Đang tải... (xem toàn văn)
Hình học không gian là phần tương đối khó trong đề thi đối với các học sinh thi đại học. Tài liệu được soạnt thảo nhằm mục đích ôn tập các kiến thức về quan hệ vuông góc chuẩn bị cho học sinh lớp 11 lên 12 ôn thi đại học phần hình học không gian
DẠNG : CHỨNG MINH TÍNH VNG GĨC Dạng 1.1 : Chứng minh đường thẳng vng góc với đường thẳng Bài : B – 2002 Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 , gọi M, N, P trung điểm BB1, CD A1D1 Chứng minh : MP vng góc với C1N Bài : A – 2007 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh a Mặt bên (SAD) tam giác vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm SB, BC CD Chứng minh : AM vng góc với BP Bài : B – 2007 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA Gọi M, N trung điểm AE, BC Chứng minh : MN ⊥ BD Bài : D – 2007 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, = a; AD = 2a Chứng minh SC ⊥ CD biết SA = a Bˆ = Aˆ = 900 ; BA = BC SA vng góc với đáy Bài : CĐ – 2009 Cho hình tứ giác đều, cạnh đáy a, cạnh bên a lượt trung điểm SA, SD, DC Chứng minh : MN ⊥ SP Gọi M, N, P lần Dạng 1.2 : Tính vng góc hai mặt phẳng Các ví dụ mẫu : Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thoi , SA=SC Chứng minh rằng: ( SBD) ⊥ ( ABCD) Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vuông, SA ⊥ (ABCD) a) Chứng minh (SAC) ⊥ (SBD) b) Gọi BE, DF hai đường cao ∆SBD CMR: (ACF) ⊥ (SBC), (AEF) ⊥ (SAC) Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Gọi I trung điểm BC, D a điểm đối xứng với A qua I, SD ⊥ ( ABC ), SD = Chứng minh rằng: a) ( SBC ) ⊥ ( SAD) b) ( SAB) ⊥ ( SAC ) Bài tập : Bài : B – 2006 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a, SA = a SA vng góc với đáy Gọi M trung điểm AD Chứng minh (SAC) vng góc với mặt phẳng (SMB) Bài : A – 2003 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng cạnh a, AA’ = b Gọi M trung điểm CC’ Xác định tỉ số a/b để hai mặp phẳng (A’BD) (MBD) vng góc Bài : ĐH Hải Phòng – 2006 Cho hình chóp tam giác S.ABC đáy tam giác cạnh a, SA = 2a SA vng góc với đáy Gọi I trung điểm BC Chứng minh mặt phẳng (SAI) vng góc với mặt phẳng (SBC) Bài : Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC tam giác vng C, hai mặt bên (SAB) (SAC) vng góc với đáy Gọi D, E hình chiếu A SC SB Chứng minh mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng (ADE) Bài : Trong mặt phẳng (P) cho hình vng ABCD cạnh a Đoạn SA cố định vng góc với (P) A; M N hai điểm tương ứng di động cạnh BC CD Đặt BM = u, DN = v Chứng minh a.(u + v) = a2 + u2 điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng (SAM) (SMN) vng góc với Bài : Trong mặt phẳng (P) cho hình vng ABCD cạch a Hai nửa đường thẳng Bx Dy vng góc với (P) phía với (P) M N hai điểm di động tương ứng Bx Dy Đặt BM = u DN = x a) Tìm mối liên hệ u v để (MAC) vng góc với (NAC) b) Giả sử ta có điều kiện ý a, chứng minh (MAN) vng góc (CMN) DẠNG : CÁC BÀI TỐN TÌM KHOẢNG CÁCH Dạng 2.1 : Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, đường thẳng Các ví dụ mẫu : Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) , SA=2a, a) Tính d ( A,( SBC )) b) Tính d ( A,( SBD)) Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB đều, ( SAB) ⊥ ( ABCD) Gọi I, F trung điểm AB AD Tính d ( I ,( SFC )) Ví dụ 3: Cho tứ diện OABC, OA, OB, OC đơi vng góc với Kẻ OH ⊥ (ABC) a) Chứng minh H trực tâm tam giác ABC b) Tính khoảng cách từ O đến mp(ABC) Bài tập : Bài : D-2011 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, BA=3a, BC=4a, · ( SBC ) ^ ( ABC ), SB = 2a 3, SBC = 300 Tính d ( B,( SAC )) Bài : D – 2002 Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mp(ABC), ngồi ta có AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) Bài : Cho hình chóp S.ABCD có SA = 3a vng góc với đáy Giả sử AB = BC = 2a; góc ABC 1200 Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Bài : Đề thi thử THPT QG – Tỉnh Thanh Hóa Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc DAB 120o Hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với đáy Góc mp(SBC) mặt đáy 600 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Bài : Đề thi thử THPT QG – Chun Vĩnh Phúc Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Gọi I trung điểm AB Hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng đáy trung điểm H cạnh CI, góc SA mặt phẳng đáy 600 Tính khoảng cách từ điểm H đến mp(SBC) Dạng 2.2 : Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Cách 1: + Xác định đường thẳng vng góc chung d d’ + Tính độ dài đoạn vng góc chung Cách 2: +Tìm mp(P) chứa d’ song song với d + Khi d (d , d ') = d (d ,( P )) = d ( A,( P )) với A điểm thuộc d Chú ý : mp(P) có sẵn phải dựng (Cách dựng: qua điểm B ∈ d ' dựng đường thẳng ∆ song song với d, lúc mp(P)≡(d’,∆)) Các ví dụ mẫu : Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên a Tính d ( AD, SB ) Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAD tam giác đều, (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy Tính d ( SA, BD ) Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác cạnh a, a Tính d ( AB, CB ') ? AA ' = 2 Bài tập : Bài : D – 2008 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy tam giác vng có BA = BC = a, cạnh bên AA’ = a Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM B’C Bài : B – 2007 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA Gọi M, N tương ứng trung điểm AE BC Tính khoảng cách hai đường thẳng MN AC theo a Bài : A – 2006 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh Gọi M, N trung điểm AB CD Tìm khoảng cách hai đường thẳng A’C MN Bài : A – 2004 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình thoi cạnh AB = chéo AC = 4, SO = 2 5, đường SO vng góc với mp(ABCD), O giao điểm AC BD Gọi M trung điểm cạnh SC Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BM Dạng 2.3 : Xác định đường vng góc chung PHƯƠNG PHÁP CHUNG Để dựng đường vng góc chung đường thẳng chéo ta tiến hành theo phương pháp sau: Cách : Bước 1) Dựng mặt phẳng (P) chứa b song song với a Bước 2) Chọn M a dựng MH vng góc với mặt phẳng (P) H( chất tìm hình chiếu vng góc M lên mặt phẳng (P) ) Bước 3) Từ H ta dựng đường thẳng a’ song song với a cắt b B Bước 4) Từ B dựng đường thẳng song song với MH cắt mặt phẳng (P) A AB đoạn vng góc chung A M a H P a’ B b Cách : Bước 1) Dựng mặt phẳng (P) vng góc với a O Bước 2) Tìm hình chiếu vng góc b1 b mặt phẳng (P) Dựng hình chiếu vng góc O b1 H Bước 3) Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b B Bước 4) Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a A đoạn AB đoạn vng góc chung A B O a H b1 b Cách : Dùng a vng góc với b Bước 1) Dựng mặt phẳng (P) chứa b vng góc với a A Bước 2) Dựng AB vng góc với b B AB đoạn vng góc chung a b A B BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a tâm O SA vng góc với ABCD SA=a Tính khoảng cách đường thẳng a) SB AD b) SC BD c) SB CD d) SC AD e) SB AC Bài : B – 2002 Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a Tìm khoảng cách hai đường thẳng A1B B1D cách dựng đường vng góc chung Bài : Cho hình tứ diện ABCD cạnh a = cm Hãy xác định tính độ dài đường vng góc chung hai đường thẳng AB CD Bài : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vng góc với đáy SA = 2a Xác định tính độ dài đường vng góc chung hai đường thẳng AB SC Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = h SA vng góc với đáy Dựng tính độ dài đường vng góc chung hai đường thẳng SC AB DẠNG : CÁC BÀI TỐN VỀ GĨC TRONG KHƠNG GIAN DẠNG 3.1 : XÁC ĐỊNH GĨC Góc hai đường thẳng: • a′//a, b′//b ⇒ ( a¶, b ) = ( a· ', b ' ) r r r r • Giả sử u VTCP a, v VTCP b, (u, v ) = α Khi đó: ( a¶, b ) = α 00 ≤ α ≤ 1800 900 < α ≤ 1800 180 − α • Nếu a//b a ≡ b ( a¶, b ) = 00 0 ≤ ( a¶, b ) ≤ 900 Chú ý: Góc đường thẳng mặt phẳng Phương pháp: Xác đònh góc đường thẳng a mặt phẳng (P) • Tìm giao điểm O a với (P) • Chon điểm A ∈ a dựng AH ⊥ (P) Khi ·AOH = (a· ,(P )) Góc hai mặt phẳng Phương pháp: Muốn tìm góc hai mặt phẳng (P) (Q) ta sử dụng cách sau: • Tìm hai đường thẳng a, b: a ⊥ (P), b ⊥ (Q) Khi đó: ( (·P ),(Q) ) = ( a¶, b ) a ⊂ ( P), a ⊥ c • Giả sử (P) ∩ (Q) = c Từ I ∈ c, dựng b ⊂ (Q), b ⊥ c ⇒ ( (·P ),(Q) ) = ( a¶, b ) VÍ DỤ : Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, ( SAB) ⊥ ( ABCD) , H trung điểm AB, SH=HC, SA=AB Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = a Tính sin góc giữa: a) SC (SAB) b) AC (SBC) Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Tính số đo góc (BA’C) (DA’C) Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác cân · AB=AC=a, BAC = 1200 , BB’=a, I trung điểm CC’ Tính cosin góc hai mp(ABC) (AB’I) BÀI TẬP : Bài : A – 2008 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy tam giác vng A có AB = a, AC = a Hình chiếu vng góc đỉnh A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính cosin góc hai đường thẳng AA’ B’C’ Bài : B – 2008 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA = a, SB = a mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt đáy Gọi M, N trung điểm AB, BC Tìm cosin góc hai đường thẳng SM, DN Bài : A – 2004 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh , AC = chiều cao hình chóp SO = 2 , O giao điểm AC BD Gọi M trung điểm SC Tìm góc hai đường thẳng SA BM Bài : A – 2003 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tìm số đo góc tạo hai mặt phẳng (BA’C) (DA’C) Bài : ˆ = 600 Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vng C, AB = 2a, CAB Đoạn SA = a vng góc với (P) Tính sin góc hai mặt phẳng (SAB) (SBC) DẠNG 3.2 : XÁC ĐỊNH GĨC CĨ ĐIỀU KIỆN Bài : Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vng C, AB = 2a, góc CAB 600, đoạn SA = h SA vng góc với (P) Tìm h cho góc hai mặt phẳng (SAB) (SBC) 600 Bài : Trong mặt phẳng (P) cho hình vng ABCD cạnh a Đoạn SA cố định vng góc với (P) A M, N hai điểm di động cạnh BC CD Đặt BM = u DN = v Chứng minh : a.(u + v) + uv = a2 điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng (SAM) (SAN) tạo với góc 450 Bài : Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy tam giác ABC với AB = AC, góc BAC α Gọi M trung điểm AA’ giả sử mặt phẳng (C’MB) tạo với đáy (ABC) góc β Chứng minh : a) Góc C’BC β b) tan α = cosβ điều kiện cần đủ để BM vng góc với MC’ [...]... Bài 5 : ˆ = 600 Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vuông tại C, AB = 2a, CAB Đoạn SA = a và vuông góc với (P) Tính sin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) DẠNG 3.2 : XÁC ĐỊNH GÓC CÓ ĐIỀU KIỆN Bài 1 : Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vuông tại C, AB = 2a, góc CAB bằng 600, đoạn SA = h và SA vuông góc với (P) Tìm h sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 600 Bài 2 : Trong mặt phẳng... điểm của CC’ Tính cosin của góc giữa hai mp(ABC) và (AB’I) BÀI TẬP : Bài 1 : A – 2008 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy là tam giác vuông tại A có AB = a, AC = a 3 Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’ Bài 2 : B – 2008 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB... (SAB) vuông góc với mặt đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC Tìm cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN Bài 3 : A – 2004 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 5 , AC = 4 và chiều cao của hình chóp là SO = 2 2 , ở đây O là giao điểm của AC và BD Gọi M là trung điểm của SC Tìm góc giữa hai đường thẳng SA và BM Bài 4 : A – 2003 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tìm số đo của góc. .. 600 Bài 2 : Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh bằng a Đoạn SA cố định vuông góc với (P) tại A M, N lần lượt là hai điểm di động trên cạnh BC và CD Đặt BM = u và DN = v Chứng minh rằng : a.(u + v) + uv = a2 là điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau một góc 450 Bài 3 : Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác ABC với AB = AC, góc BAC bằng α Gọi M là trung điểm của... Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác ABC với AB = AC, góc BAC bằng α Gọi M là trung điểm của AA’ và giả sử mặt phẳng (C’MB) tạo với đáy (ABC) một góc bằng β Chứng minh : a) Góc C’BC bằng β b) tan α = cosβ 2 là điều kiện cần và đủ để BM vuông góc với MC’