thng hng ã ã ằ ằ = s CF +) DBE = DCF BDE = CDF s BE ã E = CP ã F , m E , P, F Vỡ hai ng trũn bng nờn BP thng hng B, P, C thng hng P = BC I EF hay P P Vy DP EF T gi thit suy ra: x + 2y = xy Theo bt ng thc AM-GM ta cú (x + 2y)2 8xy Suy (xy)2 - 8(xy) xy (do x,y > 0) Li theo bt ng thc AM-GM ta cú: x2 y2 x2 4y2 P= + = + + 8y 1+ x + 8y + 4x x2.4y2 xy = (4 + 8y)(4 + 4x) (1 + 2y)(1 + x) 2xy 8xy = + (x + 2y) + 4(x + 2y) 8xy = xy + 4xy Vy giỏ tr nh nht ca P l khi: x = 4;y = 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 a thc P ( x) = ax + bx + c cú bit thc D P = b2 - 4ac Ta cú Q ( x) = ( a + b + c) x2 + ( 2a + b) x + a 1 R ( x) = ax2 + ( 4032a + b) x + 20162a + 2016b + c Do DQ = D R = b - 4ac = D P nờn cỏc a thc c vit thờm v a thc ban u cú cựng bit thc D Vỡ hai a thc f ( x) v g( x) cú bit thc D khỏc nờn khụng th vit c a thc g( x) Ta cú ( k k ) 32 = 32 + 1 1 22 = (3 1)(3 + 1)(3 + 1)(3 + 1) (3 2 k + 1) + n D thy + 2(mod 4) , vi n N * Do ú cỏc s (32 + 1), (3 + 1), (32 + 1) + chia ht cho m khụng chia ht cho Hay + = p n , vi n N * v p n l s l Suy (3 + 1)(3 + 1) (3 + 1) + = k 1.(2m + 1), m N Vy = 2.4.2 k (2m + 1) + = m.2 k +3 + k + + Vỡ k + + < k + + k + = k +3 nờn phn d chia cho k +3 l k + + k n k 1 k k Ngi phn bin ỏp ỏn H tờn: - in thoai: [...]... 2.2015 2 .2016 l 20152 + 2014 nghim a 1,0 thc P( x) = x 2 20152 2014 Suy ra ( ) ( P S 20162 + 2015 = 0 S 20162 + 2015 ) 2 20152 2014 = 0 S 2 2 S 20162 + 2015 + 20162 20152 + 1 = 0 ( ) S 2 + 20162 20152 + 1 ( 2 1,0 = 4 S 2 (20162 + 2015) ) S 4 + 2 (20162 20152 + 1) 4 (20162 + 2015) S 2 + (20162 20152 + 1) 2 = 0 Do ú S = 20152 + 2014 + 20162 + 2015 l nghim ca a thc ( ) Q ( x) = x 4 + 2 (20162 ... (0) | 1 x 2 2 2 ) ( ( ) 100 8 x 2 + x + x 2 x + 2016 1 x 2 Vỡ ( x 2 + x)( x 2 x) = x 2 ( x 2 1) 0, x [ 1;1] nờn vi mi f v vi mi x [ 1;1] , ta cú ( ) ( ) f ( x) 100 8 x 2 + x x 2 x + 2016 1 x 2 = 2016 x 2 + 2016 | x | +2016 2 1 = 2016 | x | ữ + 2520 2520 2 1,0 Vy max max f ( x) ữ = 2520 , chng hn vi f x[ 1;1] 1,0 f ( x) = 2016 x 2 + 2016 x + 2016 Bi 4 (4,0 iờm) Trờn na... hai im u mỳt l A v B ta ly 2016 cung c1, c2 , , c2016 tha món: hai cung bt kỡ luụn cú im chung Chng minh rng cỏc cung c1, c2 , , c2016 cú im chung Hng dn chm 4,0 iờm Chiu vuụng gúc cỏc cung c1, c2 , , c2016 xung ng thng AB ta c 1,0 2016 on thng A1B1, A2 B2 , , A2016 B2016 ( Ai gia A v Bi ) tng ng tha món: giao ca hai on thng bt kỡ luụn khỏc rng Coi AB l mt trc s vi chiu dng l chiu t A n B Gi s cỏc im... , , c2016 Do ú cỏc cung c1, c2 , , c2016 cú im chung Bi 5 (4,0 iờm) Chng minh rng S = 20152 + 2014 + 20162 + 2015 l mt s vụ t Hng dn chm 4,0 iờm Gi s n 2 + k = n + Khi ú 2 + 2n k = 0 0 < = n + n 2 + k = 20152 + 2014 < 2015 + Suy ra 2014 v 2.2015 k n + n2 + k < k , n, k Ơ * 2n 20162 + 2015 < 2016 + 1,0 2015 2 .2016 Vy 2015 + 2016 < S < 2015 + 2016 + Mt khỏc, ta thy 2014 2015 + < 2015 + 2016. .. Vỡ [ Ai Bi ] A j B j ; i j; i, j = 1, 2016 nờn ỏp dng (*) ta c min{b1, b2 , , b2016 } max{a1, a2 , , a2016} Suy ra tn ti c ' tha món min{b1, b2 , , b2016 } c ' max{a1, a2 , , a2016} 1,0 2016 T ai c ' bi c ' [ai ; bi ],i = 1, 2016 c ' I [ai ; bi ] i =1 Gi s im C ' cú ta c ' trờn trc ó chn, suy ra C ' l im chung ca tt c cỏc on Ai Bi , i = 1, 2016 Gi d l ng thng qua C ' v 1,0 Hng dn... hp 1: 2 2n + 1 = q Vụ lý vỡ mt s chớnh phng chia 3 ch cú s d l 0 hoc 1 2 2n 1 = p Trng hp 2: 2 2n + 1 = 3q Khi ú p phi l s l 2 2 Gi s p = 2k + 1, k Ơ 2n = ( 2k + 1) + 1 n = k 2 + ( k + 1) , l iu phi chng minh 2,0 2,0 1,0 1,5 1,0 TRI Hẩ HNG VNG LN TH XII TRNG THPT CHUYấN TUYấN QUANG THI XUT - THI MễN TON LP 10 Thi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thi gian giao ) ny cú 01 trang, gm 05 cõu)... = bk.(a.b a + c) c.(bk 1) = bk(ab a + c) c(b -1)(bk-1 + + b + 1) Do ú: (Tk+1 Tk ) Mm ( vỡ theo gi thit ta cú ab a + c v (b1)c Mm) M Tk M m (theo gi thit qui np), nờn Tk+1 Mm Vy Tn Mm n N TRI Hẩ HNG VNG LN TH XII TON TRNG THPT CHUYấN THI NGUYấN THI XUT cõu) 1.0 1.0 1.0 1.0 THI MễN LP 10 ( ny cú 01 trang, gm 05 x + 2 y 2 + 1 y 2 + y + 1 = 0 ( 1) Cõu 1(4 im): Gii h phng trỡnh 2 4 ( x +... 20152 + 1) 4 (20162 + 2015) x 2 + (20162 20152 + 1) 2 Vỡ Q( x) Â[x] v h s ca ly tha bc cao nht ca Q( x) bng 1 nờn nu S l mt s hu t thỡ S phi l s nguyờn, vụ lớ theo chng minh trờn Vy S l mt s vụ t -Ht- 1,0 TRI Hẩ HNG VNG LN TH XII THI MễN TON TRNG THPT CHUYấN CHU VN AN TNH LNG SN THI ẩ XUT LP 10 ( ny cú 01 trang, gm 05 cõu) Cõu 1 (4 im) Gii h phng trỡnh: x3 6 x 2 + 13x = y 3 + y + 10 , vi x, y... hc sinh phi chi tit, lp lun cht ch, tớnh toỏn chớnh xỏc mi c im ti a Cỏc cỏch gii khỏc nu ỳng vn cho im T chm trao i v thng nht chi tit nhng khụng c quỏ s im dnh cho cõu, phn ú 2 Mi vn phỏt sinh trong quỏ trỡnh chm phi c trao i thng nht trong t chm v ghi vo biờn bn TRNG THPT CHUYấN H LONG Ht TRI Hẩ HNG VNG LN TH XII THI MễN TON TRNG THPT CHUYấN HNG VNG TNH PH TH THI XUT LP 10 ( ny cú 01... bc hai f ( x) = ax 2 + bx + c vi h s thc v tha món 2016 f (1), f (1), f (0) 2016 Tỡm max max f ( x) ữ f x[ 1;1] Bi 4 (4,0 iờm) Trờn na ng trũn vi hai im u mỳt l A v B ta ly 2016 cung c1, c2 , , c2016 tha món: hai cung bt kỡ luụn cú im chung Chng minh rng cỏc cung c1, c2 , , c2016 cú im chung Bi 5 (4,0 iờm) Chng minh rng S = 20152 + 2014 + 20162 + 2015 l mt s vụ t -HtGhi chỳ: - Thớ sinh khụng

Ngày đăng: 15/09/2016, 15:02

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • Sơ lược lời giải

  • Thử lại ta thấy tất cả các hàm có dạng này đều thỏa mãn.

  • Mặt khác : suy ra BD là tiếp tuyến của đường

  • tròn ngoại tiếp tam giác ABF vì vậy

  • Chú ý rằng nếu thuộc đoạn thì nằm ngoài đoạn và ngược lại.

  • *) Nếu

  • +) tứ giác nội tiếp (vì ) (1) (cùng chắn )

  • +) , do đó tứ giác nội tiếp (vì )

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan